जर्म (गणित)

गणित में, टोपोलॉजिकल स्पेस में/पर किसी वस्तु के रोगाणु की धारणा उस वस्तु और उसी प्रकार की अन्य वस्तुओं का एक समतुल्य वर्ग है जो उनके साझा स्थानीय गुणों को पकड़ लेता है। विशेष रूप से, विचाराधीन वस्तुएँ अधिकतर फ़ंक्शन (गणित) (या मानचित्र (गणित)) और उपसमुच्चय हैं। इस विचार के विशिष्ट कार्यान्वयन में, विचाराधीन कार्यों या उपसमुच्चय में कुछ गुण होंगे, जैसे कि विश्लेषणात्मक या सुचारू होना, लेकिन सामान्य तौर पर इसकी आवश्यकता नहीं है (प्रश्नाधीन कार्यों को निरंतर कार्य करने की भी आवश्यकता नहीं है); हालाँकि यह आवश्यक है कि जिस स्थान पर/जिसमें वस्तु को परिभाषित किया गया है वह एक टोपोलॉजिकल स्थान हो, ताकि स्थानीय शब्द का कुछ अर्थ हो।

नाम

यह नाम शीफ (गणित) रूपक की निरंतरता में अनाज के रोगाणु से लिया गया है, क्योंकि एक रोगाणु (स्थानीय रूप से) एक कार्य का दिल है, जैसे कि यह एक अनाज के लिए है।

औपचारिक परिभाषा

मूल परिभाषा

टोपोलॉजिकल स्पेस X का एक बिंदु x और दो मानचित्र दिए गए हैं $f,g:X\to Y$ (जहाँ Y कोई समुच्चय (गणित) है), तो $f$ और $g$ यदि x का कोई पड़ोस (गणित) U है, जो U, f और g तक सीमित है, तो x पर समान रोगाणु को परिभाषित करें; मतलब है कि $f(u)=g(u)$ यू में आप सभी के लिए.

इसी प्रकार, यदि S और T, X के कोई दो उपसमुच्चय हैं, तो वे x पर एक ही रोगाणु को परिभाषित करते हैं यदि फिर से x का पड़ोस U है, जैसे कि

$S\cap U=T\cap U.$

यह देखना सीधा है कि समान रोगाणु को x पर परिभाषित करना एक समतुल्य संबंध है (चाहे वह मानचित्रों या सेटों पर हो), और समतुल्य वर्गों को रोगाणु (मानचित्र-रोगाणु, या तदनुसार सेट-रोगाणु) कहा जाता है। तुल्यता संबंध आमतौर पर लिखा जाता है

$f\sim _{x}g\quad {\text{or}}\quad S\sim _{x}T.$

X पर एक मानचित्र f दिया गया है, तो x पर इसका रोगाणु आमतौर पर दर्शाया जाता है [f ]_x. इसी प्रकार, समुच्चय S के x पर रोगाणु को [S] लिखा जाता है_x. इस प्रकार,

$[f]_{x}=\{g:X\to Y\mid g\sim _{x}f\}.$

X में x पर एक मानचित्र रोगाणु जो X में बिंदु x को Y में बिंदु y तक मैप करता है, उसे इस रूप में दर्शाया गया है

$f:(X,x)\to (Y,y).$

इस नोटेशन का उपयोग करते समय, f को किसी भी प्रतिनिधि (गणित) मानचित्र के लिए समान अक्षर f का उपयोग करते हुए, मानचित्रों के संपूर्ण समतुल्य वर्ग के रूप में अभिप्रेत किया जाता है।

ध्यान दें कि दो सेट x पर रोगाणु-समतुल्य हैं यदि और केवल यदि उनके संकेतक कार्य x पर रोगाणु-समतुल्य हैं:

$S\sim _{x}T\Longleftrightarrow \mathbf {1} _{S}\sim _{x}\mathbf {1} _{T}.$

अधिक सामान्यतः

मानचित्रों को सभी X पर परिभाषित करने की आवश्यकता नहीं है, और विशेष रूप से उन्हें समान डोमेन की आवश्यकता नहीं है। हालाँकि, यदि f के पास डोमेन S है और g के पास डोमेन T है, जो X के दोनों उपसमुच्चय हैं, तो f और g, X में x पर रोगाणु समतुल्य हैं, यदि पहले S और T, x पर रोगाणु समतुल्य हैं, तो मान लीजिए $S\cap U=T\cap U\neq \emptyset ,$ और फिर इसके अलावा $f|_{S\cap V}=g|_{T\cap V}$, कुछ छोटे पड़ोस के लिए V के साथ $x\in V\subseteq U$. यह दो सेटिंग्स में विशेष रूप से प्रासंगिक है:

1. f को X की उप-विविधता V पर परिभाषित किया गया है, और
2. f में x पर किसी प्रकार का एक ध्रुव है, इसलिए इसे x पर भी परिभाषित नहीं किया गया है, उदाहरण के लिए एक तर्कसंगत फ़ंक्शन, जिसे एक उपविविधता से परिभाषित किया जाएगा।

बुनियादी गुण

यदि एफ और जी एक्स पर रोगाणु समकक्ष हैं, तो वे सभी स्थानीय गुणों को साझा करते हैं, जैसे निरंतरता, भिन्नता इत्यादि, इसलिए एक अलग या विश्लेषणात्मक रोगाणु इत्यादि के बारे में बात करना समझ में आता है। इसी तरह उपसमुच्चय के लिए: यदि रोगाणु का एक प्रतिनिधि एक विश्लेषणात्मक सेट है तो सभी प्रतिनिधि भी हैं, कम से कम x के कुछ पड़ोस पर।

लक्ष्य Y पर बीजगणितीय संरचनाएँ Y में मान वाले रोगाणुओं के समूह द्वारा विरासत में मिली हैं। उदाहरण के लिए, यदि लक्ष्य Y एक समूह (गणित) है, तो रोगाणुओं को गुणा करना समझ में आता है: परिभाषित करने के लिए [f]_x[जी]_x, पहले क्रमशः पड़ोस यू और वी पर परिभाषित प्रतिनिधियों एफ और जी को लें, और [एफ] को परिभाषित करें_x[जी]_x बिंदुवार उत्पाद मानचित्र एफजी के एक्स पर रोगाणु होना (जिसे परिभाषित किया गया है)। $U\cap V$). उसी तरह, यदि Y एक एबेलियन समूह, सदिश स्थल , या रिंग (गणित) है, तो रोगाणुओं का सेट भी ऐसा ही है।

एक्स से वाई तक के मानचित्रों के एक्स पर रोगाणुओं के सेट में असतत टोपोलॉजी को छोड़कर, कोई उपयोगी टोपोलॉजिकल स्थान नहीं है। इसलिए रोगाणुओं के अभिसरण अनुक्रम के बारे में बात करना बहुत कम या कोई मतलब नहीं है। हालाँकि, यदि X और Y कई गुना हैं, तो जेट के रिक्त स्थान (गणित) $J_{x}^{k}(X,Y)$ (मानचित्र के x पर परिमित क्रम टेलर श्रृंखला (-रोगाणु)) में टोपोलॉजी होती है क्योंकि उन्हें परिमित-आयामी वेक्टर स्थानों से पहचाना जा सकता है।

शेवों से संबंध

शीव्स और प्रीशीव्स की परिभाषा के पीछे रोगाणुओं का विचार है। ए शीफ़ (गणित) ${\mathcal {F}}$ टोपोलॉजिकल स्पेस पर एबेलियन समूहों का एक्स एक एबेलियन समूह निर्दिष्ट करता है ${\mathcal {F}}(U)$ एक्स में प्रत्येक खुले सेट यू के लिए। यहां एबेलियन समूहों के विशिष्ट उदाहरण हैं: यू पर वास्तविक मूल्यवान फ़ंक्शन, यू पर विभेदक रूप, यू पर वेक्टर फ़ील्ड, यू पर होलोमोर्फिक फ़ंक्शन (जब एक्स एक जटिल स्थान है), यू पर निरंतर फ़ंक्शन और यू पर डिफरेंशियल ऑपरेटर्स

अगर $V\subseteq U$ फिर एक प्रतिबंध मानचित्र है $\mathrm {res} _{VU}:{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}(V),$ कुछ निश्चित शीफ (गणित)#प्रीशीव्स को संतुष्ट करना। एक निश्चित x के लिए, कोई कहता है कि तत्व $f\in {\mathcal {F}}(U)$ और $g\in {\mathcal {F}}(V)$ यदि कोई पड़ोस है तो x पर समतुल्य हैं $W\subseteq U\cap V$ x का रेस के साथ_WU(एफ) = रेस_WV(जी) (दोनों तत्व ${\mathcal {F}}(W)$). तुल्यता वर्ग डंठल (शेफ़) बनाते हैं ${\mathcal {F}}_{x}$ प्रीशीफ़ के x पर ${\mathcal {F}}$. यह तुल्यता संबंध ऊपर वर्णित रोगाणु तुल्यता का एक अमूर्त रूप है।

ढेरों के माध्यम से रोगाणुओं की व्याख्या करना रोगाणुओं के सेट पर बीजगणितीय संरचनाओं की उपस्थिति के लिए एक सामान्य स्पष्टीकरण भी देता है। इसका कारण यह है कि डंठलों का निर्माण सीमित सीमाओं को बनाए रखता है। इसका तात्पर्य यह है कि यदि T एक लॉवर सिद्धांत है और एक शीफ़ F एक T-बीजगणित है, तो कोई भी डंठल F_x यह भी एक टी-बीजगणित है।

उदाहरण

अगर $X$ और $Y$ अतिरिक्त संरचना होने पर, X से Y तक के सभी मानचित्रों के सेट के उपसमुच्चय को परिभाषित करना संभव है या किसी दिए गए प्रीशीफ के सामान्यतः उप-प्रीशीफ को परिभाषित करना संभव है। ${\mathcal {F}}$ और संबंधित रोगाणु: कुछ उल्लेखनीय उदाहरण निम्नलिखित हैं।

• अगर $X,Y$ दोनों टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान , उपसमुच्चय हैं

$C^{0}(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)$ :निरंतर कार्यों का निरंतर कार्यों के रोगाणुओं को परिभाषित करता है।

• अगर दोनों $X$ और $Y$ एक भिन्न संरचना, उपसमुच्चय को स्वीकार करें

$C^{k}(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)$ :का $k$-बार-बार लगातार भिन्न-भिन्न कार्य, उपसमुच्चय

$C^{\infty }(X,Y)=\bigcap \nolimits _{k}C^{k}(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)$ :सुचारु कार्यों और उपसमुच्चय का

$C^{\omega }(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)$ :विश्लेषणात्मक कार्यों को परिभाषित किया जा सकता है ($\omega$ यहाँ अनंत के लिए क्रमसूचक संख्या है; यह सादृश्य द्वारा, अंकन का दुरुपयोग है $C^{k}$ और $C^{\infty }$), और फिर (अंततः) भिन्न, सुचारु, विश्लेषणात्मक कार्यों के रोगाणुओं के स्थान का निर्माण किया जा सकता है।

• अगर $X,Y$ एक जटिल संरचना है (उदाहरण के लिए, वेक्टर स्पेस के सबसेट हैं), उनके बीच होलोमोर्फिक फ़ंक्शन को परिभाषित किया जा सकता है, और इसलिए होलोमोर्फिक फ़ंक्शन के रोगाणुओं के स्थान का निर्माण किया जा सकता है।
• अगर $X,Y$ एक बीजगणितीय संरचना है, तो उनके बीच नियमित कार्य (और तर्कसंगत कार्य) कार्यों को परिभाषित किया जा सकता है, और नियमित कार्यों (और इसी तरह तर्कसंगत) के रोगाणुओं को परिभाषित किया जा सकता है।
• 'f का रोगाणु: ℝ→ सकारात्मक अनंत पर Y (या बस f का रोगाणु) है $\{g:\exists x\forall y>x\,f(y)=g(y)\}$. इन रोगाणुओं का उपयोग स्पर्शोन्मुख विश्लेषण और हार्डी क्षेत्रों में किया जाता है।

संकेतन

एक पूले का डंठल (शेफ)। ${\mathcal {F}}$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस पर $X$ एक बिंदु पर $x$ का $X$ सामान्यतः द्वारा दर्शाया जाता है ${\mathcal {F}}_{x}.$ परिणामस्वरूप, विभिन्न प्रकार के कार्यों के ढेरों के डंठल बनाने वाले रोगाणु, अंकन की इस योजना को उधार लेते हैं:

• ${\mathcal {C}}_{x}^{0}$ पर निरंतर कार्य करने वाले रोगाणुओं का स्थान है $x$.
• ${\mathcal {C}}_{x}^{k}$ प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए $k$ के रोगाणुओं का स्थान है $k$-टाइम्स-डिफरेंशियल फ़ंक्शंस $x$.
• ${\mathcal {C}}_{x}^{\infty }$ पर असीम रूप से भिन्न (सुचारू) कार्यों के रोगाणुओं का स्थान है $x$.
• ${\mathcal {C}}_{x}^{\omega }$ विश्लेषणात्मक कार्यों के रोगाणुओं का स्थान है $x$.
• ${\mathcal {O}}_{x}$ होलोमोर्फिक कार्यों के रोगाणुओं का स्थान (जटिल ज्यामिति में), या नियमित कार्यों के रोगाणुओं का स्थान (बीजगणितीय ज्यामिति में) है $x$.

सेट और किस्मों के रोगाणुओं के लिए, संकेतन इतनी अच्छी तरह से स्थापित नहीं है: साहित्य में पाए जाने वाले कुछ संकेतन में शामिल हैं:

• ${\mathfrak {V}}_{x}$ विश्लेषणात्मक किस्मों के रोगाणुओं का स्थान है $x$. जब बात $x$ निश्चित और ज्ञात है (उदा. जब $X$ एक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस है और $x=0$), इसे उपरोक्त प्रत्येक प्रतीक में छोड़ा जा सकता है: भी, कब $\dim X=n$, प्रतीक से पहले एक सबस्क्रिप्ट जोड़ा जा सकता है। उदाहरण के रूप में
• ${_{n}{\mathcal {C}}^{0}},{_{n}{\mathcal {C}}^{k}},{_{n}{\mathcal {C}}^{\infty }},{_{n}{\mathcal {C}}^{\omega }},{_{n}{\mathcal {O}}},{_{n}{\mathfrak {V}}}$ जब ऊपर दिखाए गए रोगाणुओं के स्थान हैं $X$ एक है $n$-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष और $x=0$.

अनुप्रयोग

रोगाणुओं के अनुप्रयोगों में मुख्य शब्द स्थानीयता है: किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की सभी स्थानीय संपत्ति का अध्ययन उसके रोगाणु का विश्लेषण करके किया जा सकता है। वे टेलर श्रृंखला का एक सामान्यीकरण हैं, और वास्तव में एक रोगाणु (एक अलग कार्य की) की टेलर श्रृंखला को परिभाषित किया गया है: आपको डेरिवेटिव की गणना करने के लिए केवल स्थानीय जानकारी की आवश्यकता है।

रोगाणु अपने चरण स्थान के चुने हुए बिंदुओं के निकट गतिशील प्रणाली (परिभाषा) के गुणों को निर्धारित करने में उपयोगी होते हैं: वे विलक्षणता सिद्धांत और आपदा सिद्धांत में मुख्य उपकरणों में से एक हैं।

जब टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान पर विचार किया जाता है तो रीमैन सतहें या अधिक सामान्यतः विश्लेषणात्मक विविधता | जटिल-विश्लेषणात्मक किस्में होती हैं, उन पर होलोमोर्फिक कार्यों के रोगाणुओं को शक्ति श्रृंखला के रूप में देखा जा सकता है, और इस प्रकार रोगाणुओं के सेट को एक विश्लेषणात्मक कार्य की विश्लेषणात्मक निरंतरता माना जा सकता है .

अंतर ज्यामिति में स्पर्शरेखा सदिशों की परिभाषा में रोगाणुओं का भी उपयोग किया जा सकता है। एक स्पर्शरेखा वेक्टर को उस बिंदु पर रोगाणुओं के बीजगणित पर एक बिंदु-व्युत्पन्न के रूप में देखा जा सकता है।

बीजगणितीय गुण

जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, रोगाणुओं के सेट में बीजगणितीय संरचनाएं हो सकती हैं जैसे कि छल्ले। कई स्थितियों में, रोगाणुओं के छल्ले मनमाने छल्ले नहीं होते बल्कि उनमें काफी विशिष्ट गुण होते हैं।

मान लीजिए कि X किसी प्रकार का एक स्थान है। अक्सर ऐसा होता है कि, प्रत्येक x ∈ X पर, x पर कार्यों के रोगाणुओं का वलय एक स्थानीय वलय होता है। यह मामला है, उदाहरण के लिए, टोपोलॉजिकल स्पेस पर निरंतर कार्यों के लिए; वास्तविक मैनिफोल्ड पर k- बार विभेदित, सुचारु, या विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए (जब ऐसे कार्यों को परिभाषित किया जाता है); एक जटिल मैनिफोल्ड पर होलोमोर्फिक कार्यों के लिए; और बीजगणितीय विविधता पर नियमित कार्यों के लिए। यह गुण कि रोगाणुओं के वलय स्थानीय वलय हैं, स्थानीय रूप से वलयित स्थानों के सिद्धांत द्वारा स्वयंसिद्ध है।

हालाँकि, उत्पन्न होने वाले स्थानीय वलय के प्रकार विचाराधीन सिद्धांत पर काफी हद तक निर्भर करते हैं। वीयरस्ट्रैस तैयारी प्रमेय का तात्पर्य है कि होलोमोर्फिक कार्यों के रोगाणुओं के छल्ले नोथेरियन छल्ले हैं। यह भी दिखाया जा सकता है कि ये नियमित छल्ले हैं। दूसरी ओर, चलो ${\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbf {R} )$ आर पर सुचारु कार्यों के मूल में रोगाणुओं की अंगूठी बनें। यह अंगूठी स्थानीय है लेकिन नोथेरियन नहीं है। इसका कारण जानने के लिए, देखें कि इस वलय के अधिकतम आदर्श एम में वे सभी रोगाणु शामिल हैं जो मूल में गायब हो जाते हैं, और शक्ति एम^kमें वे रोगाणु शामिल होते हैं जिनका पहला k − 1 व्युत्पन्न लुप्त हो जाता है। यदि यह वलय नोथेरियन होता, तो क्रुल प्रतिच्छेदन प्रमेय का अर्थ यह होगा कि एक सुचारू कार्य जिसकी टेलर श्रृंखला गायब हो गई वह शून्य कार्य होगा। परन्तु यह मिथ्या है, ऐसा विचार करने से ज्ञात होता है

$f(x)={\begin{cases}e^{-1/x^{2}},&x\neq 0,\\0,&x=0.\end{cases}}$

यह वलय भी एक अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन नहीं है। ऐसा इसलिए है क्योंकि सभी यूएफडी प्रमुख आदर्शों पर आरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करते हैं, लेकिन प्रमुख आदर्शों की एक अनंत आरोही श्रृंखला होती है

$\cdots \subsetneq (x^{-j+1}f(x))\subsetneq (x^{-j}f(x))\subsetneq (x^{-j-1}f(x))\subsetneq \cdots .$

समावेशन सख्त हैं क्योंकि x अधिकतम आदर्श m में है।

अंगूठी ${\mathcal {C}}_{0}^{0}(\mathbf {R} )$ आर पर निरंतर कार्यों के मूल में रोगाणुओं का यह गुण भी है कि इसका अधिकतम आदर्श एम एम को संतुष्ट करता है²=एम. किसी भी रोगाणु f ∈ m को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$f=|f|^{1/2}\cdot {\big (}\operatorname {sgn} (f)|f|^{1/2}{\big )},$

जहां sgn साइन फ़ंक्शन है। चूंकि |एफ| मूल में गायब हो जाता है, यह एफ को एम में दो कार्यों के उत्पाद के रूप में व्यक्त करता है, जहां से निष्कर्ष निकलता है। यह लगभग रिंग की स्थापना से संबंधित है।

यह भी देखें

• विश्लेषणात्मक विविधता
• प्रलय सिद्धांत
• चिपकने का सिद्धांत
• रीमैन सतह
• शीफ़ (गणित)
• डंठल (शेफ)

संदर्भ

• Nicolas Bourbaki (1989). General Topology. Chapters 1-4 (paperback ed.). Springer-Verlag. ISBN 3-540-64241-2., chapter I, paragraph 6, subparagraph 10 "Germs at a point".
• Raghavan Narasimhan (1973). Analysis on Real and Complex Manifolds (2nd ed.). North-Holland Elsevier. ISBN 0-7204-2501-8., chapter 2, paragraph 2.1, "Basic Definitions".
• Robert C. Gunning and Hugo Rossi (1965). Analytic Functions of Several Complex Variables. Prentice-Hall., chapter 2 "Local Rings of Holomorphic Functions", especially paragraph A "The Elementary Properties of the Local Rings" and paragraph E "Germs of Varieties".
• Ian R. Porteous (2001) Geometric Differentiation, page 71, Cambridge University Press ISBN 0-521-00264-8 .
• Giuseppe Tallini (1973). Varietà differenziabili e coomologia di De Rham (Differentiable manifolds and De Rham cohomology). Edizioni Cremonese. ISBN 88-7083-413-1., paragraph 31, "Germi di funzioni differenziabili in un punto $P$ di $V_{n}$ (Germs of differentiable functions at a point $P$ of $V_{n}$)" (in Italian).

बाहरी संबंध

• Chirka, Evgeniǐ Mikhaǐlovich (2001) [1994], "Germ", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Germ of smooth functions at PlanetMath.
• Mozyrska, Dorota; Bartosiewicz, Zbigniew (2006). "Systems of germs and theorems of zeros in infinite-dimensional spaces". arXiv:math/0612355. Bibcode:2006math.....12355M. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help) A research preprint dealing with germs of analytic varieties in an infinite dimensional setting.