गणितीय स्थिरांक

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गणितीय स्थिरांक एक महत्वपूर्ण संख्या है जिसका मूल्य स्पष्ट परिभाषा द्वारा तय किया जाता है, जिसे प्रायः एक विशेष प्रतीक (जैसे, अक्षर (वर्णमाला)) या गणितज्ञों के नाम से कई गणितीय परिप्रश्न में इसका उपयोग करने की सुविधा के लिए संदर्भित किया जाता है। गणित के कई क्षेत्रों में, जैसे स्थिरांक e और π ज्यामिति, संख्या सिद्धांत, सांख्यिकी और कलन जैसे विविध संदर्भों में स्थिरांक उत्पन्न होते हैं।

कुछ स्थिरांक स्वाभाविक रूप से एक मौलिक सिद्धांत या आंतरिक संपत्ति से उत्पन्न होते हैं, जैसे कि एक वृत्त की परिधि और व्यास के बीच का अनुपात (π) है। अन्य स्थिरांक उनके गणितीय गुणों की तुलना में ऐतिहासिक कारणों से अधिक उल्लेखनीय हैं। अधिक लोकप्रिय स्थिरांक का पूरे युग में अध्ययन किया गया है और कई दशमलव स्थानों पर गणना की गई है।

सभी नामित गणितीय स्थिरांक निश्चित वास्तविक संख्या हैं, और सामान्यतः गणना योग्य संख्याएं भी हैं (चैटिन का स्थिरांक एक महत्वपूर्ण अपवाद है)।

बुनियादी गणितीय स्थिरांक

ये स्थिरांक हैं जिनका कई देशों में प्री-कॉलेज शिक्षा के दौरान सामना करना पड़ सकता है।

आर्किमिडीज स्थिरांक π

Main article: Pi

व्यास 1 वाले वृत्त की परिधि π है

स्थिर π (pi) की यूक्लिडियन ज्यामिति में एक वृत्त की परिधि और व्यास के बीच के अनुपात के रूप में एक प्राकृतिक परिभाषा है। यह गणित में कई अन्य स्थानों पर पाया जा सकता है: उदाहरण के लिए, गॉसियन अभिन्न, और संभाव्यता में कॉची वितरण पर पाया जा सकता है। हालाँकि, इसकी सर्वव्यापकता शुद्ध गणित तक ही सीमित नहीं है। यह भौतिकी में कई सूत्रों में प्रकट होता है, कई भौतिक स्थिरांक सबसे स्वाभाविक रूप से π या इसके पारस्परिक कारक के साथ परिभाषित होते हैं। उदाहरण के लिए, हाइड्रोजन परमाणु की मूल अवस्था तरंग कार्य है

$\psi (\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {\pi {a_{0}}^{3}}}}e^{-r/a_{0}},$

जहाँ $a_{0}$ बोह्र त्रिज्या है।

π एक अपरिमेय संख्या और एक पारलौकिक संख्या है।

π का संख्यात्मक मान लगभग 3.1415926536 है (sequence A000796 in the OEIS). π का पिफिलोलॉजी एक विश्व कीर्तिमान खोज है।

काल्पनिक इकाई i

Main article: काल्पनिक इकाई

काल्पनिक इकाई i जटिल विमान में। वास्तविक संख्याएँ क्षैतिज अक्ष पर स्थित होती हैं, और काल्पनिक संख्याएँ ऊर्ध्वाधर अक्ष पर स्थित होती हैं

काल्पनिक इकाई या इकाई काल्पनिक संख्या, के रूप में निरूपित i, एक गणित अवधारणा है जो वास्तविक संख्या प्रणाली $\mathbb {R}$ के लिए जटिल संख्या प्रणाली $\mathbb {C}$ का विस्तार करती है काल्पनिक इकाई की मूल संपत्ति i² = −1 है। काल्पनिक संख्या शब्द गढ़ा गया था क्योंकि ऋणात्मक वर्ग (बीजगणित) वाली कोई (वास्तविक संख्या) संख्या नहीं है।

जिस तरह हर दूसरी वास्तविक संख्या के दो जटिल वर्गमूल होते हैं (शून्य को छोड़कर, जिसमें एक दोहरा वर्गमूल होता है), वस्तुतः -1 के दो जटिल वर्गमूल i और −i हैं।

संदर्भों में जहां प्रतीक i अस्पष्ट या समस्याग्रस्त है, j या यूनानी आयोटा (ι) कभी-कभी प्रयोग किया जाता है। यह विशेष रूप से विद्युत अभियन्त्रण और नियंत्रण प्रणाली इंजीनियरिंग की स्तिथि है, जहां काल्पनिक इकाई j को प्रायः निरूपित किया जाता है, क्योंकि i सामान्यतः विद्युत प्रवाह को निरूपित करने के लिए उपयोग किया जाता है।

यूलर की संख्या e

Main article: e (गणितीय स्थिरांक)

घातीय वृद्धि (हरा) कई भौतिक घटनाओं का वर्णन करता है।

यूलर की संख्या e, जिसे घातीय वृद्धि स्थिरांक के रूप में भी जाना जाता है, गणित के कई क्षेत्रों में प्रकट होता है, और इसकी एक संभावित परिभाषा निम्नलिखित अभिव्यक्ति का मान निम्न है:

$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

अटल e आंतरिक रूप से घातीय फलन $x\mapsto e^{x}$ से संबंधित है।

स्विट्ज़रलैंड के गणितज्ञ जैकब बर्नौली ने इसकी खोज करी कि e चक्रवृद्धि ब्याज में उत्पन्न होता है: यदि कोई खाता $1 से प्रारम्भ होता है, और वार्षिक दर पर R ब्याज देता है, तो जैसे-जैसे प्रति वर्ष चक्रवृद्धि अवधियों की संख्या अनंत होती जाती है (एक स्थिति जिसे चक्रवृद्धि ब्याज#सतत चक्रवृद्धि के रूप में जाना जाता है), वर्ष के अंत में धन की राशि e^R डॉलर पहुंच जाएगी।

अटल e में संभाव्यता सिद्धांत के अनुप्रयोग भी हैं, जहां यह एक तरह से उत्पन्न होता है जो स्पष्ट रूप से घातीय वृद्धि से संबंधित नहीं है। एक उदाहरण के रूप में, मान लें कि जीतने की n संभावना वाली एक स्लॉट मशीन को n बार बजाया जाता है, तो बड़े n (उदाहरण के लिए, एक मिलियन) के लिए, कुछ भी नहीं जीतने की संभावना 1/e हो जाएगी क्योंकि n अनंत की ओर जाता है।

e का एक और अनुप्रयोग, आंशिक रूप से फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे रेमंड डी मोंटमॉर्ट के साथ जैकब बर्नौली द्वारा खोजा गया, विक्षिप्तता की समस्या में है, जिसे हैट जाँच समस्या के रूप में भी जाना जाता है। यहाँ, n मेहमानों को एक प्रीतिभोज में आमंत्रित किया जाता है, और दरवाजे पर प्रत्येक अतिथि बटलर के साथ अपनी टोपी की जांच करता है, जो उन्हें वर्गीकृत बक्से में रखता है। बटलर मेहमानों का नाम नहीं जानता है, और इसलिए उन्हें यादृच्छिक रूप से चुने गए बक्से में रखना चाहिए। डी मोंटमॉर्ट की समस्या यह है: क्या संभावना है कि कोई भी टोपी सही बॉक्स में नहीं डाली जाती है। जवाब है

$p_{n}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +(-1)^{n}{\frac {1}{n!}}$

जैसे n अनंत की ओर जाता है, और1/e तक पहुंचता है।

e एक अपरिमेय संख्या है।

e का संख्यात्मक मान लगभग 2.7182818284 है (sequence A001113 in the OEIS).

पाइथागोरस स्थिरांक √2

Main article: 2 का वर्गमूल

2 का वर्गमूल एक समकोण त्रिभुज के कर्ण की लंबाई के बराबर होता है, जिसकी लंबाई 1 होती है।

2 का वर्गमूल, जिसे प्रायः मूल 2, मूलांक 2, या पाइथागोरस स्थिरांक के रूप में जाना जाता है, और √2 रूप में लिखा जाता है, वह सकारात्मक बीजगणितीय संख्या है, जो स्वयं से गुणा करने पर संख्या 2 देता है। इसे अधिक सटीक रूप से 2 का मुख्य वर्गमूल कहा जाता है, ताकि इसे समान गुण वाली ऋणात्मक संख्या से अलग किया जा सके।

ज्यामितीय रूप से 2 का वर्गमूल एक इकाई वर्ग के विकर्ण की लंबाई है; यह पाइथागोरस प्रमेय से अनुसरण करता है। यह शायद पहली संख्या थी जिसे अपरिमेय संख्या के रूप में जाना जाता था। 65 दशमलव तक इसका संख्यात्मक मान संक्षिप्त है:

1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799... (sequence A002193 in the OEIS).

2 का वर्गमूल।

वैकल्पिक रूप से, इलेक्ट्रॉनिक कैलकुलेटर और कंप्यूटर के सामान्य उपयोग से पहले दो के वर्गमूल के लिए त्वरित सन्निकटन 99/70 (≈ 1.41429) का प्रायः उपयोग किया जाता था। केवल 70 का हर होने के बावजूद, यह सही मान से 1/10,000 (लगभग 7.2 × 10^-5) से कम भिन्न होता है।

थिओडोर की स्थिरांक √3

Main article: 3 का वर्गमूल

√3 का संख्यात्मक मान लगभग 1.7320508075 है (sequence A002194 in the OEIS).

उन्नत गणित में स्थिरांक

ये स्थिरांक हैं जो उच्च गणित में प्रायः सामने आते हैं।

फैजनबयम स्थिरांक α और δ

Main article: फैजनबयम स्थिरांक

रसद मानचित्र का द्विभाजन आरेख।

गतिशील प्रणालियों के लिए निरंतर मानचित्रों के पुनरावर्तन प्रतिरूप के सबसे सरल उदाहरण के रूप में काम करते हैं। गणितीय भौतिक विज्ञानी मिचेल फेगेनबाम के नाम पर, दो फेगेनबाम स्थिरांक इस तरह की पुनरावृत्त प्रक्रियाओं में दिखाई देते हैं: वे द्विघात अधिकतम बिंदुओं वाले रसद मानचित्रों और उनके द्विभाजन आरेख के गणितीय आविष्कार हैं। विशेष रूप से, निरंतर α एक टाइन (संरचनात्मक) की चौड़ाई और उसके दो सबटाइनों में से एक की चौड़ाई के बीच का अनुपात है, और निरंतर δ प्रत्येक द्विभाजन अंतराल का सीमित अनुपात है जो प्रत्येक अवधि-दोहरीकरण द्विभाजन के बीच होता है।

संभार मानचित्र एक बहुपद मानचित्रण है, जिसे प्रायः एक आदर्श उदाहरण के रूप में उद्धृत किया जाता है कि कैसे अव्यवस्थित सिद्धांत व्यवहार बहुत सरल गैर-रैखिक गतिशील समीकरणों से उत्पन्न हो सकता है। ऑस्ट्रेलियाई जीवविज्ञानी रॉबर्ट मे, ऑक्सफोर्ड के बैरन मे, द्वारा 1976 के एक मौलिक पत्र में मानचित्र को लोकप्रिय बनाया गया था। भाग में एक असतत-समय के जनसांख्यिकीय प्रतिरूप के रूप में जो पहले पियरे फ्रेंकोइस वेरहल्स्ट द्वारा बनाए गए अव्यवस्थित समीकरण के अनुरूप था। अंतर समीकरण का उद्देश्य प्रजनन और भुखमरी के दो प्रभावों को पकड़ना है।

Α का सांख्यिक मान लगभग 2.5029 है। δ का सांख्यिक मान लगभग 4.6692 है।

एपेरी का स्थिरांक ζ(3)

Main article: एपेरी स्थिरांक

एपरी का स्थिरांक श्रृंखला का योग है (गणित)

$$\zeta (3)=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots$$

एपेरी का स्थिरांक एक अपरिमेय संख्या है और इसका सांख्यिक मान लगभग 1.2020569 है।

रीमैन जीटा फलन का एक विशेष मूल्य होने के बावजूद, एपेरी का स्थिरांक कई भौतिक समस्याओं में स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होता है, जिसमें परिमाण विद्युत् गतिकी का उपयोग करके गणना की गई इलेक्ट्रॉन के घूर्णचुम्बकीय अनुपात के दूसरे और तीसरे क्रम के शब्द सम्मिलित हैं।

सुनहरा अनुपात φ

Main article: सुनहरा अनुपात

एक नियमित आईकोसाहेड्रॉन में स्वर्ण आयतें

$F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}$

के लिए एक स्पष्ट सूत्र nवें फाइबोनैचि संख्या में स्वर्णिम अनुपात φ सम्मिलित है .

संख्या φ, जिसे सुनहरा अनुपात भी कहा जाता है, प्रायः ज्यामिति विशेष रूप से पंचकोणीय समरूपता वाले आंकड़ों में बदल जाता है। दरअसल, नियमित पंचभुजीय के विकर्ण की लंबाई इसके पक्ष से φ गुना है। एक नियमित विंशतिफलक के शिखर तीन पारस्परिक रूप से आयतीय सुनहरे आयतों के होते हैं। इसके अतिरिक्त, यह प्रत्यावर्तन द्वारा विकास से संबंधित फिबोनैचि संख्या में प्रकट होता है। केपलर ने सिद्ध किया कि यह लगातार फिबोनाची संख्याओं के अनुपात की सीमा है। सुनहरे अनुपात में किसी भी अपरिमेय संख्या का सबसे धीमा अभिसरण होता है। इस कारण से, लैग्रेंज के सन्निकटन प्रमेय के सुनहरे अनुपात φ के निरंतर A गुण में से एक है और यह डायोफैंटाइन सन्निकटन के लिए हुरविट्ज़ के प्रमेय (संख्या सिद्धांत) की एक चरम स्तिथि है। यही कारण हो सकता है कि स्वर्णिम अनुपात के करीब के कोण प्रायः पर्णविन्यास (पौधों की वृद्धि) में दिखाई देते हैं। यह लगभग 1.6180339887498948482 के बराबर है, या, अधिक सटीक रूप से 2⋅sin(54°) = $\scriptstyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.$

यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक γ

Main article: यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक

दो वक्रों (लाल) के बीच का क्षेत्र एक सीमा तक जाता है, अर्थात् यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक।

यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक को निम्नलिखित सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है:

${\begin{aligned}\gamma &=\lim _{n\to \infty }\left(\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)-\ln n\right)\\[5px]\end{aligned}}$

मेर्टेंस के तीसरे प्रमेय में यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक प्रकट होता है और गामा फलन, रीमैन जेटा फलन और कई अलग-अलग अभिन्न और श्रृंखला (गणित) से संबंध रखता है।

यह अभी तक अज्ञात है कि क्या $\gamma$ परिमेय संख्या है या नहीं।

$\gamma$ का संख्यात्मक मान लगभग 0.57721 है।

कॉनवे स्थिरांक λ

Main article: कॉनवे स्थिरांक

<दिव्य वर्ग = अंगूठा दायां>

${\begin{matrix}1\\11\\21\\1211\\111221\\312211\\\vdots \end{matrix}}$

जॉन हॉर्टन कॉनवे का लुक-एंड-सीक्वेंस

कॉनवे का स्थिरांक देखने और कहने का अनुक्रम (एक तुच्छ को छोड़कर) के समान सभी व्युत्पन्न श्रृंखला की अपरिवर्तनीय वृद्धि दर है।

यह पूर्णांक गुणांकों के साथ 71 डिग्री के बहुपद के अद्वितीय सकारात्मक वास्तविक मूल द्वारा दिया गया है।

λ का मान लगभग 1.30357 है।

खिनचिन का स्थिरांक K

Main article: खिनचिन का स्थिरांक

यदि एक वास्तविक संख्या r को एक साधारण निरंतर अंश के रूप में लिखा जाता है:

$r=a_{0}+{\dfrac {1}{a_{1}+{\dfrac {1}{a_{2}+{\dfrac {1}{a_{3}+\cdots }}}}}},$

जहाँ a_k सभी k के लिए प्राकृतिक संख्याएँ हैं, फिर, जैसा कि रूसी गणितज्ञ अलेक्सांद्र खींचीं ने 1934 में सिद्ध किया, n के रूप में एक अनुक्रम की सीमा ज्यामितीय माध्य की विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा की ओर प्रवृत्त होती है: (a₁a₂...ए_n)^1/n उपस्थित है और माप के एक सम्मुच्चय (गणित) 0 को छोड़कर एक स्थिर, खिनचिन की स्थिरांक है।

K का सांख्यिक मान लगभग 2.6854520010 है।

ग्लेशर-किंकलिन स्थिरांक A

Main article: ग्लेशर-किंकलिन स्थिरांक

ग्लैशर-किंकलिन स्थिरांक को सीमा (गणित) के रूप में परिभाषित किया गया है:

$A=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\prod _{k=1}^{n}k^{k}}{n^{n^{2}/2+n/2+1/12}e^{-n^{2}/4}}}$

यह रीमैन जेटा फलन के व्युत्पन्न के कुछ भावों में प्रकट होता है। इसका संख्यात्मक मान लगभग 1.2824271291 है।

गणितीय जिज्ञासा और अनिर्दिष्ट स्थिरांक

संख्याओं के सम्मुच्चय के सरल प्रतिनिधि

यह बेबिलोनिया मिट्टी की गोली चार साठवाँ आकृतियों में 2 के वर्गमूल का अनुमान देती है: 1; 24, 51, 10, जो लगभग छह दशमलव अंकों तक सटीक है।

<दिव्य वर्ग = अंगूठा दायां>

$c=\sum _{j=1}^{\infty }10^{-j!}=0.\underbrace {\overbrace {110001} ^{3!{\text{ digits}}}000000000000000001} _{4!{\text{ digits}}}000\dots$

लिउविल स्थिरांक एक पारलौकिक संख्या का एक सरल उदाहरण है।

कुछ स्थिरांक, जैसे कि 2 का वर्गमूल, लिउविल का स्थिरांक और चम्परनोवे स्थिरांक:

$C_{10}=0.{\color {blue}{1}}2{\color {blue}{3}}4{\color {blue}{5}}6{\color {blue}{7}}8{\color {blue}{9}}10{\color {blue}{11}}12{\color {blue}{13}}14{\color {blue}{15}}16\dots$

महत्वपूर्ण गणितीय अपरिवर्तनीय नहीं हैं, लेकिन संख्याओं के विशेष सम्मुच्चय, अपरिमेय संख्याओं के सरल प्रतिनिधि होने के नाते पारलौकिक संख्या और सामान्य संख्याएँ (आधार 10 में) क्रमश रुचि बनाए रखते हैं। अपरिमेय संख्याओं की खोज का श्रेय सामान्यतः मेटापोंटम के पाइथैगोरसी हिप्पसस को दिया जाता है, जिन्होंने सबसे अधिक संभावना ज्यामितीय रूप से 2 के वर्गमूल की अपरिमेयता को सिद्ध किया। लिउविल के स्थिरांक के लिए, फ्रांसीसी लोगों के गणितज्ञ जोसेफ लिउविल के नाम पर रखा गया, यह पहली संख्या थी पारलौकिक सिद्ध हो।

चैतिन का स्थिरांक Ω

कलन विधि सूचना सिद्धांत के कंप्यूटर विज्ञान उपक्षेत्र में, चैतिन का स्थिरांक वास्तविक संख्या है जो इस संभावना का प्रतिनिधित्व करता है कि बेतरतीब ढंग से चुनी गई ट्यूरिंग मशीन बंद हो जाएगी, जो अर्जेंटीना-संयुक्त राज्य अमेरिका के गणितज्ञ और कंप्यूटर वैज्ञानिक ग्रेगरी चैतिन के निर्माण से बनी है। चैतिन की स्थिरांक, हालांकि गणना योग्य संख्या नहीं है, अनुभवातीत संख्या और सामान्य संख्या सिद्ध हुई है। ट्यूरिंग मशीनों के लिए प्रयुक्त संख्यात्मक संकेतन पर बहुत अधिक निर्भर करते हुए, चैतिन का स्थिरांक सार्वभौमिक नहीं है; हालाँकि, इसके रोचक गुण संकेतन से स्वतंत्र हैं।

अनिर्दिष्ट स्थिरांक

अनिर्दिष्ट होने पर, स्थिरांक समान वस्तुओं के वर्गों को इंगित करते हैं, सामान्य रूप से कार्य करते हैं, सभी स्थिर-तकनीकी रूप से बोलते हैं, इसे 'स्थिरता तक समानता' के रूप में देखा जा सकता है। अन्तर्निहित और अंतर समीकरण के साथ काम करते समय ऐसे स्थिरांक प्रायः दिखाई देते हैं। हालांकि अनिर्दिष्ट, उनका एक विशिष्ट मूल्य है, जो प्रायः महत्वपूर्ण नहीं होता है।

एकीकरण के विभिन्न स्थिरांक के साथ समाधान $y'(x)=-2y+e^{-x}$

अन्तर्निहित में

अनिश्चित समाकलों को अनिश्चित कहा जाता है क्योंकि उनके समाधान केवल एक स्थिरांक तक अद्वितीय होते हैं। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र (गणित) पर काम करते समय

$\int \cos x\ dx=\sin x+C$

जहाँ C, समाकलन का स्थिरांक, एक स्वेच्छ नियत वास्तविक संख्या है। दूसरे शब्दों में, C का मान जो भी हो, x के संबंध में अवकलज sin x + C हमेशा cos x देता है।

अवकल समीकरणों में

इसी तरह से, स्थिरांक विभेदक समीकरण के समाधान में दिखाई देते हैं जहां पर्याप्त प्रारंभिक मान या सीमा शर्तें नहीं दी गई हैं। उदाहरण के लिए, साधारण अंतर समीकरण y^' = y(x) का हल Ce^x है जहाँ C एक स्वेच्छ स्थिरांक है।

आंशिक अंतर समीकरणों के साथ काम करते समय, स्थिरांक स्थिर कार्य हो सकते हैं, 'कुछ चर के संबंध में स्थिर' (लेकिन जरूरी नहीं कि सभी)। उदाहरण के लिए, आंशिक अंतर समीकरण

${\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}=0$

इसका समाधान f(x,y) = C(y) है, जहां C(y) परिवर्ती (गणित) y में एक स्वेच्छाचारी फलन है।

संकेत पद्धति

स्थिरांक का प्रतिनिधित्व करना

किसी स्थिरांक के संख्यात्मक मान को उसका दशमलव निरूपण (या उसके केवल पहले कुछ अंक) देकर व्यक्त करना सामान्य बात है। दो कारणों से यह प्रतिनिधित्व समस्याएँ उत्पन्न कर सकता है। सबसे पहले, भले ही परिमेय संख्याओं में सभी का एक परिमित या कभी-दोहराव वाला दशमलव विस्तार होता है, अपरिमेय संख्याओं में ऐसी अभिव्यक्ति नहीं होती है जिससे उनका इस तरह से पूरी तरह से वर्णन करना असंभव हो जाता है। साथ ही, किसी संख्या का दशमलव विस्तार आवश्यक रूप से अद्वितीय नहीं है। उदाहरण के लिए, दो निरूपण 0.999... और 1 समतुल्य हैं इस अर्थ में कि वे एक ही संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं।

स्थिरांकों के दशमलव विस्तार के अंकों की गणना करना कई सदियों से एक सामान्य उद्यम रहा है। उदाहरण के लिए, 16वीं शताब्दी के जर्मनों गणितज्ञ सेउलेन का लुडॉल्फ ने अपने जीवन का एक बड़ा हिस्सा π के पहले 35 अंकों की गणना में बिताया। कंप्यूटर और सुपर कंप्यूटर का उपयोग करते हुए, कुछ गणितीय स्थिरांक, जिनमें π, e और 2 का वर्गमूल सम्मिलित है, की गणना एक सौ अरब से अधिक अंकों में की गई है। तीव्र कलन विधि विकसित किए गए हैं, जिनमें से कुछ - एपेरी के स्थिरांक के लिए - अप्रत्याशित रूप से तेज़ हैं।

$G=\left.{\begin{matrix}3\underbrace {\uparrow \ldots \uparrow } 3\\\underbrace {\vdots } \\3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3\end{matrix}}\right\}{\text{64 layers}}$

न्यूथ के अप-एरो संकेत पद्धति का उपयोग करके ग्राहम की संख्या को परिभाषित किया गया है।

कुछ स्थिरांक सामान्य प्रकार से इतने भिन्न होते हैं कि उन्हें यथोचित रूप से दर्शाने के लिए एक नए अंकन का आविष्कार किया गया है। ग्राहम की संख्या इसे दर्शाती है क्योंकि नुथ के अप-एरो संकेत पद्धति का उपयोग किया जाता है।

सांख्यिकीय विश्लेषण सहित विभिन्न अध्ययन करने के लिए गणितीय स्थिरांक (निरंतर अंश प्रतिनिधित्व द्वारा क्रमबद्ध) का उपयोग करके उनका प्रतिनिधित्व करना रुचिकर हो सकता है। कई गणितीय स्थिरांकों का एक विश्लेषणात्मक रूप होता है, अर्थात वे प्रसिद्ध संक्रियाओं का उपयोग करके निर्मित किए जा सकते हैं जो गणना के लिए आसानी से स्वयं को उधार देते हैं। हालांकि, सभी स्थिरांक ज्ञात विश्लेषणात्मक रूप नहीं रखते हैं; ग्रॉसमैन स्थिरांक और फ़ोयस स्थिरांक उदाहरण हैं।

स्थिरांक का प्रतीक और नामकरण

अक्षरों के साथ स्थिरांक का प्रतीक बनाना गणितीय संकेतन को अधिक संक्षिप्त बनाने का एक सामान्य साधन है। 17वीं सदी में रेने डेसकार्टेस और 18वीं सदी में लियोनहार्ड यूलर द्वारा प्रारम्भ किया गया एक सामान्य फलन (मानक) लैटिन वर्णमाला $a,b,c,\dots$ या ग्रीक वर्णमाला $\alpha ,\beta ,\,\gamma ,\dots$ के प्रारम्भ से छोटे अक्षरों का उपयोग सामान्य रूप से स्थिरांक से निपटने पर करना है ।

हालांकि, अधिक महत्वपूर्ण स्थिरांक के लिए, प्रतीक अधिक जटिल हो सकते हैं और अतिरिक्त अक्षर, तारांकन चिह्न, संख्या, द्विपाशी हो सकता है या हिब्रू वर्णमाला, सिरिलिक लिपि या ब्लैक लिटर जैसे विभिन्न वर्णों का उपयोग कर सकते हैं।

एर्डोस-बोरवीन स्थिरांक $E_{B}$
एम्ब्री–ट्रेफेथेन स्थिरांक $\beta ^{*}$
जुड़वां अभाज्य $B_{2}$ के लिए ब्रून कांस्टेंट
चैंपरनाऊन स्थिरांक $C_{b}$
बुनियादी संख्या एलेफ नॉट $\aleph _{0}$

स्थिरांकों के लिए विभिन्न प्रकार के अंकन के उदाहरण।

कभी-कभी, स्थिरांक को दर्शाने वाला प्रतीक एक संपूर्ण शब्द होता है। उदाहरण के लिए, संयुक्त राज्य अमेरिका के गणितज्ञ एडवर्ड कास्नर के 9 वर्षीय भतीजे ने गूगोल और गूगोलप्लेक्स नाम गढ़े।

$\mathrm {googol} =10^{100}\,\ ,\ \mathrm {googolplex} =10^{\mathrm {googol} }=10^{10^{100}}$

अन्य नाम या तो स्थिरांक (सार्वभौमिक परवलयिक स्थिरांक, जुड़वां प्रधान स्थिरांक, ...) के अर्थ से संबंधित हैं या किसी विशिष्ट व्यक्ति (सीरपिन्स्की स्थिरांक, जोसेफसन स्थिरांक, और इसी तरह) से संबंधित हैं।

[[Image:Parabolic constant illustration v4.svg|thumb|right|180px|[[सार्वभौमिक परवलयिक स्थिरांक]], किसी भी परवलय के लिए, नाभीय मलाशय (नीला) द्वारा गठित परवलयिक खंड (लाल) की चाप लंबाई और केन्द्रीय मापदंड (हरा) का अनुपात है।]]

चयनित गणितीय स्थिरांक

Main article: गणितीय स्थिरांक की सूची

प्रयुक्त संक्षिप्तीकरण:

R - परिमेय संख्या, I - अपरिमेय संख्या (बीजगणितीय या अनुभवातीत हो सकती है), A - बीजगणितीय संख्या (तर्कहीन), T - अनुभवातीत संख्या

Gen - जनरल, NuT - नंबर थ्योरी, ChT - कैओस थ्योरी, कॉम - साहचर्य , Inf - सूचना सिद्धांत, एना - गणितीय विश्लेषण

प्रतीक	मूल्य	नाम	क्षेत्र	N	प्रथम वर्णित	ज्ञात दशमलव अंकों की संख्या
0	= 0	शून्य	Gen	R	by c. 500 BC	all
1	= 1	एक, इकाई	Gen	R		all
i	= √–1	काल्पनिक ईकाई, ईकाई काल्पनिक अंक	Gen, Ana	A	by c. 1500	all
π	≈ 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288	Pi, आर्किमिडीज का स्थिरांक या लुडॉल्फ की संख्या	Gen, Ana	T	by c. 2600 BC	62,831,853,071,796
e	≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249	e, नेपियर का स्थिरांक, या यूलर की संख्या	Gen, Ana	T	1618	31,415,926,535,897
√2	≈ 1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807	पाइथागोरस नियतांक, 2 का वर्गमूल	Gen	A	by c. 800 BC	10,000,000,000,000
√3	≈ 1.73205 08075 68877 29352 74463 41505 87236	थिओडोरस स्थिरांक, 3 का वर्गमूल	Gen	A	by c. 800 BC	2,199,023,255,552
√5	≈ 2.23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623	5 का वर्गमूल	Gen	A	by c. 800 BC	2,199,023,255,552
$\gamma$	≈ 0.57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243	यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक	Gen, NuT		1735	600,000,000,100
$\varphi$	≈ 1.61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811	स्वर्णिम अनुपात	Gen	A	by c. 200 BC	10,000,000,000,000
$\Lambda$	$0\leq \Lambda \leq 0.2$	डी ब्रुजन-न्यूमैन स्थिरांक	NuT, Ana		1950	nएक
M1	≈ 0.26149 72128 47642 78375 54268 38608 69585	मीसेल-मर्टेंस स्थिरांक	NuT		1866 1874	8,010
$\beta$	≈ 0.28016 94990 23869 13303	बर्नस्टीन स्थिरांक	Ana
$\lambda$	≈ 0.30366 30028 98732 65859 74481 21901 55623	गॉस-कुज़मिन-विर्सिंग स्थिरांक	Com		1974	385
$\sigma$	≈ 0.35323 63718 54995 98454 35165 50432 68201	हाफनर-सरनाक-मैककर्ले स्थिरांक	NuT		1993
L	≈ 0.5	लैंडौ स्थिरांक	Ana			1
Ω	≈ 0.56714 32904 09783 87299 99686 62210 35554	ओमेगा स्थिरांक	Ana	T
$\lambda$, $\mu$	≈ 0.62432 99885 43550 87099 29363 83100 83724	गोलोम्ब-डिकमैन स्थिरांक	Com, NuT		1930 1964
	≈ 0.64341 05462	काहेन स्थिरांक		T	1891	4000
C2	≈ 0.66016 18158 46869 57392 78121 10014 55577	जुड़वां प्रधान स्थिरांक	NuT			5,020
	≈ 0.66274 34193 49181 58097 47420 97109 25290	लाप्लास सीमा
$\beta$*	≈ 0.70258	एम्ब्री-ट्रेफेथेन स्थिरांक	NuT
K	≈ 0.76422 36535 89220 66299 06987 31250 09232	लांडौ–रामानुजन स्थिरांक	NuT			30,010
B4	≈ 0.87058 838	प्राइम चतुष्क के लिए ब्रून का स्थिरांक	NuT			8
G	≈ 0.91596 55941 77219 01505 46035 14932 38411	कैटलन स्थिरांक	Com			1,000,000,001,337
B´L	= 1	लेजेंड्रे स्थिरांक	NuT	R		all
K	≈ 1.13198 824	विश्वनाथ का स्थिरांक	NuT			8
$\zeta (3)$	≈ 1.20205 69031 59594 28539 97381 61511 44999	एपेरी का स्थिरांक		I	1979	1,200,000,000,100
$\lambda$	≈ 1.30357 72690 34296 39125 70991 12152 55189	कॉनवे का स्थिरांक	NuT	A
$\theta$	≈ 1.30637 78838 63080 69046 86144 92602 60571	मिल्स स्थिरांक	NuT		1947	6850
$\rho$	≈ 1.32471 79572 44746 02596 09088 54478 09734	प्लास्टिक स्थिरांक	NuT	A	1928
$\mu$	≈ 1.45136 92348 83381 05028 39684 85892 02744	रामानुजन-सोल्डनर स्थिरांक	NuT	I		75,500
	≈ 1.45607 49485 82689 67139 95953 51116 54356	बैकहाउस स्थिरांक
	≈ 1.46707 80794	पोर्टर स्थिरांक	NuT		1975
	≈ 1.53960 07178	लिब का वर्ग बर्फ स्थिरांक	Com	A	1967
EB	≈ 1.60669 51524 15291 76378 33015 23190 92458	एर्डोस-बोरवीन स्थिरांक	NuT	I
	≈ 1.70521 11401 05367 76428 85514 53434 50816	निवेन का स्थिरांक	NuT		1969
B2	≈ 1.90216 05831 04	जुड़वाँ अभाज्य संख्याओं के लिए ब्रून स्थिरांक	NuT		1919	12
P2	≈ 2.29558 71493 92638 07403 42980 49189 49039	सार्वभौमिक परवलयिक स्थिरांक	Gen	T
$\alpha$	≈ 2.50290 78750 95892 82228 39028 73218 21578	फेगेनबाम स्थिरांक	ChT
K	≈ 2.58498 17595 79253 21706 58935 87383 17116	सीरपिन्स्की स्थिरांक
	≈ 2.68545 20010 65306 44530 97148 35481 79569	खिनचिन का स्थिरांक	NuT		1934	7350
F	≈ 2.80777 02420 28519 36522 15011 86557 77293	फ्रांसेन-रॉबिन्सन स्थिरांक	Ana
	≈ 3.27582 29187 21811 15978 76818 82453 84386	लेवी स्थिरांक	NuT
$\psi$	≈ 3.35988 56662 43177 55317 20113 02918 92717	पारस्परिक फाइबोनैचि स्थिरांक		I
$\delta$	≈ 4.66920 16091 02990 67185 32038 20466 20161	फेगेनबाम स्थिरांक	ChT		1975

यह भी देखें

• अपरिवर्तनीय (गणित)
• गणितीय प्रतीकों की सूची
• संख्याओं की सूची
• भौतिक स्थिरांक

बाहरी संबंध

• Constants – from Wolfram MathWorld
• Inverse symbolic calculator (CECM, ISC) (tells you how a given number can be constructed from mathematical constants)
• On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS)
• Simon Plouffe's inverter
• Steven Finch's page of mathematical constants (BROKEN LINK)
• Steven R. Finch, "Mathematical Constants," Encyclopedia of mathematics and its applications, Cambridge University Press (2003).
• Xavier Gourdon and Pascal Sebah's page of numbers, mathematical constants and algorithms