पी-एडिक विश्लेषण

3-एडिक पूर्णांक, उनके पोंट्रीगिन दोहरे समूह पर चयनित संबंधित वर्णों के साथ

गणित में, पी-एडिक विश्लेषण संख्या सिद्धांत की एक शाखा है जो पी-एडिक संख्याओं के कार्यों के गणितीय विश्लेषण से संबंधित है।

'पी'-एडिक नंबरों पर जटिल-मूल्यवान संख्यात्मक कार्यों का सिद्धांत स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूहों के सिद्धांत का हिस्सा है। 'पी'-एडिक विश्लेषण के लिए लिया जाने वाला सामान्य अर्थ रुचि के स्थानों पर पी'-एडिक-वैल्यूड कार्य का सिद्धांत है।

'पी'-एडिक विश्लेषण के अनुप्रयोग मुख्य रूप से संख्या सिद्धांत में रहे हैं जहां डायोफैंटाइन ज्यामिति और डायोफैंटाइन सन्निकटन में इसकी महत्वपूर्ण भूमिका है। कुछ अनुप्रयोगों के लिए 'पी'-एडिक कार्यात्मक विश्लेषण और वर्णक्रमीय सिद्धांत के विकास की आवश्यकता है। कई माध्यम में 'पी'-एडिक विश्लेषण मौलिक विश्लेषण से कम सूक्ष्म है क्योंकि अल्ट्रामेट्रिक असमानता का अर्थ है उदाहरण के लिए, 'पी'-एडिक संख्याओं की अनंत श्रृंखला का अभिसरण बहुत सरल है। पी'-एडिक क्षेत्र पर टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस विशिष्ट विशेषताएं दिखाते हैं; उदाहरण के लिए उत्तल सेट और हान-बनाक प्रमेय से संबंधित पहलू अलग-अलग हैं।

महत्वपूर्ण परिणाम

ओस्ट्रोव्स्की का सिद्धांत

Main article: ओस्ट्रोव्स्की की प्रमेय

अलेक्जेंडर ओस्ट्रोव्स्की (1916) के कारण ओस्ट्रोव्स्की के प्रमेय में कहा गया है कि परिमेय संख्या Q पर प्रत्येक गैर-तुच्छ निरपेक्ष मान या तो सामान्य वास्तविक निरपेक्ष मान या पी-एडिक निरपेक्ष मान के समान है।

महलर की प्रमेय

Main article: महलर की प्रमेय

महलर की प्रमेय कर्ट महलर द्वारा प्रस्तुत की गई, बहुपदों के संदर्भ में निरंतर 'पी'-एडिक कार्यों को व्यक्त करता है।

विशेषता (बीजगणित) 0 के किसी भी क्षेत्र (गणित) में निम्नलिखित परिणाम होते हैं। होने देना

$(\Delta f)(x)=f(x+1)-f(x)$

आगे अंतर ऑपरेटर बनें फिर बहुपद कार्यों के लिए हमारे पास न्यूटन श्रृंखला है:

$f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }(\Delta ^{k}f)(0){x \choose k},$

जहाँ

${x \choose k}={\frac {x(x-1)(x-2)\cdots (x-k+1)}{k!}}$

kवाँ द्विपद गुणांक बहुपद है।

वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में यह धारणा कि फलन f एक बहुपद है को अशक्त किया जा सकता है किंतु केवल निरंतर कार्य करने तक इसे अशक्त नहीं किया जा सकता है।

महलर ने निम्नलिखित परिणाम सिद्ध किया:

'महलर की प्रमेय': यदि f एक सतत 'पी'-एडिक संख्या 'पी'-एडिक-मान फलन 'पी'-एडिक पूर्णांकों पर है तो वही सर्वसमिका धारण करती है।

हेनसेल की लेम्मा

Main article: हेंसल की लेम्मा

हेन्सेल की लेम्मा जिसे कर्ट हेन्सेल के नाम पर हेन्सेल की लिफ्टिंग लेम्मा के रूप में भी जाना जाता है, मॉड्यूलर अंकगणित में एक परिणाम है जिसमें कहा गया है कि यदि एक बहुपद समीकरण में एक गुणक (गणित) है तो एक बहुपद मॉड्यूलो की जड़ की बहुलता एक प्रमुख संख्या p तो यह जड़ उसी समीकरण मॉड्यूलो की किसी भी उच्च शक्ति की एक अद्वितीय रूट से मेल खाती है p जो समाधान मॉड्यूलो क्रमिक शक्तियों के समाधान को पुनरावृत्त रूप से उठा (गणित) द्वारा पाया जा सकता है p. अधिक सामान्यतः समीकरणों को हल करने के लिए न्यूटन विधि के पूर्ण (वलय सिद्धांत ) क्रमविनिमेय वलय (पी-एडिक फील्ड सहित विशेष रूप से पी-एडिक फील्ड सहित) के लिए एनालॉग्स के लिए एक सामान्य नाम के रूप में उपयोग किया जाता है। चूंकि पी-एडिक विश्लेषण वास्तविक विश्लेषण की तुलना में कुछ मायनों में सरल है, इसलिए बहुपद की जड़ की आश्वासन देने वाले अपेक्षाकृत आसान मानदंड हैं।

हेन्सेल की लेम्मा, जिसे हेन्सेल की लिफ्टिंग लेम्मा के रूप में भी जाना जाता है, कर्ट हेन्सेल के नाम पर मॉड्यूलर अंकगणित में एक परिणाम है जिसमें कहा गया है कि यदि एक बहुपद समीकरण में एक साधारण रूट मॉड्यूलो एक प्रमुख संख्या p है तो यह रूट समान समीकरण मॉड्यूलो की एक अनूठी जड़ से मेल खाती है p की उच्च शक्ति जो p के समाधान मोडुलो क्रमिक शक्तियों को पुनरावृत्त रूप से "उठाने" द्वारा पाई जा सकती है। अधिक सामान्यतः यह समीकरणों को हल करने के लिए न्यूटन विधि के पूर्ण क्रमविनिमेय वलय (विशेष रूप से पी-एडिक क्षेत्रों सहित) के लिए एनालॉग्स के लिए एक सामान्य नाम के रूप में उपयोग किया जाता है। चूंकि पी-एडिक विश्लेषण वास्तविक विश्लेषण की तुलना में कुछ मायनों में सरल है, इसलिए बहुपद की जड़ की आश्वासन देने वाले अपेक्षाकृत आसान मानदंड हैं।

परिणाम बताने के लिए आइए $f(x)$ पूर्णांक (या 'पी'-एडिक पूर्णांक) गुणांकों वाला एक बहुपद हो और मान लीजिए कि m,k धनात्मक पूर्णांक हैं जैसे कि m ≤ k यदि r एक पूर्णांक है जैसे कि

$f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k}}}$ और $f'(r)\not \equiv 0{\pmod {p}}$

तो एक पूर्णांक s उपस्थित है जैसे कि

$f(s)\equiv 0{\pmod {p^{k+m}}}$ और $r\equiv s{\pmod {p^{k}}}.$

इसके अतिरिक्त यह एस अद्वितीय मॉड्यूल p^k+m है और इसे स्पष्ट रूप से गणना की जा सकती है

$s=r+tp^{k}$ जहाँ $t=-{\frac {f(r)}{p^{k}}}\cdot (f'(r)^{-1}).$

अनुप्रयोग

पी-वह क्वांटम यांत्रिकी है

Main article: पी-एडिक क्वांटम यांत्रिकी

पी-एडिक क्वांटम यांत्रिकी मौलिक भौतिकी की प्रकृति को समझने के लिए एक अपेक्षाकृत वर्तमान दृष्टिकोण है। यह क्वांटम यांत्रिकी के लिए पी-एडिक विश्लेषण का अनुप्रयोग है। पी-एडिक संख्याएं एक सहज अंकगणितीय प्रणाली (किंतु ज्यामितीय रूप से प्रतिसंवेदी) हैं जो जर्मन गणितज्ञ कर्ट हेन्सेल द्वारा लगभग 1899 में और जर्मन गणितज्ञ अहम दु:ख (1810-1893) द्वारा पहले प्राथमिक रूप में खोजी गई थीं। 1930 के दशक में क्लाउड चेवेली और आंद्रे वेइल द्वारा निकटता से संबंधित एडेल वलय और आईडीई प्रस्तुत किए गए थे। उनका अध्ययन अब गणित की एक प्रमुख शाखा में परिवर्तित हो गया है। वे कभी-कभी किंतु 1987 में रूसी गणितज्ञ वोलोविच के एक प्रकाशन तक यह नहीं था कि इस विषय को भौतिकी की दुनिया में गंभीरता से लिया गया था। इस विषय पर अब अंतरराष्ट्रीय पत्रिकाओं के साथ-साथ सैकड़ों शोध लेख भी हैं।

विषय के दो मुख्य दृष्टिकोण हैं। पहले पी-एडिक क्षमता में कणों पर अच्छी तरह से विचार करता है और लक्ष्य सुचारू रूप से भिन्न जटिल-मूल्यवान तरंगों के साथ समाधान खोजना है। यहाँ समाधान सामान्य जीवन से एक निश्चित मात्रा में परिचित होना है। दूसरा पी-एडिक संभावित कुओं में कणों पर विचार करता है और लक्ष्य पी-एडिक मान तरंग क्रिया का पता लगाना है। इस स्थिति में भौतिक व्याख्या अधिक कठिन है। फिर भी गणित अधिकांशतः हड़ताली विशेषताओं को प्रदर्शित करता है, इसलिए लोग इसका पता लगाना जारी रखते हैं। स्थिति को 2005 में एक वैज्ञानिक द्वारा इस प्रकार अभिव्यक्त किया गया था: मैं यह सब मनोरंजक दुर्घटनाओं के अनुक्रम के रूप में नहीं सोच सकता और इसे 'टॉय मॉडल' के रूप में अस्वीकृत कर सकता हूं। मुझे लगता है कि इस पर और काम करने की जरूरत है और यह सार्थक भी है।

स्थानीय-वैश्विक सिद्धांत

Main article: स्थानीय-वैश्विक सिद्धांत

हेल्मुट हास का स्थानीय-वैश्विक सिद्धांत जिसे हस्से सिद्धांत के रूप में भी जाना जाता है यह विचार है कि चीनी शेष प्रमेय का उपयोग करके प्रत्येक भिन्न अभाज्य संख्या की मॉड्यूलर अंकगणितीय शक्तियों को एक साथ जोड़कर एक डायोफैंटाइन समीकरण प्राप्त किया जा सकता है। इसे परिमेय संख्याओं के समापन (वलय सिद्धांत) में समीकरण की जांच करके नियंत्रित किया जाता है: वास्तविक संख्याएँ और 'पी'-एडिक संख्या हस्से सिद्धांत का एक अधिक औपचारिक संस्करण बताता है कि कुछ प्रकार के समीकरणों का तर्कसंगत समाधान होता है यदि और केवल यदि उनके पास वास्तविक संख्याओं में और प्रत्येक प्रधान पी के लिए पी-एडिक संख्याओं में समाधान होता है।

यह भी देखें

• पी-एडिक नंबर
• 'पी'-एडिक टेचमुलर सिद्धांत
• स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान
• सच्चा विश्लेषण
• जटिल विश्लेषण
• हाइपरकॉम्प्लेक्स विश्लेषण
• हार्मोनिक विश्लेषण

अग्रिम पठन

• Koblitz, Neal (1980). p-adic analysis: a short course on recent work. London Mathematical Society Lecture Note Series. Vol. 46. Cambridge University Press. ISBN 0-521-28060-5. Zbl 0439.12011.
• Cassels, J.W.S. (1986). Local Fields. London Mathematical Society Student Texts. Vol. 3. Cambridge University Press. ISBN 0-521-31525-5. Zbl 0595.12006.
• Chistov, Alexander; Karpinski, Marek (1997). "Complexity of Deciding Solvability of Polynomial Equations over p-adic Integers". Univ. Of Bonn CS Reports 85183. S2CID 120604553.
• Karpinski, Marek; van der Poorten, Alf; Shparlinski, Igor (2000). "Zero testing of p-adic and modular polynomials". Theoretical Computer Science. 233 (1–2): 309–317. doi:10.1016/S0304-3975(99)00133-4. (preprint)
• A course in 'पी'-एडिक analysis, Alain Robert, Springer, 2000, ISBN 978-0-387-98669-2
• Ultrametric Calculus: An Introduction to 'पी'-एडिक Analysis, W. H. Schikhof, Cambridge University Press, 2007, ISBN 978-0-521-03287-2
• 'पी'-एडिक Differential Equations, Kiran S. Kedlaya, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-76879-5