प्लांचरेल प्रमेय: Difference between revisions

Latest revision as of 10:48, 24 July 2023

गणित में, प्लांचरेल प्रमेय ( जिसे कभी-कभी मार्क-एंटोनी पारसेवल पहचान कहा जाता है)^[1] और हार्मोनिक विश्लेषण का परिणाम है, जिसे 1910 में मिशेल प्लांचरेल द्वारा सिद्ध किया गया था। इसमें कहा गया है इस प्रकार से किसी फलन के वर्ग मापांक का अभिन्न अंग उसके आवृत्ति स्पेक्ट्रम के वर्ग मापांक के अभिन्न अंग के समान होता है। अर्थात यदि $f(x)$ वास्तविक रेखा पर फलन है, और ${\widehat {f}}(\xi )$ तो, इसका आवृत्ति स्पेक्ट्रम है तब

$\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }|{\widehat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi$

इस प्रकार से अधिक स्पष्ट सूत्रीकरण यह माना जाता है कि यदि कोई फलन Lp स्पेस $L^{1}(\mathbb {R} )$ और $L^{2}(\mathbb {R} )$ दोनों में व्यक्त है तो इसका फ़ोरियर रूपांतरण $L^{2}(\mathbb {R} )$ में है और फ़ोरियर रूपांतरण मैप L² मानदंड के संबंध में एक आइसोमेट्री है। इसका तात्पर्य यह है कि $L^{1}(\mathbb {R} )\cap L^{2}(\mathbb {R} )$ तक सीमित फूरियर रूपांतरण मैप में एक रैखिक आइसोमेट्रिक मैप $L^{2}(\mathbb {R} )\mapsto L^{2}(\mathbb {R} )$ का एक अलग विस्तार है जिसे कभी-कभी प्लांचरेल रूपांतरण भी कहा जाता है। यह आइसोमेट्री वास्तव में एक एकात्मक मानचित्र माना जाता है। वास्तव में, इससे द्विघात रूप से एकीकृत फलन के फूरियर परिवर्तनों के बारे में संवाद करना संभव हो जाता है।

जैसा कि n-आयामी यूक्लिडियन स्पेस $\mathbb {R} ^{n}$ पर कहा गया है, प्लैंचरेल का प्रमेय मान्य होता है यह प्रमेय समान्यतः स्पेस रूप से सघन एबेलियन समूह में भी प्रयुक्त किया जाता है। और प्लांचरेल प्रमेय का संस्करण भी है, जो की कुछ विधियों मान्यताओं को संतुष्ट करने वाले गैर-कम्यूटेटिव स्पेसकीय रूप से कॉम्पैक्ट समूहों के लिए समझ में आता है। इस प्रकार से यह गैर-कम्यूटेटिव हार्मोनिक विश्लेषण का विषय माना जाता है।

इस प्रकार से फूरियर रूपांतरण के एकात्मक परिवर्तन को सदैव विज्ञान और इंजीनियरिंग क्षेत्रों में पार्सेवल का प्रमेय कहा जाता है, जो की प्रथम (किन्तु कम सामान्य) परिणाम पर आधारित था, जिसका उपयोग फूरियर श्रृंखला की एकात्मकता को प्रमाणित करने के लिए किया गया था।

अतः ध्रुवीकरण पहचान के कारण, कोई व्यक्ति दो फलन के $L^{2}(\mathbb {R} )$ आंतरिक उत्पाद पर प्लांचरेल के प्रमेय को भी प्रयुक्त कर सकता है। अर्थात्, यदि $f(x)$ और $g(x)$ दो $L^{2}(\mathbb {R} )$ फलन हैं, और ${\mathcal {P}}$ प्लैंचरेल रूपांतरण को दर्शाता है

\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }({\mathcal {P}}f)(\xi ){\overline {({\mathcal {P}}g)(\xi )}}\,d\xi ,

और यदि

f(x)

और

g(x)

इसमें

L^{1}(\mathbb {R} )

अतिरिक्त फलन हैं

({\mathcal {P}}f)(\xi )={\widehat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,

और

 $({\mathcal {P}}g)(\xi )={\widehat {g}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)e^{-2\pi i\xi x}\,dx,$

इसलिए

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi ){\overline {{\widehat {g}}(\xi )}}\,d\xi .$

यह भी देखें

गोलाकार फलन के लिए प्लांचरेल का प्रमेय

संदर्भ

↑ Cohen-Tannoudji, Claude; Dupont-Roc, Jacques; Grynberg, Gilbert (1997). Photons and Atoms : Introduction to Quantum Electrodynamics. Wiley. p. 11. ISBN 0-471-18433-0.

Plancherel, Michel (1910), "Contribution à l'étude de la représentation d'une fonction arbitraire par des intégrales définies", Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 30 (1): 289–335, doi:10.1007/BF03014877, S2CID 122509369.
Dixmier, J. (1969), Les C*-algèbres et leurs Représentations, Gauthier Villars.
Yosida, K. (1968), Functional Analysis, Springer Verlag.

बाहरी संबंध

"Plancherel theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Plancherel's Theorem on Mathworld

[1] Cohen-Tannoudji, Claude; Dupont-Roc, Jacques; Grynberg, Gilbert (1997). Photons and Atoms : Introduction to Quantum Electrodynamics. Wiley. p. 11. ISBN 0-471-18433-0.

[1]

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 {{Short description|Theorem in harmonic analysis}}
-गणित में, प्लांचरेल प्रमेय (कभी-कभी [[मार्क-एंटोनी पारसेवल]] पहचान कहा जाता है)<ref>{{cite book |author1=Cohen-Tannoudji, Claude |author2=Dupont-Roc, Jacques |author3=Grynberg, Gilbert |title=Photons and Atoms : Introduction to Quantum Electrodynamics |year=1997 |url=https://archive.org/details/photonsatomsintr00cohe_398 |url-access=limited |publisher=Wiley |isbn=0-471-18433-0 |page=[https://archive.org/details/photonsatomsintr00cohe_398/page/n39 11]}}</ref>) [[हार्मोनिक विश्लेषण]] का एक परिणाम है, जिसे 1910 में [[मिशेल प्लांचरेल]] द्वारा सिद्ध किया गया था। इसमें कहा गया है कि किसी फ़ंक्शन के [[वर्ग मापांक]] का अभिन्न अंग उसके [[आवृत्ति स्पेक्ट्रम]] के वर्ग मापांक के अभिन्न अंग के बराबर होता है। अर्थात यदि <math>f(x) </math> वास्तविक रेखा पर एक फ़ंक्शन है, और <math>\widehat{f}(\xi)</math> तो, इसका आवृत्ति स्पेक्ट्रम है
+गणित में, '''प्लांचरेल प्रमेय''' ( जिसे कभी-कभी [[मार्क-एंटोनी पारसेवल]] पहचान कहा जाता है)<ref>{{cite book |author1=Cohen-Tannoudji, Claude |author2=Dupont-Roc, Jacques |author3=Grynberg, Gilbert |title=Photons and Atoms : Introduction to Quantum Electrodynamics |year=1997 |url=https://archive.org/details/photonsatomsintr00cohe_398 |url-access=limited |publisher=Wiley |isbn=0-471-18433-0 |page=[https://archive.org/details/photonsatomsintr00cohe_398/page/n39 11]}}</ref> और [[हार्मोनिक विश्लेषण]] का परिणाम है, जिसे 1910 में [[मिशेल प्लांचरेल]] द्वारा सिद्ध किया गया था। इसमें कहा गया है इस प्रकार से किसी फलन के [[वर्ग मापांक]] का अभिन्न अंग उसके [[आवृत्ति स्पेक्ट्रम]] के वर्ग मापांक के अभिन्न अंग के समान होता है। अर्थात यदि <math>f(x) </math> वास्तविक रेखा पर फलन है, और <math>\widehat{f}(\xi)</math> तो, इसका आवृत्ति स्पेक्ट्रम है तब
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-एक अधिक सटीक सूत्रीकरण यह है कि यदि कोई फ़ंक्शन दोनों [[एलपी स्पेस]] में है <math>L^1(\mathbb{R})</math> और <math>L^2(\mathbb{R})</math>, तो इसका [[फूरियर रूपांतरण]] है <math>L^2(\mathbb{R})</math>, और फूरियर ट्रांसफॉर्म मैप एल के संबंध में एक आइसोमेट्री है<sup>2</sup>मानदंड. इसका तात्पर्य यह है कि फूरियर रूपांतरण मानचित्र तक ही सीमित है <math>L^1(\mathbb{R}) \cap L^2(\mathbb{R})</math> रैखिक सममितीय मानचित्र का एक अद्वितीय विस्तार है <math>L^2(\mathbb{R}) \mapsto L^2(\mathbb{R})</math>, जिसे कभी-कभी प्लांचरेल ट्रांसफॉर्म भी कहा जाता है। यह आइसोमेट्री वास्तव में एक एकात्मक ऑपरेटर मानचित्र है। वास्तव में, इससे द्विघात रूप से एकीकृत कार्यों के फूरियर परिवर्तनों के बारे में बात करना संभव हो जाता है।
-जैसा कि एन-डायमेंशनल [[ यूक्लिडियन स्थान ]] पर कहा गया है, प्लैंचरेल का प्रमेय मान्य है <math>\mathbb{R}^n</math>. यह प्रमेय आमतौर पर [[स्थानीय रूप से सघन एबेलियन समूह]]ों में भी लागू होता है। प्लांचरेल प्रमेय का एक संस्करण भी है जो कुछ तकनीकी मान्यताओं को संतुष्ट करने वाले गैर-कम्यूटेटिव स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूहों के लिए समझ में आता है। यह गैर-कम्यूटेटिव हार्मोनिक विश्लेषण का विषय है।
-फूरियर रूपांतरण के [[एकात्मक परिवर्तन]] को अक्सर विज्ञान और इंजीनियरिंग क्षेत्रों में पार्सेवल का प्रमेय कहा जाता है, जो पहले (लेकिन कम सामान्य) परिणाम पर आधारित था, जिसका उपयोग फूरियर श्रृंखला की एकात्मकता को साबित करने के लिए किया गया था।
+इस प्रकार से अधिक स्पष्ट सूत्रीकरण यह माना जाता है कि यदि कोई फलन ''Lp'' [[एलपी स्पेस|स्पेस]] <math>L^1(\mathbb{R})</math> और <math>L^2(\mathbb{R})</math> दोनों में व्यक्त है तो इसका [[फूरियर रूपांतरण|फ़ोरियर रूपांतरण]] <math>L^2(\mathbb{R})</math> में है और फ़ोरियर रूपांतरण मैप ''L''<sup>2</sup> मानदंड के संबंध में एक आइसोमेट्री है। इसका तात्पर्य यह है कि <math>L^1(\mathbb{R}) \cap L^2(\mathbb{R})</math> तक सीमित फूरियर रूपांतरण मैप में एक रैखिक आइसोमेट्रिक मैप <math>L^2(\mathbb{R}) \mapsto L^2(\mathbb{R})</math> का एक अलग विस्तार है जिसे कभी-कभी प्लांचरेल रूपांतरण भी कहा जाता है। यह आइसोमेट्री वास्तव में एक एकात्मक मानचित्र माना जाता है। वास्तव में, इससे द्विघात रूप से एकीकृत फलन के फूरियर परिवर्तनों के बारे में संवाद करना संभव हो जाता है।
-[[ध्रुवीकरण पहचान]] के कारण, कोई प्लांचरेल के प्रमेय को एलपी स्पेस पर भी लागू कर सकता है<math>L^2(\mathbb{R})</math>दो कार्यों का आंतरिक उत्पाद। अर्थात यदि <math>f(x)</math> और <math>g(x)</math> दो हैं <math>L^2(\mathbb{R})</math> कार्य, और <math> \mathcal P</math> तब प्लांचरेल परिवर्तन को दर्शाता है
+जैसा कि ''n''-आयामी [[ यूक्लिडियन स्थान |यूक्लिडियन स्पेस]] <math>\mathbb{R}^n</math> पर कहा गया है, प्लैंचरेल का प्रमेय मान्य होता है यह प्रमेय समान्यतः [[स्थानीय रूप से सघन एबेलियन समूह|स्पेस रूप से सघन एबेलियन समूह]] में भी प्रयुक्त किया जाता है। और प्लांचरेल प्रमेय का संस्करण भी है, जो की कुछ विधियों मान्यताओं को संतुष्ट करने वाले गैर-कम्यूटेटिव स्पेसकीय रूप से कॉम्पैक्ट समूहों के लिए समझ में आता है। इस प्रकार से यह गैर-कम्यूटेटिव हार्मोनिक विश्लेषण का विषय माना जाता है।
+इस प्रकार से फूरियर रूपांतरण के [[एकात्मक परिवर्तन]] को सदैव विज्ञान और इंजीनियरिंग क्षेत्रों में पार्सेवल का प्रमेय कहा जाता है, जो की प्रथम (किन्तु कम सामान्य) परिणाम पर आधारित था, जिसका उपयोग फूरियर श्रृंखला की एकात्मकता को प्रमाणित करने के लिए किया गया था।
+अतः [[ध्रुवीकरण पहचान]] के कारण, कोई व्यक्ति दो फलन के <math>L^2(\mathbb{R})</math> आंतरिक उत्पाद पर प्लांचरेल के प्रमेय को भी प्रयुक्त कर सकता है। अर्थात्, यदि <math>f(x)</math> और <math>g(x)</math> दो <math>L^2(\mathbb{R})</math> फलन हैं, और <math> \mathcal P</math> प्लैंचरेल रूपांतरण को दर्शाता है
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-और अगर <math>f(x)</math> और <math>g(x)</math> इसके अलावा हैं <math>L^1(\mathbb{R})</math> तब कार्य करता है
+और यदि <math>f(x)</math> और <math>g(x)</math> इसमें <math>L^1(\mathbb{R})</math> अतिरिक्त फलन हैं
- <math display="block"> (\mathcal P f)(\xi) = \widehat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-2\pi i \xi x} \, dx ,</math>
+<math display="block"> (\mathcal P f)(\xi) = \widehat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-2\pi i \xi x} \, dx ,</math>
 और
   <math display="block"> (\mathcal P g)(\xi) = \widehat{g}(\xi) = \int_{-\infty}^\infty g(x) e^{-2\pi i \xi x} \, dx ,</math>
 इसलिए
 {{Equation box 1
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-==यह भी देखें==
+==यह भी देखें ==
-*गोलाकार कार्यों के लिए प्लांचरेल का प्रमेय
+*गोलाकार फलन के लिए प्लांचरेल का प्रमेय
 == संदर्भ ==
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 * {{citation|first=J.|last=Dixmier|authorlink=Jacques Dixmier|title=Les C*-algèbres et leurs Représentations|publisher=Gauthier Villars|year=1969}}.
 * {{citation|first=K.|last=Yosida|authorlink=Kōsaku Yosida|title=Functional Analysis|publisher=Springer Verlag|year=1968}}.
 ==बाहरी संबंध==
@@ Line 47: / Line 47: @@
 * [http://mathworld.wolfram.com/PlancherelsTheorem.html Plancherel's Theorem] on Mathworld
-{{Lp spaces}}
-{{Functional analysis}}
-[[Category: कार्यात्मक विश्लेषण में प्रमेय]] [[Category: हार्मोनिक विश्लेषण में प्रमेय]] [[Category: फूरियर विश्लेषण में प्रमेय]] [[Category: एल.पी. स्थान]]
-{{mathanalysis-stub}}
-[[Category: Machine Translated Page]]
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