होमोटॉपी विस्तार गुण

गणित में, बीजगणितीय टोपोलॉजी के क्षेत्र में, होमोटॉपी विस्तार गुण प्रदर्शित करते है कि उप-स्थान पर परिभाषित कौन सी होमोटॉपी को बड़े स्थान पर परिभाषित होमोटॉपी तक बढ़ाया जा सकता है। [[को-फाइब्रेशन]] की होमोटॉपी विस्तार गुण होमोटॉपी उपयोगी गुण से दोहरी है जिसका उपयोग फाइब्रेशन को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।

परिभाषा

मान लीजिये $X\,\!$ टोपोलॉजिकल स्थान है, और $A\subset X$ द्वारा युग्म $(X,A)\,\!$ यदि, समरूपता दी गई है तो इसमें समरूप विस्तार गुण $f_{\bullet }\colon A\rightarrow Y^{I}$ है और मानचित्र ${\tilde {f}}_{0}\colon X\rightarrow Y$ ऐसा है कि

$${\tilde {f}}_{0}\circ \iota =\left.{\tilde {f}}_{0}\right|_{A}=f_{0}=\pi _{0}\circ f_{\bullet },$$

तो वहाँ का विस्तार $f_{\bullet }$ उपस्थित है समरूपता के लिए ${\tilde {f}}_{\bullet }\colon X\rightarrow Y^{I}$ और ${\tilde {f}}_{\bullet }\circ \iota =\left.{\tilde {f}}_{\bullet }\right|_{A}=f_{\bullet }$ है: अर्थात युग्म $(X,A)\,\!$ यदि कोई मानचित्र है तो होमोटॉपी विस्तार गुण $G\colon ((X\times \{0\})\cup (A\times I))\rightarrow Y$ है मानचित्र तक $G'\colon X\times I\rightarrow Y$ बढ़ाया जा सकता है (अर्थात $G\,\!$ और $G'\,\!$ उनके सामान्य डोमेन पर सहमत है)।

यदि युग्म के निकट यह गुण केवल निश्चित कोडोमेन के लिए $Y\,\!$ है, हम ऐसा कहते हैं $(X,A)\,\!$ के संबंध में समरूप विस्तार गुण $Y\,\!$ है।

विज़ुअलाइज़ेशन

होमोटॉपी विस्तार गुण को निम्नलिखित चित्र में दर्शाया गया है:

यदि उपरोक्त आरेख (बिना धराशायी मानचित्र के) चलता है (यह उपरोक्त स्थितियों के समान है), यदि मानचित्र उपस्थित है तो युग्म (X,A) में होमोटॉपी विस्तार गुण ${\tilde {f}}_{\bullet }$ है जो आरेख को आवागमन योग्य बनाता है। करीइंग द्वारा, ध्यान दें कि होमोटॉपीज़ को मानचित्रों के रूप में ${\tilde {f}}_{\bullet }\colon X\to Y^{I}$व्यक्त किया गया है मानचित्र के रूप में भावों के साथ प्राकृतिक आपत्तियां परिवर्तन${\tilde {f}}_{\bullet }\colon X\times I\to Y$ हैं।

ध्यान दें कि यह आरेख होमोटॉपी उपयोगी गुण के दोहरे (विपरीत) है; इस द्वैत को सामान्यतः एकमैन-हिल्टन द्वैत कहा जाता है।

गुण

• यदि $X\,\!$ सेल संकुल है और $A\,\!$ उपसमुच्चय है $X\,\!$, फिर युग्म $(X,A)\,\!$ समरूप विस्तार गुण है।
• युग्म $(X,A)\,\!$ होमोटॉपी विस्तार गुण है यदि केवल $(X\times \{0\}\cup A\times I)$ का विरूपण प्रत्यावर्तन $X\times I.$ है।

अन्य

यदि $(X,A)$ होमोटॉपी विस्तार गुण है, फिर सरल समावेशन मानचित्र $\iota \colon A\to X$ सह-फाइब्रेशन है।

वास्तव में, यदि आप किसी सह-फाइब्रेशन पर विचार करते हैं, तो वह हमारे पास $\iota \colon Y\to Z$ है नीचे दी गई छवि के अनुरूप होम्योमॉर्फिक $\mathbf {\mathit {Y}}$ है, इसका तात्पर्य यह है कि किसी भी सह-फाइब्रेशन को समावेशन मानचित्र के रूप में $\iota$ माना जा सकता है, और इसलिए इसे होमोटॉपी विस्तार गुण के रूप में माना जा सकता है।

यह भी देखें

• होमोटोपी उपयोगी गुण

संदर्भ

• Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.
• "Homotopy extension property". PlanetMath.