अवतल फलन

गणित में, अवतल फलन उत्तल फलन का योगात्मक व्युत्क्रम होता है। अवतल फलन को पर्यायवाची रूप से नीचे की ओर अवतल, नीचे की ओर अवतल, ऊपर की ओर उत्तल, उत्तल कैप या ऊपरी उत्तल भी कहा जाता है।

परिभाषा

एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन (गणित) $f$ एक अंतराल पर (गणित) (या, अधिक सामान्यतः, वेक्टर स्थान में एक उत्तल सेट) को अवतल कहा जाता है यदि, किसी के लिए $x$ और $y$ अंतराल में और किसी के लिए $\alpha \in [0,1]$,

$f((1-\alpha )x+\alpha y)\geq (1-\alpha )f(x)+\alpha f(y)$

किसी फ़ंक्शन को सख्ती से अवतल कहा जाता है यदि

$f((1-\alpha )x+\alpha y)>(1-\alpha )f(x)+\alpha f(y)\,$

किसी के लिए $\alpha \in (0,1)$ और $x\neq y$.

एक फ़ंक्शन के लिए $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, यह दूसरी परिभाषा केवल यह बताती है कि प्रत्येक के लिए $z$ सख्ती से बीच में $x$ और $y$, बिंदु $(z,f(z))$ के ग्राफ पर $f$ बिंदुओं को मिलाने वाली सीधी रेखा के ऊपर है $(x,f(x))$ और $(y,f(y))$.

एक फ़ंक्शन $f$ यदि फ़ंक्शन का ऊपरी समोच्च सेट होता है तो क्वासिकोनवेक्स फ़ंक्शन होता है $S(a)=\{x:f(x)\geq a\}$ उत्तल समुच्चय हैं।

गुण

एकल चर के कार्य

1. एक अवकलनीय फ़ंक्शन f एक अंतराल (गणित) पर (सख्ती से) अवतल होता है यदि इसका व्युत्पन्न फ़ंक्शन f ′ उस अंतराल पर (सख्ती से) नीरस रूप से घट रहा है, अर्थात, एक अवतल फ़ंक्शन में गैर-बढ़ती (घटती) ढलान होती है।
2. बिंदु (ज्यामिति) जहां अवतलता बदलती है (अवतल और उत्तल फलन के बीच) विभक्ति बिंदु हैं।
3. अगर f, दो बार-अवकलनीय है तो f अवतल है यदि f ′′ गैर-धनात्मक है (या अनौपचारिक रूप से यदि त्वरण गैर-धनात्मक है)। यदि इसका दूसरा अवकलज ऋणात्मक संख्या है तो यह पूर्णतः अवतल है, लेकिन इसका विपरीत सत्य नहीं है, जैसा कि f(x) = −x⁴द्वारा दर्शाया गया है।
4. अगर f अवतल और अवकलनीय है, तो यह इसके प्रथम-क्रम टेलर सन्निकटन द्वारा ऊपर से घिरा हुआ है:
   $$f(y)\leq f(x)+f'(x)[y-x]$$
5. एक अंतराल पर एक लेब्सेग मापने योग्य फ़ंक्शन C अवतल है यदि और केवल यदि यह मध्यबिंदु अवतल है, अर्थात किसी के लिए x और y में C
   $$f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\geq {\frac {f(x)+f(y)}{2}}$$
6. यदि कोई फ़ंक्शन f अवतल है और f(0) ≥ 0, तो f पर उपयोज्य है $[0,\infty )$. सबूत:
   • चूँकि f अवतल है और 1 ≥ t ≥ 0, मान लीजिए y = 0 हमारे पास
     $$f(tx)=f(tx+(1-t)\cdot 0)\geq tf(x)+(1-t)f(0)\geq tf(x).$$
   • के लिए $a,b\in [0,\infty )$:
     $$f(a)+f(b)=f\left((a+b){\frac {a}{a+b}}\right)+f\left((a+b){\frac {b}{a+b}}\right)\geq {\frac {a}{a+b}}f(a+b)+{\frac {b}{a+b}}f(a+b)=f(a+b)$$

n चर के कार्य

1. एक फ़ंक्शन f उत्तल सेट पर अवतल है यदि और केवल यदि फ़ंक्शन −f सेट पर एक उत्तल फ़ंक्शन है।
2. दो अवतल कार्यों का योग स्वयं अवतल होता है और दो अवतल कार्यों का बिंदुवार न्यूनतम भी अवतल होता है, यानी किसी दिए गए डोमेन पर अवतल कार्यों का सेट एक अर्धक्षेत्र बनाता है।
3. किसी फ़ंक्शन के डोमेन के आंतरिक भाग में एक सख्त स्थानीय अधिकतम के पास, फ़ंक्शन अवतल होना चाहिए; आंशिक व्युत्क्रम के रूप में, यदि किसी बिंदु पर कड़ाई से अवतल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य है, तो वह बिंदु एक स्थानीय अधिकतम है।
4. अवतल फलन का कोई भी स्थानीय अधिकतम भी एक वैश्विक अधिकतम होता है। एक सख्ती से अवतल फ़ंक्शन में अधिकतम एक वैश्विक अधिकतम होगा।

उदाहरण

• फ़ंक्शन $f(x)=-x^{2}$ और $g(x)={\sqrt {x}}$ उनके दूसरे व्युत्पन्न के रूप में, उनके डोमेन पर अवतल हैं $f''(x)=-2$ और ${\textstyle g''(x)=-{\frac {1}{4x^{3/2}}}}$ हमेशा नकारात्मक होते हैं.
• लघुगणक फलन $f(x)=\log {x}$ अपने डोमेन पर अवतल है $(0,\infty )$, क्योंकि इसका व्युत्पन्न के रूप में ${\frac {1}{x}}$ एक सख्ती से घटता हुआ फलन है।
• कोई भी एफ़िन फ़ंक्शन $f(x)=ax+b$ अवतल और उत्तल दोनों है, लेकिन न तो सख्ती से-अवतल और न ही सख्ती से-उत्तल।
• $[0,\pi ]$ फलन अंतराल पर अवतल होता है।
• फ़ंक्शन $f(B)=\log |B|$, जहां $|B|$ एक गैर-नकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स B का अवतल है।

अनुप्रयोग

• वायुमंडल में रेडियो तरंग क्षीणन की गणना में झुकने वाली किरणों में अवतल कार्य शामिल होते हैं।
• अनिश्चितता के तहत चुनाव के लिए अपेक्षित उपयोगिता सिद्धांत में, जोखिम से बचने वाले निर्णय निर्माताओं के कार्डिनल उपयोगिता कार्य अवतल होते हैं।
• सूक्ष्म आर्थिक सिद्धांत में, उत्पादन कार्यों को आमतौर पर उनके कुछ या सभी डोमेन पर अवतल माना जाता है, जिसके परिणामस्वरूप इनपुट कारकों पर रिटर्न कम हो जाता है।

यह भी देखें

• अवतल बहुभुज
• जेन्सेन की असमानता
• लघुगणकीय रूप से अवतल कार्य
• क्वासिकोनकेव फ़ंक्शन
• अवतरण

आगे सन्दर्भ

• Crouzeix, J.-P. (2008). "Quasi-concavity". In Durlauf, Steven N.; Blume, Lawrence E (eds.). द न्यू पालग्रेव डिक्शनरी ऑफ इकोनॉमिक्स (Second ed.). Palgrave Macmillan. pp. 815–816. doi:10.1057/9780230226203.1375. ISBN 978-0-333-78676-5.
• Rao, Singiresu S. (2009). इंजीनियरिंग अनुकूलन: सिद्धांत और अभ्यास. John Wiley and Sons. p. 779. ISBN 978-0-470-18352-6.

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