अनुक्रमिक स्थान

सांस्थिति और संबंधित गणित के क्षेत्र में, एक अनुक्रमिक स्थान एक सांस्थितिक स्थान होता है जिसकी सांस्थिति को पूरी तरह से उसके आसन्न/विसर्ग सरणियों के द्वारा वर्णन किया जा सकता है। इन्हें एक बहुत ही कमजोर गणनीयता का अभिकरण माना जा सकता है, और सभी प्रथम-गणनीय स्थान अनुक्रमिक होते हैं। किसी भी सांस्थिति स्थान ($(X,\tau ),$) में, यदि एक आसन्न सरणी किसी बंद समुच्चय $C,$ में समावेशित होती है, तो उस सरणी का सीमा भी $C,$ इस गुण को अनुक्रमिक समापन के रूप में जाना जाता है।

अनुक्रमिक रिक्त स्थान वास्तव में वे टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान हैं जिनके लिए क्रमिक रूप से बंद सेट वास्तव में बंद हैं। (इन परिभाषाओं को क्रमिक रूप से खुले सेटों के संदर्भ में भी दोहराया जा सकता है; नीचे देखें।) अलग ढंग से कहा गया है, किसी भी सांस्थिति को नेट (गणित) (मूर-स्मिथ अनुक्रमों के रूप में भी जाना जाता है) के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है, लेकिन वे अनुक्रम बहुत लंबे हो सकते हैं (बहुत बड़े क्रमसूचक द्वारा अनुक्रमित) एक अनुक्रम में संपीड़ित करने के लिए। अनुक्रमिक रिक्त स्थान वे टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान हैं जिनके लिए गणनीय लंबाई के जाल (यानी, अनुक्रम) सांस्थिति का वर्णन करने के लिए पर्याप्त हैं।

कोई भी सांस्थिति एक अनुक्रमिक सांस्थिति को बेहतर सांस्थिति (अर्थात बेहतर बनाया जा सकता है) हो सकती है, जिसे अनुक्रमिक कोरफ्लेक्शन कहा जाता है। $X.$ फ़्रेचेट-उरीसोहन रिक्त स्थान की संबंधित अवधारणाएँ, T-अनुक्रमिक रिक्त स्थान, और $N$-अनुक्रमिक रिक्त स्थान को इस संदर्भ में भी परिभाषित किया जाता है कि किसी स्थान की सांस्थिति अनुक्रमों के साथ कैसे इंटरैक्ट करती है, लेकिन इसमें सूक्ष्म रूप से भिन्न गुण होते हैं।

अनुक्रमिक रिक्त स्थान और $N$-अनुक्रमिक रिक्त स्थान स्टेन फ्रैंकलिन|एस द्वारा प्रस्तुत किए गए थे। पी. फ्रैंकलिन.

इतिहास

हालाँकि ऐसे गुणों को संतुष्ट करने वाले स्थानों का कई वर्षों तक अप्रत्यक्ष रूप से अध्ययन किया गया था, पहली औपचारिक परिभाषा 1965 में एस. प्रथम-गणनीय रिक्त स्थान|प्रथम-गणनीय रिक्त स्थान की जांच करना, जिसके लिए यह पहले से ही ज्ञात था कि अनुक्रम पर्याप्त थे। इसके बाद फ्रैंकलिन प्रथम-गणनीय स्थानों के आवश्यक गुणों का सार निकालकर आधुनिक परिभाषा पर पहुंचे।

प्रारंभिक परिभाषाएँ

See also: Filters in topology and Net (mathematics)

होने देना $X$ एक सेट हो और चलो $x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ में एक क्रम हो $X$; अर्थात्, तत्वों का एक परिवार $X$, प्राकृतिक संख्याओं द्वारा अनुक्रमित परिवार। इस आलेख में, $x_{\bullet }\subseteq S$ इसका मतलब है कि अनुक्रम में प्रत्येक तत्व $x_{\bullet }$ का एक तत्व है $S,$ और अगर $f:X\to Y$ तो फिर, यह एक नक्शा है $f\left(x_{\bullet }\right)=\left(f\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }.$ किसी भी सूचकांक के लिए $i,$ की पूँछ $x_{\bullet }$ पे शुरुवात $i$ अनुक्रम है

$$x_{\geq i}=(x_{i},x_{i+1},x_{i+2},\ldots ){\text{.}}$$

एक क्रम $x_{\bullet }$ अंततः अंदर है $S$ अगर कुछ पूँछ $x_{\bullet }$ संतुष्ट $x_{\geq i}\subseteq S.$ होने देना $\tau$ पर एक टोपोलॉजिकल स्पेस बनें $X$ और $x_{\bullet }$ उसमें एक क्रम. क्रम $x_{\bullet }$ एक बिंदु पर अभिसरण अनुक्रम $x\in X,$ लिखा हुआ $x_{\bullet }{\overset {\tau }{\to }}x$ (जब संदर्भ अनुमति देता है, $x_{\bullet }\to x$), यदि, प्रत्येक पड़ोस के लिए $U\in \tau$ का $x,$ अंततः $x_{\bullet }$ में है $U.$ $x$ तब इसे सीमा बिंदु कहा जाता है $x_{\bullet }.$ एक समारोह $f:X\to Y$ टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के बीच क्रमिक रूप से निरंतर है यदि $x_{\bullet }\to x$ तात्पर्य $f(x_{\bullet })\to f(x).$

अनुक्रमिक समापन/आंतरिक

होने देना $(X,\tau )$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस बनें और रहने दें $S\subseteq X$ एक उपसमुच्चय हो. समापन (सांस्थिति ) (रेस्पेक्ट आंतरिक (सांस्थिति ) )। $S$ में $(X,\tau )$ द्वारा निरूपित किया जाता है $\operatorname {cl} _{X}S$ (सम्मान. $\operatorname {int} _{X}S$).

का क्रमिक समापन $S$ में $(X,\tau )$ सेट है

$$\operatorname {scl} (S)=\left\{x:{\text{there exists a sequence }}s_{\bullet }\subseteq S{\text{ such that }}s_{\bullet }\to x\right\}$$

जो कि पावर सेट पर एक मानचित्र, अनुक्रमिक समापन ऑपरेटर को परिभाषित करता है $X.$ यदि स्पष्टता के लिए आवश्यक हो तो यह सेट भी लिखा जा सकता है $\operatorname {scl} _{X}(S)$ या $\operatorname {scl} _{(X,\tau )}(S).$ हमेशा ऐसा ही होता है $\operatorname {scl} _{X}S\subseteq \operatorname {cl} _{X}S,$ लेकिन इसका उलटा विफल हो सकता है।

का अनुक्रमिक आंतरिक भाग $S$ में $(X,\tau )$ सेट है

$$\operatorname {sint} (S)=\{s:{\text{whenever }}x_{\bullet }\subseteq X{\text{ and }}x_{\bullet }\to s,{\text{ then }}x_{\bullet }{\text{ is eventually in }}S\}$$

(यदि आवश्यक हो तो टोपोलॉजिकल स्पेस को फिर से एक सबस्क्रिप्ट के साथ दर्शाया गया है)।

अनुक्रमिक समापन और इंटीरियर टोपोलॉजिकल क्लोजर और इंटीरियर के कई अच्छे गुणों को संतुष्ट करते हैं: सभी उपसमूहों के लिए $R,S\subseteq X,$ <सड़क> <ली>$\operatorname {scl} _{X}(X\setminus S)=X\setminus \operatorname {sint} _{X}(S)$ और $\operatorname {sint} _{X}(X\setminus S)=X\setminus \operatorname {scl} _{X}(S)$;

Proof

Fix $x\in \operatorname {sint} (X\setminus S).$ If $x\in \operatorname {scl} (S),$ then there exists $s_{\bullet }\subseteq S$ with $s_{\bullet }\to x.$ But by the definition of sequential interior, eventually $s_{\bullet }$ is in $X\setminus S,$ contradicting $s_{\bullet }\subseteq S.$ Conversely, suppose $x\notin \operatorname {sint} (X\setminus S)$; then there exists a sequence $s_{\bullet }\subseteq X$ with $s_{\bullet }\to x$ that is not eventually in $X\setminus S.$ By passing to the subsequence of elements not in $X\setminus S,$ we may assume that $s_{\bullet }\subseteq S.$ But then $x\in \operatorname {scl} (S).$ ▮

<ली>$\operatorname {scl} (\emptyset )=\emptyset$ और $\operatorname {sint} (\emptyset )=\emptyset$; <ली>${\textstyle \operatorname {sint} (S)\subseteq S\subseteq \operatorname {scl} (S)}$; <ली>$\operatorname {scl} (R\cup S)=\operatorname {scl} (R)\cup \operatorname {scl} (S)$; और <ली>${\textstyle \operatorname {scl} (S)\subseteq \operatorname {scl} (\operatorname {scl} (S)).}$

अर्थात्, अनुक्रमिक समापन एक प्रीक्लोज़र ऑपरेटर है। टोपोलॉजिकल क्लोजर के विपरीत, अनुक्रमिक क्लोजर नपुंसकता नहीं है: अंतिम रोकथाम सख्त हो सकती है। इस प्रकार अनुक्रमिक समापन एक (कुराटोव्स्की बंद करने वाला ऑपरेटर ) क्लोजर ऑपरेटर नहीं है।

क्रमिक रूप से बंद और खुले सेट

एक सेट $S$ यदि क्रमिक रूप से बंद है $S=\operatorname {scl} (S)$; समान रूप से, सभी के लिए $s_{\bullet }\subseteq S$ और $x\in X$ ऐसा है कि $s_{\bullet }{\overset {\tau }{\to }}x,$ हमारे पास यह होना चाहिए $x\in S.$ एक सेट $S$ इसे क्रमिक रूप से खुले होने के रूप में परिभाषित किया गया है यदि इसका पूरक (सेट सिद्धांत) क्रमिक रूप से बंद है। समतुल्य शर्तों में शामिल हैं:

<ली>$S=\operatorname {sint} (S)$ या
• सभी के लिए $x_{\bullet }\subseteq X$ और $s\in S$ ऐसा है कि $x_{\bullet }{\overset {\tau }{\to }}s,$ अंततः $x_{\bullet }$ में है $S$ (अर्थात, कुछ पूर्णांक मौजूद हैं $i$ ऐसे कि पूँछ $x_{\geq i}\subseteq S$).

स्थापित करना $S$ एक बिंदु का अनुक्रमिक पड़ोस है $x\in X$ यदि इसमें शामिल है $x$ इसके अनुक्रमिक आंतरिक भाग में; अनुक्रमिक पड़ोस को क्रमिक रूप से खोलने की आवश्यकता नहीं है (देखें)। § T- and N-sequential spaces नीचे)।

के एक उपसमुच्चय के लिए यह संभव है $X$ क्रमिक रूप से खुला होना लेकिन खुला नहीं होना। इसी प्रकार, यह संभव है कि क्रमिक रूप से बंद उपसमुच्चय का अस्तित्व हो जो बंद न हो।

अनुक्रमिक रिक्त स्थान और कोरफ्लेक्शन

जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, अनुक्रमिक समापन सामान्य रूप से निष्क्रिय नहीं है, और इसलिए सांस्थिति का समापन ऑपरेटर नहीं है। कोई व्यक्ति ट्रांसफिनिट पुनरावृत्ति के माध्यम से एक निष्क्रिय अनुक्रमिक समापन प्राप्त कर सकता है: एक उत्तराधिकारी क्रम के लिए $\alpha +1,$ परिभाषित करें (हमेशा की तरह)

$$(\operatorname {scl} )^{\alpha +1}(S)=\operatorname {scl} ((\operatorname {scl} )^{\alpha }(S))$$

और, एक सीमा क्रमसूचक के लिए $\alpha ,$ परिभाषित करना

$$(\operatorname {scl} )^{\alpha }(S)=\bigcup _{\beta <\alpha }{(\operatorname {scl} )^{\beta }(S)}{\text{.}}$$

यह प्रक्रिया सेटों का क्रमिक-अनुक्रमित बढ़ता क्रम देती है; जैसा कि यह पता चला है, वह अनुक्रम हमेशा सूचकांक द्वारा स्थिर होता है $\omega _{1}$ (पहला बेशुमार क्रमसूचक)। इसके विपरीत, का अनुक्रमिक क्रम $X$ किसी भी विकल्प के लिए न्यूनतम क्रमसूचक है $S,$ उपरोक्त क्रम स्थिर हो जाएगा. का अनंत अनुक्रमिक समापन $S$ उपरोक्त अनुक्रम में टर्मिनल सेट है: $(\operatorname {scl} )^{\omega _{1}}(S).$ परिचालक $(\operatorname {scl} )^{\omega _{1}}$ निष्क्रिय है और इस प्रकार एक बंद ऑपरेटर है। विशेष रूप से, यह एक सांस्थिति , अनुक्रमिक कोरफ्लेक्शन को परिभाषित करता है। अनुक्रमिक कोरफ्लेक्शन में, प्रत्येक क्रमिक रूप से बंद सेट बंद होता है (और प्रत्येक क्रमिक रूप से खुला सेट खुला होता है)।

अनुक्रमिक रिक्त स्थान

एक टोपोलॉजिकल स्पेस $(X,\tau )$ अनुक्रमिक है यदि यह निम्नलिखित समकक्ष शर्तों में से किसी को संतुष्ट करता है:

<ली>$\tau$ इसका अपना अनुक्रमिक कोरफ्लेक्शन है।
• प्रत्येक क्रमिक रूप से खुला उपसमुच्चय $X$ खुला है.
• प्रत्येक क्रमिक रूप से बंद उपसमूह $X$ बंद है.
• किसी भी उपसमुच्चय के लिए $S\subseteq X$ वह है not बंद किया $X,$ वहाँ कुछ मौजूद है $x\in \operatorname {cl} (S)\setminus S$ और एक क्रम $S$ जो कि एकत्रित हो जाता है $x.$
• (सार्वभौमिक संपत्ति) प्रत्येक टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए $Y,$ नक्षा $f:X\to Y$ सतत कार्य (सांस्थिति ) है यदि और केवल यदि यह अनुक्रमिक निरंतरता (यदि) है $x_{\bullet }\to x$ तब $f\left(x_{\bullet }\right)\to f(x)$).
<ली>$X$ प्रथम-गणनीय स्थान का भागफल है। <ली>$X$ एक मीट्रिक स्थान का भागफल है।

ले कर $Y=X$ और $f$ पहचान मानचित्र पर होना $X$ सार्वभौमिक संपत्ति में, यह इस प्रकार है कि अनुक्रमिक रिक्त स्थान के वर्ग में सटीक रूप से वे स्थान शामिल होते हैं जिनकी टोपोलॉजिकल संरचना अभिसरण अनुक्रमों द्वारा निर्धारित होती है। यदि दो सांस्थिति अभिसरण अनुक्रमों पर सहमत हैं, तो उनके पास आवश्यक रूप से समान अनुक्रमिक कोरफ्लेक्शन होता है। इसके अलावा, से एक समारोह $Y$ क्रमिक रूप से निरंतर है यदि और केवल यदि यह अनुक्रमिक कोरफ्लेक्शन पर निरंतर है (अर्थात्, जब पूर्व-निर्मित हो) $f$).

T- और N-अनुक्रमिक रिक्त स्थान

एT-अनुक्रमिक स्थान अनुक्रमिक क्रम 1 वाला एक टोपोलॉजिकल स्थान है, जो निम्नलिखित में से किसी भी स्थिति के बराबर है:

• प्रत्येक उपसमुच्चय का अनुक्रमिक समापन (या आंतरिक भाग)। $X$ क्रमिक रूप से बंद है (resp. open).
<ली>$\operatorname {scl}$ या $\operatorname {sint}$ नपुंसक हैं. <वह>${\textstyle \operatorname {scl} (S)=\bigcap _{{\text{sequentially closed }}C\supseteq S}{C}}$ या ${\textstyle \operatorname {sint} (S)=\bigcup _{{\text{sequentially open }}U\subseteq S}{U}}$
• कोई अनुक्रमिक पड़ोस $x\in X$ अनुक्रमिक रूप से खुले सेट में सिकुड़ा जा सकता है जिसमें शामिल है $x$; औपचारिक रूप से, क्रमिक रूप से खुले पड़ोस अनुक्रमिक पड़ोस के लिए पड़ोस का आधार हैं।
• किसी के लिए $x\in X$ और कोई अनुक्रमिक पड़ोस $N$ का $x,$ वहां एक अनुक्रमिक पड़ोस मौजूद है $M$ का $x$ ऐसा कि, हर किसी के लिए $m\in M,$ सेट $N$ का अनुक्रमिक पड़ोस है $m.$

होने के नाते T-अनुक्रमिक स्थान अनुक्रमिक स्थान होने के साथ अतुलनीय है; ऐसे अनुक्रमिक स्थान हैं जो नहीं हैं T-अनुक्रमिक और इसके विपरीत। हालाँकि, एक टोपोलॉजिकल स्पेस $(X,\tau )$ ए कहा जाता है$N$-अनुक्रमिक (या पड़ोस-अनुक्रमिक) यदि यह अनुक्रमिक और दोनों है T-अनुक्रमिक. एक समान शर्त यह है कि प्रत्येक अनुक्रमिक पड़ोस में एक खुला (शास्त्रीय) पड़ोस होता है। प्रत्येक प्रथम-गणनीय स्थान (और इस प्रकार प्रत्येक मापनीय स्थान) है $N$-क्रमिक. वहाँ टोपोलॉजिकल वेक्टर रिक्त स्थान मौजूद हैं जो अनुक्रमिक हैं लेकिन not $N$-अनुक्रमिक (और इस प्रकार नहीं T-अनुक्रमिक).

फ़्रेचेट-उरीसोहन रिक्त स्थान

Main article: Fréchet–Urysohn space

एक टोपोलॉजिकल स्पेस $(X,\tau )$ इसे फ़्रेचेट-उरीसोहन स्थान कहा जाता है|फ़्रेचेट-उरीसोहन यदि यह निम्नलिखित समकक्ष शर्तों में से किसी को संतुष्ट करता है:

<ली>$X$ वंशानुगत रूप से अनुक्रमिक है; अर्थात्, प्रत्येक टोपोलॉजिकल उपस्थान अनुक्रमिक है।
• प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए $S\subseteq X,$ $\operatorname {scl} _{X}S=\operatorname {cl} _{X}S.$
• किसी भी उपसमुच्चय के लिए $S\subseteq X$ वह बंद नहीं है $X$ और हर $x\in \left(\operatorname {cl} _{X}S\right)\setminus S,$ इसमें एक क्रम मौजूद है $S$ जो कि एकत्रित हो जाता है $x.$

फ़्रेचेट-उरीसोहन रिक्त स्थान को कभी-कभी फ़्रेचेट भी कहा जाता है, लेकिन कार्यात्मक विश्लेषण में न तो फ़्रेचेट रिक्त स्थान और न ही टी1 स्पेस|टी के साथ भ्रमित होना चाहिए।₁ स्थिति।

उदाहरण और पर्याप्त शर्तें

प्रत्येक सीडब्ल्यू-कॉम्प्लेक्स अनुक्रमिक है, क्योंकि इसे मीट्रिक स्थान के भागफल के रूप में माना जा सकता है।

ज़ारिस्की सांस्थिति के साथ एक कम्यूटेटिव नोथेरियन अंगूठी का प्राइम स्पेक्ट्रम अनुक्रमिक है।

असली लाइन लो $\mathbb {R}$ और कोटिएंट स्पेस (सांस्थिति ) सेट $\mathbb {Z}$ एक बिंदु तक पूर्णांकों का. मीट्रिक स्थान के भागफल के रूप में, परिणाम अनुक्रमिक है, लेकिन यह पहले गणनीय नहीं है।

प्रत्येक प्रथम-गणनीय स्थान फ़्रेचेट-उरीसोहन है और प्रत्येक फ़्रेचेट-उरीसोहन स्थान अनुक्रमिक है। इस प्रकार प्रत्येक मेट्रिज़ेबल या स्यूडोमेट्रिज़ेबल स्थान स्पेस - विशेष रूप से, प्रत्येक सेकंड-गणनीय स्पेस, मीट्रिक स्पेस, या असतत स्पेस - अनुक्रमिक है।

होने देना ${\mathcal {F}}$ फ़्रेचेट-उरीसोहन स्थान से मानचित्रों का एक सेट बनें|फ़्रेचेट-उरीसोहन स्थान से लेकर $X.$ फिर अंतिम सांस्थिति वह ${\mathcal {F}}$ प्रेरित करता है $X$ अनुक्रमिक है.

हॉसडॉर्फ़ टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस अनुक्रमिक है यदि और केवल तभी यदि समान अभिसरण अनुक्रमों के साथ कोई सख्ती से बेहतर सांस्थिति मौजूद नहीं है।

===वे स्थान जो अनुक्रमिक हैं लेकिन फ़्रेचेट-उरीसोहन=== नहीं हैं श्वार्ट्ज स्थान ${\mathcal {S}}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$और स्थान $C^{\infty }(U)$ सुचारू कार्य, जैसा कि वितरण (गणित)गणित) पर लेख में चर्चा की गई है, दोनों व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले अनुक्रमिक स्थान हैं, लेकिन फ़्रेचेट-उरीसोहन स्पेस नहीं हैं|फ़्रेचेट-उरीसोहन। वास्तव में इन दोनों स्थानों के मजबूत दोहरे स्थान फ़्रेचेट-उरीसोहन स्थान नहीं हैं|फ़्रेचेट-उरीसोहन भी नहीं हैं। अधिक आम तौर पर, प्रत्येक अनंत-आयामी मॉन्टेल स्पेस डीएफ-स्पेस अनुक्रमिक है, लेकिन फ़्रेचेट-उरीसोहन स्पेस नहीं|फ़्रेचेट-उरीसोहन।

एरेन्स का स्थान अनुक्रमिक है, लेकिन फ़्रेचेट-उरीसोहन नहीं।

गैर-उदाहरण (रिक्त स्थान जो अनुक्रमिक नहीं हैं)

सबसे सरल स्थान जो अनुक्रमिक नहीं है वह बेशुमार सेट पर सहगणनीय सांस्थिति है। ऐसे स्थान में प्रत्येक अभिसरण अनुक्रम अंततः स्थिर होता है; इसलिए प्रत्येक सेट क्रमिक रूप से खुला है। लेकिन सहगणनीय सांस्थिति पृथक स्थान नहीं है। (कोई सांस्थिति को क्रमिक रूप से असतत कह सकता है।) होने देना $C_{c}^{k}(U)$ वितरण को निरूपित करें (गणित) $k$वितरण (गणित)|-अपनी विहित सांस्थिति और लेट के साथ सुचारू परीक्षण कार्य करता है ${\mathcal {D}}'(U)$ वितरण के स्थान, मजबूत दोहरे स्थान को निरूपित करें $C_{c}^{\infty }(U)$; न तो अनुक्रमिक हैं (न ही स्थान सुनो भी)। दूसरी ओर, दोनों $C_{c}^{\infty }(U)$ और ${\mathcal {D}}'(U)$ मोंटेल अंतरिक्ष स्थान हैं और, किसी भी मॉन्टेल स्पेस के निरंतर दोहरे स्थान में, निरंतर रैखिक कार्यात्मकताओं का एक क्रम मजबूत दोहरे स्थान में परिवर्तित होता है यदि और केवल यदि यह कमजोर कमज़ोर* सांस्थिति में परिवर्तित होता है (अर्थात, बिंदुवार परिवर्तित होता है)।

परिणाम

प्रत्येक अनुक्रमिक स्थान में गणनीय जकड़न होती है और यह कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न स्थान होता है।

अगर $f:X\to Y$ सेट के बाद दो हॉसडॉर्फ अनुक्रमिक स्थानों के बीच एक निरंतर खुला मानचित्र है $\{y:{|f^{-1}(y)|=1}\}\subseteq Y$ अद्वितीय प्रीइमेज वाले बिंदुओं को बंद कर दिया गया है। (निरंतरता से, इसकी पूर्वछवि भी वैसी ही है $X,$ जिस पर सभी बिंदुओं का सेट $f$ इंजेक्शन है.)

अगर $f:X\to Y$ हॉसडॉर्फ़ अनुक्रमिक स्थान पर एक विशेषण मानचित्र (आवश्यक रूप से निरंतर नहीं) है $Y$ और ${\mathcal {B}}$ सांस्थिति के लिए आधार (सांस्थिति )। $X,$ तब $f:X\to Y$ यदि और केवल यदि, प्रत्येक के लिए एक खुला मानचित्र है $x\in X,$ बुनियादी पड़ोस $B\in {\mathcal {B}}$ का $x,$ और क्रम $y_{\bullet }=\left(y_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to f(x)$ में $Y,$ का एक क्रम है $y_{\bullet }$ वह अंततः अंदर है$f(B).$

श्रेणीबद्ध गुण

सभी अनुक्रमिक रिक्त स्थान की पूर्ण उपश्रेणी Seq टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी (गणित) शीर्ष में निम्नलिखित परिचालनों के तहत बंद है:

• Quotients
• Continuous closed or open images
• Sums
• Inductive limits
• Open and closed subspaces

Seq श्रेणी है not शीर्ष में निम्नलिखित परिचालनों के अंतर्गत बंद किया गया:

• Continuous images
• Subspaces
• Finite products

चूँकि वे टोपोलॉजिकल योगों और भागफलों के अंतर्गत बंद होते हैं, अनुक्रमिक रिक्त स्थान टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी का एक कोरफ्लेक्टिव उपश्रेणी बनाते हैं। वास्तव में, वे मेट्रिज़ेबल रिक्त स्थान (अर्थात्, योग और भागफल के अंतर्गत बंद टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान का सबसे छोटा वर्ग और मेट्रिज़ेबल रिक्त स्थान युक्त) के कोरफ्लेक्टिव पतवार हैं।

उपश्रेणी Seq अपने स्वयं के उत्पाद (शीर्ष के नहीं) के संबंध में एक कार्टेशियन बंद श्रेणी है। घातीय वस्तुएं (अभिसरण अनुक्रम)-ओपन सांस्थिति से सुसज्जित हैं।

पी.आई. बूथ और ए. टिलोटसन ने दिखाया है कि Seq टॉप की सबसे छोटी कार्टेशियन बंद उपश्रेणी है जिसमें सभी मीट्रिक स्पेस, सीडब्ल्यू-कॉम्प्लेक्स और अलग-अलग मैनिफोल्ड्स के अंतर्निहित टोपोलॉजिकल स्पेस शामिल हैं और यह कोलिमिट्स, भागफल और अन्य कुछ उचित पहचानों के तहत बंद है जो नॉर्मन स्टीनरोड को सुविधाजनक बताया गया।.

प्रत्येक अनुक्रमिक स्थान कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न स्थान है, और Seq में परिमित उत्पाद कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न स्थानों के साथ मेल खाते हैं, क्योंकि कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न स्थानों की श्रेणी में उत्पाद मीट्रिक रिक्त स्थान के भागफल को संरक्षित करते हैं।

यह भी देखें

• Axiom of countability
• Closed graph property – Graph of a map closed in the product space
• First-countable space – Topological space where each point has a countable neighbourhood basis
• Fréchet–Urysohn space
• Sequence covering map

संदर्भ

• Arkhangel'skii, A.V. and Pontryagin, L.S., General Topology I, Springer-Verlag, New York (1990) ISBN 3-540-18178-4.
• Arkhangel'skii, A V (1966). "Mappings and spaces" (PDF). Russian Mathematical Surveys. 21 (4): 115–162. Bibcode:1966RuMaS..21..115A. doi:10.1070/RM1966v021n04ABEH004169. ISSN 0036-0279. S2CID 250900871. Retrieved 10 February 2021.
• Akiz, Hürmet Fulya; Koçak, Lokman (2019). "Sequentially Hausdorff and full sequentially Hausdorff spaces". Communications Faculty of Science University of Ankara Series A1Mathematics and Statistics. 68 (2): 1724–1732. doi:10.31801/cfsuasmas.424418. ISSN 1303-5991. Retrieved 10 February 2021.
• Boone, James (1973). "A note on mesocompact and sequentially mesocompact spaces". Pacific Journal of Mathematics. 44 (1): 69–74. doi:10.2140/pjm.1973.44.69. ISSN 0030-8730.
• Booth, Peter; Tillotson, J. (1980). "Monoidal closed, Cartesian closed and convenient categories of topological spaces". Pacific Journal of Mathematics. 88 (1): 35–53. doi:10.2140/pjm.1980.88.35. ISSN 0030-8730. Retrieved 10 February 2021.
• Engelking, R., General Topology, Heldermann, Berlin (1989). Revised and completed edition.
• Foged, L. (1985). "A characterization of closed images of metric spaces". Proceedings of the American Mathematical Society. 95 (3): 487–490. doi:10.1090/S0002-9939-1985-0806093-3. ISSN 0002-9939.
• Franklin, S. (1965). "Spaces in which sequences suffice" (PDF). Fundamenta Mathematicae. 57 (1): 107–115. doi:10.4064/fm-57-1-107-115. ISSN 0016-2736.
• Franklin, S. (1967). "Spaces in which sequences suffice II" (PDF). Fundamenta Mathematicae. 61 (1): 51–56. doi:10.4064/fm-61-1-51-56. ISSN 0016-2736. Retrieved 10 February 2021.
• Goreham, Anthony, "Sequential Convergence in Topological Spaces", (2016)
• Gruenhage, Gary; Michael, Ernest; Tanaka, Yoshio (1984). "Spaces determined by point-countable covers". Pacific Journal of Mathematics. 113 (2): 303–332. doi:10.2140/pjm.1984.113.303. ISSN 0030-8730.
• Michael, E.A. (1972). "A quintuple quotient quest". General Topology and Its Applications. 2 (2): 91–138. doi:10.1016/0016-660X(72)90040-2. ISSN 0016-660X.
• Shou, Lin; Chuan, Liu; Mumin, Dai (1997). "Images on locally separable metric spaces". Acta Mathematica Sinica. 13 (1): 1–8. doi:10.1007/BF02560519. ISSN 1439-8516. S2CID 122383748.
• Steenrod, N. E. (1967). "A convenient category of topological spaces". The Michigan Mathematical Journal. 14 (2): 133–152. doi:10.1307/mmj/1028999711. Retrieved 10 February 2021.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
• Wilansky, Albert (2013). Modern Methods in Topological Vector Spaces. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.