वेइल सह-समरूपता सिद्धांत

बीजगणितीय ज्यामिति में, वेइल सह-समरूपता या वेइल सह-समरूपता सिद्धांत एक सह-समरूपता है जो बीजगणितीय चक्रों और सह-समरूपता समूहों के परस्पर क्रिया से संबंधित कुछ स्वयंसिद्ध सिद्धांतों को संतुष्ट करता है। यह नाम एन्ड्रे वेइल के सम्मान में है। कोई भी वेइल सह-समरूपता सिद्धांत चाउ उद्देश्यों की श्रेणी के माध्यम से विशिष्ट रूप से कारक बनता है, लेकिन चाउ उद्देश्यों की श्रेणी स्वयं वेइल सह-समरूपता सिद्धांत नहीं है, क्योंकि यह एक एबेलियन श्रेणी नहीं है।

परिभाषा

मनमाना विशेषता का एक आधार फ़ील्ड k और विशेषता शून्य का एक "गुणांक फ़ील्ड" K ठीक करें। एक वेइल सह-समरूपता सिद्धांत एक विरोधाभासी फ़ैनक्टर है।

$H^{*}:\{{\text{smooth projective varieties over }}k\}\longrightarrow \{{\text{graded }}K{\text{-algebras}}\}$

नीचे दिए गए सिद्धांतों को संतुष्ट करते हुए। प्रत्येक चिकनी प्रक्षेप्य बीजगणितीय विविधता X के आयाम n से अधिक k के लिए, फिर वर्गीकृत K-बीजगणित

$H^{*}(X)=\bigoplus \nolimits _{i}H^{i}(X)$

निम्नलिखित को संतुष्ट करना आवश्यक है:

• $H^{i}(X)$ प्रत्येक पूर्णांक i के लिए एक सीमित-आयामी K-सदिश स्थान है।

• $H^{i}(X)=0$ प्रत्येक i < 0 या i > 2n के लिए।

• $H^{2n}(X)$ K (तथाकथित अभिविन्यास मानचित्र) के समरूपी है।

• पोंकारे द्वंद्व: एक आदर्श युग्मन है

$H^{i}(X)\times H^{2n-i}(X)\to H^{2n}(X)\cong K.$

• एक विहित कुनेथ समरूपतावाद है

$H^{*}(X)\otimes H^{*}(Y)\to H^{*}(X\times Y).$

• प्रत्येक पूर्णांक r के लिए, X पर कोडिमेंशन r के बीजगणितीय चक्रों के समूह $Z^{r}(X)$ पर एक चक्र मानचित्र परिभाषित है,

$\gamma _{X}:Z^{r}(X)\to H^{2r}(X),$

H और कुनेथ आइसोमोर्फिज्म की कार्यक्षमता के संबंध में कुछ अनुकूलता शर्तों को पूरा करना। यदि X एक बिंदु है, तो साइकिल मानचित्र में Z ⊂ K का समावेश आवश्यक है।

• कमज़ोर लेफ्सचेत्ज़ सिद्धांत: किसी भी चिकने हाइपरप्लेन अनुभाग के लिए j: W ⊂

$j^{*}:H^{i}(X)\to H^{i}(W)$

के लिए समरूपताएँ हैं $i\leqslant n-2$ और इंजेक्शन के लिए $i\leqslant n-1.$

• हार्ड लेफ्शेट्ज़ अभिगृहीत: मान लीजिए कि W एक हाइपरप्लेन सेक्शन है और $w=\gamma _{X}(W)\in H^{2}(X)$ चक्र वर्ग मानचित्र के अंतर्गत इसकी छवि बनें। लेफ्शेट्ज़ ऑपरेटर को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

${\begin{cases}L:H^{i}(X)\to H^{i+2}(X)\\x\mapsto x\cdot w,\end{cases}}$

जहां बिंदु बीजगणित में उत्पाद को दर्शाता है $H^{*}(X).$ तब

$L^{i}:H^{n-i}(X)\to H^{n+i}(X)$

i = 1, ..., n के लिए एक समरूपता है।

उदाहरण

चार तथाकथित शास्त्रीय वेइल सह-समरूपता सिद्धांत हैं:

• बेटी सह-समरूपता|एकवचन (=बेटी) सह-समरूपता, उनके विश्लेषणात्मक टोपोलॉजी का उपयोग करके टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के रूप में सी से अधिक किस्मों के बारे में (जीएजीए देखें),

• विशेषता (बीजगणित) शून्य के आधार क्षेत्र पर डॉ कहलमज गर्भाशय: सी से अधिक अंतर रूपों द्वारा परिभाषित और सामान्य तौर पर काहलर अंतर के परिसर के माध्यम से (बीजगणितीय डी राम सह-समरूपता देखें),

• एटेले सह-समरूपता|$\ell$-विभिन्न विशेषताओं के क्षेत्रों में किस्मों के लिए एडिक सह-समरूपता $\ell$,

• क्रिस्टलीय सहसंरचना.

बेट्टी सह-समरूपता और डी राम सह-समरूपता के लिए स्वयंसिद्धों के प्रमाण तुलनात्मक रूप से आसान और शास्त्रीय हैं। के लिए $\ell$-एडिक सह-समरूपता, उदाहरण के लिए, उपरोक्त अधिकांश गुण गहरे प्रमेय हैं।

दोगुने से अधिक आयाम वाले बेट्टी सह-समरूपता समूहों का लुप्त होना इस तथ्य से स्पष्ट है कि जटिल आयाम n के एक (जटिल) मैनिफोल्ड का वास्तविक आयाम 2n है, इसलिए ये उच्च सह-समरूपता समूह गायब हो जाते हैं (उदाहरण के लिए उन्हें सरल होमोलॉजी से तुलना करके | सरल (सह) समरूपता)।

डी राम चक्र मानचित्र में एक व्यावहारिक व्याख्या भी है: जटिल आयाम n की पूर्ण विविधता X में जटिल कोड आयाम r की एक उप-विविधता Y को देखते हुए, Y का वास्तविक आयाम 2n−2r है, इसलिए कोई भी किसी भी अंतर को एकीकृत कर सकता है ( 2n−2r)-एक जटिल संख्या उत्पन्न करने के लिए Y के अनुदिश रूप बनाएं। यह एक रैखिक कार्यात्मकता को प्रेरित करता है $\textstyle \int _{Y}\colon \;H_{\text{dR}}^{2n-2r}(X)\to \mathbf {C}$. पोंकारे द्वंद्व के अनुसार, इस तरह की कार्यक्षमता देना एक तत्व देने के बराबर है $H_{\text{dR}}^{2r}(X)$; वह तत्व चक्र मानचित्र के अंतर्गत Y की छवि है।

संदर्भ

• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Principles of algebraic geometry, Wiley Classics Library, New York: Wiley, doi:10.1002/9781118032527, ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523 (contains proofs of all of the axioms for Betti and de-Rham cohomology)
• Milne, James S. (1980), Étale cohomology, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08238-7 (idem for l-adic cohomology)
• Kleiman, S. L. (1968), "Algebraic cycles and the Weil conjectures", Dix exposés sur la cohomologie des schémas, Amsterdam: North-Holland, pp. 359–386, MR 0292838