वेइल सह-समरूपता सिद्धांत: Difference between revisions

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* प्रत्येक पूर्णांक ''r'' के लिए, X पर कोडिमेंशन ''r'' के बीजगणितीय चक्रों के समूह <math>Z^r(X)</math> पर एक चक्र मानचित्र परिभाषित है,
* प्रत्येक पूर्णांक ''r'' के लिए, X पर कोडिमेंशन ''r'' के बीजगणितीय चक्रों के समूह <math>Z^r(X)</math> पर एक चक्र मानचित्र परिभाषित है,
::<math>\gamma_X : Z^r(X) \to H^{2r}(X),</math>
::<math>\gamma_X : Z^r(X) \to H^{2r}(X),</math>
:H और कुनेथ आइसोमोर्फिज्म की कार्यक्षमता के संबंध में कुछ अनुकूलता शर्तों को पूरा करना। यदि ''X'' एक बिंदु है, तो साइकिल मानचित्र में ''Z ⊂ K'' का समावेश आवश्यक है।
:H और कुनेथ समाकृतिकता की कार्यक्षमता के संबंध में कुछ अनुकूलता शर्तों को पूरा करना। यदि ''X'' एक बिंदु है, तो साइकिल मानचित्र में ''Z ⊂ K'' का समावेश आवश्यक है।


* दुर्बल लेफ्शेट्ज़ सिद्धांत: किसी भी पूर्ण हाइपरप्लेन अनुभाग के लिए ''j'': ''W'' ⊂ ''X'' (यानी  ''W'' = ''X'' ∩ ''H'', ''H'' परिवेश प्रक्षेप्य स्पेस में कुछ हाइपरप्लेन), मानचित्र
* दुर्बल लेफ्शेट्ज़ सिद्धांत: किसी भी पूर्ण हाइपरप्लेन अनुभाग के लिए ''j'': ''W'' ⊂ ''X'' (यानी  ''W'' = ''X'' ∩ ''H'', ''H'' परिवेश प्रक्षेप्य स्पेस में कुछ हाइपरप्लेन), मानचित्र
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*विलक्षण (= बेट्टी) सह-समरूपता, उनके विश्लेषणात्मक टोपोलॉजी (जीएजीए देखें) का उपयोग करके टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के रूप में '''C''' से अधिक वर्गों के बारे में,
*विलक्षण (= बेट्टी) सह-समरूपता, उनके विश्लेषणात्मक टोपोलॉजी (जीएजीए देखें) का उपयोग करके टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के रूप में '''C''' से अधिक वर्गों के बारे में,
*[[विशेषता (बीजगणित)]] शून्य के आधार क्षेत्र पर [[डॉ कहलमज गर्भाशय]]: सी से अधिक अंतर रूपों द्वारा परिभाषित और सामान्य तौर पर काहलर अंतर के परिसर के माध्यम से (बीजगणितीय डी राम सह-समरूपता देखें),
*[[विशेषता (बीजगणित)]] शून्य के आधार क्षेत्र पर [[डॉ कहलमज गर्भाशय]]: '''C''' से अधिक अंतर रूपों द्वारा परिभाषित और सामान्य तौर पर काहलर अंतर के परिसर के माध्यम से (बीजगणितीय डी राम सह-समरूपता देखें),


*ℓ से भिन्न विशेषता के क्षेत्रों में किस्मों के लिए  ℓ-एडिक सह-समरूपता,
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बेट्टी सह-समरूपता और डी राम सह-समरूपता के लिए स्वयंसिद्धों के प्रमाण तुलनात्मक रूप से आसान और चिरसम्मत हैं। उदाहरण के लिए, ℓ-एडिक सह-समरूपता के लिए, उपरोक्त अधिकांश गुण गहरे प्रमेय हैं।
बेट्टी सह-समरूपता और डी राम सह-समरूपता के लिए स्वयंसिद्धों के प्रमाण तुलनात्मक रूप से आसान और चिरसम्मत हैं। उदाहरण के लिए, ℓ-एडिक सह-समरूपता के लिए, उपरोक्त अधिकांश गुण गहरे प्रमेय हैं।


दोगुने से अधिक आयाम वाले बेट्टी सह-समरूपता समूहों का लुप्त होना इस तथ्य से स्पष्ट है कि जटिल आयाम n के एक (जटिल) मैनिफोल्ड का वास्तविक आयाम 2n है, इसलिए ये उच्च सह-समरूपता समूह गायब हो जाते हैं (उदाहरण के लिए उन्हें सरल (सह) होमोलॉजी से तुलना करके)।
दोगुने से अधिक आयाम वाले बेट्टी सह-समरूपता समूहों का लुप्त होना इस तथ्य से स्पष्ट है कि जटिल आयाम ''n'' के एक (जटिल) मैनिफोल्ड का वास्तविक आयाम 2n है, इसलिए ये उच्च सह-समरूपता समूह गायब हो जाते हैं (उदाहरण के लिए उन्हें सरल (सह) होमोलॉजी से तुलना करके)।


डी राम चक्र मानचित्र में एक व्यावहारिक व्याख्या भी है: जटिल आयाम ''n'' की पूर्ण विविधता ''X'' में जटिल कोड आयाम ''r'' की एक उप-विविधता ''Y'' को देखते हुए, Y का वास्तविक आयाम 2n−2r है, इसलिए कोई भी किसी भी अंतर को एकीकृत कर सकता है ( 2n−2r)-एक जटिल संख्या उत्पन्न करने के लिए Y के अनुदिश रूप बनाएं। यह एक रैखिक कार्यात्मकता को प्रेरित करता है <math>\textstyle\int_Y \colon \; H^{2n-2r}_{\text{dR}}(X) \to \mathbf{C}</math>  वह तत्व <math>H^{2r}_{\text{dR}}(X)</math> चक्र मानचित्र के अंतर्गत Y की छवि है।
डी राम चक्र मानचित्र में एक व्यावहारिक व्याख्या भी है: जटिल आयाम ''n'' की पूर्ण विविधता ''X'' में जटिल कोड आयाम ''r'' की एक उप-विविधता ''Y'' को देखते हुए, Y का वास्तविक आयाम 2n−2r है, इसलिए कोई भी किसी भी अंतर को एकीकृत कर सकता है ( 2n−2r)-एक जटिल संख्या उत्पन्न करने के लिए Y के अनुदिश रूप बनाएं। यह एक रैखिक कार्यात्मकता को प्रेरित करता है <math>\textstyle\int_Y \colon \; H^{2n-2r}_{\text{dR}}(X) \to \mathbf{C}</math>  वह अवयव <math>H^{2r}_{\text{dR}}(X)</math> चक्र मानचित्र के अंतर्गत Y की छवि है।


==संदर्भ==
==संदर्भ==

Revision as of 11:35, 13 July 2023

बीजगणितीय ज्यामिति में, वेइल सह-समरूपता या वेइल सह-समरूपता सिद्धांत एक सह-समरूपता है जो बीजगणितीय चक्रों और सह-समरूपता समूहों के परस्पर क्रिया से संबंधित कुछ स्वयंसिद्ध सिद्धांतों को संतुष्ट करता है। यह नाम एन्ड्रे वेइल के सम्मान में है। कोई भी वेइल सह-समरूपता सिद्धांत चाउ उद्देश्यों की श्रेणी के माध्यम से विशिष्ट रूप से कारक बनता है, लेकिन चाउ उद्देश्यों की श्रेणी स्वयं वेइल सह-समरूपता सिद्धांत नहीं है, क्योंकि यह एक एबेलियन श्रेणी नहीं है।

परिभाषा

मनमाना विशेषता का एक आधार फ़ील्ड k और विशेषता शून्य का एक "गुणांक फ़ील्ड" K ठीक करें। एक वेइल सह-समरूपता सिद्धांत एक विरोधाभासी फ़ैनक्टर है।

नीचे दिए गए सिद्धांतों को संतुष्ट करते हुए। प्रत्येक चिकनी प्रक्षेप्य बीजगणितीय विविधता X के आयाम n से अधिक k के लिए, फिर वर्गीकृत K-बीजगणित

निम्नलिखित को संतुष्ट करना आवश्यक है:

  • प्रत्येक पूर्णांक i के लिए एक सीमित-आयामी K-सदिश स्थान है।
  • प्रत्येक i < 0 या i > 2n के लिए।
  • K (तथाकथित अभिविन्यास मानचित्र) के समरूपी है।
  • पोंकारे द्वंद्व: एक आदर्श युग्मन है
  • एक विहित कुनेथ समरूपतावाद है
  • प्रत्येक पूर्णांक r के लिए, X पर कोडिमेंशन r के बीजगणितीय चक्रों के समूह पर एक चक्र मानचित्र परिभाषित है,
H और कुनेथ समाकृतिकता की कार्यक्षमता के संबंध में कुछ अनुकूलता शर्तों को पूरा करना। यदि X एक बिंदु है, तो साइकिल मानचित्र में Z ⊂ K का समावेश आवश्यक है।
  • दुर्बल लेफ्शेट्ज़ सिद्धांत: किसी भी पूर्ण हाइपरप्लेन अनुभाग के लिए j: WX (यानी W = XH, H परिवेश प्रक्षेप्य स्पेस में कुछ हाइपरप्लेन), मानचित्र
के लिए समरूपताएं हैं तथा के लिए अन्तःक्षेपण हैं।
  • हार्ड लेफ्शेट्ज़ स्वयंसिद्ध: मान लीजिए कि W एक हाइपरप्लेन अनुभाग है और (चक्र वर्ग मानचित्र के नीचे इसकी छवि। लेफ्शेट्ज़ संकारक को इस प्रकार परिभाषित किया गया ह
जहां बिंदु बीजगणित में उत्पाद को दर्शाता है तब
i = 1, ..., n. के लिए एक समरूपता है।

उदाहरण

चार तथाकथित चिरसम्मत वेइल कोहोलॉजी सिद्धांत हैं:

  • विलक्षण (= बेट्टी) सह-समरूपता, उनके विश्लेषणात्मक टोपोलॉजी (जीएजीए देखें) का उपयोग करके टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के रूप में C से अधिक वर्गों के बारे में,
  • विशेषता (बीजगणित) शून्य के आधार क्षेत्र पर डॉ कहलमज गर्भाशय: C से अधिक अंतर रूपों द्वारा परिभाषित और सामान्य तौर पर काहलर अंतर के परिसर के माध्यम से (बीजगणितीय डी राम सह-समरूपता देखें),

बेट्टी सह-समरूपता और डी राम सह-समरूपता के लिए स्वयंसिद्धों के प्रमाण तुलनात्मक रूप से आसान और चिरसम्मत हैं। उदाहरण के लिए, ℓ-एडिक सह-समरूपता के लिए, उपरोक्त अधिकांश गुण गहरे प्रमेय हैं।

दोगुने से अधिक आयाम वाले बेट्टी सह-समरूपता समूहों का लुप्त होना इस तथ्य से स्पष्ट है कि जटिल आयाम n के एक (जटिल) मैनिफोल्ड का वास्तविक आयाम 2n है, इसलिए ये उच्च सह-समरूपता समूह गायब हो जाते हैं (उदाहरण के लिए उन्हें सरल (सह) होमोलॉजी से तुलना करके)।

डी राम चक्र मानचित्र में एक व्यावहारिक व्याख्या भी है: जटिल आयाम n की पूर्ण विविधता X में जटिल कोड आयाम r की एक उप-विविधता Y को देखते हुए, Y का वास्तविक आयाम 2n−2r है, इसलिए कोई भी किसी भी अंतर को एकीकृत कर सकता है ( 2n−2r)-एक जटिल संख्या उत्पन्न करने के लिए Y के अनुदिश रूप बनाएं। यह एक रैखिक कार्यात्मकता को प्रेरित करता है वह अवयव चक्र मानचित्र के अंतर्गत Y की छवि है।

संदर्भ

  • Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Principles of algebraic geometry, Wiley Classics Library, New York: Wiley, doi:10.1002/9781118032527, ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523 (contains proofs of all of the axioms for Betti and de-Rham cohomology)
  • Milne, James S. (1980), Étale cohomology, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08238-7 (idem for l-adic cohomology)
  • Kleiman, S. L. (1968), "Algebraic cycles and the Weil conjectures", Dix exposés sur la cohomologie des schémas, Amsterdam: North-Holland, pp. 359–386, MR 0292838