स्वर्णिम अनुपात आधार

गोल्डन अनुपात आधार गैर-पूर्णांक प्रतिनिधित्व या गैर-पूर्णांक स्थितीय अंक प्रणाली है जो गोल्डन अनुपात (अपरिमेय संख्या) का उपयोग करता है 1 + √5/2 ≈ 1.61803399 को इसके आधार (घातांक) के रूप में ग्रीक वर्णमाला phi|φ) द्वारा दर्शाया गया है। इसे कभी-कभी बेस-φ, गोल्डन मीन बेस, फी-बेस, या, साधारण भाषा में, फ़िनरी कहा जाता है। किसी भी गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या को केवल अंक 0 और 1 का उपयोग करके आधार-φ अंक के रूप में दर्शाया जा सकता है, और अंक अनुक्रम 11 से बचा जा सकता है इसे मानक रूप कहा जाता है। आधार-φ अंक जिसमें अंक अनुक्रम 11 सम्मिलित है, उसे सदैव आधार φ के बीजगणितीय गुणों का उपयोग करके मानक रूप में फिर से लिखा जा सकता है सबसे विशेष रूप से φ¹ + φ⁰ = φ^2. उदाहरण के लिए, 11_φ = 100_φ

एक अपरिमेय संख्या आधार का उपयोग करने के अतिरिक्त, मानक रूप का उपयोग करते समय, सभी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक का समाप्ति (परिमित) आधार-φ विस्तार के रूप में अद्वितीय प्रतिनिधित्व होता है। संख्याओं का समूह जिसमें परिमित आधार-φ निरूपण होता है, वलय (बीजगणित) द्विघात पूर्णांक है | Z[1 + √5/2] यह इस अंक प्रणाली में वही भूमिका निभाता है जो द्विआधारी संख्याओं में द्विआधारी परिमेय निभाता है, जिससे गुणन की संभावना मिलती है।

अन्य संख्याओं का आधार-φ में मानक प्रतिनिधित्व होता है, तर्कसंगत संख्याओं का आवर्ती प्रतिनिधित्व होता है। ये निरूपण अद्वितीय हैं, अतिरिक्त इसके कि समाप्ति विस्तार वाली संख्याओं का गैर-समाप्ति विस्तार भी होता है। उदाहरण के लिए, आधार-φ में 1 = 0.1010101… ठीक वैसे ही जैसे दशमलव आधार-10 में 0.999…1 = 0.99999… है।

उदाहरण

दशमलव	φ की शक्तियां	आधार φ
1	φ0	1
2	φ1 + φ−2	10.01
3	φ2 + φ−2	100.01
4	φ2 + φ0 + φ−2	101.01
5	φ3 + φ−1 + φ−4	1000.1001
6	φ3 + φ1 + φ−4	1010.0001
7	φ4 + φ−4	10000.0001
8	φ4 + φ0 + φ−4	10001.0001
9	φ4 + φ1 + φ−2 + φ−4	10010.0101
10	φ4 + φ2 + φ−2 + φ−4	10100.0101

गोल्डन अनुपात आधार संख्याओं को मानक रूप में लिखना

गैर-मानक से मानक रूप में रूपांतरण के निम्नलिखित उदाहरण में, हस्ताक्षरित-अंक प्रतिनिधित्व -1 का प्रतिनिधित्व करने के लिए नोटेशन 1 का उपयोग किया जाता है।

211.01_φ यह मानक आधार-φ अंक नहीं है, क्योंकि इसमें 11 और इसके अतिरिक्त 2 और 1 = −1 सम्मिलित हैं, जो 0 या 1 नहीं हैं।

किसी अंक को मानक रूप में रखने के लिए, हम निम्नलिखित प्रतिस्थापनों $0{\underline {1}}0_{\phi }={\underline {1}}0_{\phi }$, $1{\underline {1}}0_{\phi }=001_{\phi }$, $200_{\phi }=1001_{\phi }$, $011_{\phi }=100_{\phi }$ का उपयोग कर सकते हैं प्रतिस्थापनों को हमारी इच्छानुसार किसी भी क्रम में प्रयुक्त किया जा सकता है, क्योंकि परिणाम वही होता है। नीचे, पिछली पंक्ति की संख्या पर प्रयुक्त प्रतिस्थापन दाईं ओर हैं, परिणामी संख्या बाईं ओर है।

${\begin{aligned}211.0{\underline {1}}0_{\phi }=211&.{\underline {1}}01_{\phi }&0{\underline {1}}0\rightarrow {\underline {1}}01\\=210&.011_{\phi }&1{\underline {1}}0\rightarrow 001\\=1011&.011_{\phi }&200\rightarrow 1001\\=1100&.100_{\phi }&011\rightarrow 100\\=10000&.1_{\phi }&011\rightarrow 100\\\end{aligned}}$

मानक समाप्ति आधार-φ प्रतिनिधित्व वाली किसी भी धनात्मक संख्या को इस विधि से अद्वितीय (गणितीय) मानकीकृत किया जा सकता है। यदि हम ऐसे बिंदु पर पहुंचते हैं जहां पहला अंक ऋणात्मक संख्या होने के अतिरिक्त सभी अंक 0 या 1 हैं, तो वह संख्या ऋणात्मक है। (इसका अपवाद तब होता है जब पहला अंक ऋणात्मक होता है और अगले दो अंक होते हैं, जैसे 1111.001=1.001।) इसे निषेध द्वारा आधार-φ प्रतिनिधित्व के ऋणात्मक में परिवर्तित किया जा सकता है प्रत्येक अंक, परिणाम को मानकीकृत करना, और फिर इसे ऋणात्मक के रूप में चिह्नित करता है। उदाहरण के लिए, ऋणात्मक संख्याओं को दर्शाने के लिए ऋण चिह्न या किसी अन्य महत्व का उपयोग करें।

पूर्णांकों को गोल्डन अनुपात आधार संख्याओं के रूप में प्रस्तुत करना

हम या तो अपने पूर्णांक को गैरमानक आधार-φ अंक का (केवल) अंक मान सकते हैं, और इसे मानकीकृत कर सकते हैं, या निम्नलिखित कार्य कर सकते हैं:

1 × 1 = 1, φ × φ = 1 + φ और 1/φ = −1 + φ. इसलिए, हम गणना कर सकते हैं

(a + bφ) + (c + dφ) = ((a + c) + (b + d)φ),

(a + bφ) − (c + dφ) = ((a − c) + (b − d)φ)

और

(a + bφ) × (c + dφ) = ((ac + bd) + (ad + bc + bd)φ).

इसलिए, केवल पूर्णांक मानों का उपयोग करके, हम (a + bφ) रूप की संख्याओं को जोड़, घटा और गुणा कर सकते हैं, और यहां तक ​​कि φ के धनात्मक और ऋणात्मक पूर्णांक घातांक का भी प्रतिनिधित्व कर सकते हैं।

(a + bφ) > (c + dφ) यदि और केवल यदि 2(a − c) − (d − b) > (d − b) × √5. यदि पक्ष ऋणात्मक है और दूसरा धनात्मक, तो तुलना सामान्य है। अन्यथा, पूर्णांक तुलना प्राप्त करने के लिए दोनों पक्षों को वर्गाकार करें, यदि दोनों पक्ष ऋणात्मक हों तो तुलना दिशा को उलट दें। वर्ग (बीजगणित) पर दोनों तरफ, √5 को पूर्णांक 5 से प्रतिस्थापित किया जाता है।

इसलिए, केवल पूर्णांक मानों का उपयोग करके, हम (a + bφ) रूप की संख्याओं की तुलना भी कर सकते हैं।

1. एक पूर्णांक x को आधार-φ संख्या में बदलने के लिए, ध्यान दें कि x = (x + 0φ)।
2. हमारी नई संख्या प्राप्त करने के लिए, φ की उच्चतम शक्ति को घटाएं, जो अभी भी हमारे पास उपस्थित संख्या से छोटी है, और परिणामी आधार-φ संख्या में उचित स्थान पर 1 अंकित करें।
3. जब तक हमारा नंबर 0 न हो, चरण 2 पर जाता है.
4. समाप्त।

उपरोक्त प्रक्रिया का परिणाम अनुक्रम 11 में कभी नहीं होता है, क्योंकि 11_φ = 100_φ, इसलिए 11 प्राप्त करने का कारण होगा कि हम अनुक्रम 11 से पहले 1 से त्रुटि होती है।

प्रारंभ करें, उदाहरण के लिए, पूर्णांक = 5 से, अब तक का परिणाम ...00000.00000..._φ φ ≤ 5 की उच्चतम शक्ति φ³ = 1 + 2φ ≈ 4.236067977 है

इसे 5 से घटाने पर, हमें 5 - (1 + 2φ) = 4 - 2φ ≈ 0.763932023... प्राप्त होता है, अब तक परिणाम 1000.00000 ..._φ है φ ≤ 4 - 2φ ≈ 0.763932023... की उच्चतम शक्ति φ⁻¹ = −1 + 1φ ≈ 0.618033989... है

इसे 4 − 2φ ≈ 0.763932023... से घटाने पर, हमारे पास 4 − 2φ − (−1 + 1φ) = 5 − 3φ ≈ 0.145898034... है, अब तक परिणाम 1000.10000..._φ है इस प्रकार φ ≤ 5 − 3φ ≈ 0.145898034... की उच्चतम शक्ति φ⁻⁴ = 5 − 3φ ≈ 0.145898034... है

इसे 5 − 3φ ≈ 0.145898034... से घटाने पर, हमारे पास 5 − 3φ − (5 − 3φ) = 0 + 0φ = 0 है, जिसका अंतिम परिणाम 1000.1001_φ है.

गैर-विशिष्टता

किसी भी आधार-n प्रणाली की तरह, समाप्ति प्रतिनिधित्व वाली संख्याओं का वैकल्पिक आवर्ती प्रतिनिधित्व होता है। आधार-10 में, यह इस अवलोकन पर निर्भर करता है कि 0.999...0.999...=1 आधार-φ में, अंक 0.1010101... को कई विधियों से 1 के सामान्य देखा जा सकता है:

• गैर मानक रूप में रूपांतरण: 1 = 0.11_φ = 0.1011_φ = 0.101011_φ = ... = 0.10101010...._φ
• ज्यामितीय श्रृंखला: 1.0101010..._φ के सामान्य है

$\sum _{k=0}^{\infty }\varphi ^{-2k}={\frac {1}{1-\varphi ^{-2}}}=\varphi$

• पालियों के बीच अंतर: φ²x − x = 10.101010..._φ − 0.101010..._φ = 10_φ = φ जिससे x = φ/φ² − 1=1 है

यह गैर-विशिष्टता अंकन प्रणाली की विशेषता है, क्योंकि 1.0000 और 0.101010... दोनों मानक रूप में हैं।

सामान्यतः, आधार-φ में किसी भी संख्या के अंतिम 1 को उस संख्या के मान को बदले बिना आवर्ती 01 से बदला जा सकता है।

तर्कसंगत संख्याओं को गोल्डन अनुपात आधार संख्याओं के रूप में प्रस्तुत करना

प्रत्येक गैर-ऋणात्मक परिमेय संख्या को आवर्ती आधार-φ विस्तार के रूप में दर्शाया जा सकता है, जैसा कि क्षेत्र (गणित) के किसी भी गैर-ऋणात्मक तत्व Q[√5] = Q + √5Q, परिमेय संख्याओं और 5 के वर्गमूल द्वारा उत्पन्न क्षेत्र √5 इसके विपरीत कोई भी आवर्ती (या समाप्ति) आधार-φ विस्तार Q का गैर-ऋणात्मक तत्व [√5] है आवर्ती दशमलव के लिए, आवर्ती भाग को रेखांकित किया गया है:

• 1/2 ≈ 0.010_φ
• 1/3 ≈ 0.00101000_φ
• √5 = 10.1_φ
• 2 + √5/13 ≈ 10.0101000100010101000100010001000000_φ

यह औचित्य कि परिमेय आवर्ती विस्तार देता है, आधार-n अंकन प्रणाली (n = 2,3,4,...) के लिए समतुल्य प्रमाण के अनुरूप है। अनिवार्य रूप से आधार-φ लंबे विभाजन में संभावित शेषफलों की केवल सीमित संख्या होती है, और इसलिए बार आवर्ती पैटर्न होना चाहिए। उदाहरण के लिए, साथ 1/2 = 1/10.01_φ = 100_φ/1001_φ लंबा विभाजन इस तरह दिखता है (ध्यान दें कि आधार-φ घटाव का पालन करना पहली बार में कठिन हो सकता है):

        .0 1 0 0 1
         ________________________
 1 0 0 1 ) 1 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0
             1 0 0 1                        trade: 10000 = 1100 = 1011
             -------                            so 10000 − 1001 = 1011 − 1001 = 10
                 1 0 0 0 0
                   1 0 0 1
                   -------
                       etc.

इसका विपरीत भी सत्य है, जिसमें आवर्ती आधार वाली संख्या-φ; प्रतिनिधित्व क्षेत्र का तत्व Q[√5] है . यह अवलोकन से पता चलता है कि अवधि k के साथ आवर्ती प्रतिनिधित्व में अनुपात φ^−k के साथ ज्यामितीय श्रृंखला सम्मिलित होती है, जो Q के तत्व का योग [√5] होता है.

नोट की अपरिमेय संख्याओं को गोल्डन अनुपात आधार संख्याओं के रूप में प्रस्तुत करना

कुछ दिलचस्प संख्याओं का आधार-φ निरूपण:

• π ≈ 100.0100 1010 1001 0001 0101 0100 0001 0100 ..._φ (sequence A102243 in the OEIS)
• e ≈ 100.0000 1000 0100 1000 0000 0100 ..._φ (sequence A105165 in the OEIS)
• √2 ≈ 1.0100 0001 0100 1010 0100 0000 0101 0000 0000 0101 ..._φ
• φ = 1+√5/2 = 10_φ
• √5 = 10.1_φ

जोड़, घटाव, और गुणा

बेस-10 अंकगणित के सभी मानक एल्गोरिदम को बेस-φ अंकगणित में अनुकूलित करना संभव है। इसके दो दृष्टिकोण हैं:

गणना करें, फिर मानक रूप में बदलें

दो आधार-φ संख्याओं को जोड़ने के लिए, अंकों के प्रत्येक जोड़े को बिना किसी कैरी के जोड़ें, और फिर अंक को मानक रूप में परिवर्तित करें। घटाने के लिए, अंकों के प्रत्येक जोड़े को बिना उधार के घटाएं (उधार लेना ऋणात्मक राशि है), और फिर अंक को मानक रूप में परिवर्तित करें। गुणन के लिए, सामान्य आधार-10 विधि से, बिना किसी कैरी के गुणा करें, फिर अंक को मानक रूप में बदलें।

उदाहरण के लिए,

• 2 + 3 = 10.01 + 100.01 = 110.02 = 110.1001 = 1000.1001
• 2 × 3 = 10.01 × 100.01 = 1000.1 + 1.0001 = 1001.1001 = 1010.0001
• 7 − 2 = 10000.0001 − 10.01 = 10010.0101 = 1110.0101 = 1001.0 101 = 1000.1001

0 और 1 के अतिरिक्त अन्य अंकों से बचें एक अधिक मूल विधि यह है कि अंकों को 1+1 जोड़ने या 0-1 घटाने से बचा जाए। यह ऑपरेंड को गैर-मानक रूप में पुनर्गठित करके किया जाता है जिससे ये संयोजन नही होंता है। उदाहरण के लिए,

• 2 + 3 = 10.01 + 100.01 = 10.01 + 100.0011 = 110.0111 = 1000.1001
• 7 − 2 = 10000.0001 − 10.01 = 1100.0001 − 10.01 = 1011.0001 − 10.01 = 1010.1101 − 10.01 = 1000.1001

यहां देखा गया घटाव, घटाव के लिए मानक ट्रेडिंग एल्गोरिदम के संशोधित रूप का उपयोग करता है।

विभाजन

किसी भी गैर-पूर्णांक परिमेय संख्या को परिमित समुच्चय आधार-φ संख्या के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, सभी अंतिम रूप से निरूपित करने योग्य आधार-φ संख्याएँ या तो पूर्णांक हैं या (अधिक संभावना है) द्विघात क्षेत्र Q में अपरिमेय संख्या [√5] हैं. दीर्घ विभाजन में संभावित शेषफलों की केवल सीमित संख्या होने के कारण, दो पूर्णांकों (या परिमित आधार-φ निरूपण वाली अन्य संख्याओं) के विभाजन में आवर्ती विस्तार होता है, जैसा कि ऊपर दिखाया गया है।

फाइबोनैचि कोडिंग के साथ संबंध

Main article: फाइबोनैचि कोडिंग

फाइबोनैचि कोडिंग पूर्णांकों के लिए उपयोग की जाने वाली निकट से संबंधित अंकन प्रणाली है। इस प्रणाली में, केवल अंक 0 और 1 का उपयोग किया जाता है और अंकों का स्थानीय मान फाइबोनैचि संख्याएं हैं। बेस-φ की तरह, फाइबोनैचि पुनरावृत्ति संबंध F_k+1 = F_k + F_k−1 का उपयोग करके, अंक अनुक्रम 11 को मानक रूप में पुनर्व्यवस्थित करने से बचा जाता है।. उदाहरण के लिए,

30 = 1×21 + 0×13 + 1×8 + 0×5 + 0×3 + 0×2 + 1×1 + 0×1 = 10100010_fib.

व्यावहारिक उपयोग

बेस-φ अंकगणित को फाइबोनैचि संख्याओं के सामान्यीकरण के साथ मिलाना संभव है। सामान्य फाइबोनैचि पूर्णांक अनुक्रम में संख्याओं का योग जो आधार-φ संख्या में गैर-शून्य अंकों के अनुरूप होता है, आधार-φ संख्या और अनुक्रम में शून्य-स्थान पर तत्व का गुणन होता है। उदाहरण के लिए:

• उत्पाद 10 (10100.0101 आधार-φ) और 25 (शून्य स्थिति) = 5 + 10 + 65 + 170 = 250

  आधार-φ: 1 0 1 0 0. 0 1 0 1

  आंशिक अनुक्रम: ... 5 5 10 15 25 40 65 105 170 275 445 720 1165 ...

• उत्पाद 10 (10100.0101 आधार-φ) और 65 (शून्य स्थिति) = 10 + 25 + 170 + 445 = 650

  आधार-φ: 1 0 1 0 0. 0 1 0 1

  आंशिक अनुक्रम: ... 5 5 10 15 25 40 65 105 170 275 445 720 1165 ...

यह भी देखें

• बीटा n कोडर - मूल रूप से गोल्डन रेशियो बेस का उपयोग किया जाता है
• ओस्ट्रोवस्की अंकन

संदर्भ

• Bergman, George (1957). "A Number System with an Irrational Base". Mathematics Magazine. 31 (2): 98–110. doi:10.2307/3029218. JSTOR 3029218.
• Eggan, L. C.; vanden Eynden, C. L. (1966). "Decimal expansions to nonintegral bases". Amer. Math. Monthly. 73 (73): 576–582. doi:10.2307/2314786. JSTOR 2314786.
• Plojhar, Jozef (1971). "The Good natured Rabbit breeder". Manifold. 11: 26–30.

बाहरी संबंध

• Using Powers of Phi to represent Integers (आधार Phi)