तर्कसंगत संख्या

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परिमेय संख्याओं के समुच्चय का प्रतीक

परिमेय संख्याएँ ($\mathbb {Q}$ वास्तविक संख्या में शामिल हैं ($\mathbb {R}$), जबकि स्वयं पूर्णांकों सहित ($\mathbb {Z}$), जिसमें प्राकृतिक संख्याएं शामिल होती हैं ($\mathbb {N}$)

गणित में, परिमेय संख्या वह संख्या होती है जिसे भागफल या भिन्न (गणित) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है ${\tfrac {p}{q}}$ दो पूर्णांकों का, एक अंश p और एक गैर-शून्य भाजक q. उदाहरण के लिए, ${\tfrac {-3}{7}}$ एक परिमेय संख्या है, जैसा कि प्रत्येक पूर्णांक है (उदा. 5 = 5/1). सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय (गणित), जिसे परिमेय भी कहा जाता है, तर्कसंगतता का क्षेत्र या परिमेय संख्याओं के क्षेत्र को आमतौर पर बोल्डफेस द्वारा निरूपित किया जाता है Q, या ब्लैकबोर्ड बोल्ड $\mathbb {Q} .$

परिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या होती है। वास्तविक संख्याएँ जो परिमेय हैं वे हैं जिनका दशमलव विस्तार या तो संख्यात्मक अंकों की परिमित संख्या के बाद समाप्त हो जाता है (उदाहरण: 3/4 = 0.75), या अंततः अंकों के समान परिमित अनुक्रम को बार-बार दोहराना शुरू करता है (उदाहरण: 9/44 = 0.20454545...). यह कथन न केवल दशमलव में, बल्कि प्रत्येक अन्य पूर्णांक मूलांक में भी सत्य है, जैसे कि बाइनरी अंक प्रणाली और हेक्साडेसिमल वाले (देखें Repeating decimal § Extension to other bases).

एक वास्तविक संख्या जो परिमेय नहीं है, अपरिमेय संख्या कहलाती है। अपरिमेय संख्याओं में 2 का वर्गमूल शामिल है (${\sqrt {2}}$), पाई|π, e, और सुनहरा अनुपात (φ). चूँकि परिमेय संख्याओं का समुच्चय गणनीय समुच्चय है, और वास्तविक संख्याओं का समुच्चय बेशुमार समुच्चय है, लगभग सभी वास्तविक संख्याएँ अपरिमेय होती हैं।

परिमेय संख्याएँ गणितीय शब्दजाल हो सकती हैं #औपचारिक रूप से पूर्णांकों के युग्मों के तुल्यता वर्ग के रूप में परिभाषित (p, q) साथ q ≠ 0, तुल्यता संबंध का उपयोग करते हुए निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

$(p_{1},q_{1})\sim (p_{2},q_{2})\iff p_{1}q_{2}=p_{2}q_{1}.$

अंश ${\tfrac {p}{q}}$ फिर के समकक्ष वर्ग को दर्शाता है (p, q). जोड़ और गुणा के साथ परिमेय संख्याएँ एक क्षेत्र (गणित) बनाती हैं जिसमें पूर्णांक होते हैं, और पूर्णांक वाले किसी भी क्षेत्र में समाहित होता है। दूसरे शब्दों में, परिमेय संख्याओं का क्षेत्र एक प्रमुख क्षेत्र है, और एक क्षेत्र में विशेषता शून्य होती है यदि और केवल यदि इसमें उपक्षेत्र के रूप में परिमेय संख्याएँ होती हैं। का परिमित क्षेत्र विस्तार $\mathbb {Q}$ बीजगणितीय संख्या क्षेत्र कहलाते हैं, और बीजगणितीय समापन $\mathbb {Q}$ बीजगणितीय संख्याओं का क्षेत्र है। गणितीय विश्लेषण में, परिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याओं का सघन समुच्चय बनाती हैं। कौशी अनुक्रमों, डेडेकिंड कटौती, या अनंत दशमलवों का उपयोग करके पूर्ण (मीट्रिक स्थान) द्वारा वास्तविक संख्याओं का निर्माण परिमेय संख्याओं से किया जा सकता है (वास्तविक संख्याओं का निर्माण देखें)।

शब्दावली

सेट के संदर्भ में तर्कसंगत शब्द $\mathbb {Q}$ इस तथ्य को संदर्भित करता है कि एक परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात का प्रतिनिधित्व करती है। गणित में, परिमेय का प्रयोग प्राय: परिमेय संख्या को संक्षिप्त करने वाली संज्ञा के रूप में किया जाता है। विशेषण परिमेय का कभी-कभी अर्थ होता है कि गुणांक परिमेय संख्याएँ हैं। उदाहरण के लिए, एक परिमेय बिंदु परिमेय निर्देशांक वाला एक बिंदु है (अर्थात्, एक बिंदु जिसके निर्देशांक परिमेय संख्याएँ हैं); परिमेय मैट्रिक्स परिमेय संख्याओं का मैट्रिक्स (गणित) है; एक परिमेय बहुपद परिमेय गुणांकों वाला बहुपद हो सकता है, हालांकि परिमेय भिन्न और परिमेय फलन के बीच भ्रम से बचने के लिए परिमेय पर बहुपद शब्द को आम तौर पर प्राथमिकता दी जाती है (बहुपद एक परिमेय व्यंजक है और परिमेय फलन को परिभाषित करता है, भले ही इसके गुणांक न हों परिमेय संख्या)। हालाँकि, एक परिमेय वक्र परिमेय पर परिभाषित वक्र नहीं है, बल्कि एक वक्र है जिसे परिमेय कार्यों द्वारा परिचालित किया जा सकता है।

व्युत्पत्ति

हालाँकि आजकल परिमेय संख्याओं को अनुपातों के संदर्भ में परिभाषित किया जाता है, परिमेय शब्द अनुपात की रूपात्मक व्युत्पत्ति नहीं है। इसके विपरीत, यह अनुपात है जो तर्कसंगत से प्राप्त होता है: इसके आधुनिक अर्थ के साथ अनुपात का पहला उपयोग अंग्रेजी में लगभग 1660 में प्रमाणित किया गया था, जबकि क्वालीफाइंग नंबरों के लिए परिमेय का उपयोग लगभग एक सदी पहले, 1570 में हुआ था। परिमेय का यह अर्थ अपरिमेय के गणितीय अर्थ से आया है, जिसका पहली बार उपयोग 1551 में किया गया था, और इसका उपयोग यूक्लिड के अनुवादों में किया गया था (उसके विशिष्ट प्रयोग के बाद) ἄλογος) . इस असामान्य इतिहास की उत्पत्ति इस तथ्य से हुई है कि ग्रीक गणित ने उन [तर्कहीन] लंबाई को संख्याओं के रूप में सोचने से खुद को मना कर विधर्म से परहेज किया। तो इस तरह की लंबाई तर्कहीन थी, अतार्किक के अर्थ में, जिसके बारे में बात नहीं की जा सकती (ἄλογος यूनानी में)। यह व्युत्पत्ति काल्पनिक संख्या और वास्तविक संख्या के समान है।

अंकगणित

See also: Fraction (mathematics) § Arithmetic with fractions

इर्रेड्यूसिबल अंश

प्रत्येक परिमेय संख्या को एक अद्वितीय तरीके से एक अलघुकरणीय अंश के रूप में व्यक्त किया जा सकता है ${\tfrac {a}{b}},$ कहां a और b कोप्राइम पूर्णांक हैं और b > 0. इसे अक्सर परिमेय संख्या का विहित रूप कहा जाता है।

एक परिमेय संख्या से शुरू ${\tfrac {a}{b}},$ इसका विहित रूप विभाजित करके प्राप्त किया जा सकता है a और b उनके सबसे बड़े सामान्य विभाजक द्वारा, और, यदि b < 0, परिणामी अंश और भाजक के चिन्ह को बदलना।

पूर्णांकों का एम्बेडिंग

कोई पूर्णांक n परिमेय संख्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है ${\tfrac {n}{1}},$ जो एक परिमेय संख्या के रूप में इसका विहित रूप है।

समानता

${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$ अगर और केवल अगर $ad=bc$

यदि दोनों अंश विहित रूप में हैं, तो:

${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$ अगर और केवल अगर $a=c$ और $b=d$

आदेश देना

यदि दोनों भाजक धनात्मक हैं (विशेषकर यदि दोनों भिन्न विहित रूप में हैं):

${\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}$ अगर और केवल अगर $ad<bc.$

दूसरी ओर, यदि कोई भी भाजक ऋणात्मक है, तो ऋणात्मक भाजक वाले प्रत्येक अंश को पहले उसके अंश और हर दोनों के चिह्नों को बदलकर एक सकारात्मक भाजक के साथ एक समतुल्य रूप में परिवर्तित किया जाना चाहिए।

जोड़

दो अंशों को इस प्रकार जोड़ा जाता है:

${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}.$

यदि दोनों अंश विहित रूप में हैं, तो परिणाम विहित रूप में है यदि और केवल यदि b, d कोप्राइम पूर्णांक हैं।

घटाव

${\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad-bc}{bd}}.$

यदि दोनों अंश विहित रूप में हैं, तो परिणाम विहित रूप में है यदि और केवल यदि b, d कोप्राइम पूर्णांक हैं।

गुणन

गुणन का नियम है:

${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}.$

जहां परिणाम एक कम करने योग्य अंश हो सकता है - भले ही दोनों मूल अंश विहित रूप में हों।

उलटा

हर तर्कसंगत संख्या ${\tfrac {a}{b}}$ एक योज्य व्युत्क्रम होता है, जिसे अक्सर इसका विपरीत कहा जाता है,

$-\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}.$

यदि ${\tfrac {a}{b}}$ विहित रूप में है, इसके विपरीत के लिए भी यही सच है।

एक अशून्य परिमेय संख्या ${\tfrac {a}{b}}$ एक गुणक व्युत्क्रम है, जिसे इसका व्युत्क्रम भी कहा जाता है,

$\left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}.$

यदि ${\tfrac {a}{b}}$ विहित रूप में है, तो उसके व्युत्क्रम का विहित रूप या तो है ${\tfrac {b}{a}}$ या ${\tfrac {-b}{-a}},$ के चिह्न पर निर्भर करता है a.

विभाग

यदि b, c, d अशून्य हैं, विभाजन नियम है

${\frac {\frac {a}{b}}{\frac {c}{d}}}={\frac {ad}{bc}}.$

इस प्रकार, विभाजन ${\tfrac {a}{b}}$ द्वारा ${\tfrac {c}{d}}$ गुणा करने के बराबर है ${\tfrac {a}{b}}$ के गुणक व्युत्क्रम द्वारा ${\tfrac {c}{d}}:$:${\frac {ad}{bc}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}.$

पूर्णांक शक्ति के लिए घातांक

यदि n तब एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है

$\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}.$

परिणाम कैनोनिकल रूप में है यदि वही सत्य है ${\tfrac {a}{b}}.$ विशेष रूप से,

$\left({\frac {a}{b}}\right)^{0}=1.$

यदि a ≠ 0, तब

$\left({\frac {a}{b}}\right)^{-n}={\frac {b^{n}}{a^{n}}}.$

यदि ${\tfrac {a}{b}}$ विहित रूप में है, परिणाम का विहित रूप है ${\tfrac {b^{n}}{a^{n}}}$ यदि a > 0 या n सम है। अन्यथा, परिणाम का विहित रूप है ${\tfrac {-b^{n}}{-a^{n}}}.$

निरंतर अंश प्रतिनिधित्व

Main article: Continued fraction

एक परिमित निरंतर अंश एक अभिव्यक्ति है जैसे

$a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{a_{n}}}}}}}}},$

कहां a_n पूर्णांक हैं। हर तर्कसंगत संख्या ${\tfrac {a}{b}}$ परिमित निरंतर अंश के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है, जिसका गुणांक {{mvar|a_n}यूक्लिडियन एल्गोरिथम को लागू करके } निर्धारित किया जा सकता है (a, b).

अन्य अभ्यावेदन

• सामान्य अंश: ${\tfrac {8}{3}}$
• मिश्रित अंक: $2{\tfrac {2}{3}}$
• विनकुलम (प्रतीक) का उपयोग करके दशमलव को दोहराना: $2.{\overline {6}}$
• कोष्ठकों का उपयोग करके दशमलव को दोहराना: $2.(6)$
• पारंपरिक टाइपोग्राफी का उपयोग करते हुए निरंतर अंश: $2+{\tfrac {1}{1}}+{\tfrac {1}{2}}$
• संक्षिप्त अंकन में निरंतर अंश: $[2;1,2]$
• मिस्र का अंश: $2+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}$
• अंकगणित का मौलिक प्रमेय # धनात्मक पूर्णांक का विहित प्रतिनिधित्व: $2^{3}\times 3^{-1}$
• उद्धरण संकेतन: $3'6$

एक ही तर्कसंगत मूल्य का प्रतिनिधित्व करने के विभिन्न तरीके हैं।

औपचारिक निर्माण

पूर्णांकों के युग्मों के समतुल्य वर्गों का निरूपण दर्शाने वाला आरेख

परिमेय संख्याओं को पूर्णांकों के क्रमित युग्मों के तुल्यता वर्गों के रूप में बनाया जा सकता है।

अधिक सटीक, चलो $(\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \ \{0\}))$ जोड़े का सेट बनें (m, n) ऐसे पूर्णांकों का n ≠ 0. इस सेट पर एक समानता संबंध परिभाषित किया गया है

$(m_{1},n_{1})\sim (m_{2},n_{2})\iff m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}.$

जोड़ और गुणा को निम्नलिखित नियमों द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:

$(m_{1},n_{1})+(m_{2},n_{2})\equiv (m_{1}n_{2}+n_{1}m_{2},n_{1}n_{2}),$

$(m_{1},n_{1})\times (m_{2},n_{2})\equiv (m_{1}m_{2},n_{1}n_{2}).$

यह तुल्यता संबंध एक सर्वांगसम संबंध है, जिसका अर्थ है कि यह ऊपर परिभाषित जोड़ और गुणा के साथ संगत है; परिमेय संख्याओं का समुच्चय $\mathbb {Q}$ इस तुल्यता संबंध द्वारा निर्धारित भागफल के रूप में परिभाषित किया गया है, $(\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \ \{0\}))/\sim ,$ उपरोक्त परिचालनों द्वारा प्रेरित जोड़ और गुणा से सुसज्जित। (यह निर्माण किसी भी अभिन्न डोमेन के साथ किया जा सकता है और इसके अंशों के क्षेत्र का उत्पादन करता है।)

एक जोड़ी का समकक्ष वर्ग (m, n) निरूपित किया जाता है ${\tfrac {m}{n}}.$ दो जोड़े (m₁, n₁) और (m₂, n₂) समान तुल्यता वर्ग से संबंधित हैं (जो समतुल्य हैं) यदि और केवल यदि

$m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}.$ इस का मतलब है कि

${\frac {m_{1}}{n_{1}}}={\frac {m_{2}}{n_{2}}}$

अगर और केवल अगर:$m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}.$ हर समकक्ष वर्ग ${\tfrac {m}{n}}$ असीम रूप से कई जोड़े द्वारा प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, क्योंकि

$\cdots ={\frac {-2m}{-2n}}={\frac {-m}{-n}}={\frac {m}{n}}={\frac {2m}{2n}}=\cdots .$

प्रत्येक तुल्यता वर्ग में एक अद्वितीय प्रतिनिधि (गणित) होता है। विहित प्रतिनिधि अद्वितीय जोड़ी है (m, n) समतुल्य वर्ग में ऐसा है m और n कोप्राइम हैं, और n > 0. इसे परिमेय संख्या का अलघुकरणीय अंश कहते हैं।

पूर्णांकों को पूर्णांक की पहचान करने वाली परिमेय संख्याएँ माना जा सकता है n तर्कसंगत संख्या के साथ ${\tfrac {n}{1}}.$ कुल क्रम को परिमेय संख्याओं पर परिभाषित किया जा सकता है, जो पूर्णांकों के प्राकृतिक क्रम को बढ़ाता है। किसी के पास

${\frac {m_{1}}{n_{1}}}\leq {\frac {m_{2}}{n_{2}}}$

यदि

${\begin{aligned}&(n_{1}n_{2}>0\quad {\text{and}}\quad m_{1}n_{2}\leq n_{1}m_{2})\\&\qquad {\text{or}}\\&(n_{1}n_{2}<0\quad {\text{and}}\quad m_{1}n_{2}\geq n_{1}m_{2}).\end{aligned}}$

गुण

सेट $\mathbb {Q}$ सभी परिमेय संख्याओं का, ऊपर दिखाए गए योग और गुणन संक्रियाओं के साथ, एक क्षेत्र (गणित) बनाता है।

$\mathbb {Q}$ पहचान के अलावा कोई फ़ील्ड ऑटोमोर्फिज़्म नहीं है। (एक फील्ड ऑटोमोर्फिज्म को 0 और 1 को ठीक करना चाहिए; क्योंकि इसे योग और दो निश्चित तत्वों के अंतर को ठीक करना चाहिए, इसे हर पूर्णांक को ठीक करना चाहिए; क्योंकि इसे दो निश्चित तत्वों के भागफल को ठीक करना चाहिए, इसे हर परिमेय संख्या को ठीक करना चाहिए, और है इस प्रकार पहचान।)

$\mathbb {Q}$ एक प्रमुख क्षेत्र है, जो एक ऐसा क्षेत्र है जिसका स्वयं के अलावा कोई उपक्षेत्र नहीं है। परिमेय विशेषता (बीजगणित) शून्य के साथ सबसे छोटा क्षेत्र है। विशेषता शून्य के प्रत्येक क्षेत्र में एक अद्वितीय सबफ़ील्ड आइसोमोर्फिक होता है $\mathbb {Q} .$ ऊपर परिभाषित आदेश के साथ, $\mathbb {Q}$ एक आदेशित क्षेत्र हैजिसका स्वयं के अलावा कोई उपक्षेत्र नहीं है, और यह सबसे छोटा क्रमित क्षेत्र है, इस अर्थ में कि प्रत्येक आदेशित क्षेत्र में एक अद्वितीय उपक्षेत्र समरूपता होती है $\mathbb {Q} .$

$\mathbb {Q}$ पूर्णांकों के भिन्नों का क्षेत्र है $\mathbb {Z} .$ का बीजगणितीय समापन $\mathbb {Q} ,$ यानी तर्कसंगत बहुपदों की जड़ों का क्षेत्र, बीजगणितीय संख्याओं का क्षेत्र है।

परिमेय एक सघन रूप से व्यवस्थित सेट हैं: किसी भी दो परिमेय के बीच, एक और परिमेय संख्या होती है, और इसलिए, असीम रूप से कई अन्य।उदाहरण के लिए, किन्हीं दो भिन्नों के लिए जैसे कि

${\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}$

(कहां $b,d$ सकारात्मक हैं), हमारे पास है

${\frac {a}{b}}<{\frac {a+c}{b+d}}<{\frac {c}{d}}.$

कोई भी पूरी तरह से आदेशित सेट जो गणनीय है, सघन है (उपर्युक्त अर्थ में), और इसमें कोई कम या सबसे बड़ा तत्व नहीं है, परिमेय संख्याओं के लिए ऑर्डर आइसोमोर्फिज्म है।

गणनीयता

सकारात्मक परिमेय की गणना का चित्रण

सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय गणनीय है, जैसा कि दाईं ओर दिए गए चित्र में दिखाया गया है। एक परिमेय संख्या को दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के रूप में वर्ग जाली पर किसी भी बिंदु पर दो पूर्णांक निर्दिष्ट करना संभव है, जैसे कि कोई भी ग्रिड बिंदु एक परिमेय संख्या से मेल खाता है। हालाँकि, यह विधि अतिरेक का एक रूप प्रदर्शित करती है, क्योंकि कई अलग-अलग ग्रिड बिंदु समान परिमेय संख्या के अनुरूप होंगे; इन्हें प्रदान किए गए ग्राफ़िक पर लाल रंग से हाइलाइट किया गया है। नीचे दाईं ओर तिरछे जाने वाली रेखा में एक स्पष्ट उदाहरण देखा जा सकता है; इस तरह के अनुपात हमेशा 1 के बराबर होंगे, क्योंकि किसी भी विभाजन को शून्य | गैर-शून्य संख्या को स्वयं से विभाजित करने पर हमेशा एक के बराबर होगा।

इस तरह के अतिरेक के बिना सभी परिमेय संख्याएँ उत्पन्न करना संभव है: उदाहरणों में कल्किन-विल्फ़ ट्री और स्टर्न-ब्रोकॉट ट्री शामिल हैं।

जैसा कि सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय गणनीय है, और सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय (साथ ही अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय) बेशुमार है, परिमेय संख्याओं का समुच्चय एक अशक्त समुच्चय है, अर्थात लगभग सभी वास्तविक संख्याएँ अपरिमेय हैं, Lebesgue उपाय के अर्थ में।

वास्तविक संख्याएं और सामयिक गुण

परिमेय वास्तविक संख्याओं का एक सघन समुच्चय है, हर वास्तविक संख्या में परिमेय संख्याएँ मनमाने ढंग से इसके करीब होती हैं।एक संबंधित गुण यह है कि परिमेय संख्याएँ ही एकमात्र ऐसी संख्याएँ हैं जिनमें निरंतर भिन्न के रूप में परिमित सेट विस्तार होते हैं। वास्तविक संख्याओं की सामान्य टोपोलॉजी में, परिमेय न तो खुले सेट होते हैं और न ही बंद सेट। उनके आदेश के आधार पर, परिमेय एक आदेश टोपोलॉजी ले जाते हैं। परिमेय संख्याएँ, वास्तविक संख्याओं के उप-स्थान के रूप में, एक उप-स्थान टोपोलॉजी भी ले जाती हैं। परिमेय संख्याएँ निरपेक्ष अंतर मीट्रिक का उपयोग करके एक मीट्रिक स्थान बनाती हैं $d(x,y)=|x-y|,$ और इससे तीसरी टोपोलॉजी प्राप्त होती है $\mathbb {Q} .$ तीनों टोपोलॉजी मेल खाती हैं और परिमेय को एक टोपोलॉजिकल क्षेत्र में बदल देती हैं। परिमेय संख्याएँ ऐसे स्थान का एक महत्वपूर्ण उदाहरण हैं जो स्थानीय रूप से सघन नहीं है। परिमेय को अलग-अलग बिंदुओं के बिना अद्वितीय गणना योग्य सामयिक संपत्ति के रूप में सामयिक रूप से चित्रित किया गया है। अंतरिक्ष भी पूरी तरह से डिस्कनेक्ट किया गया स्थान है। परिमेय संख्याएँ पूर्णता (टोपोलॉजी) नहीं बनाती हैं, और वास्तविक संख्याएँ पूर्ण होती हैं $\mathbb {Q}$ मीट्रिक के तहत $d(x,y)=|x-y|$ के ऊपर।

पी-एडिक नंबर

Main article: [[:p-adic number|p-adic number]]

ऊपर उल्लिखित निरपेक्ष मान मीट्रिक के अतिरिक्त, अन्य मीट्रिक भी हैं जो मुड़ते हैं $\mathbb {Q}$ एक सामयिक क्षेत्र में:

होने देना p एक अभाज्य संख्या हो और किसी भी गैर-शून्य पूर्णांक के लिए a, होने देना $|a|_{p}=p_{-n},$ कहां pⁿ की उच्चतम शक्ति है p भाजक a.

इसके अलावा सेट $|0|_{p}=0.$ किसी भी परिमेय संख्या के लिए ${\frac {a}{b}},$ हम ने ठीक किया

$\left|{\frac {a}{b}}\right|_{p}={\frac {|a|_{p}}{|b|_{p}}}.$

फिर

$d_{p}(x,y)=|x-y|_{p}$

एक मीट्रिक स्थान को परिभाषित करता है $\mathbb {Q} .$ मीट्रिक स्थान $(\mathbb {Q} ,d_{p})$ पूर्ण नहीं है, और इसकी पूर्णता p-adic number| हैp-आदिक संख्या क्षेत्र $\mathbb {Q} _{p}.$ ओस्ट्रोव्स्की के प्रमेय में कहा गया है कि परिमेय संख्याओं पर कोई भी गैर-तुच्छ निरपेक्ष मान (बीजगणित)। $\mathbb {Q}$ या तो सामान्य वास्तविक निरपेक्ष मान या p-adic संख्या| के बराबर हैp-एडिक निरपेक्ष मूल्य।

यह भी देखें

• डायडिक तर्कसंगत
• तैरनेवाला स्थल
• फोर्ड सर्कल
• गाऊसी तर्कसंगत
• अंकगणित और डायोफैंटाइन ज्यामिति की शब्दावली#एन|नाभि ऊंचाई—न्यूनतम अवधि में एक परिमेय संख्या की ऊंचाई
• निवेन की प्रमेय
• तर्कसंगत डेटा प्रकार
• दिव्य अनुपात: तर्कसंगत त्रिकोणमिति से सार्वभौमिक ज्यामिति

Number systems Complex $:\;\mathbb {C}$ Real $:\;\mathbb {R}$ Rational $:\;\mathbb {Q}$ Integer $:\;\mathbb {Z}$ Natural $:\;\mathbb {N}$ Zero: 0 One: 1 Prime numbers Composite numbers Negative integers Fraction Finite decimal Dyadic (finite binary) Repeating decimal Irrational Algebraic irrational Transcendental Imaginary

बाहरी कड़ियाँ

• "Rational number", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• "Rational Number" From MathWorld – A Wolfram Web Resource

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