संख्या

संख्या एक गणितीय वस्तु है जिसका उपयोग गिनती, माप और नाममात्र संख्या के लिए किया जाता है। मूल उदाहरण प्राकृतिक संख्या 1, 2, 3, 4, और आगे हैं।^[1] संख्याओं को भाषा में संख्या शब्दों के साथ प्रदर्शित किया जा सकता है। अधिक सार्वभौमिक रूप से, व्यक्तिगत संख्याओं को प्रतीकों द्वारा दर्शाया जा सकता है, जिन्हें अंक कहा जाता है;उदाहरण के लिए, 5 अंक है जो 5 का प्रतिनिधित्व करता है। जैसा कि केवल अपेक्षाकृत कम संख्या में प्रतीकों को याद किया जा सकता है, मूलभूत अंक सामान्यतः अंक प्रणाली में व्यवस्थित होते हैं, जो किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए संगठित विधि है।सबसे आम अंक प्रणाली हिंदू -अरबिक अंक प्रणाली है, जो दस मौलिक संख्यात्मक प्रतीकों के संयोजन का उपयोग करके किसी भी संख्या के प्रतिनिधित्व के लिए अनुमति देती है, जिसे संख्यात्मक अंक कहा जाता है।^[2]^{[lower-alpha 1]} गिनती और मापने में उनके उपयोग के अतिरिक्त, अंकों ऑर्डर करने के लिए ( क्रमिक संख्या के साथ), और कोड के लिए (जैसा कि आईएसबीएन के साथ) का उपयोग अधिकांश लेबल के लिए (टेलीफोन संख्या के साथ) उपयोग किया जाता है। सामान्य उपयोग में एक संख्या उस संख्या से स्पष्ट रूप से भिन्न नहीं होती है जिसका वह प्रतिनिधित्व करता है।

गणित में, शून्य (0)^[3] ऋणात्मक संख्याएँ,^[4] परिमेय संख्याएँ जैसे कि एक आधा $\left({\tfrac {1}{2}}\right)$ , वास्तविक संख्या जैसे कि 2 का वर्गमूल $\left({\sqrt {2}}\right)$ ^[5] को सम्मिलित करने के लिए शताब्दियों से संख्या की धारणा को बढ़ाया गया है,^[6] और पाई( $π$ ) और सम्मिश्र संख्याएं जो −1 (काल्पनिक संख्या) के वर्गमूल के साथ वास्तविक संख्याओं का (और इसके गुणकों को जोड़कर या घटाने से वास्तविक संख्या के साथ इसके संयोजन) विस्तार करती हैं।^[4] संख्याओं के साथ गणना अंकगणितीय संक्रियाओं के साथ की जाती है, सबसे परिचित, जोड़, घटाव, गुणन, विभाजन (गणित), और घातांक हैं। उनके अध्ययन या उपयोग को अंकगणित कहा जाता है, शब्द जो संख्या सिद्धांत, संख्याओं के गुणों के अध्ययन का भी उल्लेख कर सकता है।

उनके व्यावहारिक उपयोगों के अतिरिक्त, संख्याओं का संसार में सांस्कृतिक महत्व है।^[7]^[8] उदाहरण के लिए, पश्चिमी समाज में, 13 (संख्या) को अधिकांश अशुभ माना जाता है, और मिलियन त्रुटिहीन मात्रा के अतिरिक्त बहुत अधिक संकेत दे सकता है।^[7] यद्यपि इसे अब छद्म विज्ञान के रूप में माना जाता है, संख्या के रहस्यमय महत्व में विश्वास, जिसे अंक विज्ञान के रूप में जाना जाता है, प्राचीन और मध्ययुगीन विचार को अनुमति दी जाती है।^[9] न्यूमेरोलॉजी ने ग्रीक गणित के विकास को बहुत प्रभावित किया, संख्या सिद्धांत में कई समस्याओं की जांच को उत्तेजित किया जो आज भी रुचि के हैं।^[9]

19 वीं शताब्दी के समय, गणितज्ञों ने कई अलग -अलग अमूर्तता विकसित करना प्रारंभ कर दिया, जो संख्याओं के कुछ गुणों को साझा करते हैं, और अवधारणा को विस्तारित करने के रूप में देखा जा सकता है। सबसे पहले हाइपरकम्प्लेक्स संख्याएं थी, जिसमें जटिल संख्या प्रणाली के विभिन्न एक्सटेंशन या संशोधन सम्मिलित थे।आधुनिक गणित में, संख्या प्रणालियों को अधिक सामान्य बीजगणितीय संरचनाओं जैसे रिंग (गणित) और क्षेत्रों (गणित) के महत्वपूर्ण विशेष उदाहरण माना जाता है, और शब्द संख्या का अनुप्रयोग मौलिक महत्व के बिना, सम्मेलन का विषय है।^[10]

इतिहास

अंक

संख्याओं को अंकों से अलग किया जाना चाहिए, जो कि संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किए जाने वाले प्रतीक हैं। मिस्रियों ने पहले सिफर्ड अंक प्रणाली का आविष्कार किया, और यूनानियों ने इओनियन और डोरिक अक्षर पर अपनी गिनती संख्याओं को मैप करने के बाद यूनानियों को आविष्कार किया।^[11] रोमन अंकों, प्रणाली, जो रोमन वर्णमाला से अक्षरों के संयोजन का उपयोग करती थी, 14 वीं शताब्दी के अंत में श्रेष्ठ हिंदू -अरबिक अंक प्रणाली के प्रसार तक यूरोप में प्रमुख रही, और आज संसार में संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए हिंदू -अरबिक अंक प्रणाली सबसे आम प्रणाली बनी हुई है।^[12]^{[better source needed]} प्रणाली की प्रभावशीलता की कुंजी शून्य के लिए प्रतीक था, जिसे प्राचीन भारतीय गणित द्वारा 500 ईस्वी के आसपास विकसित किया गया था।^[12]

संख्याओं का पहला उपयोग

हड्डियों और अन्य कलाकृतियों को उन पर काटे गए निशानों के साथ खोजा गया है, जो कई लोगों का मानना है कि ये मिलान के निशान हैं।^[13] इन मिलान चिह्नों का उपयोग बीता हुआ समय, जैसे दिनों की संख्या, चंद्र चक्र या जानवरों की मात्रा का अभिलेख रखने के लिए किया जा सकता है।

टैली प्रणाली में स्थानीय मान (आधुनिक दशमलव संकेतन में) की कोई अवधारणा नहीं है, जो बड़ी संख्या के अपने प्रतिनिधित्व को सीमित करता है। किन्तु, टैली प्रणाली को पहले प्रकार का अमूर्त अंक प्रणाली माना जाता है।

स्थानीय मान के साथ पहली ज्ञात प्रणाली मेसोपोटामिया की आधार 60 प्रणाली (सी.-3400 ईसा पूर्व) थी और सबसे पुरानी ज्ञात आधार 10 प्रणाली मिस्र में 3100 ईसा पूर्व की है।^[14]

शून्य

शून्य तारीखों का पहला ज्ञात प्रलेखित उपयोग 628 ईस्वी तक का है, और भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त के मुख्य कार्य ब्रोहमस्फुसिद्धान्टा में दिखाई दिया। उन्होंने 0 को एक संख्या के रूप में माना और विभाजन सहित इसमें सम्मिलित संक्रियाओं पर चर्चा की, जिसमें शून्य द्वारा विभाजन भी सम्मिलित है। इस समय तक (7वीं शताब्दी) अवधारणा स्पष्ट रूप से खमेर अंकों के रूप में कंबोडिया तक पहुंच गई थी, और दस्तावेज़ीकरण से पता चलता है कि यह विचार बाद में चीन और इस्लामी संसार में फैल गया।

खमेर अंकों में 605 संख्या, 683 ईस्वी से शिलालेख से।दशमलव आकृति के रूप में शून्य का प्रारंभिक उपयोग।

ब्रह्मगुप्त का ब्रह्मस्फुटसिद्धान्त पहला ग्रंथ है जिसमें शून्य का एक संख्या के रूप में उल्लेख किया गया है, इसलिए ब्रह्मगुप्त को सामान्यतः शून्य की अवधारणा तैयार करने वाला पहला माना जाता है। उन्होंने ऋणात्मक और धनात्मक संख्याओं के साथ शून्य का उपयोग करने के नियम दिए, जैसे "शून्य प्लस एक सकारात्मक संख्या एक सकारात्मक संख्या है, और एक ऋणात्मक संख्या प्लस शून्य ऋणात्मक संख्या है।" ब्रह्मस्फुटसिद्धांत शून्य को अपने आप में एक संख्या के रूप में मानने वाला सबसे पहला ज्ञात पाठ है, न कि किसी अन्य संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक प्लेसहोल्डर अंक के रूप में जैसा कि बेबीलोनियों द्वारा किया गया था या मात्रा की कमी के प्रतीक के रूप में टॉलेमी और रोमन द्वारा किया गया था।

संख्या के रूप में 0 के उपयोग को स्थान-मान प्रणालियों में प्लेसहोल्डर अंक के रूप में इसके उपयोग से अलग किया जाना चाहिए। कई प्राचीन ग्रंथों में 0 का प्रयोग हुआ हैं। बेबीलोन और मिस्र के ग्रंथों ने इसका उपयोग किया। मिस्रियों ने डबल-एंट्री बहीखाता प्रणाली में संतुलन को निरूपित करने के लिए एनएफआर शब्द का उपयोग किया। भारतीय ग्रंथों ने शून्य की अवधारणा का उल्लेख करने के लिए संस्कृत शब्द शुन्य या शून्य का उपयोग किया। गणित के ग्रंथों में यह शब्द अधिकांश संख्या शून्य को संदर्भित करता है।^[15] इसी प्रकार, पाणिनि (5 वीं शताब्दी ईसा पूर्व) ने अष्टाध्यायी में शून्य (शून्य) ऑपरेटर का उपयोग किया, जो संस्कृत भाषा के लिए औपचारिक व्याकरण का प्रारंभिक उदाहरण (पिंगला भी देखें) देखे।

ब्रह्मगुप्त से पहले शून्य के अन्य उपयोग हैं, चूंकि दस्तावेज उतना पूरा नहीं है जितना कि यह ब्रोहमस्फुसिदहन्टा में है।

अभिलेख बताते हैं कि प्राचीन ग्रीस संख्या के रूप में 0 की स्थिति के बारे में अनिश्चित प्रतीत होते थे: उन्होंने स्वयं से पूछा "कैसे 'कुछ नहीं' कुछ हो सकता है?" रोचक दार्शनिक के लिए अग्रणी और, मध्ययुगीन काल तक, 0 और निर्वात की प्रकृति और अस्तित्व के बारे में धार्मिक तर्क देखे। एलिया के ज़ेनो के विरोधाभास भाग में 0 की अनिश्चित व्याख्या पर निर्भर करते हैं।(प्राचीन यूनानियों ने यह भी सवाल किया कि क्या 1 संख्या थी।)

दक्षिण-मध्य मेक्सिको के स्वर्गीय ऑल्मेक लोगों ने शून्य के लिए एक प्रतीक का उपयोग करना प्रारंभ किया, एक शेल ग्लिफ़, नई संसार में, संभवतः चौथी शताब्दी ईसा पूर्व किन्तु निश्चित रूप से 40 ईसा पूर्व तक, जो माया अंकों और माया कैलेंडर का एक अभिन्न अंग बन गया। माया अंकगणित ने बेस 4 और बेस 5 को बेस 20 लिखा।1961 में जॉर्ज आई। सैंचेज़ ने आधार 4, बेस 5 फिंगर एबाकस की सूचना दी।^[16]^{[better source needed]}

130 ईस्वी तक, टॉलेमी, हिप्पार्कस और बेबीलोनियों से प्रभावित होकर, 0 के लिए एक प्रतीक का उपयोग कर रहा था (लंबे ओवरबार वाला एक छोटा वृत्त) साठवाँ अंक प्रणाली के अन्दर अन्यथा अल्फाबेटिक ग्रीक अंकों का उपयोग कर रहा था। क्योंकि यह केवल एक प्लेसहोल्डर के रूप में नहीं, किन्तु अकेले उपयोग किया गया था, यह हेलेनिस्टिक शून्य पुरानी संसार में एक सच्चे शून्य का पहला प्रलेखित उपयोग था। उनके सिंटैक्सिस मैथेमेटिका (अल्मागेस्ट) के बाद के बीजान्टिन पांडुलिपियों में, हेलेनिस्टिक शून्य ग्रीक वर्णमाला ऑमिक्रॉन (अन्यथा अर्थ और 70) में रूपांतरित किया था।

525 तक रोमन अंकों के साथ तालिकाओं में एक और वास्तविक शून्य का उपयोग किया गया था (डायोनिसियस एक्सिगुअस द्वारा पहला ज्ञात उपयोग), किन्तु एक शब्द के रूप में, नुल्ला का अर्थ कुछ भी नहीं है, प्रतीक के रूप में नहीं। जब विभाजन ने शेषफल के रूप में 0 दिया, तो निहिल, जिसका अर्थ कुछ भी नहीं है, का उपयोग किया गया। ये मध्यकालीन शून्य भविष्य के सभी मध्यकालीन कंप्यूटर (ईस्टर के कैलकुलेटर) द्वारा उपयोग किया गया था। उनके प्रारंभिक, एन का एक पृथक उपयोग, रोमन अंकों की तालिका में बेडे या एक सहयोगी के बारे में 725, एक वास्तविक शून्य प्रतीक द्वारा उपयोग किया गया था।

ऋणात्मक संख्या

ऋणात्मक संख्याओं की अमूर्त अवधारणा को चीन में 100-50 ईसा पूर्व की प्रारंभ में मान्यता दी गई थी। गणितीय कला पर नौ अध्यायों में आंकड़े के क्षेत्रों को खोजने की विधि सम्मिलित हैं;लाल छड़ का उपयोग सकारात्मक गुणांक को और काले छड़ का उपयोग ऋणात्मक गुणांक निरूपित करने के लिए किया गया था।^[17] पश्चिमी कार्य में पहला संदर्भ 3 शताब्दी ईस्वी में ग्रीस में था।डायोफेंटस ने अंकगणित में 4x + 20 = 0 (समाधान ऋणात्मक है) के समतुल्य समीकरण का उल्लेख करते हुए कहा कि समीकरण ने एक बेतुका परिणाम दिया।

600 के दशक के समय, ऋण का प्रतिनिधित्व करने के लिए भारत में ऋणात्मक संख्या का उपयोग किया गया था। डायोफेंटस के पिछले संदर्भ पर 628 में ब्राहमस्फुसिद्दान्टा में भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त द्वारा अधिक स्पष्ट रूप से चर्चा की गई थी, जिन्होंने आज के उपयोग में रहने वाले सामान्य रूप से द्विघात फार्मूले का उत्पादन करने के लिए ऋणात्मक संख्याओं का उपयोग किया था।चूँकि, भारत में 12 वीं शताब्दी में, भस्कारा II द्विघात समीकरणों के लिए ऋणात्मक मूलें देता है, किन्तु कहता है कि ऋणात्मक मान इस स्थिति में नहीं लिया जाना है, क्योंकि यह अपर्याप्त है;लोग ऋणात्मक मूलों को मंजूरी नहीं देते हैं।

अधिकांश भाग के लिए, यूरोपीय गणितज्ञों ने 17 वीं सेंचुरी तक ऋणात्मक संख्याओं की अवधारणा का विरोध किया, चूंकि फाइबोनैचि ने वित्तीय समस्याओं में ऋणात्मक समाधान की अनुमति दी, जहां उन्हें ऋण के रूप में व्याख्या की जा सकती है (अध्याय 13 द बुक ऑफ द एबाकस, 1202) और बाद में हानि के रूप में (में Flos)। रेने डेसकार्टेस ने उन्हें झूठी मूलें कही क्योंकि वे बीजगणितीय बहुपदों में फसली थीं, फिर भी उन्हें सच्ची मूलों और झूठी मूलों को भी स्वैप करने का विधि मिला। इसी समय, चीनी इसी सकारात्मक संख्या के अंक के दाहिने-सबसे गैर-शून्य अंक के माध्यम से विकर्ण स्ट्रोक को खींचकर ऋणात्मक संख्याओं का संकेत दे रहे थे।^[18] यूरोपीय काम में ऋणात्मक संख्याओं का पहला उपयोग निकोलस चौक्वेट द्वारा 15 वीं सेंचुरी के समय था।उन्होंने उन्हें घातांक के रूप में उपयोग किया, किन्तु उन्हें बेतुका संख्या के रूप में संदर्भित किया।

नवीनतम 18 वीं शताब्दी के रूप में, इस धारणा पर समीकरणों द्वारा लौटे किसी भी ऋणात्मक परिणाम को अनदेखा करना आम बात थी कि वे अर्थहीन थे।

तर्कसंगत संख्याएँ

दशमलव भिन्न की अवधारणा दशमलव स्थान-मान अंकन के साथ निकटता से जुड़ी हुई है; ऐसा लगता है कि दोनों मिलकर विकसित हुए हैं। उदाहरण के लिए, जैन गणित सूत्र के लिए पाई या 2 के वर्गमूल के दशमलव-अंश सन्निकटन की गणना को सम्मिलित करना आम है।

यह संभावना है कि भिन्नात्मक संख्याओं की अवधारणा प्रागैतिहासिक काल की है। प्राचीन मिस्रवासियों ने गणितीय ग्रंथों जैसे राइंड मैथमेटिकल पेपिरस और काहुन पेपिरस में परिमेय संख्याओं के लिए अपने मिस्री अंश संकेतन का उपयोग किया। मौलिक ग्रीक और भारतीय गणितज्ञों ने संख्या सिद्धांत के सामान्य अध्ययन के हिस्से के रूप में तर्कसंगत संख्याओं के सिद्धांत का अध्ययन किया।^[19] इनमें से सबसे प्रसिद्ध यूक्लिड के तत्व हैं, जो लगभग 300 ईसा पूर्व के हैं। भारतीय ग्रंथों में सबसे अधिक प्रासंगिक स्थानंग सूत्र है, जिसमें गणित के सामान्य अध्ययन के भाग के रूप में संख्या सिद्धांत भी सम्मिलित है।

दशमलव अंशों की अवधारणा दशमलव स्थान-मान संकेतन के साथ निकटता से जुड़ी हुई है;लगता है कि दोनों मिलकर विकसित हुए हैं। उदाहरण के लिए, नीलन का सूत्र के लिए यह आम है कि अनुकरणीय आई या 2 के वर्गमूल के लिए दशमलव-अंश सन्निकटन की गणना सम्मिलित करें।^{[citation needed]} इसी प्रकार, बेबीलोनियन गणित के ग्रंथों ने महान आवृत्ति के साथ सेक्सजैमिमल (बेस एंड एनबीएसपी; 60) अंशों का उपयोग किया।

तर्कहीन संख्या

800 और 500 ईसा पूर्व के बीच रचित भारतीय गणित सुलबा सूत्रों में तर्कहीन संख्याओं का सबसे पहले ज्ञात उपयोग था।^[20]^{[better source needed]} तर्कहीन संख्याओं के पहले अस्तित्व के प्रमाण सामान्यतः पाइथागोरस के लिए जिम्मेदार होते हैं, विशेष रूप से पाइथागोरसिज़्म हिपपासस के लिए, जिन्होंने वर्गमूल की अतार्किकता का (सबसे अधिक संभावना ज्यामितीय) प्रमाण का उत्पादन किया। कहानी यह है कि हिप्पासस ने हिप्पासस की खोज की, जब कोशिश की जा रही है जब कोशिश की जा रही है तो कोशिश की जा रही है कि जब तक हिप्पस ने तर्कहीन संख्याओं की खोज की, जब कोशिश की जा रही है तो कोशिश की जा रही है कि जब हिप्पस ने तर्कहीन संख्याओं की खोज की, तो कोशिश की जा रहीअंश के रूप में 2 के वर्गमूल का प्रतिनिधित्व करें।चूंकि, पाइथागोरस संख्याओं की निरपेक्षता में विश्वास करते थे, और तर्कहीन संख्या के अस्तित्व को स्वीकार नहीं कर सकते थे। वह तर्क के माध्यम से अपने अस्तित्व को नापसंद नहीं कर सकता था, किन्तु वह तर्कहीन संख्या को स्वीकार नहीं कर सकता था, और इसलिए, कथित तौर पर और अधिकांश रिपोर्ट किया गया, उसने हिप्पासस को डूबने से मौत की सजा सुनाई जिससे इस निराशाजनक समाचार को फैलाया जा सके।^[21]^{[better source needed]}

16वीं शताब्दी ने नकारात्मक अभिन्न और अंश (गणित) संख्याओं की अंतिम यूरोपीय स्वीकृति लाई। 17वीं शताब्दी तक, गणितज्ञों ने सामान्यतः आधुनिक अंकन के साथ दशमलव अंशों का उपयोग किया। चूंकि, 19वीं शताब्दी तक गणितज्ञों ने अपरिमेय को बीजगणितीय और पारलौकिक भागों में अलग नहीं किया, और एक बार फिर अपरिमेय का वैज्ञानिक अध्ययन किया। यह यूक्लिड के बाद से लगभग निष्क्रिय रहा था।1872 में, कार्ल वीमर स्ट्रैस के सिद्धांतों का प्रकाशन (उनके शिष्य ई। कोसाक द्वारा), एडुआर्ड हाइन,^[22] जॉर्ज कैंटर,^[23] और रिचर्ड डेडेकिंड^[24] के बारे में लाया गया था। 1869 में, चार्ल्स मेरे ने हेइन के रूप में प्रस्थान के ही बिंदु को लिया था, किन्तु सिद्धांत को सामान्यतः वर्ष 1872 में संदर्भित किया जाता है। वेयरस्ट्रास की विधि पूरी तरह से साल्वटोर पिंचरेल (1880) द्वारा निर्धारित की गई थी, और डेडेकिंड कट लेखक के बाद के काम (1888) और पॉल टैनरी (1894) द्वारा समर्थन के माध्यम से अतिरिक्त प्रमुखता मिली है। वेइरस्ट्रास, कैंटर और हेइन अपने सिद्धांतों को अनंत श्रृंखला पर आधारित करते हैं, चूंकि डेडेकाइंड ने वास्तविक संख्याओं की प्रणाली में कट (श्निट) के विचार पर अपना निष्कर्ष निकाला, सभी परिमेय संख्याओं को दो विशिष्ट गुणों वाले दो समूहों में अलग कर दिया। इस विषय को बाद में वीयरस्ट्रास, लियोपोल्ड क्रोनकर,[25] और मेरे द्वारा योगदान प्राप्त हुआ।^[25]

क्विंटिक समीकरण और उच्च डिग्री समीकरणों की मूलों की खोज महत्वपूर्ण विकास था, एबेल -रफिनी प्रमेय (पाओलो रफिनी (गणितज्ञ) 1799, नील्स हेनरिक एबेल 1824) ने दिखाया कि वे एनटीएच रूट (केवल अंकगणित संचालन से जुड़े सूत्र (सूत्रों को हल नहीं किया जा सकता है)और मूलें)। इसलिए बीजगणितीय संख्याओं के विस्तृत समुच्चय (बहुपद समीकरणों के सभी समाधान) पर विचार करना आवश्यक था। इवरिस्ट गैलोइस (1832) गैलोइस में सिद्धांत के क्षेत्र को जन्म देने वाले समूह सिद्धांत से बहुपद समीकरणों को जोड़ा।

अपरिमेय संख्याओं, (और कैटाल्डी, 1613 के कारण), से निकटता से जुड़े निरंतर अंशों ने यूलर के हाथों ध्यान आकर्षित किया,^[26] और 19 वीं शताब्दी के उद्घाटन में जोसेफ लुइस लैग्रेंज के लेखन के माध्यम से प्रमुखता में लाया गया था। अन्य उल्लेखनीय योगदान ड्रुकेंमुलर (1837), कुन्ज (1857), लेम्के (1870), और गुंथर (1872) द्वारा किए गए हैं। रामुस^[27] ने पहले विषय को निर्धारकों के साथ जोड़ा, जिसके परिणामस्वरूप, हेइन,^[28] अगस्त फर्डिनेंड मोबियस | मोबियस, और गुंथर,^[29] के केटनब्रुकडेटरमिनेंटन के सिद्धांत में बाद के योगदान थे।

ट्रांसेंडेंटल संख्या और रियल

पारलौकिक संख्याओं का अस्तित्व^[30] पहली बार जोसेफ लिउविले (1844, 1851) द्वारा स्थापित किया गया था। 1873 में चार्ल्स हरमाइट ने सिद्ध किया कि ई ट्रान्सेंडैंटल है और फर्डिनेंड वॉन लिंडमैन ने 1882 में सिद्ध किया कि and ट्रान्सेंडैंटल है। अंत में, कैंटर के पहले बधाई देने वाले सबूत से पता चला कि सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय बहुत अधिक है, किन्तु सभी बीजीय संख्याओं का समुच्चय गिनने योग्य है, इसलिए ट्रांसेंडेंटल संख्याों की बहुत अधिक अनंत संख्या है।

अनंत और infinitesimals

गणितीय अनंत का सबसे पहले ज्ञात अवधारणा यजुर विदाई, प्राचीन भारतीय स्क्रिप्ट में दिखाई देती है, जो बिंदु पर बताती है, यदि आप अनंत से हिस्सा निकालते हैं या अनंत में हिस्सा जोड़ते हैं, तो भी क्या रहता अनंतता जैन गणितज्ञों के बीच दार्शनिक अध्ययन का 400 bc तक लोकप्रिय विषय था। उन्होंने एक और दो दिशाओं में अनंत, क्षेत्र में अनंत, हर जगह अनंत और अनंत काल तक अनंत के पांच प्रकारों के बीच भेद किया था। प्रतीक ${\text{∞}}$ अधिकांश अनंत मात्रा का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है।

अरस्तू ने गणितीय अनंत की पारंपरिक पश्चिमी धारणा को परिभाषित किया। उन्होंने वास्तविक अनंत और संभावित अनंत के बीच प्रतिष्ठित किया - आम सहमति यह है कि केवल बाद वाले का सही मान था। गैलीलियो गैलीली के दो नए विज्ञानों ने द्विभाजन अनंत समुच्चयों के बीच एक-से-पत्राचार के विचार पर चर्चा की। किन्तु सिद्धांत में अगली प्रमुख अग्रिम जॉर्ज कैंटर द्वारा किया गया था;1895 में उन्होंने अपने नए समुच्चय सिद्धांत के बारे में पुस्तक प्रकाशित की, जो अन्य चीजों के साथ -साथ, ट्रांसफ़िनाइट संख्या और कंटीनम परिकल्पना को तैयार कर रही थी।

1960 के दशक में, अब्राहम रॉबिन्सन ने दिखाया कि असीम रूप से बड़ी और अनंत संख्याओं को सख्ती से परिभाषित किया जा सकता है और इसका उपयोग गैर -मानक विश्लेषण के क्षेत्र को विकसित करने के लिए किया जा सकता है। हाइपररेल संख्याों की प्रणाली अनंत और अनंत संख्याओं के बारे में विचारों के इलाज की कठोर विधि का प्रतिनिधित्व करती है, जो कि आइजैक न्यूटन और गॉटफ्रीड लिबनिज़ द्वारा अनंत पथरी के आविष्कार के बाद से गणितज्ञों, वैज्ञानिकों और इंजीनियरों द्वारा लापरवाही से उपयोग की गई थी।

इन्फिनिटी का आधुनिक ज्यामितीय संस्करण प्रोजेक्टिव ज्यामिति द्वारा दिया गया है, जो प्रत्येक स्थानिक दिशा के लिए एक, इन्फिनिटी में आदर्श बिंदुओं का परिचय देता है। किसी दिए गए दिशा में समानांतर लाइनों के प्रत्येक परिवार को संबंधित आदर्श बिंदु में परिवर्तित करने के लिए पोस्ट किया जाता है। यह परिप्रेक्ष्य (ग्राफिकल) ड्राइंग में गायब होने के विचार से निकटता से संबंधित है।

जटिल संख्या

ऋणात्मक संख्याओं की चौकोर मूलों के लिए जल्द से जल्द क्षणभंगुर संदर्भ गणितज्ञ और अलेक्जेंड्रिया के आविष्कारक बगुले के काम में हुआ 1st century AD, जब उन्होंने पिरामिड के असंभव टुकड़ा की मात्रा पर विचार किया। जब 16 वीं सेंचुरी ने तीसरे और चौथे डिग्री के बहुपदों की मूलों के लिए फार्मूले को बंद कर दिया, तो निकोलो फोंटाना टार्टग्लिया और गेरोलमो कार्डानो जैसे इतालवी गणितज्ञों द्वारा खोजे गए। यह जल्द ही अनुभव किया गया कि ये सूत्र, चाहे कोई केवल वास्तविक समाधानों में रुचि रखता था, कभी -कभी ऋणात्मक संख्याओं की चौकोर मूलों के हेरफेर की आवश्यकता होती है।

यह दोगुना अस्थिर था क्योंकि वे उस समय भी ऋणात्मक संख्याओं पर विचार नहीं करते थे। जब रेने डेसकार्टेस ने 1637 में इन मात्राओं के लिए काल्पनिक शब्द गढ़ा, तो उन्होंने इसे अपमानजनक माना। (जटिल संख्याओं की वास्तविकता की चर्चा के लिए काल्पनिक संख्या देखें।) भ्रम का और स्रोत यह था कि समीकरण

\left({\sqrt {-1}}\right)^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=-1

बीजीय पहचान के साथ असंगत रूप से असंगत लग रहा था

{\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}},

जो धनात्मक वास्तविक संख्याओं a और b के लिए मान्य है, और इसका उपयोग a, b धनात्मक और अन्य ऋणात्मक के साथ जटिल संख्या गणनाओं में भी किया गया था। इस पहचान और संबंधित पहचान का गलत उपयोग

{\frac {1}{\sqrt {a}}}={\sqrt {\frac {1}{a}}}

स्थिति में जब a और b दोनों ऋणात्मक भी बेडविल्ड यूलर होते हैं।^[31] इस कठिनाई ने अंततः उन्हें इस गलती से बचने के लिए ${\sqrt {-1}}$ के स्थान पर विशेष प्रतीक i का उपयोग करने के लिए प्रेरित किया।

18 वीं शताब्दी में अब्राहम डे मोइवर और लियोनहार्ड यूलर का काम देखा गया।डी मोइवर का सूत्र (1730) कहता है:

(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta

चूंकि यूलर के जटिल विश्लेषण का सूत्र (1748) ने हमें दिया:

\cos \theta +i\sin \theta =e^{i\theta }.

1799 में कैस्पर वेसल द्वारा ज्यामितीय व्याख्या का वर्णन किए जाने तक जटिल संख्याओं का अस्तित्व पूरी तरह से स्वीकार नहीं किया गया था। कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने कई वर्षों बाद इसे फिर से खोजा और इसे लोकप्रिय बनाया, और परिणामस्वरूप जटिल संख्याओं के सिद्धांत को उल्लेखनीय विस्तार मिला। जटिल संख्याओं के ग्राफिक प्रतिनिधित्व का विचार, चूंकि, जॉन वालिस के डी अल्जेबरा ट्रैक्टेटस में 1685 के रूप में प्रारंभ हुआ था।

उसी वर्ष, गॉस ने बीजगणित के मौलिक प्रमेय का पहला सामान्यतः स्वीकृत प्रमाण प्रदान किया, जिसमें दिखाया गया कि जटिल संख्याओं पर प्रत्येक बहुपद के पास उस क्षेत्र में समाधानों का एक पूरा समुच्चय होता है। गॉस ने a + bi के रूप की सम्मिश्र संख्याओं का अध्ययन किया, जहाँ a और b पूर्णांक हैं (जिन्हें अब गॉसियन पूर्णांक कहा जाता है) या परिमेय संख्याएँ हैं। उनके छात्र, गॉथोल्ड आइज़ेंस्टीन ने a + bω प्रकार का अध्ययन किया, जहाँ x³ − 1 = 0 (अब ईसेनस्टीन पूर्णांक कहा जाता है) का एक जटिल मूल है। जटिल संख्याओं के ऐसे अन्य वर्ग ऐसी कक्षाएं (जिसे साइक्लोटोमिक क्षेत्र कहा जाता है) k के उच्च मानों के लिए एकता x^k − 1 = 0 की मूलों से प्राप्त होता है। यह सामान्यीकरण अधिक सीमा तक अर्नस्ट कुमेर के कारण है, जिन्होंने आदर्श संख्याओं का भी आविष्कार किया था, जो 1893 में फेलिक्स क्लेन द्वारा ज्यामितीय संस्थाओं के रूप में व्यक्त किए गए थे।

1850 में विक्टर अलेक्जेंड्रे पुइज़क्स ने डंडे और शाखा बिंदुओं के बीच अंतर करने का प्रमुख कदम उठाया, और गणितीय विलक्षणता की अवधारणा को प्रस्तुत किया।^{[clarification needed]} यह अंततः विस्तारित जटिल विमान की अवधारणा का कारण बना।

अभाज्य संख्या

पूरे अभिलेख किए गए इतिहास में अभाज्य संख्या ों का अध्ययन किया गया है।^{[citation needed]} यूक्लिड ने तत्वों की पुस्तक को प्राइम्स के सिद्धांत के लिए समर्पित किया;इसमें उन्होंने अंकगणित के प्राइम्स और मौलिक प्रमेय की अनंतता को सिद्ध किया, और दो संख्याों के सबसे बड़े सामान्य विभाजक को खोजने के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म प्रस्तुत किया।

240 ईसा पूर्व में, एरेटोस्थेनेज ने प्राइम संख्याों को जल्दी से अलग करने के लिए एराटोस्टेनीज़ की छलनी का उपयोग किया। किन्तु यूरोप में प्राइम्स के सिद्धांत का सबसे और विकास पुनर्जागरण और बाद के युगों के लिए है।^{[citation needed]}

1796 में, एड्रियन-मैरी लीजेंड्रे ने प्रधान संख्या प्रमेय का अनुमान लगाया, जिसमें प्राइम्स के स्पर्शोन्मुख वितरण का वर्णन किया गया। अभाज्य के वितरण से संबंधित अन्य परिणामों में यूलर का प्रमाण सम्मिलित है कि प्राइम्स के पारस्परिकता का योग, और गोल्डबैक अनुमान है, जो प्रमाणित करता है कि कोई भी पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या भी दो प्राइमों का योग है। फिर भी प्रमुख संख्याओं के वितरण से संबंधित और अनुमान 1859 में बर्नहार्ड रीमैन द्वारा तैयार किए गए रीमैन परिकल्पना है।

मुख्य वर्गीकरण

संख्याओं को समुच्चय (गणित) में वर्गीकृत किया जा सकता है, जिसे संख्या समुच्चय या संख्या प्रणाली कहा जाता है, जैसे कि प्राकृतिक संख्या और वास्तविक संख्या। मुख्य संख्या प्रणालियाँ इस प्रकार हैं:

मुख्य संख्या प्रणाली
$\mathbb {N}$	प्राकृतिक संख्या	0, 1, 2, 3, 4, 5, ... or 1, 2, 3, 4, 5, ... $\mathbb {N} _{0}$ या $\mathbb {N} _{1}$ कभी-कभी उपयोग किए जाते हैं।
$\mathbb {Z}$	पूर्णांकों	..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
$\mathbb {Q}$	भिन्नात्मक संख्याएं	a/b जहां a और b पूर्णांक हैं और b 0 नहीं है
$\mathbb {R}$	वास्तविक संख्या	परिमेय संख्याओं के अभिसरण क्रम की सीमा
$\mathbb {C}$	जटिल आंकड़े	a + bi जहां a और b वास्तविक संख्याएं हैं और i -1 का औपचारिक वर्गमूल है

इनमें से प्रत्येक संख्या प्रणाली अगले का सबसमुच्चय है। इसलिए, उदाहरण के लिए, तर्कसंगत संख्या भी वास्तविक संख्या है, और प्रत्येक वास्तविक संख्या भी जटिल संख्या है। यह प्रतीकात्मक रूप से व्यक्त किया जा सकता है

\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C}

।

निम्नलिखित आरेख में संख्या समुच्चय की अधिक संपूर्ण सूची दिखाई देती है।

Number systems

Complex

:\;\mathbb {C}

Real

:\;\mathbb {R}

Rational

:\;\mathbb {Q}

Integer

:\;\mathbb {Z}

Natural

:\;\mathbb {N}

Zero: 0

One: 1

Finite decimal
Dyadic (finite binary)
Repeating decimal

प्राकृतिक संख्या

प्राकृतिक संख्या, 1 से प्रारंभ होती है

सबसे परिचित संख्याएं प्राकृतिक संख्याएं हैं (कभी -कभी पूरी संख्या या गिनती संख्याएं कहली जाती हैं): 1, 2, 3, और इसी प्रकार।परंपरागत रूप से, प्राकृतिक संख्याओं का अनुक्रम 1 (0 को प्राचीन यूनानियों के लिए संख्या भी नहीं माना गया था।) चूंकि, 19 वीं शताब्दी में, समुच्चय थ्योरी और अन्य गणितज्ञों में 0 (खाली समुच्चय की प्रमुखता , अर्थात्, अर्थात्, अर्थात्, अर्थात्, अर्थात्, अर्थात्, अर्थात्। 0 तत्व, जहां 0 इस प्रकार प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय में सबसे छोटा मूलभूत संख्या है)।^[32]^[33] आज, विभिन्न गणितज्ञ दोनों समुच्चयों का वर्णन करने के लिए शब्द का उपयोग करते हैं, जिसमें 0 या नहीं। सभी प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के लिए गणितीय प्रतीक n है, यह भी लिखा गया है $\mathbb {N}$ , और कभी - कभी $\mathbb {N} _{0}$ या $\mathbb {N} _{1}$ जब यह निरुपित करना आवश्यक है कि समुच्चय क्रमशः 0 या 1 से प्रारंभ होना चाहिए या नहीं।

आधार 10 अंक प्रणाली में, गणितीय संचालन के लिए आज लगभग सार्वभौमिक उपयोग में, प्राकृतिक संख्याओं के लिए प्रतीकों को दस संख्यात्मक अंक का उपयोग करके लिखा जाता है: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, और 9.सूत्र शून्य सहित अद्वितीय संख्यात्मक अंकों की संख्या है, जो अंक प्रणाली संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग करता है (दशमलव प्रणाली के लिए, रेडिक्स 10 है)। इस आधार 10 प्रणाली में, प्राकृतिक संख्या के सबसे सही अंक में 1 का स्थान मान होता है, और हर दूसरे अंक का स्थान मान दस गुना होता है जो कि अंक के स्थान मान का अधिकार होता है।

समुच्चय सिद्धांत में, जो आधुनिक गणित के लिए स्वयंसिद्ध आधार के रूप में कार्य करने में सक्षम है,^[34] प्राकृतिक संख्याओं का प्रतिनिधित्व समकक्ष समुच्चयों के वर्गों द्वारा किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, संख्या 3 को उन सभी समुच्चयों के वर्ग के रूप में दर्शाया जा सकता है जिनके पास बिल्कुल तीन तत्व हैं। वैकल्पिक रूप से, मीनो अंकगणित में, संख्या 3 को SSS0 के रूप में दर्शाया गया है, जहां S उत्तराधिकारी फ़ंक्शन है (अर्थात्, 3 0) का तीसरा उत्तराधिकारी है। कई अलग -अलग अभ्यावेदन संभव हैं;औपचारिक रूप से और प्रतिनिधित्व करने के लिए आवश्यक सभी को तीन बार प्रतीकों के निश्चित प्रतीक या पैटर्न को दर्शाने के लिए है।

पूर्णांक

सकारात्मक पूर्णांक की ऋणात्मक संख्या को संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है जो 0 का उत्पादन करता है जब इसे संबंधित सकारात्मक पूर्णांक में जोड़ा जाता है। ऋणात्मक संख्या सामान्यतः ऋणात्मक संकेत (घटाव का चिन्ह ) के साथ लिखी जाती है। उदाहरण के रूप में, 7 का ऋणात्मक लिखा गया है −7, और 7 + (−7) = 0। जब ऋणात्मक संख्याओं के समुच्चय (गणित) को प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय (nbsp; 0 सहित) के समुच्चय के साथ जोड़ा जाता है, तो परिणाम को पूर्णांक के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है, z भी ब्लैकबोर्ड बोल्ड $\mathbb {Z}$ लिखा गया है। यहाँ पत्र z आता है from German Zahl 'number'। पूर्णांक का समुच्चय संचालन और गुणा के साथ रिंग (गणित) बनाता है।^[35]

प्राकृतिक संख्याएं पूर्णांक का सबसमुच्चय बनाती हैं। चूंकि प्राकृतिक संख्याओं में शून्य को सम्मिलित करने या नहीं करने के लिए कोई सामान्य मानक नहीं है, इसलिए शून्य के बिना प्राकृतिक संख्याओं को सामान्यतः सकारात्मक पूर्णांक के रूप में संदर्भित किया जाता है, और शून्य के साथ प्राकृतिक संख्याओं को गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के रूप में संदर्भित किया जाता है।

तर्कसंगत संख्या

तर्कसंगत संख्या संख्या है जिसे पूर्णांक अंश और सकारात्मक पूर्णांक भाजक के साथ अंश (गणित) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। ऋणात्मक भाजक की अनुमति है, किन्तु सामान्यतः बचा जाता है, क्योंकि प्रत्येक तर्कसंगत संख्या सकारात्मक भाजक के साथ अंश के बराबर होती है। अंशों को दो पूर्णांक के रूप में लिखा जाता है, अंश और भाजक, उनके बीच विभाजन बार के साथ।अंश m/n एन समान भागों में विभाजित पूरे के एम भागों का प्रतिनिधित्व करता है।दो अलग -अलग अंश ही तर्कसंगत संख्या के अनुरूप हो सकते हैं;उदाहरण के लिए 1/2 और 2/4 समान हैं, अर्थात:

{1 \over 2}={2 \over 4}.

सामान्य रूप में,

{a \over b}={c \over d}

यदि और केवल यदि

{a\times d}={c\times b}.

यदि m का निरपेक्ष मान n से अधिक है (सकारात्मक माना जाता है), तो अंश का निरपेक्ष मान 1 से अधिक है। अंशों से अधिक, कम से कम, या 1 के बराबर हो सकता है और सकारात्मक, ऋणात्मक, या 0 भी हो सकता है। सभी तर्कसंगत संख्याों के समुच्चय में पूर्णांक सम्मिलित हैं क्योंकि प्रत्येक पूर्णांक को भाजक 1 के साथ अंश के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए −7 को −7/1 लिखा जा सकता है। परिमेय संख्याओं का प्रतीक Q (भागफल के लिए) है, जिसे $\mathbb {Q}$ लिखा भी गया है।

वास्तविक संख्या

वास्तविक संख्याओं के लिए प्रतीक r है, यह $\mathbb {R} .$ भी लिखा गया है वे सभी मापने की संख्या सम्मिलित करते हैं। प्रत्येक वास्तविक संख्या संख्या रेखा पर बिंदु से मेल खाती है। निम्नलिखित पैराग्राफ मुख्य रूप से सकारात्मक वास्तविक संख्याओं पर ध्यान केंद्रित करेगा। ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं का उपचार अंकगणित के सामान्य नियमों के अनुसार है और उनका निरूपण केवल माइनस साइन द्वारा संबंधित सकारात्मक अंक को उपसर्ग कर रहा है, उदा −123.456।

अधिकांश वास्तविक संख्याओं को केवल दशमलव अंकों द्वारा अनुमानित किया जा सकता है, जिसमें दशमलव बिंदु को अंक के दाईं ओर रखा जाता है, जिसमें स्थानीय मान 1 हैं। दशमलव बिंदु के दाईं ओर प्रत्येक अंक में उसके बाईं ओर अंक के स्थान मान का एक-दसवां हिस्सा है। उदाहरण के लिए, 123.456 प्रतिनिधित्व करता है 123456/1000, या, शब्दों में, सौ, दो दसियों, तीन, चार दसवें, पांच सौवें और छह हजारवें हिस्से। वास्तविक संख्या को दशमलव अंकों की परिमित संख्या द्वारा व्यक्त किया जा सकता है, यदि यह तर्कसंगत है और इसके भिन्नात्मक भाग में भाजक है, जिसके प्रमुख कारक 2 या 5 या दोनों हैं, क्योंकि ये 10 के प्रमुख कारक हैं, दशमलव प्रणाली का आधार। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, आधा 0.5 है, पांचवां 0.2 है, एक-दसवां 0.1 है, और पचासवां 0.02 है। दशमलव के रूप में अन्य वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए दशमलव बिंदु के दाईं ओर अंकों के अनंत अनुक्रम की आवश्यकता होगी।यदि अंकों का यह अनंत अनुक्रम पैटर्न का अनुसरण करता है, तो इसे दीर्घवृत्त या अन्य संकेतन के साथ लिखा जा सकता है जो दोहराए जाने वाले पैटर्न को निरुपित करता है। इस प्रकार के दशमलव को दोहराव दशमलव कहा जाता है। इस प्रकार 1/3 0.333 के रूप में लिखा जा सकता है ..., दीर्घवृत्त के साथ यह निरुपित करने के लिए कि पैटर्न जारी है। फॉरएवर रिपीटिंग 3 एस को भी 0 के रूप में लिखा जाता है।3.^[36]

यह पता चला है कि ये दोहराए जाने वाले दशमलव (अनुगामी शून्य सहित) वास्तव में तर्कसंगत संख्याओं को दर्शाते हैं, अर्थात, सभी तर्कसंगत संख्या भी वास्तविक संख्याएं हैं, किन्तु यह स्थिति नहीं है कि प्रत्येक वास्तविक संख्या तर्कसंगत है। वास्तविक संख्या जो तर्कसंगत नहीं है उसे तर्कहीन संख्या कहा जाता है। प्रसिद्ध तर्कहीन वास्तविक संख्या पाई है | $π$ , इसके व्यास के किसी भी वृत्त की परिधि का अनुपात। जब पाई के रूप में लिखा जाता है

\pi =3.14159265358979\dots ,

जैसा कि कभी -कभी होता है, एलिप्सिस का अर्थ यह नहीं है कि दशमलव दोहराते हैं (वे नहीं करते हैं), किन्तु यह कि उनके लिए कोई अंत नहीं है।यह सिद्ध कर दिया गया है कि पीआई तर्कहीन है | $π$ तर्कहीन है।और प्रसिद्ध संख्या, जो तर्कहीन वास्तविक संख्या सिद्ध हुई है, वह है

{\sqrt {2}}=1.41421356237\dots ,

2 का वर्गमूल, अर्थात्, अद्वितीय सकारात्मक वास्तविक संख्या जिसका वर्ग है। 2. इन दोनों संख्याों को ट्रिलियन के लिए (कंप्यूटर द्वारा) अनुमानित किया गया है ( 1 trillion = 10¹² = 1,000,000,000,000 ) अंकों का।

न केवल ये प्रमुख उदाहरण हैं, किन्तु लगभग सभी वास्तविक संख्या तर्कहीन हैं और इसलिए उनका कोई दोहराव नहीं है और इसलिए कोई भी दशमलव अंक नहीं है।वे केवल दशमलव अंकों द्वारा अनुमानित किए जा सकते हैं, गोलाई या काट-छांट वास्तविक संख्याओं को दर्शाते हैं। कोई भी गोल या छंटनी की गई संख्या आवश्यक रूप से तर्कसंगत संख्या है, जिसमें से केवल कई हैं। सभी माप, उनकी प्रकृति, सन्निकटन, और हमेशा त्रुटि का मार्जिन होते हैं। इस प्रकार 123.456 को किसी भी वास्तविक संख्या का अधिक से अधिक या बराबर माना जाता है 1234555/10000 और सख्ती से कम से कम 1234565/10000 (3 दशमलव के लिए राउंडिंग), या किसी भी वास्तविक संख्या से अधिक या बराबर 123456/1000 और सख्ती से कम से कम 123457/1000 (3. दशमलव के बाद ट्रंकेशन)।अंक जो माप से अधिक शुद्धता का सुझाव देते हैं, उन्हें हटा दिया जाना चाहिए। शेष अंकों को तब महत्वपूर्ण अंक कहा जाता है। उदाहरण के लिए, शासक के साथ माप संभवतः ही कभी कम से कम 0.001 मीटर की त्रुटि के मार्जिन के बिना किया जा सकता है। यदि आयत के किनारों को 1.23 m और 4.56 m के रूप में मापा जाता है, तो गुणन आयत के लिए क्षेत्र देता है 5.614591 m² और 5.603011 m²। चूंकि दशमलव स्थान के संरक्षण के बाद दूसरा अंक भी नहीं है, इसलिए निम्नलिखित अंक महत्वपूर्ण नहीं हैं। इसलिए, परिणाम सामान्यतः 5.61 तक गोल होता है।

जिस प्रकार ही अंश को से अधिक विधियों से लिखा जा सकता है, उसी वास्तविक संख्या में से अधिक दशमलव प्रतिनिधित्व हो सकता है। उदाहरण के लिए, 0.999 ..., 1.0, 1.00, 1.000, ..., सभी प्राकृतिक संख्या 1 का प्रतिनिधित्व करते हैं। किसी दिए गए वास्तविक संख्या में केवल निम्नलिखित दशमलव अभ्यावेदन होते हैं: दशमलव स्थानों की कुछ परिमित संख्या के लिए सन्निकटन, सन्निकटन जिसमें पैटर्न स्थापित किया जाता है जो असीमित संख्या में दशमलव स्थानों या केवल कई दशमलव स्थानों के साथ त्रुटिहीन मान के लिए जारी रहता है। इस अंतिम स्थिति में, अंतिम गैर-शून्य अंक को अंक द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, जिसके बाद 9 की असीमित संख्या में असीमित संख्या में, या अंतिम गैर-शून्य अंक के बाद असीमित संख्या में शून्य हो सकते हैं। इस प्रकार त्रुटिहीन वास्तविक संख्या 3.74 भी 3.73999999999 ... और 3.7400000000000 भी लिखी जा सकती है। 9 की असीमित संख्या के साथ अंक को 9 से कम सबसे सही अंक द्वारा बढ़ाकर फिर से लिखा जा सकता है, और सभी 9 को उस अंक के दाईं ओर 0 के दाईं ओर बदल दिया जा सकता है। अंत में, दशमलव स्थान के दाईं ओर 0 के असीमित अनुक्रम को गिराया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 6.8499999999999 ... = 6.85 और 6.85000000000000 ... = 6.85।अंत में, यदि अंक में सभी अंक 0 हैं, तो संख्या 0 है, और यदि अंक में सभी अंक 9 के संयुक्त स्ट्रिंग हैं,दशमलव स्थान के बाईं ओर 9s की स्ट्रिंग तक। उदाहरण के लिए, 99.999 ... = 100।

वास्तविक संख्याओं में महत्वपूर्ण किन्तु उच्च तकनीकी गुण भी है जिसे सबसे कम ऊपरी गुण कहा जाता है।

यह दिखाया जा सकता है कि कोई भी आदेशित फ़ील्ड, जो वास्तविक संख्याओं की पूर्णता भी है, वास्तविक संख्याओं के लिए आइसोमोर्फिक है। वास्तविक संख्या, चूंकि, बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र नहीं हैं, क्योंकि वे बीजगणितीय समीकरण के लिए समाधान (जिसे अधिकांश माइनस का वर्गमूल वर्ग रूट कहा जाता है) $x^{2}+1=0$ सम्मिलित नहीं करता है।

जटिल संख्या

अमूर्तता के बड़े स्तर पर चलते हुए, वास्तविक संख्याओं को जटिल संख्याओं तक बढ़ाया जा सकता है। संख्याओं का यह समुच्चय ऐतिहासिक रूप से क्यूबिक फ़ंक्शन और द्विघात फ़ंक्शन बहुपद की मूलों के लिए बंद सूत्र खोजने की कोशिश से उत्पन्न हुआ। इसने ऋणात्मक संख्याओं की चौकोर मूलों को सम्मिलित किया, और अंततः नई संख्या की परिभाषा को सम्मिलित किया: का वर्गमूल; −1, काल्पनिक इकाई द्वारा निरूपित, लियोनहार्ड यूलर द्वारा सौंपा गया प्रतीक, और काल्पनिक इकाई कहा जाता है। जटिल संख्याओं में फॉर्म की सभी संख्याएँ होती हैं

\,a+bi

जहां ए और बी वास्तविक संख्या हैं। इस कारण से, जटिल संख्या जटिल विमान दो वास्तविक आयामो का वेक्टर स्थान पर बिंदुओं के अनुरूप है। अभिव्यक्ति में a + bi, वास्तविक संख्या A को वास्तविक भाग कहा जाता है और b को काल्पनिक भाग कहा जाता है। यदि जटिल संख्या का वास्तविक हिस्सा 0 है, तो संख्या को काल्पनिक संख्या कहा जाता है या इसे विशुद्ध रूप से काल्पनिक कहा जाता है;यदि काल्पनिक हिस्सा 0 है, तो संख्या वास्तविक संख्या है। इस प्रकार वास्तविक संख्याएं जटिल संख्याओं का सबसमुच्चय हैं। यदि जटिल संख्या के वास्तविक और काल्पनिक भाग दोनों पूर्णांक हैं, तो संख्या को गॉसियन पूर्णांक कहा जाता है। जटिल संख्याओं के लिए प्रतीक 'C' या $\mathbb {C}$ है।

बीजगणित के मौलिक प्रमेय का प्रमाणित है कि जटिल संख्या बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र का निर्माण करती है, जिसका अर्थ है कि जटिल गुणांक वाले प्रत्येक बहुपद में जटिल संख्याओं में फ़ंक्शन का शून्य होता है। रियल की तरह, जटिल संख्या क्षेत्र (गणित) बनाती है, जो पूर्ण स्थान है, किन्तु वास्तविक संख्याओं के विपरीत, यह कुल आदेश नहीं है। यही है, यह कहने के लिए कोई सुसंगत अर्थ नहीं है कि मैं 1 से अधिक है, और न ही यह कहने में कोई अर्थ है कि मैं 1 से कम है। तकनीकी शब्दों में, जटिल संख्याओं में कुल आदेश की कमी होती है जो कि ऑर्डर किए गए फ़ील्ड है।

पूर्णांक के उपवर्ग

सम और विषम संख्या

भी संख्या पूर्णांक है जो दो से समान रूप से विभाज्य है, जो कि यूक्लिडियन प्रभाग है; विषम संख्या पूर्णांक है जो भी नहीं है। (पुराने जमाने का शब्द समान रूप से विभाज्य है, अब लगभग हमेशा विभाजन के लिए छोटा हो जाता है।) किसी भी विषम संख्या n का निर्माण सूत्र द्वारा किया जा सकता है n = 2k + 1, उपयुक्त पूर्णांक k के लिए। प्रारंभ स्थल k = 0, पहले गैर-ऋणात्मक विषम संख्या {1, 3, 5, 7, ...} हैं। किसी भी संख्या एम का रूप m = 2k है, जहां k फिर से पूर्णांक है। इसी प्रकार, पहले गैर-ऋणात्मक समग्र संख्याएँ {0, 2, 4, 6, ...} हैं।

अभाज्य संख्या

प्राइम संख्या, जिसे अधिकांश सिर्फ प्राइम के लिए छोटा किया जाता है, 1 से अधिक पूर्णांक है जो दो छोटे सकारात्मक पूर्णांक का उत्पाद नहीं है।पहले कुछ प्राइम संख्या 2, 3, 5, 7, और 11. हैं। प्राइम संख्याों को उत्पन्न करने के लिए विषम और यहां तक कि संख्याओं के लिए ऐसा कोई सरल सूत्र नहीं है।प्राइम्स का विस्तृत रूप से 2000 से अधिक वर्षों के लिए अध्ययन किया गया है और कई सवालों का नेतृत्व किया है, जिनमें से केवल कुछ का उत्तर दिया गया है।इन सवालों का अध्ययन संख्या सिद्धांत से संबंधित है। गोल्डबैक का अनुमान अभी भी अनुत्तरित प्रश्न का उदाहरण है: क्या हर भी संख्या दो प्राइम्स का योग है?

ने इस सवाल का उत्तर दिया, कि क्या से अधिक पूर्णांक से अधिक प्राइम्स का उत्पाद है, केवल ही एक विधि से, प्राइम्स के पुनर्व्यवस्था को छोड़कर, पुष्टि की गई थी;इस सिद्ध दावे को अंकगणित का मौलिक प्रमेय कहा जाता है। यूक्लिड के तत्वों में प्रमाण दिखाई देता है।

पूर्णांक के अन्य वर्ग

प्राकृतिक संख्याओं के कई सबसमुच्चय विशिष्ट अध्ययनों का विषय रहे हैं और उन्हें नाम दिया गया है, अधिकांश पहले गणितज्ञ के बाद जिसने उनका अध्ययन किया है। पूर्णांक के ऐसे समुच्चयों का उदाहरण फाइबोनैचि संख्या और सही संख्याएं हैं अधिक उदाहरणों के लिए, पूर्णांक अनुक्रम देखें।

जटिल संख्याओं के उपवर्ग

बीजगणितीय, तर्कहीन और पारलौकिक संख्याएँ

बीजगणितीय संख्या वे हैं जो पूर्णांक गुणांक के साथ बहुपद समीकरण का समाधान हैं। वास्तविक संख्या जो तर्कसंगत संख्या नहीं हैं, उन्हें तर्कहीन संख्या कहा जाता है। जटिल संख्या जो बीजगणितीय नहीं हैं, उन्हें पारलौकिक संख्या कहा जाता है। बीजगणितीय संख्या जो पूर्णांक गुणांक के साथ मोनिक बहुपद समीकरण के समाधान हैं, को बीजगणितीय पूर्णांक कहा जाता है।

निर्माण योग्य संख्या

स्ट्रेटेज और कम्पास निर्माण की मौलिक समस्याओं से प्रेरित, निर्माण योग्य संख्याएं वे जटिल संख्याएँ हैं जिनके वास्तविक और काल्पनिक भागों का निर्माण स्ट्रेटेज और कम्पास, जो कि यूनिट लंबाई के दिए गए खंड से प्रारंभ होकर, परिमित संख्या में उपयोग करके किया जा सकता है।

गणनीय संख्या

गणनीय संख्या, जिसे पुनरावर्ती संख्या के रूप में भी जाना जाता है, वास्तविक संख्या है, जैसे कि कलन विधि उपस्थित है, जो इनपुट के रूप में सकारात्मक संख्या एन दिया गया है, गणनीय के पहले एन अंकों का उत्पादन करता हैसंख्या का दशमलव प्रतिनिधित्व। समतुल्य परिभाषाएँ μ- पुनरावर्ती कार्यों, ट्यूरिंग मशीन या λ-गणना का उपयोग करके दी जा सकती हैं। गणनीय संख्या सभी सामान्य अंकगणितीय संचालन के लिए स्थिर हैं, जिसमें बहुपद की मूलों की गणना सम्मिलित है, और इस प्रकार वास्तविक बंद क्षेत्र बनाता है जिसमें वास्तविक बीजगणितीय संख्याएं होती हैं।

गणनीय संख्याों को वास्तविक संख्याओं के रूप में देखा जा सकता है जो कि कंप्यूटर में बिल्कुल दर्शाया जा सकता है: गणनीय संख्या को इसके पहले अंकों और आगे के अंकों की गणना के लिए प्रोग्राम द्वारा दर्शाया जाता है।चूंकि, गणनीय संख्याों का उपयोग संभवतः ही कभी व्यवहार में किया जाता है।कारण यह है कि दो गणनीय संख्याों की समानता का परीक्षण करने के लिए कोई एल्गोरिथ्म नहीं है।अधिक त्रुटिहीन रूप से, कोई भी एल्गोरिथ्म उपस्थित नहीं हो सकता है जो किसी भी गणनीय संख्या को इनपुट के रूप में लेता है, और हर स्थिति में निर्णय लेता है कि यह संख्या शून्य के बराबर है या नहीं।

गणनीय संख्याों के समुच्चय में प्राकृतिक संख्याओं के समान कार्डिनलिटी होती है।इसलिए, लगभग सभी वास्तविक संख्याएं गैर-कंप्यूटर हैं।चूंकि, स्पष्ट रूप से वास्तविक संख्या का उत्पादन करना बहुत कठिन है जो गणनीय नहीं है।

अवधारणा का विस्तार

पी-एडिक संख्या

पी-एडिक संख्याों में दशमलव बिंदु के बाईं ओर असीम रूप से लंबे समय तक विस्तार हो सकता है, उसी प्रकार से कि वास्तविक संख्याओं में दाईं ओर असीम रूप से लंबे समय तक विस्तार हो सकता है।परिणाम जो परिणाम इस बात पर निर्भर करता है कि अंकों के लिए रेडिक्स का उपयोग क्या किया जाता है: कोई भी आधार संभव है, किन्तु प्राइम संख्या बेस सबसे अच्छा गणितीय गुण प्रदान करता है।पी-एडिक संख्याों के समुच्चय में तर्कसंगत संख्याएं होती हैं, किन्तु जटिल संख्याओं में निहित नहीं है।

परिमित क्षेत्र और बीजगणितीय संख्याओं पर बीजगणितीय फ़ंक्शन फ़ील्ड के तत्वों में कई समान गुण होते हैं (फ़ंक्शन फ़ील्ड सादृश्य देखें)।इसलिए, उन्हें अधिकांश संख्या सिद्धांतकारों द्वारा संख्या के रूप में माना जाता है। पी-एडिक संख्या इस सादृश्य में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

हाइपरकम्प्लेक्स संख्या

कुछ संख्या प्रणालियाँ जो जटिल संख्याओं में सम्मिलित नहीं हैं, उन्हें वास्तविक संख्याओं से इस प्रकार से बनाया जा सकता है जो जटिल संख्याओं के निर्माण को सामान्य करता है।उन्हें कभी -कभी हाइपरकम्प्लेक्स संख्या कहा जाता है। इनमें सर विलियम रोवन हैमिल्टन द्वारा प्रस्तुत किए गए चतुर्भुज एच को सम्मिलित करते हैं, जिसमें गुणन क्रमविनिमेय नहीं है, अष्टक , जिसमें गुणन क्रमविनिमेय नहीं होने के अतिरिक्त साहचर्य नहीं है और सेडेनियन, जिसमें गुणन न तो वैकल्पिक बीजगणित नहीं है, न तो साहचर्य,और न ही क्रमविनिमेय है।

अनंत संख्या

अनंत समुच्चय (गणित) से निपटने के लिए, प्राकृतिक संख्याओं को क्रमिक संख्याओं और कार्डिनल संख्याों के लिए सामान्यीकृत किया गया है। पूर्व समुच्चय का आदेश देता है, चूंकि बाद वाला अपना आकार देता है। परिमित समुच्चयों के लिए, ऑर्डिनल और कार्डिनल दोनों संख्याों को प्राकृतिक संख्याओं के साथ पहचाना जाता है। अनंत स्थिति में, कई क्रमसूचक संख्या ही कार्डिनल संख्या के अनुरूप होते हैं।

गैर-मानक संख्या

गैर-मानक विश्लेषण में हाइपरल संख्या का उपयोग किया जाता है। हाइपररेल, या नॉन -स्टैंडर्ड रियल (सामान्यतः *आर के रूप में निरूपित), आदेशित क्षेत्र को दर्शाता है जो वास्तविक संख्याओं आर के आदेशित क्षेत्र का उचित क्षेत्र विस्तार है और स्थानांतरण सिद्धांत को संतुष्ट करता है। यह सिद्धांत आर के बारे में सही प्रथम-क्रम के बयानों को * R के बारे में सही प्रथम-क्रम के बयानों के रूप में पुनर्व्याख्या करने की अनुमति देता है।

सुपररियल संख्या और वास्तविक संख्याएं वास्तविक संख्याओं का विस्तार करती हैं, जो कि छोटी संख्या और असीम रूप से बड़ी संख्या को जोड़कर, किन्तु अभी भी फ़ील्ड (गणित) बनाती हैं।

यह भी देखें

ठोस संख्या
संख्याओं की सूची
संख्याओं के प्रकारों की सूची
गणितीय स्थिरांक – Fixed number that has received a name
जटिल आंकड़े
संख्यात्मक अनुभूति
परिमाण का क्रम
भौतिक स्थिरांक
पाई
स्थितीय संकेतन – Method for representing or encoding numbers
अभाज्य संख्या
अदिश (गणित) – Elements of a field, e.g. real numbers, in the context of linear algebra
सबटाइज़िंग और गिनती

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संदर्भ

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बाहरी कड़ियाँ

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Expand v t e संख्या प्रणाली
गणना योग्य सेट	प्राकृतिक संख्या ( $\mathbb {N}$ ) पूर्णांक ( $\mathbb {Z}$ ) तर्कसंगत संख्या ( $\mathbb {Q}$ ) निर्माण योग्य संख्या बीजगणितीय संख्या ( $\mathbb {A}$ ) अवधि कम्प्यूटेबल नंबर अंकगणितीय संख्या सेट-सिद्धांत रूप से निश्चित संख्या गाऊसी पूर्णांक
रचना बीजगणित	विभाजन बीजगणित: वास्तविक संख्या ( $\mathbb {R}$ ) जटिल संख्या ( $\mathbb {C}$ ) चतुर्भुज ( $\mathbb {H}$ ) ऑक्टोनियन ( $\mathbb {O}$ )
विभाजित करना प्रकार	ऊपर $\mathbb {R}$ : स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स नंबर स्प्लिट-क्वैटरन स्प्लिट-फैक्टियन ऊपर $\mathbb {C}$ : $\mathbb {C}$ : BICOMPLEX नंबर Biquaternion Bioctonion
अन्य हाइपरकम्प्लेक्स	दोहरी संख्या दोहरी चतुर्भुज दोहरी-कॉम्प्लेक्स नंबर हाइपरबोलिक चतुर्भुज सेडेनियन ( $\mathbb {S}$ ) स्प्लिट-ब्यूकटरन मल्टीकोम्प्लेक्स नंबर ज्यामितीय बीजगणित/क्लिफोर्ड बीजगणित भौतिक अंतरिक्ष का बीजगणित स्पेसटाइम बीजगणित
अन्य प्रकार	बुनियादी संख्या विस्तारित प्राकृतिक संख्या अपरिमेय संख्या फजी नंबर हाइपरियल नंबर लेवी-सिविटा फील्ड असली संख्या ट्रांसेंडेंटल नंबर क्रमसूचक संख्या [[पी-एडिक नंबर \|p-adicसंख्या]]p-adicसोलेनोइड्स]] अलौकिक संख्या सुपररेल नंबर सामान्य संख्या बंद-फॉर्म नंबर
वर्गीकरण सूची

Expand v t e संख्या सिद्धांत
खेत	बीजगणितीय संख्या सिद्धांत) विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत ज्यामितीय संख्या सिद्धांत कम्प्यूटेशनल संख्या सिद्धांत ट्रांसेंडेंटल नंबर थ्योरी डायोफेंटाइन ज्यामिति अंकगणित कॉम्बिनेटरिक्स (एडिटिव नंबर थ्योरी) अंकगणित ज्यामिति (एनाबेलियन ज्यामिति, पी-एडिक हॉज थ्योरी) अंकगणित टोपोलॉजी अंकगणित गतिशीलता
महत्वपूर्ण अवधारणाएं	संख्या प्राकृतिक संख्या अभाज्य संख्या तर्कसंगत संख्या अपरिमेय संख्या बीजगणितीय संख्या ट्रांसेंडेंटल नंबर पी-एडिक नंबर (पी-एडिक विश्लेषण) अंकगणित मॉड्यूलर अंकगणित चीनी शेष प्रमेय अंकगणित कार्य
उन्नत अवधारणाएँ	द्विघात रूप मॉड्यूलर रूप एल-फंक्शन डायोफेंटाइन समीकरण डायोफेंटाइन सन्निकटन निरंतर अंश
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जटिल संख्याओं के उपवर्ग

बीजगणितीय, तर्कहीन और पारलौकिक संख्याएँ

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अवधारणा का विस्तार

पी-एडिक संख्या

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