मूल व्यंजक

गणितीय तर्क में, औपचारिक प्रणाली का एक जमीनी शब्द एक शब्द (तर्क) होता है जिसमें कोई चर (गणित) नहीं होता है। इसी प्रकार, एक जमीनी सूत्र एक सुगठित सूत्र है जिसमें कोई चर नहीं होता है।

प्रथम-क्रम तर्क में#समानता और उसके सिद्धांत|पहचान के साथ प्रथम-क्रम तर्क, वाक्य (गणितीय तर्क) $Q(a)\lor P(b)$ एक जमीनी फार्मूला है, के साथ $a$ और $b$ निरंतर प्रतीक होना। जमीनी अभिव्यक्ति एक जमीनी शब्द या जमीनी सूत्र है।

उदाहरण

स्थिर प्रतीकों वाले हस्ताक्षर (गणितीय तर्क) पर प्रथम क्रम तर्क में निम्नलिखित अभिव्यक्तियों पर विचार करें $0$ और $1$ क्रमशः संख्या 0 और 1 के लिए, एक यूनरी फ़ंक्शन प्रतीक $s$ उत्तराधिकारी फ़ंक्शन और बाइनरी फ़ंक्शन प्रतीक के लिए $+$ जोड़ने के लिए.

• $s(0),s(s(0)),s(s(s(0))),\ldots$ जमीनी शर्तें हैं;
• $0+1,\;0+1+1,\ldots$ जमीनी शर्तें हैं;
• $0+s(0),\;s(0)+s(0),\;s(0)+s(s(0))+0$ जमीनी शर्तें हैं;
• $x+s(1)$ और $s(x)$ शर्तें हैं, लेकिन जमीनी शर्तें नहीं;
• $s(0)=1$ और $0+0=0$ जमीनी सूत्र हैं.

औपचारिक परिभाषाएँ

प्रथम-क्रम भाषाओं के लिए एक औपचारिक परिभाषा इस प्रकार है। प्रथम-क्रम की भाषा दी जाए, साथ $C$ निरंतर प्रतीकों का सेट, $F$ कार्यात्मक ऑपरेटरों का सेट, और $P$ विधेय प्रतीकों का सेट.

ग्राउंड टर्म

एground term एक शब्द (तर्क) है जिसमें कोई चर नहीं है। ग्राउंड टर्म्स को तार्किक रिकर्सन (सूत्र-रिकर्सन) द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:

1. घटक $C$ जमीनी शर्तें हैं;
2. यदि $f\in F$ एक $n$-एरी फ़ंक्शन प्रतीक और $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}$ तो फिर ये जमीनी शर्तें हैं $f\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\right)$ एक जमीनी शब्द है.
3. प्रत्येक मूल पद को उपरोक्त दो नियमों के सीमित अनुप्रयोग द्वारा दिया जा सकता है (कोई अन्य आधार पद नहीं हैं; विशेष रूप से, विधेय आधार पद नहीं हो सकते हैं)।

सामान्यतः कहें तो, हेरब्रांड ब्रह्मांड सभी जमीनी शब्दों का समूह है।

भूमि परमाणु

एground predicate,ground atom याground literal एक परमाणु सूत्र है जिसके सभी तर्क पद जमीनी पद हैं।

यदि $p\in P$ एक $n$-एरी विधेय प्रतीक और $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}$ तो फिर ये जमीनी शर्तें हैं $p\left(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\right)$ एक जमीनी विधेय या जमीनी परमाणु है।

सामान्यतः कहें तो, हेरब्रांड आधार सभी जमीनी परमाणुओं का समूह है, जबकि हेरब्रांड व्याख्या आधार में प्रत्येक जमीनी परमाणु को एक सत्य मान प्रदान करती है।

ग्राउंड फॉर्मूला

एground formula याground clause चर रहित एक सूत्र है।

ग्राउंड फ़ार्मुलों को सिंटैक्टिक रिकर्सन द्वारा निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है:

1. एक जमीनी परमाणु एक जमीनी सूत्र है।
2. यदि $\varphi$ और $\psi$ तो, ये जमीनी सूत्र हैं $\lnot \varphi$, $\varphi \lor \psi$, और $\varphi \land \psi$ जमीनी सूत्र हैं.

जमीनी सूत्र एक विशेष प्रकार के वाक्य (गणितीय तर्क) होते हैं।

यह भी देखें

• Open formula
• Sentence (mathematical logic)

संदर्भ

• Dalal, M. (2000), "Logic-based computer programming paradigms", in Rosen, K.H.; Michaels, J.G. (eds.), Handbook of discrete and combinatorial mathematics, p. 68
• Hodges, Wilfrid (1997), A shorter model theory, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58713-6
• First-Order Logic: Syntax and Semantics