एजवर्थ श्रृंखला: Difference between revisions

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ग्राम-चार्लियर श्रृंखला (जॉर्जेन पेडर्सन ग्राम और [[कार्ल चार्लीयर]] के सम्मान में नामित), और एडगेवर्थ श्रृंखला ([[फ्रांसिस य्सिड्रो एडगेवर्थ]] के सम्मान में नामित) [[श्रृंखला (गणित)]] हैं जो इसके संचयकों के संदर्भ में संभाव्यता वितरण का अनुमान लगाती हैं।<ref>Stuart, A., & Kendall, M. G. (1968). The advanced theory of statistics. Hafner Publishing Company.</ref> शृंखला वही है; लेकिन, पदों की व्यवस्था (और इस प्रकार श्रृंखला को काटने की सटीकता) भिन्न होती है।<ref>Kolassa, J. E. (2006). Series approximation methods in statistics (Vol. 88). Springer Science & Business Media.</ref> इन विस्तारों का मुख्य विचार वितरण के विशेषता फ़ंक्शन (संभावना सिद्धांत) को लिखना है जिसका संभाव्यता घनत्व कार्य करता है  {{mvar|f}} को ज्ञात और उपयुक्त गुणों के साथ वितरण के विशिष्ट कार्य के संदर्भ में अनुमानित किया जाना है, और पुनर्प्राप्त करना है {{mvar|f}} व्युत्क्रम [[फूरियर रूपांतरण]] के माध्यम से।
ग्राम-चार्लियर '''एजवर्थ श्रृंखला''' जॉर्जेन पेडर्सन ग्राम और [[कार्ल चार्लीयर]] के सम्मान में नामित हैं, और एडगेवर्थ श्रृंखला को [[फ्रांसिस य्सिड्रो एडगेवर्थ]] के सम्मान में नामित किया गया हैं, यह एक गणितीय [[श्रृंखला (गणित)|श्रृंखला]] हैं, जो इसके संचयकों के संदर्भ में संभाव्यता वितरण का अनुमान लगाती हैं।<ref>Stuart, A., & Kendall, M. G. (1968). The advanced theory of statistics. Hafner Publishing Company.</ref> यह शृंखला वही है, अपितु इसके पदों की व्यवस्था और इस प्रकार श्रृंखला को काटने की सटीकता भिन्न होती है।<ref>Kolassa, J. E. (2006). Series approximation methods in statistics (Vol. 88). Springer Science & Business Media.</ref> इन विस्तारों का मुख्य विचार वितरण के विशेषता फलन के अनुसार संभावना सिद्धांत को लिखना है, जिसका संभाव्यता घनत्व कार्य {{mvar|f}} करता है, जिसको ज्ञात करना और उपयुक्त गुणों के साथ वितरण के विशिष्ट कार्य के संदर्भ में अनुमानित किया जाना है, और इसके साथ ही {{mvar|f}} को पुनर्प्राप्त करना है, इस प्रकार इसका व्युत्क्रम [[फूरियर रूपांतरण]] के माध्यम से प्राप्त किया जाता हैं।


==ग्राम-चार्लियर ए श्रृंखला==
==ग्राम-चार्लियर ए श्रृंखला==
हम एक सतत यादृच्छिक चर की जांच करते हैं। होने देना <math>\hat{f}</math> इसके वितरण का अभिलक्षणिक फलन हो जिसका घनत्व फलन है {{mvar|f}}, और <math>\kappa_r</math> इसके संचयक. हम संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन के साथ ज्ञात वितरण के संदर्भ में विस्तार करते हैं {{math|ψ}}, विशेषता कार्य <math>\hat{\psi}</math>, और संचयी <math>\gamma_r</math>. घनत्व {{math|ψ}} को आम तौर पर [[सामान्य वितरण]] के रूप में चुना जाता है, लेकिन अन्य विकल्प भी संभव हैं। संचयकों की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास (वालेस, 1958 देखें)<ref>{{cite journal |last=Wallace |first=D. L. |year=1958 |title=वितरण के लिए स्पर्शोन्मुख अनुमान|journal=Annals of Mathematical Statistics |volume=29 |issue=3 |pages=635–654 |jstor=2237255 |doi=10.1214/aoms/1177706528|doi-access=free }}</ref>
हम सतत यादृच्छिक चर (वैरियेबल) की जांच करते हैं। इस प्रकार <math>\hat{f}</math> द्वारा इसके वितरण का अभिलक्षणिक फलन होता हैं जिसका घनत्व {{mvar|f}} फलन होता है, और <math>\kappa_r</math> इसके संचयक को प्रदर्शित करता हैं। इस प्रकार हम संभाव्यता घनत्व फलन के साथ ज्ञात वितरण के संदर्भ {{math|ψ}} में विस्तार करते हैं, इसकी विशेषता फलन <math>\hat{\psi}</math>, और संचयी <math>\gamma_r</math> मान, घनत्व {{math|ψ}} को सामान्यतः [[सामान्य वितरण]] के रूप में चुना जाता है, अपितु अन्य विकल्प भी संभव होता हैं। इस प्रकार संचयकों की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास वालेस को1958 के अनुसार देख सकते हैं।<ref>{{cite journal |last=Wallace |first=D. L. |year=1958 |title=वितरण के लिए स्पर्शोन्मुख अनुमान|journal=Annals of Mathematical Statistics |volume=29 |issue=3 |pages=635–654 |jstor=2237255 |doi=10.1214/aoms/1177706528|doi-access=free }}</ref>
:<math>\hat{f}(t)= \exp\left[\sum_{r=1}^\infty\kappa_r\frac{(it)^r}{r!}\right]</math> और
:<math>\hat{f}(t)= \exp\left[\sum_{r=1}^\infty\kappa_r\frac{(it)^r}{r!}\right]</math> और
:<math> \hat{\psi}(t)=\exp\left[\sum_{r=1}^\infty\gamma_r\frac{(it)^r}{r!}\right],</math>
:<math> \hat{\psi}(t)=\exp\left[\sum_{r=1}^\infty\gamma_r\frac{(it)^r}{r!}\right],</math>
जो निम्नलिखित औपचारिक पहचान देता है:
जो निम्नलिखित औपचारिक पहचान देता है:
:<math>\hat{f}(t)=\exp\left[\sum_{r=1}^\infty(\kappa_r-\gamma_r)\frac{(it)^r}{r!}\right]\hat{\psi}(t)\,.</math>
:<math>\hat{f}(t)=\exp\left[\sum_{r=1}^\infty(\kappa_r-\gamma_r)\frac{(it)^r}{r!}\right]\hat{\psi}(t)\,.</math>
फूरियर रूपांतरण के गुणों से, <math>(it)^r \hat{\psi}(t)</math> का फूरियर रूपांतरण है <math>(-1)^r[D^r\psi](-x)</math>, कहाँ {{mvar|D}} के संबंध में विभेदक संचालिका है {{mvar|x}}. इस प्रकार, बदलने के बाद <math>x</math> साथ <math>-x</math> समीकरण के दोनों पक्षों पर, हम पाते हैं {{mvar|f}} औपचारिक विस्तार
फूरियर रूपांतरण के गुणों से, <math>(it)^r \hat{\psi}(t)</math> का फूरियर रूपांतरण <math>(-1)^r[D^r\psi](-x)</math> है, जहाँ {{mvar|D}} के संबंध में विभेदक संचालिका {{mvar|x}} है, इस प्रकार इसके परिवर्तन के पश्चात <math>x</math> के साथ <math>-x</math> समीकरण के दोनों पक्षों पर हम {{mvar|f}} औपचारिक विस्तार से पाते हैं।


:<math>f(x) = \exp\left[\sum_{r=1}^\infty(\kappa_r - \gamma_r)\frac{(-D)^r}{r!}\right]\psi(x)\,.</math>
:<math>f(x) = \exp\left[\sum_{r=1}^\infty(\kappa_r - \gamma_r)\frac{(-D)^r}{r!}\right]\psi(x)\,.</math>
अगर {{math|ψ}} को सामान्य घनत्व के रूप में चुना जाता है
इस प्रकार यदि {{math|ψ}} को सामान्य घनत्व के रूप में चुना जाता है,


:<math>\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right]</math> माध्य और विचरण के साथ जैसा कि दिया गया है {{mvar|f}}, ये गलत है <math>\mu = \kappa_1</math> और विचरण <math>\sigma^2 = \kappa_2</math>, तो विस्तार हो जाता है
:<math>\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right]</math> माध्य और विवैरियेबलण के साथ जैसा कि {{mvar|f}} द्वारा दिया गया है, इस प्रकार <math>\mu = \kappa_1</math> का मान गलत है, और विवैरियेबलण <math>\sigma^2 = \kappa_2</math> की ओर विस्तारित हो जाता है


:<math>f(x) = \exp\left[\sum_{r=3}^\infty\kappa_r\frac{(-D)^r}{r!}\right] \phi(x),</math>
:<math>f(x) = \exp\left[\sum_{r=3}^\infty\kappa_r\frac{(-D)^r}{r!}\right] \phi(x),</math>
तब से <math> \gamma_r=0</math> सभी के लिए {{mvar|r}} > 2, क्योंकि सामान्य वितरण के उच्च संचयी 0 हैं। घातांक का विस्तार करके और डेरिवेटिव के क्रम के अनुसार शर्तों को एकत्रित करके, हम ग्राम-चार्लियर ए श्रृंखला पर पहुंचते हैं। इस तरह के विस्तार को [[बेल बहुपद]] के रूप में संक्षिप्त रूप से लिखा जा सकता है
तब <math> \gamma_r=0</math> से सभी के लिए {{mvar|r}} > 2 का मान प्राप्त होता हैं, क्योंकि सामान्य वितरण के उच्च संचयी 0 हैं। इसके लिए घातांक का विस्तार करके और डेरिवेटिव के क्रम के अनुसार शर्तों को एकत्रित करके, हम ग्राम-चार्लियर ए श्रृंखला पर पहुंचते हैं। इस प्रकार के विस्तार को [[बेल बहुपद]] के रूप में संक्षिप्त रूप से लिखा जा सकता है-


:<math>\exp\left[\sum_{r=3}^\infty\kappa_r\frac{(-D)^r}{r!}\right] = \sum_{n=0}^\infty B_n(0,0,\kappa_3,\ldots,\kappa_n)\frac{(-D)^n}{n!}. </math>
:<math>\exp\left[\sum_{r=3}^\infty\kappa_r\frac{(-D)^r}{r!}\right] = \sum_{n=0}^\infty B_n(0,0,\kappa_3,\ldots,\kappa_n)\frac{(-D)^n}{n!}. </math>
गाऊसी फ़ंक्शन के n-वें व्युत्पन्न के बाद से <math>\phi</math> हर्माइट बहुपद के रूप में दिया गया है
गाऊसी फलन के n-वें व्युत्पन्न के बाद से <math>\phi</math> हर्माइट बहुपद के रूप में दिया गया है-


:<math>\phi^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n}{\sigma^n} He_n \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right) \phi(x),</math>
:<math>\phi^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n}{\sigma^n} He_n \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right) \phi(x),</math>
यह हमें ग्राम-चार्लियर ए श्रृंखला की अंतिम अभिव्यक्ति देता है
यह हमें ग्राम-चार्लियर ए श्रृंखला की अंतिम अभिव्यक्ति देता है।


:<math> f(x) = \phi(x) \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n! \sigma^n} B_n(0,0,\kappa_3,\ldots,\kappa_n)  He_n \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right).</math>
:<math> f(x) = \phi(x) \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n! \sigma^n} B_n(0,0,\kappa_3,\ldots,\kappa_n)  He_n \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right).</math>
श्रृंखला को एकीकृत करने से हमें संचयी वितरण फ़ंक्शन प्राप्त होता है
श्रृंखला को एकीकृत करने से हमें संचयी वितरण फलन प्राप्त होता है


:<math> F(x) = \int_{-\infty}^x f(u) du = \Phi(x) - \phi(x) \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n! \sigma^{n-1}} B_n(0,0,\kappa_3,\ldots,\kappa_n) He_{n-1} \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right), </math>
:<math> F(x) = \int_{-\infty}^x f(u) du = \Phi(x) - \phi(x) \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n! \sigma^{n-1}} B_n(0,0,\kappa_3,\ldots,\kappa_n) He_{n-1} \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right), </math>
कहाँ <math>\Phi</math> सामान्य वितरण का सीडीएफ है।
जहाँ <math>\Phi</math> सामान्य वितरण का सीडीएफ है।


यदि हम सामान्य वितरण में केवल पहले दो सुधार शब्दों को शामिल करते हैं, तो हमें प्राप्त होता है
यदि हम सामान्य वितरण में केवल पहले दो सुधार शब्दों को सम्मिलित करते हैं, तो हमें यह मान प्राप्त होता है।


:<math> f(x) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right]\left[1+\frac{\kappa_3}{3!\sigma^3}He_3\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)+\frac{\kappa_4}{4!\sigma^4}He_4\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)\right]\,,</math>
:<math> f(x) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right]\left[1+\frac{\kappa_3}{3!\sigma^3}He_3\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)+\frac{\kappa_4}{4!\sigma^4}He_4\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)\right]\,,</math>
साथ <math>He_3(x)=x^3-3x</math> और <math>He_4(x)=x^4 - 6x^2 + 3</math>.
इसके साथ <math>He_3(x)=x^3-3x</math> और <math>He_4(x)=x^4 - 6x^2 + 3</math> मान प्राप्त होता हैं।


ध्यान दें कि इस अभिव्यक्ति के सकारात्मक होने की गारंटी नहीं है, और इसलिए यह वैध संभाव्यता वितरण नहीं है। ग्राम-चार्लियर ए श्रृंखला रुचि के कई मामलों में भिन्न होती है - यह केवल तभी परिवर्तित होती है <math>f(x)</math> से अधिक तेजी से गिरता है <math>\exp(-(x^2)/4)</math> अनंत पर (क्रैमर 1957)जब यह अभिसरण नहीं होता है, तो श्रृंखला भी वास्तविक [[स्पर्शोन्मुख विस्तार]] नहीं है, क्योंकि विस्तार की त्रुटि का अनुमान लगाना संभव नहीं है। इस कारण से, एडगेवर्थ श्रृंखला (अगला भाग देखें) को आम तौर पर ग्राम-चार्लियर ए श्रृंखला की तुलना में पसंद किया जाता है।
यहाँ पर ध्यान दें कि इस अभिव्यक्ति के धनात्मक होने की गारंटी नहीं है, और इसलिए यह वैध संभाव्यता वितरण नहीं है। इस कारण ग्राम-चार्लियर ए श्रृंखला रुचि के कई स्थितियों में भिन्न होती है, यह केवल तभी परिवर्तित होती है, जब <math>f(x)</math> से अधिक तेजी से गिरता है, और <math>\exp(-(x^2)/4)</math> अनंत पर (क्रैमर 1957) हो। इस प्रकार जब यह अभिसरण नहीं होता है, तो श्रृंखला भी वास्तविक [[स्पर्शोन्मुख विस्तार]] नहीं है, क्योंकि विस्तार की त्रुटि का अनुमान लगाना संभव नहीं है। इस कारण से, एडगेवर्थ श्रृंखला (अगला भाग देखें) को सामान्यतः ग्राम-चार्लियर ए श्रृंखला की तुलना में पसंद किया जाता है।


==एजवर्थ श्रृंखला==
==एजवर्थ श्रृंखला==
एडगेवर्थ ने [[केंद्रीय सीमा प्रमेय]] में सुधार के रूप में एक समान विस्तार विकसित किया।<ref>Hall, P. (2013). The bootstrap and Edgeworth expansion. Springer Science & Business Media.</ref> एजवर्थ श्रृंखला का लाभ यह है कि त्रुटि को नियंत्रित किया जाता है, ताकि यह एक वास्तविक स्पर्शोन्मुख विस्तार हो।
एडगेवर्थ ने [[केंद्रीय सीमा प्रमेय]] में सुधार के रूप में समान विस्तार विकसित किया हैं।<ref>Hall, P. (2013). The bootstrap and Edgeworth expansion. Springer Science & Business Media.</ref> इस प्रकार एजवर्थ श्रृंखला का लाभ यह है कि त्रुटि को नियंत्रित किया जाता है, जिससे कि यह वास्तविक स्पर्शोन्मुख विस्तार हो।


होने देना <math>\{Z_i\}</math> परिमित माध्य के साथ [[स्वतंत्र और समान रूप से वितरित]] यादृच्छिक चर का एक अनुक्रम बनें <math>\mu</math> और विचरण <math>\sigma^2</math>, और जाने <math>X_n</math> उनके मानकीकृत योग बनें:
इस प्रकार <math>\{Z_i\}</math> परिमित माध्य के साथ [[स्वतंत्र और समान रूप से वितरित]] यादृच्छिक वैरियेबल का अनुक्रम <math>\mu</math> बनें रहते हैं। और विवैरियेबलण <math>\sigma^2</math>, और जाने <math>X_n</math> उनके मानकीकृत योग बनते हैं:


:<math>X_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n \frac{Z_i - \mu}{\sigma}.</math>
:<math>X_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n \frac{Z_i - \mu}{\sigma}.</math>
होने देना <math>F_n</math> चरों के संचयी वितरण फलनों को निरूपित करें <math>X_n</math>. फिर केंद्रीय सीमा प्रमेय द्वारा,
इस प्रकार <math>F_n</math> वैरियेबलों के संचयी वितरण फलनों को <math>X_n</math> से निरूपित करते हैं। इसके पश्चात पुनः केंद्रीय सीमा प्रमेय द्वारा,
: <math>
: <math>
     \lim_{n\to\infty} F_n(x) = \Phi(x) \equiv \int_{-\infty}^x \tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}q^2}dq
     \lim_{n\to\infty} F_n(x) = \Phi(x) \equiv \int_{-\infty}^x \tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}q^2}dq
   </math>
   </math>
हरएक के लिए <math>x</math>, जब तक माध्य और विचरण परिमित हैं।
प्रत्येक के लिए <math>x</math> का मान जब तक माध्य और विवैरियेबलण परिमित होता हैं।


का मानकीकरण <math>\{Z_i\}</math> यह सुनिश्चित करता है कि पहले दो सहचालक <math>X_n</math> हैं <math>\kappa_1^{F_n} = 0</math> और <math>\kappa_2^{F_n} = 1.</math> अब मान लीजिए कि, मतलबी होने के अलावा <math>\mu</math> और विचरण <math>\sigma^2</math>, आई.आई.डी. यादृच्छिक चर <math>Z_i</math> उच्च सहसंयोजक होते हैं <math> \kappa_r</math>. क्यूमुलेंट्स की योगात्मकता और एकरूपता गुणों से, के क्यूमुलेंट्स <math>X_n</math> के संचयकों के संदर्भ में <math>Z_i</math> इसलिए है <math>r \geq 2</math>,  
जिसका मानकीकरण <math>\{Z_i\}</math> यह सुनिश्चित करता है कि पहले दो सहचालक <math>X_n</math> हैं <math>\kappa_1^{F_n} = 0</math> और <math>\kappa_2^{F_n} = 1.</math> हैं। इस कारण अब मान लीजिए कि, इसके अर्थ के अतिरिक्त <math>\mu</math> और विवैरियेबलण <math>\sigma^2</math>, आई.आई.डी. यादृच्छिक वैरियेबल <math>Z_i</math> उच्च सहसंयोजक <math> \kappa_r</math> होते हैं। जिसके कारण क्यूमुलेंट्स की योगात्मकता और एकरूपता गुणों से <math>X_n</math> के क्यूमुलेंट्स के संचयकों के संदर्भ में <math>Z_i</math> प्राप्त होता हैं। इसलिए <math>r \geq 2</math> मान प्राप्त होता है,  


:<math> \kappa_r^{F_n} = \frac{n \kappa_r}{\sigma^r n^{r/2}} = \frac{\lambda_r}{n^{r/2 - 1}} \quad \mathrm{where} \quad \lambda_r = \frac{\kappa_r}{\sigma^r}. </math>
:<math> \kappa_r^{F_n} = \frac{n \kappa_r}{\sigma^r n^{r/2}} = \frac{\lambda_r}{n^{r/2 - 1}} \quad \mathrm{where} \quad \lambda_r = \frac{\kappa_r}{\sigma^r}. </math>
यदि हम विशेषता फ़ंक्शन की औपचारिक अभिव्यक्ति का विस्तार करते हैं <math>\hat{f}_n(t)</math> का <math>F_n</math> मानक सामान्य वितरण के संदर्भ में, अर्थात, यदि हम निर्धारित करते हैं
यदि हम विशेषता फलन की औपचारिक अभिव्यक्ति का विस्तार करते हैं, इस प्रकार <math>\hat{f}_n(t)</math> का <math>F_n</math> मानक सामान्य वितरण के संदर्भ में इस प्रकार हैं, अर्थात, यदि हम निर्धारित करते हैं


:<math>\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\tfrac{1}{2}x^2),</math>
:<math>\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\tfrac{1}{2}x^2),</math>
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:<math> \kappa^{F_n}_2-\gamma_2 = 0,</math>
:<math> \kappa^{F_n}_2-\gamma_2 = 0,</math>
:<math> \kappa^{F_n}_r-\gamma_r = \frac{\lambda_r}{n^{r/2-1}}; \qquad r\geq 3.</math>
:<math> \kappa^{F_n}_r-\gamma_r = \frac{\lambda_r}{n^{r/2-1}}; \qquad r\geq 3.</math>
के घनत्व फलन के लिए ग्राम-चार्लियर ए श्रृंखला <math>X_n</math> अब है
इसके घनत्व फलन के लिए ग्राम-चार्लियर ए श्रृंखला <math>X_n</math> हैं, इस प्रकार अब हमें उक्त समीकरण प्राप्त होता है।


:<math> f_n(x) = \phi(x) \sum_{r=0}^\infty \frac{1}{r!} B_r \left(0,0,\frac{\lambda_3}{n^{1/2}},\ldots,\frac{\lambda_r}{n^{r/2-1}}\right) He_r(x).</math>
:<math> f_n(x) = \phi(x) \sum_{r=0}^\infty \frac{1}{r!} B_r \left(0,0,\frac{\lambda_3}{n^{1/2}},\ldots,\frac{\lambda_r}{n^{r/2-1}}\right) He_r(x).</math>
एजवर्थ श्रृंखला को ग्राम-चार्लियर ए श्रृंखला के समान ही विकसित किया गया है, केवल अब शर्तों को शक्तियों के अनुसार एकत्र किया जाता है <math>n</math>. n के गुणांक<sup>-m/2</sup>पद m के पूर्णांक विभाजनों के अनुरूप बेल बहुपदों के एकपदों को एकत्रित करके प्राप्त किया जा सकता है। इस प्रकार, हमारे पास विशिष्ट कार्य इस प्रकार है
एजवर्थ श्रृंखला को ग्राम-चार्लियर ए श्रृंखला के समान ही विकसित किया गया है, जो केवल अब शर्तों को शक्तियों के अनुसार एकत्र किया जाता है, इसके कारण <math>n</math>. n<sup>-m/2</sup> के गुणांक पद m के पूर्णांक विभाजनों के अनुरूप बेल बहुपदों के एकपदों को एकत्रित करके प्राप्त किया जा सकता है। इस प्रकार, हमारे पास विशिष्ट कार्य इस प्रकार है


:<math> \hat{f}_n(t)=\left[1+\sum_{j=1}^\infty \frac{P_j(it)}{n^{j/2}}\right] \exp(-t^2/2)\,,</math>
:<math> \hat{f}_n(t)=\left[1+\sum_{j=1}^\infty \frac{P_j(it)}{n^{j/2}}\right] \exp(-t^2/2)\,,</math>
कहाँ <math>P_j(x)</math> डिग्री का एक [[बहुपद]] है <math>3j</math>. पुनः, व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण के बाद, घनत्व कार्य <math>f_n</math> इस प्रकार है
जहाँ <math>P_j(x)</math> डिग्री का [[बहुपद]] <math>3j</math> है, जिसे पुनः व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण के पश्चात घनत्व फलन <math>f_n</math> के द्वारा इंगित करते हैं, जो इस प्रकार है-


:<math> f_n(x) = \phi(x) + \sum_{j=1}^\infty \frac{P_j(-D)}{n^{j/2}} \phi(x)\,.</math>
:<math> f_n(x) = \phi(x) + \sum_{j=1}^\infty \frac{P_j(-D)}{n^{j/2}} \phi(x)\,.</math>
Line 71: Line 71:


:<math> F_n(x) = \Phi(x) + \sum_{j=1}^\infty \frac{1}{n^{j/2}} \frac{P_j(-D)}{D} \phi(x)\,. </math>
:<math> F_n(x) = \Phi(x) + \sum_{j=1}^\infty \frac{1}{n^{j/2}} \frac{P_j(-D)}{D} \phi(x)\,. </math>
हम स्पष्ट रूप से बहुपद लिख सकते हैं <math>P_m(-D)</math> जैसा
हम स्पष्ट रूप से बहुपद <math>P_m(-D)</math> द्वारा लिख सकते हैं, जैसा कि यहाँ पर हम देख सकते हैं-


:<math> P_m(-D) = \sum \prod_i  \frac{1}{k_i!} \left(\frac{\lambda_{l_i}}{l_i!}\right)^{k_i} (-D)^s,</math>
:<math> P_m(-D) = \sum \prod_i  \frac{1}{k_i!} \left(\frac{\lambda_{l_i}}{l_i!}\right)^{k_i} (-D)^s,</math>
जहां m के सभी पूर्णांक विभाजनों का योग इस प्रकार है <math>\sum_i i k_i = m</math> और <math>l_i = i+2</math> और <math>s = \sum_i k_i l_i.</math> उदाहरण के लिए, यदि m = 3, तो इस संख्या को विभाजित करने के तीन तरीके हैं: 1 + 1 + 1 = 2 + 1 = 3. इस प्रकार हमें तीन मामलों की जांच करने की आवश्यकता है:
जहां m के सभी पूर्णांक विभाजनों का योग इस प्रकार है, इस प्रकार <math>\sum_i i k_i = m</math> और <math>l_i = i+2</math> और <math>s = \sum_i k_i l_i.</math> मान प्राप्त होता हैं। उदाहरण के लिए, यदि m = 3, तो इस संख्या को विभाजित करने के तीन तरीके हैं: 1 + 1 + 1 = 2 + 1 = 3, इस प्रकार हमें तीन स्थितियों की जांच करने की आवश्यकता है:


* 1 + 1 + 1 = 1 · के<sub>1</sub>, तो हमारे पास k है<sub>1</sub> = 3, एल<sub>1</sub> = 3, और एस = 9.
* 1 + 1 + 1 = 1 · K<sub>1</sub>, तो हमारे पास k<sub>1</sub> = 3, L<sub>1</sub> = 3, और S = 9 है।
* 1 + 2 = 1 · के<sub>1</sub> + 2 · के<sub>2</sub>, तो हमारे पास k है<sub>1</sub> = 1, <sub>2</sub> = 1, एल<sub>1</sub> = 3, एल<sub>2</sub> = 4, और एस = 7.
* 1 + 2 = 1 · K<sub>1</sub> + 2 · K<sub>2</sub>, तो हमारे पास k<sub>1</sub> = 1, k<sub>2</sub> = 1, L<sub>1</sub> = 3, L<sub>2</sub> = 4, और S = 7 है।
* 3 = 3 · <sub>3</sub>, तो हमारे पास k है<sub>3</sub> = 1, एल<sub>3</sub> = 5, और एस = 5.
* 3 = 3 · K<sub>3</sub>, तो हमारे पास k<sub>3</sub> = 1, L<sub>3</sub> = 5, और S = 5 है।


अत: अभीष्ट बहुपद है
अत: अभीष्ट बहुपद है
Line 97: Line 97:
&\quad + O \left (n^{-\frac{5}{2}} \right ).
&\quad + O \left (n^{-\frac{5}{2}} \right ).
\end{align}</math>
\end{align}</math>
यहाँ, {{math|φ<sup>(''j'')</sup>(''x'')}} का j-वाँ व्युत्पन्न है {{math|φ(·)}}बिंदु x पर. याद रखें कि सामान्य वितरण#समरूपता और व्युत्पन्न सामान्य घनत्व से संबंधित हैं <math>\phi^{(n)}(x) = (-1)^n He_n(x)\phi(x)</math>, (कहाँ <math>He_n</math> क्रम n का हर्माइट बहुपद है), यह घनत्व फलन के संदर्भ में वैकल्पिक निरूपण की व्याख्या करता है। ब्लिनिकोव और मोसेनर (1998) ने विस्तार की उच्च-क्रम शर्तों की गणना करने के लिए एक सरल एल्गोरिदम दिया है।
यहाँ, {{math|φ<sup>(''j'')</sup>(''x'')}} का j-वाँ व्युत्पन्न बिंदु x पर {{math|φ(·)}} है। यहाँ पर याद रखें कि सामान्य वितरण समरूपता और व्युत्पन्न सामान्य घनत्व <math>\phi^{(n)}(x) = (-1)^n He_n(x)\phi(x)</math>, से संबंधित हैं, जहाँ <math>He_n</math> क्रम n का हर्माइट बहुपद है, यह घनत्व फलन के संदर्भ में वैकल्पिक निरूपण की व्याख्या करता है। जिसके लिए ब्लिनिकोव और मोसेनर (1998) ने विस्तार की उच्च-क्रम शर्तों की गणना करने के लिए सरल कलन विधि दी गयी है।


ध्यान दें कि जाली वितरण (जिसमें अलग-अलग मान हैं) के मामले में, एजवर्थ विस्तार को जाली बिंदुओं के बीच असंतुलित छलांग के लिए समायोजित किया जाना चाहिए।<ref>{{cite journal |last=Kolassa |first=John E. |first2=Peter |last2=McCullagh |title=जाली वितरण के लिए एजवर्थ श्रृंखला|journal=[[Annals of Statistics]] |volume=18 |issue=2 |year=1990 |pages=981–985 |jstor=2242145 |doi=10.1214/aos/1176347637|doi-access=free }}</ref>
यहाँ पर ध्यान दें कि फिल्टर वितरण जिसमें अलग-अलग मान होते हैं, इसकी स्थिति में एजवर्थ विस्तार को फिल्टर बिंदुओं के बीच असंतुलित जंप के लिए समायोजित किया जाना चाहिए।<ref>{{cite journal |last=Kolassa |first=John E. |first2=Peter |last2=McCullagh |title=जाली वितरण के लिए एजवर्थ श्रृंखला|journal=[[Annals of Statistics]] |volume=18 |issue=2 |year=1990 |pages=981–985 |jstor=2242145 |doi=10.1214/aos/1176347637|doi-access=free }}</ref>
==चित्रण: तीन χ² वितरणों के प्रमाण माध्य का घनत्व==


[[File:Edgeworth expansion of the density of the sample mean of three Chi2 variables.png|thumb|तीन chi2 वैरियेबल के प्रमाण माध्य का घनत्व। चार्ट वास्तविक घनत्व, सामान्य फलन और दो एजवर्थ विस्तार की तुलना करता है।]]इस प्रकार <math> X_i \sim \chi^2(k=2), \, i=1, 2, 3 \, (n=3)</math> और प्रमाण माध्य <math> \bar X = \frac{1}{3} \sum_{i=1}^{3} X_i </math> इस प्रकार हैं।


==चित्रण: तीन χ² वितरणों के नमूना माध्य का घनत्व==
हम इसके लिए <math> \bar X </math> द्वारा हम कई वितरणों का उपयोग कर सकते हैं:
 
* इसके सटीक वितरण, जो [[गामा वितरण]] का अनुसरण करता है: <math> \bar X \sim \mathrm{Gamma}\left(\alpha=n\cdot k /2, \theta= 2/n \right)=\mathrm{Gamma}\left(\alpha=3, \theta= 2/3 \right)</math>.
[[File:Edgeworth expansion of the density of the sample mean of three Chi2 variables.png|thumb|तीन chi2 चर के नमूने माध्य का घनत्व। चार्ट वास्तविक घनत्व, सामान्य सन्निकटन और दो एजवर्थ विस्तार की तुलना करता है।]]लेना  <math> X_i \sim \chi^2(k=2), \, i=1, 2, 3 \, (n=3)</math> और नमूना माध्य <math> \bar X = \frac{1}{3} \sum_{i=1}^{3} X_i </math>.
 
हम इसके लिए कई वितरणों का उपयोग कर सकते हैं <math> \bar X </math>:
* सटीक वितरण, जो [[गामा वितरण]] का अनुसरण करता है: <math> \bar X \sim \mathrm{Gamma}\left(\alpha=n\cdot k /2, \theta= 2/n \right)=\mathrm{Gamma}\left(\alpha=3, \theta= 2/3 \right)</math>.
* स्पर्शोन्मुख सामान्य वितरण: <math> \bar X  \xrightarrow{n \to \infty} N(k, 2\cdot k /n ) = N(2, 4/3 )</math>.
* स्पर्शोन्मुख सामान्य वितरण: <math> \bar X  \xrightarrow{n \to \infty} N(k, 2\cdot k /n ) = N(2, 4/3 )</math>.
* दो एजवर्थ विस्तार, डिग्री 2 और 3 के।
* दो एजवर्थ विस्तार, डिग्री 2 और 3 K हैं।
 
==परिणामों की चर्चा==
 
* सीमित नमूनों के लिए, एजवर्थ विस्तार की उचित संभाव्यता वितरण की गारंटी नहीं है क्योंकि कुछ बिंदुओं पर सीडीएफ मान इससे आगे जा सकते हैं <math>[0,1]</math>.
* वे अनुमानित त्रुटि की गारंटी देते हैं (असममित रूप से), लेकिन समग्र अग्रणी शब्द के साथ शेष में अग्रणी एडगेवर्थ शब्द की तुलना करके सापेक्ष त्रुटियों का आसानी से आकलन किया जा सकता है। <ref>{{cite book |last1=Kolassa |first1=John E. |title=सांख्यिकी में श्रृंखला सन्निकटन विधियाँ|date=2006 |publisher=Springer |isbn=0387322272 |edition=3rd}}</ref>


==परिणामों की वैरियेबल्चा==


* सीमित प्रमाणओं के लिए, एजवर्थ विस्तार की उचित संभाव्यता वितरण की गारंटी नहीं है, क्योंकि कुछ बिंदुओं पर सीडीएफ मान <math>[0,1]</math> इससे आगे जा सकते हैं।
* वे अनुमानित त्रुटि की गारंटी देते हैं, इस कारण असममित रूप से, अपितु समग्र अग्रणी शब्द के साथ शेष में अग्रणी एडगेवर्थ शब्द की तुलना करके सापेक्ष त्रुटियों का आसानी से आंकलन किया जा सकता है। <ref>{{cite book |last1=Kolassa |first1=John E. |title=सांख्यिकी में श्रृंखला सन्निकटन विधियाँ|date=2006 |publisher=Springer |isbn=0387322272 |edition=3rd}}</ref>
==यह भी देखें==
==यह भी देखें==


* कोर्निश-फिशर विस्तार
* कोर्निश-फिशर विस्तार
*एजुवर्थ द्विपद वृक्ष
*एजुवर्थ द्विपद ट्री


==संदर्भ==
==संदर्भ==
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* {{cite journal | last1 = Wallace | first1 = D. L. | year = 1958 | title = Asymptotic approximations to distributions | journal = Annals of Mathematical Statistics | volume = 29 | issue = 3| pages = 635–654 | doi=10.1214/aoms/1177706528| doi-access = free }}
* {{cite journal | last1 = Wallace | first1 = D. L. | year = 1958 | title = Asymptotic approximations to distributions | journal = Annals of Mathematical Statistics | volume = 29 | issue = 3| pages = 635–654 | doi=10.1214/aoms/1177706528| doi-access = free }}
* M. Kendall & A. Stuart. (1977), ''The advanced theory of statistics'', Vol 1: Distribution theory, 4th Edition, Macmillan, New York.
* M. Kendall & A. Stuart. (1977), ''The advanced theory of statistics'', Vol 1: Distribution theory, 4th Edition, Macmillan, New York.
* [[Peter McCullagh|P. McCullagh]] (1987). ''Tensor Methods in Statistics''. Chapman and Hall, London.
* [[Peter McCullagh|P. McCullagh]] (1987). ''Tensor Methods in Statistics''. Chapman and Hall, London.
* [[David Cox (statistician)|D. R. Cox]] and [[Ole Barndorff-Nielsen|O. E. Barndorff-Nielsen]] (1989). ''Asymptotic Techniques for Use in Statistics''. Chapman and Hall, London.
* [[David Cox (statistician)|D. R. Cox]] and [[Ole Barndorff-Nielsen|O. E. Barndorff-Nielsen]] (1989). ''Asymptotic Techniques for Use in Statistics''. Chapman and Hall, London.
* P. Hall (1992). ''The Bootstrap and Edgeworth Expansion''. Springer, New York.
* P. Hall (1992). ''The Bootstrap and Edgeworth Expansion''. Springer, New York.
* {{springer|title=Edgeworth series|id=p/e035060}}
* {{springer|title=Edgeworth series|id=p/e035060}}
Line 138: Line 134:
* J. E. Kolassa (2006). ''Series Approximation Methods in Statistics'' (3rd ed.). (Lecture Notes in Statistics #88). Springer, New York.
* J. E. Kolassa (2006). ''Series Approximation Methods in Statistics'' (3rd ed.). (Lecture Notes in Statistics #88). Springer, New York.


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Latest revision as of 19:27, 21 July 2023

ग्राम-चार्लियर एजवर्थ श्रृंखला जॉर्जेन पेडर्सन ग्राम और कार्ल चार्लीयर के सम्मान में नामित हैं, और एडगेवर्थ श्रृंखला को फ्रांसिस य्सिड्रो एडगेवर्थ के सम्मान में नामित किया गया हैं, यह एक गणितीय श्रृंखला हैं, जो इसके संचयकों के संदर्भ में संभाव्यता वितरण का अनुमान लगाती हैं।[1] यह शृंखला वही है, अपितु इसके पदों की व्यवस्था और इस प्रकार श्रृंखला को काटने की सटीकता भिन्न होती है।[2] इन विस्तारों का मुख्य विचार वितरण के विशेषता फलन के अनुसार संभावना सिद्धांत को लिखना है, जिसका संभाव्यता घनत्व कार्य f करता है, जिसको ज्ञात करना और उपयुक्त गुणों के साथ वितरण के विशिष्ट कार्य के संदर्भ में अनुमानित किया जाना है, और इसके साथ ही f को पुनर्प्राप्त करना है, इस प्रकार इसका व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण के माध्यम से प्राप्त किया जाता हैं।

ग्राम-चार्लियर ए श्रृंखला

हम सतत यादृच्छिक चर (वैरियेबल) की जांच करते हैं। इस प्रकार द्वारा इसके वितरण का अभिलक्षणिक फलन होता हैं जिसका घनत्व f फलन होता है, और इसके संचयक को प्रदर्शित करता हैं। इस प्रकार हम संभाव्यता घनत्व फलन के साथ ज्ञात वितरण के संदर्भ ψ में विस्तार करते हैं, इसकी विशेषता फलन , और संचयी मान, घनत्व ψ को सामान्यतः सामान्य वितरण के रूप में चुना जाता है, अपितु अन्य विकल्प भी संभव होता हैं। इस प्रकार संचयकों की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास वालेस को1958 के अनुसार देख सकते हैं।[3]

और

जो निम्नलिखित औपचारिक पहचान देता है:

फूरियर रूपांतरण के गुणों से, का फूरियर रूपांतरण है, जहाँ D के संबंध में विभेदक संचालिका x है, इस प्रकार इसके परिवर्तन के पश्चात के साथ समीकरण के दोनों पक्षों पर हम f औपचारिक विस्तार से पाते हैं।

इस प्रकार यदि ψ को सामान्य घनत्व के रूप में चुना जाता है,

माध्य और विवैरियेबलण के साथ जैसा कि f द्वारा दिया गया है, इस प्रकार का मान गलत है, और विवैरियेबलण की ओर विस्तारित हो जाता है

तब से सभी के लिए r > 2 का मान प्राप्त होता हैं, क्योंकि सामान्य वितरण के उच्च संचयी 0 हैं। इसके लिए घातांक का विस्तार करके और डेरिवेटिव के क्रम के अनुसार शर्तों को एकत्रित करके, हम ग्राम-चार्लियर ए श्रृंखला पर पहुंचते हैं। इस प्रकार के विस्तार को बेल बहुपद के रूप में संक्षिप्त रूप से लिखा जा सकता है-

गाऊसी फलन के n-वें व्युत्पन्न के बाद से हर्माइट बहुपद के रूप में दिया गया है-

यह हमें ग्राम-चार्लियर ए श्रृंखला की अंतिम अभिव्यक्ति देता है।

श्रृंखला को एकीकृत करने से हमें संचयी वितरण फलन प्राप्त होता है

जहाँ सामान्य वितरण का सीडीएफ है।

यदि हम सामान्य वितरण में केवल पहले दो सुधार शब्दों को सम्मिलित करते हैं, तो हमें यह मान प्राप्त होता है।

इसके साथ और मान प्राप्त होता हैं।

यहाँ पर ध्यान दें कि इस अभिव्यक्ति के धनात्मक होने की गारंटी नहीं है, और इसलिए यह वैध संभाव्यता वितरण नहीं है। इस कारण ग्राम-चार्लियर ए श्रृंखला रुचि के कई स्थितियों में भिन्न होती है, यह केवल तभी परिवर्तित होती है, जब से अधिक तेजी से गिरता है, और अनंत पर (क्रैमर 1957) हो। इस प्रकार जब यह अभिसरण नहीं होता है, तो श्रृंखला भी वास्तविक स्पर्शोन्मुख विस्तार नहीं है, क्योंकि विस्तार की त्रुटि का अनुमान लगाना संभव नहीं है। इस कारण से, एडगेवर्थ श्रृंखला (अगला भाग देखें) को सामान्यतः ग्राम-चार्लियर ए श्रृंखला की तुलना में पसंद किया जाता है।

एजवर्थ श्रृंखला

एडगेवर्थ ने केंद्रीय सीमा प्रमेय में सुधार के रूप में समान विस्तार विकसित किया हैं।[4] इस प्रकार एजवर्थ श्रृंखला का लाभ यह है कि त्रुटि को नियंत्रित किया जाता है, जिससे कि यह वास्तविक स्पर्शोन्मुख विस्तार हो।

इस प्रकार परिमित माध्य के साथ स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक वैरियेबल का अनुक्रम बनें रहते हैं। और विवैरियेबलण , और जाने उनके मानकीकृत योग बनते हैं:

इस प्रकार वैरियेबलों के संचयी वितरण फलनों को से निरूपित करते हैं। इसके पश्चात पुनः केंद्रीय सीमा प्रमेय द्वारा,

प्रत्येक के लिए का मान जब तक माध्य और विवैरियेबलण परिमित होता हैं।

जिसका मानकीकरण यह सुनिश्चित करता है कि पहले दो सहचालक हैं और हैं। इस कारण अब मान लीजिए कि, इसके अर्थ के अतिरिक्त और विवैरियेबलण , आई.आई.डी. यादृच्छिक वैरियेबल उच्च सहसंयोजक होते हैं। जिसके कारण क्यूमुलेंट्स की योगात्मकता और एकरूपता गुणों से के क्यूमुलेंट्स के संचयकों के संदर्भ में प्राप्त होता हैं। इसलिए मान प्राप्त होता है,

यदि हम विशेषता फलन की औपचारिक अभिव्यक्ति का विस्तार करते हैं, इस प्रकार का मानक सामान्य वितरण के संदर्भ में इस प्रकार हैं, अर्थात, यदि हम निर्धारित करते हैं

फिर विस्तार में संचयी अंतर हैं

इसके घनत्व फलन के लिए ग्राम-चार्लियर ए श्रृंखला हैं, इस प्रकार अब हमें उक्त समीकरण प्राप्त होता है।

एजवर्थ श्रृंखला को ग्राम-चार्लियर ए श्रृंखला के समान ही विकसित किया गया है, जो केवल अब शर्तों को शक्तियों के अनुसार एकत्र किया जाता है, इसके कारण . n-m/2 के गुणांक पद m के पूर्णांक विभाजनों के अनुरूप बेल बहुपदों के एकपदों को एकत्रित करके प्राप्त किया जा सकता है। इस प्रकार, हमारे पास विशिष्ट कार्य इस प्रकार है

जहाँ डिग्री का बहुपद है, जिसे पुनः व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण के पश्चात घनत्व फलन के द्वारा इंगित करते हैं, जो इस प्रकार है-

इसी प्रकार, श्रृंखला को एकीकृत करके, हम वितरण फलन प्राप्त करते हैं

हम स्पष्ट रूप से बहुपद द्वारा लिख सकते हैं, जैसा कि यहाँ पर हम देख सकते हैं-

जहां m के सभी पूर्णांक विभाजनों का योग इस प्रकार है, इस प्रकार और और मान प्राप्त होता हैं। उदाहरण के लिए, यदि m = 3, तो इस संख्या को विभाजित करने के तीन तरीके हैं: 1 + 1 + 1 = 2 + 1 = 3, इस प्रकार हमें तीन स्थितियों की जांच करने की आवश्यकता है:

  • 1 + 1 + 1 = 1 · K1, तो हमारे पास k1 = 3, L1 = 3, और S = 9 है।
  • 1 + 2 = 1 · K1 + 2 · K2, तो हमारे पास k1 = 1, k2 = 1, L1 = 3, L2 = 4, और S = 7 है।
  • 3 = 3 · K3, तो हमारे पास k3 = 1, L3 = 5, और S = 5 है।

अत: अभीष्ट बहुपद है

विस्तार के प्रथम पाँच पद हैं[5]