होमोटॉपी विस्तार गुण: Difference between revisions

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गणित में, [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] के क्षेत्र में, [[होमोटॉपी]] एक्सटेंशन संपत्ति इंगित करती है कि उप-स्थान टोपोलॉजी पर परिभाषित कौन सी होमोटॉपी को एक बड़े स्थान पर परिभाषित होमोटॉपी तक बढ़ाया जा सकता है। [[सह-[[ कंपन ]]]] की होमोटॉपी विस्तार संपत्ति एकमैन-हिल्टन द्वैत है, होमोटॉपी उठाने वाली संपत्ति जिसका उपयोग फाइब्रेशन को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।
गणित में, [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] के क्षेत्र में, '''[[होमोटॉपी]] विस्तार गुण''' प्रदर्शित करते है कि उप-स्थान पर परिभाषित कौन सी होमोटॉपी को बड़े स्थान पर परिभाषित होमोटॉपी तक बढ़ाया जा सकता है। [[[[ कंपन |को-फाइब्रेशन]]]] की होमोटॉपी विस्तार गुण होमोटॉपी उपयोगी गुण से दोहरी है जिसका उपयोग फाइब्रेशन को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।  


==परिभाषा==
==परिभाषा ==
होने देना <math>X\,\!</math> एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] बनें, और रहने दें <math>A \subset X</math>. हम कहते हैं कि जोड़ी <math>(X,A)\,\!</math> यदि, एक समरूपता दी गई है तो इसमें समरूप विस्तार गुण है <math>f_\bullet\colon A \rightarrow Y^I</math> और एक नक्शा <math>\tilde{f}_0\colon X \rightarrow Y</math> ऐसा है कि <math display="block">\tilde{f}_0\circ \iota = \left.\tilde{f}_0\right|_A = f_0 = \pi_0 \circ f_\bullet,</math> तो वहाँ का एक विस्तार मौजूद है <math>f_\bullet</math> एक समरूपता के लिए <math>\tilde{f}_\bullet\colon X \rightarrow Y^I</math> ऐसा है कि <math>\tilde{f}_\bullet\circ \iota = \left.\tilde{f}_\bullet\right|_A = f_\bullet</math>.<ref>A. Dold, ''Lectures on Algebraic Topology'', pp. 84, Springer {{ISBN|3-540-58660-1}}</ref>
मान लीजिये <math>X\,\!</math> [[टोपोलॉजिकल स्पेस|टोपोलॉजिकल स्थान]] है, और <math>A \subset X</math> द्वारा युग्म <math>(X,A)\,\!</math> यदि, समरूपता दी गई है तो इसमें समरूप विस्तार गुण <math>f_\bullet\colon A \rightarrow Y^I</math> है और मानचित्र <math>\tilde{f}_0\colon X \rightarrow Y</math> ऐसा है कि <math display="block">\tilde{f}_0\circ \iota = \left.\tilde{f}_0\right|_A = f_0 = \pi_0 \circ f_\bullet,</math> तो वहाँ का विस्तार <math>f_\bullet</math> उपस्थित है समरूपता के लिए <math>\tilde{f}_\bullet\colon X \rightarrow Y^I</math> और <math>\tilde{f}_\bullet\circ \iota = \left.\tilde{f}_\bullet\right|_A = f_\bullet</math> है:<ref>A. Dold, ''Lectures on Algebraic Topology'', pp. 84, Springer {{ISBN|3-540-58660-1}}</ref>
यानी जोड़ी <math>(X,A)\,\!</math> यदि कोई मानचित्र है तो होमोटॉपी एक्सटेंशन संपत्ति है <math>G\colon ((X\times \{0\}) \cup (A\times I)) \rightarrow Y</math> मानचित्र तक बढ़ाया जा सकता है <math>G'\colon X\times I \rightarrow Y</math> (अर्थात। <math>G\,\!</math> और <math>G'\,\!</math> उनके सामान्य डोमेन पर सहमत हों)।
अर्थात युग्म <math>(X,A)\,\!</math> यदि कोई मानचित्र है तो होमोटॉपी विस्तार गुण <math>G\colon ((X\times \{0\}) \cup (A\times I)) \rightarrow Y</math> है मानचित्र तक <math>G'\colon X\times I \rightarrow Y</math> बढ़ाया जा सकता है (अर्थात <math>G\,\!</math> और <math>G'\,\!</math> उनके सामान्य डोमेन पर सहमत है)।


यदि जोड़ी के पास यह संपत्ति केवल एक निश्चित [[कोडोमेन]] के लिए है <math>Y\,\!</math>, हम ऐसा कहते हैं <math>(X,A)\,\!</math> के संबंध में समरूप विस्तार गुण है <math>Y\,\!</math>.
यदि युग्म के निकट यह गुण केवल निश्चित [[कोडोमेन]] के लिए <math>Y\,\!</math> है, हम ऐसा कहते हैं <math>(X,A)\,\!</math> के संबंध में समरूप विस्तार गुण <math>Y\,\!</math> है।


==विज़ुअलाइज़ेशन==
==विज़ुअलाइज़ेशन==
होमोटॉपी एक्सटेंशन गुण को निम्नलिखित चित्र में दर्शाया गया है
होमोटॉपी विस्तार गुण को निम्नलिखित चित्र में दर्शाया गया है:


[[File:Homotopy extension property rotated.svg|175px|center]]यदि उपरोक्त आरेख (बिना धराशायी मानचित्र के) चलता है (यह उपरोक्त स्थितियों के बराबर है), तो यदि मानचित्र मौजूद है तो जोड़ी (एक्स, ) में होमोटॉपी एक्सटेंशन संपत्ति है <math>\tilde{f}_\bullet</math> जो आरेख को आवागमन योग्य बनाता है। [[करी]]इंग द्वारा, ध्यान दें कि होमोटॉपीज़ को मानचित्रों के रूप में व्यक्त किया गया है <math>\tilde{f}_\bullet \colon X \to Y^I</math> मानचित्र के रूप में भावों के साथ प्राकृतिक परिवर्तन#टेन्सर-होम एडजंक्शन में हैं <math> \tilde{f}_\bullet \colon X\times I \to Y </math>.
[[File:Homotopy extension property rotated.svg|175px|center]]यदि उपरोक्त आरेख (बिना धराशायी मानचित्र के) चलता है (यह उपरोक्त स्थितियों के समान है), यदि मानचित्र उपस्थित है तो युग्म (X,A) में होमोटॉपी विस्तार गुण <math>\tilde{f}_\bullet</math> है जो आरेख को आवागमन योग्य बनाता है। [[करी|करीइंग]] द्वारा, ध्यान दें कि होमोटॉपीज़ को मानचित्रों के रूप में <math>\tilde{f}_\bullet \colon X \to Y^I</math>व्यक्त किया गया है मानचित्र के रूप में भावों के साथ प्राकृतिक आपत्तियां परिवर्तन<math> \tilde{f}_\bullet \colon X\times I \to Y </math> हैं।


ध्यान दें कि यह आरेख होमोटॉपी उठाने की संपत्ति के दोहरे (विपरीत) है; इस द्वैत को सामान्यतः एकमैन-हिल्टन द्वैत कहा जाता है।
ध्यान दें कि यह आरेख होमोटॉपी उपयोगी गुण के दोहरे (विपरीत) है; इस द्वैत को सामान्यतः एकमैन-हिल्टन द्वैत कहा जाता है।


==गुण==
==गुण==
* अगर <math>X\,\!</math> एक [[कोशिका संकुल]] है और <math>A\,\!</math> का एक उपसमुच्चय है <math>X\,\!</math>, फिर जोड़ी <math>(X,A)\,\!</math> समरूप विस्तार गुण है।
* यदि <math>X\,\!</math> [[कोशिका संकुल|सेल संकुल]] है और <math>A\,\!</math> उपसमुच्चय है <math>X\,\!</math>, फिर युग्म <math>(X,A)\,\!</math> समरूप विस्तार गुण है।
* एक जोड़ी <math>(X,A)\,\!</math> होमोटॉपी एक्सटेंशन गुण है यदि और केवल यदि <math>(X\times \{0\} \cup A\times I)</math> का एक विरूपण प्रत्यावर्तन है <math>X\times I.</math>
* युग्म <math>(X,A)\,\!</math> होमोटॉपी विस्तार गुण है यदि केवल <math>(X\times \{0\} \cup A\times I)</math> का विरूपण प्रत्यावर्तन <math>X\times I.</math> है।


== अन्य ==
यदि <math>(X, A)</math> होमोटॉपी विस्तार गुण है, फिर सरल समावेशन मानचित्र <math>\iota\colon A \to X</math> सह-फाइब्रेशन है।


==अन्य==
वास्तव में, यदि आप किसी सह-फाइब्रेशन पर विचार करते हैं, तो वह हमारे पास <math>\iota\colon Y \to Z</math> है नीचे दी गई छवि के अनुरूप [[ होम्योमॉर्फिक |होम्योमॉर्फिक]] <math>\mathbf{\mathit{Y}}</math> है, इसका तात्पर्य यह है कि किसी भी सह-फाइब्रेशन को समावेशन मानचित्र के रूप में <math>\iota</math> माना जा सकता है, और इसलिए इसे होमोटॉपी विस्तार गुण के रूप में माना जा सकता है।
अगर <math>(X, A)</math> होमोटॉपी एक्सटेंशन संपत्ति है, फिर सरल समावेशन मानचित्र <math>\iota\colon A \to X</math> एक सह-फाइब्रेशन है.
 
वास्तव में, यदि आप किसी सह-फाइब्रेशन पर विचार करते हैं <math>\iota\colon Y \to Z</math>, तो वह हमारे पास है <math>\mathbf{\mathit{Y}}</math> नीचे दी गई छवि के अनुरूप [[ होम्योमॉर्फिक ]] है <math>\iota</math>. इसका तात्पर्य यह है कि किसी भी सह-फाइब्रेशन को एक समावेशन मानचित्र के रूप में माना जा सकता है, और इसलिए इसे होमोटॉपी एक्सटेंशन संपत्ति के रूप में माना जा सकता है।


==यह भी देखें==
==यह भी देखें==
* होमोटोपी उठाने वाली संपत्ति
* होमोटोपी उपयोगी गुण


==संदर्भ==
==संदर्भ==
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*{{cite book | first = Allen | last = Hatcher | authorlink = Allen Hatcher | year = 2002 | title = Algebraic Topology | publisher  = Cambridge University Press | isbn = 0-521-79540-0 | url = http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html}}
*{{cite book | first = Allen | last = Hatcher | authorlink = Allen Hatcher | year = 2002 | title = Algebraic Topology | publisher  = Cambridge University Press | isbn = 0-521-79540-0 | url = http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html}}
* {{planetmath reference|urlname=HomotopyExtensionProperty|title=Homotopy extension property}}
* {{planetmath reference|urlname=HomotopyExtensionProperty|title=Homotopy extension property}}
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Latest revision as of 18:31, 16 July 2023

गणित में, बीजगणितीय टोपोलॉजी के क्षेत्र में, होमोटॉपी विस्तार गुण प्रदर्शित करते है कि उप-स्थान पर परिभाषित कौन सी होमोटॉपी को बड़े स्थान पर परिभाषित होमोटॉपी तक बढ़ाया जा सकता है। [[को-फाइब्रेशन]] की होमोटॉपी विस्तार गुण होमोटॉपी उपयोगी गुण से दोहरी है जिसका उपयोग फाइब्रेशन को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।

परिभाषा

मान लीजिये टोपोलॉजिकल स्थान है, और द्वारा युग्म यदि, समरूपता दी गई है तो इसमें समरूप विस्तार गुण है और मानचित्र ऐसा है कि

तो वहाँ का विस्तार उपस्थित है समरूपता के लिए और है:[1] अर्थात युग्म यदि कोई मानचित्र है तो होमोटॉपी विस्तार गुण है मानचित्र तक बढ़ाया जा सकता है (अर्थात और उनके सामान्य डोमेन पर सहमत है)।

यदि युग्म के निकट यह गुण केवल निश्चित कोडोमेन के लिए है, हम ऐसा कहते हैं के संबंध में समरूप विस्तार गुण है।

विज़ुअलाइज़ेशन

होमोटॉपी विस्तार गुण को निम्नलिखित चित्र में दर्शाया गया है:

Homotopy extension property rotated.svg

यदि उपरोक्त आरेख (बिना धराशायी मानचित्र के) चलता है (यह उपरोक्त स्थितियों के समान है), यदि मानचित्र उपस्थित है तो युग्म (X,A) में होमोटॉपी विस्तार गुण है जो आरेख को आवागमन योग्य बनाता है। करीइंग द्वारा, ध्यान दें कि होमोटॉपीज़ को मानचित्रों के रूप में व्यक्त किया गया है मानचित्र के रूप में भावों के साथ प्राकृतिक आपत्तियां परिवर्तन हैं।

ध्यान दें कि यह आरेख होमोटॉपी उपयोगी गुण के दोहरे (विपरीत) है; इस द्वैत को सामान्यतः एकमैन-हिल्टन द्वैत कहा जाता है।

गुण

  • यदि सेल संकुल है और उपसमुच्चय है , फिर युग्म समरूप विस्तार गुण है।
  • युग्म होमोटॉपी विस्तार गुण है यदि केवल का विरूपण प्रत्यावर्तन है।

अन्य

यदि होमोटॉपी विस्तार गुण है, फिर सरल समावेशन मानचित्र सह-फाइब्रेशन है।

वास्तव में, यदि आप किसी सह-फाइब्रेशन पर विचार करते हैं, तो वह हमारे पास है नीचे दी गई छवि के अनुरूप होम्योमॉर्फिक है, इसका तात्पर्य यह है कि किसी भी सह-फाइब्रेशन को समावेशन मानचित्र के रूप में माना जा सकता है, और इसलिए इसे होमोटॉपी विस्तार गुण के रूप में माना जा सकता है।

यह भी देखें

  • होमोटोपी उपयोगी गुण

संदर्भ

  1. A. Dold, Lectures on Algebraic Topology, pp. 84, Springer ISBN 3-540-58660-1