लघुगणकीय व्युत्पन्न: Difference between revisions

Latest revision as of 15:02, 14 July 2023

गणित में, विशेष रूप से गणना और जटिल विश्लेषण में, किसी फलन (गणित) f के लघुगणकीय व्युत्पन्न को सूत्र द्वारा परिभाषित किया जाता है

{\frac {f'}{f}}

जहाँ

f'

, f का व्युत्पन्न होता है।^[1] और सहज रूप से, यह f में अतिसूक्ष्म सापेक्ष परिवर्तन होते है; अर्थात्, f में अतिसूक्ष्म निरपेक्ष परिवर्तन f अर्थात्

f',

को f के वर्तमान मान से मापा जाता है।

इस प्रकार से जब f वास्तविक वेरिएबल x का फलन f(x) होता है, और वास्तविक संख्याएँ प्राप्त होती है, वास्तव में सकारात्मक संख्या मान लेता है, तो यह ln(f), के व्युत्पन्न या f के प्राकृतिक लघुगणक के बराबर होता है। यह सीधे श्रृंखला नियम से अनुसरण करता है:^[1]

{\frac {d}{dx}}\ln f(x)={\frac {1}{f(x)}}{\frac {df(x)}{dx}}

मूल गुण

इस प्रकार से वास्तविक लघुगणक के कई गुण लघुगणकीय व्युत्पन्न पर भी प्रयुक्त किये जाते हैं, इसके अतिरिक्त जब फलन सकारात्मक वास्तविकताओं में मान नहीं लेता है। उदाहरण के लिए, चूँकि किसी उत्पाद का लघुगणक कारकों के लघुगणक का योग प्राप्त किया जाता है

(\log uv)'=(\log u+\log v)'=(\log u)'+(\log v)'.

तो सकारात्मक-वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के लिए, किसी उत्पाद का लघुगणकीय व्युत्पन्न कारकों के लघुगणकीय व्युत्पन्नों का योग प्राप्त होता है। जिससे हम किसी उत्पाद का व्युत्पन्न प्राप्त करने के लिए जनरल लाइबनिज़ नियम का भी उपयोग कर सकते हैं

{\frac {(uv)'}{uv}}={\frac {u'v+uv'}{uv}}={\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}.

इस प्रकार, किसी भी फलन के लिए यह सत्य माना जाता है कि किसी उत्पाद का लघुगणकीय व्युत्पन्न कारकों के लघुगणकीय व्युत्पन्नों का योग होता है (जब उन्हें परिभाषित किया जाता है)।

अतः इसका परिणाम यह है कि किसी फलन के व्युत्क्रम का लघुगणकीय व्युत्पन्न फलन के लघुगणकीय व्युत्पन्न का निषेधन है:

{\frac {(1/u)'}{1/u}}={\frac {-u'/u^{2}}{1/u}}=-{\frac {u'}{u}},

जिस प्रकार किसी धनात्मक वास्तविक संख्या के व्युत्क्रम का लघुगणक उस संख्या के लघुगणक का निषेधन होता है।

अधिक सामान्यतः, किसी भागफल का लघुगणकीय व्युत्पन्न लाभांश और भाजक के लघुगणकीय व्युत्पन्नों का अंतर होता है:

{\frac {(u/v)'}{u/v}}={\frac {(u'v-uv')/v^{2}}{u/v}}={\frac {u'}{u}}-{\frac {v'}{v}},

जिस प्रकार भागफल का लघुगणक लाभांश और भाजक के लघुगणक का अंतर होता है।

इस प्रकार से दूसरी दिशा में सामान्यीकरण करते हुए, पावर का लघुगणकीय व्युत्पन्न (निरंतर वास्तविक घातांक के साथ) घातांक और आधार के लघुगणकीय व्युत्पन्न का उत्पाद है:

{\frac {(u^{k})'}{u^{k}}}={\frac {ku^{k-1}u'}{u^{k}}}=k{\frac {u'}{u}},

जिस प्रकार किसी घात का लघुगणक घातांक और आधार के लघुगणक का गुणनफल होता है।

संक्षेप में, व्युत्पन्न और लघुगणक दोनों में उत्पाद नियम, पारस्परिक नियम, भागफल नियम और पावर नियम होता है (लघुगणकीय पहचान की सूची की तुलना करें); नियमों की प्रत्येक जोड़ी लघुगणकीय व्युत्पन्न के माध्यम से संबंधित होते है।

लघुगणकीय व्युत्पन्नों का उपयोग करके सामान्य व्युत्पन्नों की गणना करना

लॉगरिदमिक डेरिवेटिव समान परिणाम उत्पन्न करते हुए उत्पाद नियम की आवश्यकता वाले डेरिवेटिव की गणना को सरल बना सकते हैं। प्रक्रिया इस प्रकार है: मान लीजिए कि $f(x)=u(x)v(x)$ और $f'(x)$ .हम इसकी गणना करना चाहते हैं इसकी गणना सीधे $f'=u'v+v'u$ तौर पर करने के अतिरिक्त , हम इसके लघुगणकीय व्युत्पन्न की गणना करते हैं। अर्थात्, हम गणना करते हैं:

{\frac {f'}{f}}={\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}.

f'

से गुणा करने पर

f'

′ की गणना होती है:

f'=f\cdot \left({\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}\right).

यह विधि तब सबसे उपयोगी होती है जब ƒ उच्च संख्या में कारकों का उत्पाद हो। यह विधि प्रत्येक कारक के लघुगणकीय व्युत्पन्न की गणना करके, योग करके और

f'

से गुणा करके

f

' की गणना करना संभव बनाती है।

उदाहरण के लिए, हम e^x2(x-2)³(x-3)(x-1)^-1 के लघुगणकीय व्युत्पन्न की गणना कर सकते हैं होना

$2x+{\frac {3}{x-2}}+{\frac {1}{x-3}}-{\frac {1}{x-1}}$ .

कारकों को एकीकृत करना

लघुगणकीय व्युत्पन्न विचार प्रथम-क्रम अंतर समीकरणों के लिए एकीकृत कारक विधि से निकटता से जुड़ा हुआ है। ऑपरेटर (गणित) शब्दों में लिखें

D={\frac {d}{dx}}

और मान लीजिए कि M किसी दिए गए फलन G(x) द्वारा गुणन के संचालिका को दर्शाता है। तब

M^{-1}DM

(उत्पाद नियम द्वारा) इस प्रकार लिखा जा सकता है

D+M^{*}

जहाँ

M^{*}

अब गुणन संचालिका को लघुगणकीय अवकलज द्वारा निरूपित करता है

{\frac {G'}{G}}

व्यवहार में हमें ऑपरेटर दिया जाता है जैसे

D+F=L

और समीकरण हल करना चाहते हैं

L(h)=f

फलन h के लिए, f दिया गया है। इसके बाद यह समाधान तक सीमित हो जाता है

{\frac {G'}{G}}=F

जिसका समाधान है

\exp \textstyle (\int F)

f के किसी भी अनिश्चित अभिन्न अंग के साथ।

जटिल विश्लेषण

दिए गए सूत्र को अधिक व्यापक रूप से प्रयुक्त किया जा सकता है; उदाहरण के लिए यदि f(z) मेरोमोर्फिक फलन है, तो यह z के सभी जटिल मानों पर समझ में आता है, जिस पर f में न तो कोई शून्य है और न ही ध्रुव। इसके अलावा, शून्य या ध्रुव पर लॉगरिदमिक व्युत्पन्न इस तरह से व्यवहार करता है कि विशेष मामले के संदर्भ में आसानी से विश्लेषण किया जा सके

z n

n एक पूर्णांक के साथ, $n \neq 0$ तब लघुगणकीय अवकलज होता है

n/z

और कोई सामान्य निष्कर्ष निकाल सकता है कि f मेरोमोर्फिक के लिए, f के लघुगणकीय व्युत्पन्न की विलक्षणताएं सभी सरल ध्रुव होते हैं, ऑर्डर n के शून्य से अवशेष (जटिल विश्लेषण) n, ऑर्डर n के ध्रुव से अवशेष - n तर्क सिद्धांत देखें. इस जानकारी का सदैव समोच्च एकीकरण में उपयोग किया जाता है।^[2]^[3]

नेवानलिन्ना सिद्धांत के क्षेत्र में, महत्वपूर्ण लेम्मा ने इसे इस प्रकार से व्यक्त किया है कि लघुगणकीय व्युत्पन्न का निकटता फलन मूल फलन की नेवानलिन्ना विशेषता के संबंध में छोटा है, उदाहरण के लिए $m(r,h'/h)=S(r,h)=o(T(r,h))$ .^[4]

गुणात्मक समूह

इस प्रकार से लॉगरिदमिक व्युत्पन्न के उपयोग के पीछे GL₁, के बारे में दो बुनियादी तथ्य हैं, अर्थात वास्तविक संख्याओं या अन्य क्षेत्रों का गुणक समूह। विभेदक संचालिका

X{\frac {d}{dX}}

फैलाव के तहत अपरिवर्तनीय (गणित) है (एक स्थिरांक के लिए X को aX से प्रतिस्थापित करना)। और विभेदक रूप

{\frac {dx}{X}}

वैसे ही अपरिवर्तनीय है. फ़ंक्शंस F से GL_1, के लिए सूत्र

{\frac {dF}{F}}

इसलिए यह अपरिवर्तनीय रूप का पुलबैक (विभेदक ज्यामिति) है।

उदाहरण

घातीय वृद्धि और घातांकीय क्षय निरंतर लघुगणकीय व्युत्पन्न वाली प्रक्रियाएं हैं।
गणितीय वित्त में, ग्रीक λ अंतर्निहित कीमत के संबंध में व्युत्पन्न मूल्य का लघुगणकीय व्युत्पन्न है।
संख्यात्मक विश्लेषण में, नियम संख्या इनपुट में सापेक्ष परिवर्तन के लिए आउटपुट में अनंत सापेक्ष परिवर्तन है, और इस प्रकार लॉगरिदमिक डेरिवेटिव का अनुपात है।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 "लघुगणकीय व्युत्पन्न - गणित का विश्वकोश". encyclopediaofmath.org. 7 December 2012. Retrieved 12 August 2021.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)
↑ Gonzalez, Mario (1991-09-24). शास्त्रीय जटिल विश्लेषण (in English). CRC Press. ISBN 978-0-8247-8415-7.
↑ "लघुगणकीय अवशेष - गणित का विश्वकोश". encyclopediaofmath.org. 7 June 2020. Retrieved 2021-08-12.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)
↑ Zhang, Guan-hou (1993-01-01). Theory of Entire and Meromorphic Functions: Deficient and Asymptotic Values and Singular Directions (in English). American Mathematical Soc. p. 18. ISBN 978-0-8218-8764-6. Retrieved 12 August 2021.

[:0-1] 1.0 ^1.1 "लघुगणकीय व्युत्पन्न - गणित का विश्वकोश". encyclopediaofmath.org. 7 December 2012. Retrieved 12 August 2021.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)

[2] Gonzalez, Mario (1991-09-24). शास्त्रीय जटिल विश्लेषण (in English). CRC Press. ISBN 978-0-8247-8415-7.

[3] "लघुगणकीय अवशेष - गणित का विश्वकोश". encyclopediaofmath.org. 7 June 2020. Retrieved 2021-08-12.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)

[4] Zhang, Guan-hou (1993-01-01). Theory of Entire and Meromorphic Functions: Deficient and Asymptotic Values and Singular Directions (in English). American Mathematical Soc. p. 18. ISBN 978-0-8218-8764-6. Retrieved 12 August 2021.

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-{{Short description|Mathematical operation in calculus}}
+{{Short description|Mathematical operation in calculus}}{{Calculus}}
-{{More citations needed|date=August 2021}}{{Calculus}}
-गणित में, विशेष रूप से [[ गणना ]] और [[जटिल विश्लेषण]] में, किसी [[फ़ंक्शन (गणित)]] ''एफ'' के लघुगणकीय व्युत्पन्न को सूत्र द्वारा परिभाषित किया जाता है
+गणित में, विशेष रूप से [[ गणना |गणना]] और [[जटिल विश्लेषण]] में, किसी [[फ़ंक्शन (गणित)|फलन (गणित)]] ''f'' के '''लघुगणकीय व्युत्पन्न''' को सूत्र द्वारा परिभाषित किया जाता है
 <math display="block"> \frac{f'}{f} </math>
-कहाँ <math>f'</math> एफ का व्युत्पन्न है।<ref name=":0">{{Cite web|date=7 December 2012|title=लघुगणकीय व्युत्पन्न - गणित का विश्वकोश|url=http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Logarithmic_derivative&oldid=29128|url-status=live | access-date=12 August 2021|website=encyclopediaofmath.org}}</ref> सहज रूप से, यह f में अतिसूक्ष्म [[सापेक्ष परिवर्तन]] है; अर्थात्, f में अत्यंत सूक्ष्म निरपेक्ष परिवर्तन <math>f',</math> एफ के वर्तमान मूल्य से स्केल किया गया।
+जहाँ <math>f'</math>, ''f'' का व्युत्पन्न होता है।<ref name=":0">{{Cite web|date=7 December 2012|title=लघुगणकीय व्युत्पन्न - गणित का विश्वकोश|url=http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Logarithmic_derivative&oldid=29128|url-status=live | access-date=12 August 2021|website=encyclopediaofmath.org}}</ref> और सहज रूप से, यह ''f'' में अतिसूक्ष्म [[सापेक्ष परिवर्तन]] होते है; अर्थात्, ''f'' में अतिसूक्ष्म निरपेक्ष परिवर्तन ''f'' अर्थात् <math>f',</math>को ''f'' के वर्तमान मान से मापा जाता है।
-जब f एक वास्तविक चर x का एक फलन f(x) होता है, और [[वास्तविक संख्या]]एँ लेता है, सख्ती से [[सकारात्मक संख्या]] मान लेता है, तो यह ln(f) के व्युत्पन्न, या f के [[प्राकृतिक]] लघुगणक के बराबर होता है। यह सीधे [[श्रृंखला नियम]] से अनुसरण करता है:<ref name=":0" />
+इस प्रकार से जब ''f'' वास्तविक वेरिएबल ''x'' का फलन ''f(x)'' होता है, और [[वास्तविक संख्या]]एँ प्राप्त होती है, वास्तव में [[सकारात्मक संख्या]] मान लेता है, तो यह ''ln(f),'' के व्युत्पन्न या ''f'' के [[प्राकृतिक]] लघुगणक के बराबर होता है। यह सीधे [[श्रृंखला नियम]] से अनुसरण करता है:<ref name=":0" />
 <math display="block"> \frac{d}{dx}\ln f(x) = \frac{1}{f(x)} \frac{df(x)}{dx} </math>
+==मूल गुण==
+इस प्रकार से वास्तविक लघुगणक के कई गुण लघुगणकीय व्युत्पन्न पर भी प्रयुक्त किये जाते हैं, इसके अतिरिक्त जब फलन सकारात्मक वास्तविकताओं में मान नहीं लेता है। उदाहरण के लिए, चूँकि किसी उत्पाद का लघुगणक कारकों के लघुगणक का योग प्राप्त किया जाता है
-==बुनियादी गुण==
-वास्तविक लघुगणक के कई गुण लघुगणकीय व्युत्पन्न पर भी लागू होते हैं, तब भी जब फ़ंक्शन सकारात्मक वास्तविकताओं में मान नहीं लेता है। उदाहरण के लिए, चूँकि किसी उत्पाद का लघुगणक कारकों के लघुगणक का योग है, हमारे पास है
 <math display="block"> (\log uv)' = (\log u + \log v)' = (\log u)' + (\log v)' . </math>
-तो सकारात्मक-वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के लिए, किसी उत्पाद का लघुगणकीय व्युत्पन्न कारकों के लघुगणकीय व्युत्पन्नों का योग है। लेकिन हम किसी उत्पाद का व्युत्पन्न प्राप्त करने के लिए जनरल लाइबनिज़ नियम का भी उपयोग कर सकते हैं
+तो सकारात्मक-वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के लिए, किसी उत्पाद का लघुगणकीय व्युत्पन्न कारकों के लघुगणकीय व्युत्पन्नों का योग प्राप्त होता है। जिससे हम किसी उत्पाद का व्युत्पन्न प्राप्त करने के लिए जनरल लाइबनिज़ नियम का भी उपयोग कर सकते हैं
 <math display="block"> \frac{(uv)'}{uv} = \frac{u'v + uv'}{uv} = \frac{u'}{u} + \frac{v'}{v} . </math>
-इस प्रकार, किसी भी फ़ंक्शन के लिए यह सत्य है कि किसी उत्पाद का लघुगणकीय व्युत्पन्न कारकों के लघुगणकीय व्युत्पन्नों का योग होता है (जब उन्हें परिभाषित किया जाता है)।
+इस प्रकार, किसी भी फलन के लिए यह सत्य माना जाता है कि किसी उत्पाद का लघुगणकीय व्युत्पन्न कारकों के लघुगणकीय व्युत्पन्नों का योग होता है (जब उन्हें परिभाषित किया जाता है)।
-इसका एक [[परिणाम]] यह है कि किसी फ़ंक्शन के व्युत्क्रम का लघुगणकीय व्युत्पन्न फ़ंक्शन के लघुगणकीय व्युत्पन्न का निषेधन है:
+अतः इसका [[परिणाम]] यह है कि किसी फलन के व्युत्क्रम का लघुगणकीय व्युत्पन्न फलन के लघुगणकीय व्युत्पन्न का निषेधन है:
 <math display="block"> \frac{(1/u)'}{1/u} = \frac{-u'/u^{2}}{1/u} = -\frac{u'}{u} , </math>
-जिस प्रकार किसी धनात्मक वास्तविक संख्या के व्युत्क्रम का लघुगणक उस संख्या के लघुगणक का निषेधन होता है।{{Citation needed|date=August 2021}}
+जिस प्रकार किसी धनात्मक वास्तविक संख्या के व्युत्क्रम का लघुगणक उस संख्या के लघुगणक का निषेधन होता है।
 अधिक सामान्यतः, किसी भागफल का लघुगणकीय व्युत्पन्न लाभांश और भाजक के लघुगणकीय व्युत्पन्नों का अंतर होता है:
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 जिस प्रकार भागफल का लघुगणक लाभांश और भाजक के लघुगणक का अंतर होता है।
-दूसरी दिशा में सामान्यीकरण करते हुए, एक शक्ति का लघुगणकीय व्युत्पन्न (निरंतर वास्तविक घातांक के साथ) घातांक और आधार के लघुगणकीय व्युत्पन्न का उत्पाद है:
+इस प्रकार से दूसरी दिशा में सामान्यीकरण करते हुए, पावर का लघुगणकीय व्युत्पन्न (निरंतर वास्तविक घातांक के साथ) घातांक और आधार के लघुगणकीय व्युत्पन्न का उत्पाद है:
 <math display="block"> \frac{(u^{k})'}{u^{k}} = \frac {ku^{k-1}u'}{u^{k}} = k \frac{u'}{u} , </math>
 जिस प्रकार किसी घात का लघुगणक घातांक और आधार के लघुगणक का गुणनफल होता है।
-संक्षेप में, व्युत्पन्न और लघुगणक दोनों में एक उत्पाद नियम, एक [[पारस्परिक नियम]], एक [[भागफल नियम]] और एक [[शक्ति नियम]] होता है (लघुगणकीय पहचान की सूची की तुलना करें); नियमों की प्रत्येक जोड़ी लघुगणकीय व्युत्पन्न के माध्यम से संबंधित है।
+संक्षेप में, व्युत्पन्न और लघुगणक दोनों में उत्पाद नियम, [[पारस्परिक नियम]], [[भागफल नियम]] और [[शक्ति नियम|पावर नियम]] होता है (लघुगणकीय पहचान की सूची की तुलना करें); नियमों की प्रत्येक जोड़ी लघुगणकीय व्युत्पन्न के माध्यम से संबंधित होते है।
-==लघुगणकीय डेरिवेटिव का उपयोग करके सामान्य डेरिवेटिव की गणना करना==
+==लघुगणकीय व्युत्पन्नों का उपयोग करके सामान्य व्युत्पन्नों की गणना करना==
-{{Main|Logarithmic differentiation}}
+{{Main|लघुगणकीय विभेदन}}
-लॉगरिदमिक डेरिवेटिव समान परिणाम उत्पन्न करते हुए उत्पाद नियम की आवश्यकता वाले डेरिवेटिव की गणना को सरल बना सकते हैं। प्रक्रिया इस प्रकार है: मान लीजिए कि {{nowrap|<math>f(x) = u(x)v(x)</math>}} और हम इसकी गणना करना चाहते हैं <math>f'(x)</math>. इसकी गणना सीधे तौर पर करने के बजाय {{nowrap|<math>f' = u'v + v'u</math>}}, हम इसके लघुगणकीय व्युत्पन्न की गणना करते हैं। अर्थात्, हम गणना करते हैं:
+लॉगरिदमिक डेरिवेटिव समान परिणाम उत्पन्न करते हुए उत्पाद नियम की आवश्यकता वाले डेरिवेटिव की गणना को सरल बना सकते हैं। प्रक्रिया इस प्रकार है: मान लीजिए कि {{nowrap|<math>f(x) = u(x)v(x)</math>}} और <math>f'(x)</math>.हम इसकी गणना करना चाहते हैं इसकी गणना सीधे {{nowrap|<math>f' = u'v + v'u</math>}} तौर पर करने के अतिरिक्त , हम इसके लघुगणकीय व्युत्पन्न की गणना करते हैं। अर्थात्, हम गणना करते हैं:
 <math display="block">\frac{f'}{f} = \frac{u'}{u} + \frac{v'}{v}.</math>
-द्वारा गुणा करना गणना करता है {{math|''f''&prime;}}:
+{{math|''f''&prime;}} से गुणा करने पर {{math|''f''&prime;}}′ की गणना होती है:
 <math display="block">f' = f\cdot\left(\frac{u'}{u} + \frac{v'}{v}\right).</math>
-यह तकनीक तब सबसे उपयोगी होती है जब ƒ बड़ी संख्या में कारकों का उत्पाद हो। यह तकनीक गणना करना संभव बनाती है {{math|''f''&prime;}} प्रत्येक कारक के लघुगणकीय व्युत्पन्न की गणना करके, योग करके और गुणा करके {{math|''f''}}.
+यह विधि तब सबसे उपयोगी होती है जब ƒ उच्च संख्या में कारकों का उत्पाद हो। यह विधि प्रत्येक कारक के लघुगणकीय व्युत्पन्न की गणना करके, योग करके और {{math|''f''&prime;}} से गुणा करके {{math|''f''}} ' की गणना करना संभव बनाती है।
+उदाहरण के लिए, हम e<sup>x2</sup>(x-2)<sup>3</sup>(x-3)(x-1)<sup>-1</sup> के लघुगणकीय व्युत्पन्न की गणना कर सकते हैं होना
-उदाहरण के लिए, हम के लघुगणकीय व्युत्पन्न की गणना कर सकते हैं <math>e^{x^2}(x-2)^3(x-3)(x-1)^{-1}</math> होना <math>2x + \frac{3}{x-2} + \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-1}</math>.
+<math>2x + \frac{3}{x-2} + \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-1}</math>.
 ==कारकों को एकीकृत करना==
-लघुगणकीय व्युत्पन्न विचार प्रथम-क्रम अंतर समीकरणों के लिए एकीकृत कारक विधि से निकटता से जुड़ा हुआ है। [[ऑपरेटर (गणित)]] शब्दों में लिखें <math display="block"> D = \frac{d}{dx} </math> और मान लीजिए कि M किसी दिए गए फ़ंक्शन G(x) द्वारा गुणन के संचालिका को दर्शाता है। तब <math display="block"> M^{-1} D M </math> (उत्पाद नियम द्वारा) इस प्रकार लिखा जा सकता है <math display="block">D + M^{*} </math> कहाँ <math> M^{*} </math> अब गुणन संचालिका को लघुगणकीय अवकलज द्वारा निरूपित करता है <math display="block"> \frac{G'}{G}</math>
+लघुगणकीय व्युत्पन्न विचार प्रथम-क्रम अंतर समीकरणों के लिए एकीकृत कारक विधि से निकटता से जुड़ा हुआ है। [[ऑपरेटर (गणित)]] शब्दों में लिखें <math display="block"> D = \frac{d}{dx} </math> और मान लीजिए कि M किसी दिए गए फलन G(x) द्वारा गुणन के संचालिका को दर्शाता है। तब <math display="block"> M^{-1} D M </math> (उत्पाद नियम द्वारा) इस प्रकार लिखा जा सकता है <math display="block">D + M^{*} </math> जहाँ <math> M^{*} </math> अब गुणन संचालिका को लघुगणकीय अवकलज द्वारा निरूपित करता है <math display="block"> \frac{G'}{G}</math>
-व्यवहार में हमें एक ऑपरेटर दिया जाता है जैसे
+व्यवहार में हमें ऑपरेटर दिया जाता है जैसे
 <math display="block"> D + F = L </math>
 और समीकरण हल करना चाहते हैं
 <math display="block"> L(h) = f </math>
-फ़ंक्शन h के लिए, f दिया गया है। इसके बाद यह समाधान तक सीमित हो जाता है
+फलन ''h'' के लिए, ''f'' दिया गया है। इसके बाद यह समाधान तक सीमित हो जाता है
 <math display="block"> \frac{G'}{G} = F </math>
 जिसका समाधान है
 <math display="block"> \exp \textstyle ( \int F ) </math>
-एफ के किसी भी अनिश्चित अभिन्न अंग के साथ।{{Citation needed|date=August 2021}}
+''f'' के किसी भी अनिश्चित अभिन्न अंग के साथ।
 ==जटिल विश्लेषण==
-{{See also|Argument principle}}
+{{See also|तर्क सिद्धांत}}
-दिए गए सूत्र को अधिक व्यापक रूप से लागू किया जा सकता है; उदाहरण के लिए यदि f(z) एक [[मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन]] है, तो यह z के सभी जटिल मानों पर समझ में आता है, जिस पर f में न तो कोई शून्य है और न ही ध्रुव। इसके अलावा, शून्य या ध्रुव पर लॉगरिदमिक व्युत्पन्न इस तरह से व्यवहार करता है कि विशेष मामले के संदर्भ में आसानी से विश्लेषण किया जा सके
+दिए गए सूत्र को अधिक व्यापक रूप से प्रयुक्त किया जा सकता है; उदाहरण के लिए यदि ''f(z)'' [[मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन|मेरोमोर्फिक फलन]] है, तो यह ''z'' के सभी जटिल मानों पर समझ में आता है, जिस पर ''f'' में न तो कोई शून्य है और न ही ध्रुव। इसके अलावा, शून्य या ध्रुव पर लॉगरिदमिक व्युत्पन्न इस तरह से व्यवहार करता है कि विशेष मामले के संदर्भ में आसानी से विश्लेषण किया जा सके
 {{block indent | em = 1.5 | text = {{math|''z<sup>n</sup>''}}}}
-n पूर्णांक के साथ, {{math|''n'' ≠ 0}}. लघुगणकीय व्युत्पन्न तब है
+''n'' एक पूर्णांक के साथ, {{math|''n'' ≠ 0}} तब लघुगणकीय अवकलज होता है
 <math display="block">n/z</math>
-और कोई सामान्य निष्कर्ष निकाल सकता है कि एफ मेरोमोर्फिक के लिए, एफ के लघुगणकीय व्युत्पन्न की विलक्षणताएं सभी सरल ध्रुव हैं, ऑर्डर एन के शून्य से [[अवशेष (जटिल विश्लेषण)]] एन, ऑर्डर एन के ध्रुव से अवशेष - एन। [[तर्क सिद्धांत]] देखें. इस जानकारी का अक्सर [[समोच्च एकीकरण]] में उपयोग किया जाता है।<ref>{{Cite book |last=Gonzalez|first=Mario|url=https://books.google.com/books?id=ncxL7EFr7GsC&dq=%22logarithmic+derivative%22+AND+%22complex+analysis%22&pg=PA740 | title=शास्त्रीय जटिल विश्लेषण|date=1991-09-24 |publisher=CRC Press|isbn=978-0-8247-8415-7|language=en}}</ref><ref>{{Cite web|date=7 June 2020|title=लघुगणकीय अवशेष - गणित का विश्वकोश|url=http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Logarithmic_residue&oldid=47703|url-status=live |access-date=2021-08-12|website=encyclopediaofmath.org}}</ref>{{Verify source|date=August 2021}}
+और कोई सामान्य निष्कर्ष निकाल सकता है कि ''f'' मेरोमोर्फिक के लिए, ''f'' के लघुगणकीय व्युत्पन्न की विलक्षणताएं सभी सरल ध्रुव होते हैं, ऑर्डर ''n'' के शून्य से [[अवशेष (जटिल विश्लेषण)]] ''n'', ऑर्डर ''n'' के ध्रुव से अवशेष - ''n'' [[तर्क सिद्धांत]] देखें. इस जानकारी का सदैव [[समोच्च एकीकरण]] में उपयोग किया जाता है।<ref>{{Cite book |last=Gonzalez|first=Mario|url=https://books.google.com/books?id=ncxL7EFr7GsC&dq=%22logarithmic+derivative%22+AND+%22complex+analysis%22&pg=PA740 | title=शास्त्रीय जटिल विश्लेषण|date=1991-09-24 |publisher=CRC Press|isbn=978-0-8247-8415-7|language=en}}</ref><ref>{{Cite web|date=7 June 2020|title=लघुगणकीय अवशेष - गणित का विश्वकोश|url=http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Logarithmic_residue&oldid=47703|url-status=live |access-date=2021-08-12|website=encyclopediaofmath.org}}</ref>
-[[नेवानलिन्ना सिद्धांत]] के क्षेत्र में, एक महत्वपूर्ण लेम्मा बताती है कि लघुगणकीय व्युत्पन्न का निकटता फ़ंक्शन मूल फ़ंक्शन की नेवानलिन्ना विशेषता के संबंध में छोटा है, उदाहरण के लिए <math>m(r,h'/h) = S(r,h) = o(T(r,h))</math>.<ref>{{Cite book|last=Zhang|first=Guan-hou|url=https://books.google.com/books?id=Ne7OpHc3lOQC&dq=%22nevanlinna+theory%22+AND+%22second+fundamental+theorem%22+AND+%22logarithmic+derivative%22&pg=PP9 | title=Theory of Entire and Meromorphic Functions: Deficient and Asymptotic Values and Singular Directions| date=1993-01-01| publisher=American Mathematical Soc.|isbn=978-0-8218-8764-6|pages=18|language=en|access-date=12 August 2021}}</ref>{{Verify source|date=August 2021}}
+[[नेवानलिन्ना सिद्धांत]] के क्षेत्र में, महत्वपूर्ण लेम्मा ने इसे इस प्रकार से व्यक्त किया है कि लघुगणकीय व्युत्पन्न का निकटता फलन मूल फलन की नेवानलिन्ना विशेषता के संबंध में छोटा है, उदाहरण के लिए <math>m(r,h'/h) = S(r,h) = o(T(r,h))</math>.<ref>{{Cite book|last=Zhang|first=Guan-hou|url=https://books.google.com/books?id=Ne7OpHc3lOQC&dq=%22nevanlinna+theory%22+AND+%22second+fundamental+theorem%22+AND+%22logarithmic+derivative%22&pg=PP9 | title=Theory of Entire and Meromorphic Functions: Deficient and Asymptotic Values and Singular Directions| date=1993-01-01| publisher=American Mathematical Soc.|isbn=978-0-8218-8764-6|pages=18|language=en|access-date=12 August 2021}}</ref>
 ==गुणात्मक समूह==
-लॉगरिदमिक व्युत्पन्न के उपयोग के पीछे जीएल के बारे में दो बुनियादी तथ्य हैं<sub>1</sub>, अर्थात [[वास्तविक संख्या]]ओं या अन्य क्षेत्र (गणित) का गुणनात्मक समूह। विभेदक संचालिका
+इस प्रकार से लॉगरिदमिक व्युत्पन्न के उपयोग के पीछे ''GL''<sub>1</sub>, के बारे में दो बुनियादी तथ्य हैं, अर्थात [[वास्तविक संख्या]]ओं या अन्य क्षेत्रों का गुणक समूह। विभेदक संचालिका
 <math display="block"> X\frac{d}{dX} </math>
-फैलाव के तहत [[अपरिवर्तनीय (गणित)]] है (एक स्थिरांक के लिए एक्स को एक्स द्वारा प्रतिस्थापित करना)। और [[विभेदक रूप]] <math display="block">\frac{dx}{X}</math> वैसे ही अपरिवर्तनीय है. फ़ंक्शंस F से GL के लिए<sub>1</sub>, सूत्र
+फैलाव के तहत [[अपरिवर्तनीय (गणित)]] है (एक स्थिरांक के लिए ''X'' को ''aX'' से प्रतिस्थापित करना)। और [[विभेदक रूप]]  <math display="block">\frac{dx}{X}</math> वैसे ही अपरिवर्तनीय है. फ़ंक्शंस ''F'' से ''GL''<sub>1,</sub> के लिए सूत्र
-<math display="block">\frac{dF}{F}</math> इसलिए यह अपरिवर्तनीय रूप का एक [[पुलबैक (विभेदक ज्यामिति)]] है।{{Citation needed|date=August 2021}}
+<math display="block">\frac{dF}{F}</math> इसलिए यह अपरिवर्तनीय रूप का [[पुलबैक (विभेदक ज्यामिति)]] है।
 ==उदाहरण==
-* [[घातीय वृद्धि]] और घातांकीय क्षय निरंतर लघुगणकीय व्युत्पन्न वाली प्रक्रियाएं हैं।{{Citation needed|date=August 2021}}
+* [[घातीय वृद्धि]] और घातांकीय क्षय निरंतर लघुगणकीय व्युत्पन्न वाली प्रक्रियाएं हैं।
-* [[गणितीय वित्त]] में, [[यूनानी (वित्त)]] λ अंतर्निहित कीमत के संबंध में व्युत्पन्न मूल्य का लघुगणकीय व्युत्पन्न है।{{Citation needed|date=August 2021}}
+* [[गणितीय वित्त]] में, [[यूनानी (वित्त)|ग्रीक]] λ अंतर्निहित कीमत के संबंध में व्युत्पन्न मूल्य का लघुगणकीय व्युत्पन्न है।
-* [[संख्यात्मक विश्लेषण]] में, [[शर्त संख्या]] इनपुट में सापेक्ष परिवर्तन के लिए आउटपुट में अनंत सापेक्ष परिवर्तन है, और इस प्रकार लॉगरिदमिक डेरिवेटिव का अनुपात है।{{Citation needed|date=August 2021}}
+* [[संख्यात्मक विश्लेषण]] में, [[शर्त संख्या|नियम संख्या]] इनपुट में सापेक्ष परिवर्तन के लिए आउटपुट में अनंत सापेक्ष परिवर्तन है, और इस प्रकार लॉगरिदमिक डेरिवेटिव का अनुपात है।
 ==यह भी देखें==
-* {{annotated link|Generalizations of the derivative}}
+* {{annotated link|व्युत्पन्न का सामान्यीकरण}}
-* {{annotated link|Logarithmic differentiation}}
+* {{annotated link|लघुगणकीय विभेदन}}
-* [[किसी फ़ंक्शन की लोच]]
+* [[किसी फ़ंक्शन की लोच|किसी फलन की लोच]]
 ==संदर्भ==
@@ Line 88: / Line 89: @@
 {{Calculus topics}}
-[[Category: अंतर कलन]] [[Category: जटिल विश्लेषण]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:CS1 English-language sources (en)]]
+[[Category:CS1 maint]]
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 [[Category:Created On 05/07/2023]]
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+[[Category:Wikipedia metatemplates]]
+[[Category:अंतर कलन]]
+[[Category:जटिल विश्लेषण]]

v t e पथरी
Prealculus	द्विपद प्रमेय अवतल कार्य निरंतर कार्य फैक्टरियल परिमित अंतर मुक्त चर और बाध्य चर एक फ़ंक्शन का ग्राफ रैखिक प्रकार्य रेडियन रोले का प्रमेय सेकंट ढलान स्पर्शरेखा
सीमा	अनिश्चित रूप एक फ़ंक्शन की सीमा एकतरफा सीमा एक अनुक्रम की सीमा सन्निकटन का आदेश ((, Δ)-सीमा की सीमा
अंतर कलन	व्युत्पन्न दूसरा व्युत्पन्न आंशिक व्युत्पन्न अंतर विभेदक ऑपरेटर मतलब मान प्रमेय संकेतन Leibniz का अंकन न्यूटन की संकेतन भेदभाव के नियम रैखिकता शक्ति योग चेन l'hôpital's उत्पाद जनरल लीबनिज़ का नियम भागफल अन्य तकनीकें निहित भेदभाव उलटा कार्य और भेदभाव लॉगरिदमिक व्युत्पन्न संबंधित दरें स्थिर बिंदु पहला व्युत्पन्न परीक्षण दूसरा व्युत्पन्न परीक्षण चरम मूल्य प्रमेय मैक्सिमा और मिनिमा आगे के आवेदन न्यूटन की विधि टेलर का प्रमेय अंतर समीकरण साधारण अंतर समीकरण आंशिक विभेदक समीकरण स्टोचस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन
समाकलन गणित	Antiderivative Arc length Riemann integral Basic properties Constant of integration Fundamental theorem of calculus Differentiating under the integral sign Integration by parts Integration by substitution trigonometric Euler Tangent half-angle substitution Partial fractions in integration Quadratic integral Trapezoidal rule Volumes Washer method Shell method Integral equation Integro-differential equation
वेक्टर कैलकुलस	डेरिवेटिव कर्ल दिशात्मक व्युत्पन्न विचलन ढाल लाप्लासियन बुनियादी प्रमेय लाइन इंटीग्रल ग्रीन स्टोक्स' गॉस '
बहुक्रियाशील पथरी	विचलन प्रमेय ज्यामितीय हेसियन मैट्रिक्स जैकबियन मैट्रिक्स और निर्धारक Lagrange गुणक लाइन इंटीग्रल मैट्रिक्स एकाधिक अभिन्न आंशिक व्युत्पन्न सतह अभिन्न वॉल्यूम इंटीग्रल उन्नत विषय विभेदक रूप बाहरी व्युत्पन्न सामान्यीकृत स्टोक्स 'प्रमेय टेंसर कैलकुलस
अनुक्रम और श्रृंखला	अंकगणित-ज्यामितीय अनुक्रम श्रृंखला के प्रकार वैकल्पिक द्विपद फूरियर ज्यामितीय हार्मोनिक अनंत पावर Maclaurin टेलर दूरबीन अभिसरण के परीक्षण हाबिल अल्टरनेटिंग सीरीज़ Cauchy संघनन प्रत्यक्ष तुलना Dirichlet's अभिन्न सीमा तुलना अनुपात रूट शब्द
विशेष कार्य और संख्या	बर्नौली नंबर ई (गणितीय स्थिरांक) घातांक प्रकार्य प्राकृतिक स्टर्लिंग का अनुमान
कैलकुलस का इतिहास	पर्याप्तता ब्रुक टेलर कॉलिन मैक्लोरिन बीजगणित की सामान्यता गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज़ Infinitesimal Infinitesimal galulus आइजैक न्यूटन फ्लक्सियन निरंतरता का नियम लियोनहार्ड यूलर प्रवाह की विधि यांत्रिक प्रमेय की विधि
सूचियों	भेदभाव नियम घातीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची हाइपरबोलिक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची उलटा हाइपरबोलिक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची उलटा त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची तर्कहीन कार्यों के अभिन्न अंग की सूची लघुगणक कार्यों के अभिन्न अंग की सूची तर्कसंगत कार्यों के अभिन्न अंग की सूची त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न अंग की सूची सेकंट सेकेंट क्यूबेड सीमाओं की सूची अभिन्न की सूची
विविध विषय	जटिल पथरी समोच्च अभिन्न अंतर ज्यामिति कई गुना वक्रता घटता सतहों का टेंसर यूलर -मेक्लॉरिन फॉर्मूला गेब्रियल का सींग एकीकरण मधुमक्खी प्रमाण है कि 22/7 से अधिक Regiomontanus 'कोण अधिकतमकरण समस्या स्टाइनमेट्ज़ सॉलिड

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लघुगणकीय व्युत्पन्न: Difference between revisions

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मूल गुण

लघुगणकीय व्युत्पन्नों का उपयोग करके सामान्य व्युत्पन्नों की गणना करना

कारकों को एकीकृत करना

जटिल विश्लेषण

गुणात्मक समूह

उदाहरण

यह भी देखें

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मूल गुण

लघुगणकीय व्युत्पन्नों का उपयोग करके सामान्य व्युत्पन्नों की गणना करना

कारकों को एकीकृत करना

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उदाहरण

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