महलो कार्डिनल

गणित में, बड़ा कार्डिनल एक निश्चित प्रकार की बड़ी कार्डिनल संख्या होती है। महलो कार्डिनल्स का वर्णन सबसे पहले किसके द्वारा किया गया था? Paul Mahlo (1911, 1912, 1913). सभी बड़े कार्डिनल्स की तरह, महलो कार्डिनल्स की इन किस्मों में से किसी को भी ZFC द्वारा अस्तित्व में साबित नहीं किया जा सकता है (यह मानते हुए कि ZFC सुसंगत सिद्धांत है)।

एक कार्डिनल संख्या $\kappa$ यदि इसे दृढ़ता से महलो कहा जाता है $\kappa$ अप्राप्य कार्डिनल और सेट (गणित) है $U=\{\lambda <\kappa \mid \lambda {\text{ is strongly inaccessible}}\}$ κ में स्थिर सेट#शास्त्रीय धारणा है।

एक कार्डिनल $\kappa$ यदि कमजोर रूप से महलो कहा जाता है $\kappa$ कमजोर रूप से दुर्गम है और कमजोर रूप से दुर्गम कार्डिनल्स का सेट से कम है $\kappa$ में स्थिर है $\kappa$.

महलो कार्डिनल शब्द का अब आम तौर पर दृढ़ता से मतलब महलो कार्डिनल होता है, हालाँकि महलो द्वारा मूल रूप से माने जाने वाले कार्डिनल कमजोर रूप से महलो कार्डिनल थे।

एक महलो कार्डिनल के लिए पर्याप्त न्यूनतम शर्त

• यदि κ एक सीमा क्रमसूचक है और κ से कम नियमित अध्यादेशों का सेट κ में स्थिर है, तो κ कमजोर रूप से महलो है।

इसे साबित करने में मुख्य कठिनाई यह दिखाना है कि κ नियमित है। हम मान लेंगे कि यह नियमित नहीं है और एक क्लब सेट का निर्माण करेंगे जो हमें μ इस प्रकार देगा:

μ = cf(μ) < cf(κ) < μ < κ जो एक विरोधाभास है।

यदि κ नियमित नहीं था, तो cf(κ) < κ. हम कड़ाई से बढ़ते और निरंतर cf(κ)-अनुक्रम को चुन सकते हैं जो cf(κ)+1 से शुरू होता है और इसकी सीमा κ है। उस अनुक्रम की सीमा κ में क्लब होगी। तो उन सीमाओं के बीच एक नियमित μ होना चाहिए। तो μ cf(κ)-अनुक्रम के प्रारंभिक अनुवर्ती की एक सीमा है। इस प्रकार इसकी सह-अंतिमता κ की सह-अंतिमता से कम है और एक ही समय में इससे अधिक है; जो एक विरोधाभास है. इस प्रकार यह धारणा कि κ नियमित नहीं है, गलत होनी चाहिए, अर्थात κ नियमित है।

नीचे कोई स्थिर सेट मौजूद नहीं हो सकता $\aleph _{0}$ आवश्यक संपत्ति के साथ क्योंकि {2,3,4,...} ω में क्लब है लेकिन इसमें कोई नियमित क्रमसूचक नहीं है; इसलिए κ बेशुमार है। और यह नियमित कार्डिनल्स की एक नियमित सीमा है; इसलिए यह कमजोर रूप से पहुंच योग्य नहीं है। फिर कोई यह दिखाने के लिए क्लब सेट के रूप में κ के नीचे बेशुमार सीमा कार्डिनल्स के सेट का उपयोग करता है कि स्थिर सेट को कमजोर दुर्गम से युक्त माना जा सकता है।

• यदि κ कमजोर रूप से महलो है और एक मजबूत सीमा भी है, तो κ महलो है।

κ कमजोर रूप से पहुंच योग्य नहीं है और एक मजबूत सीमा है, इसलिए यह दृढ़ता से पहुंच योग्य नहीं है।

हम दिखाते हैं कि κ के नीचे अनगिनत मजबूत सीमा कार्डिनल्स का सेट κ में क्लब है। चलो μ₀ दहलीज और ω का बड़ा होना₁. प्रत्येक परिमित n के लिए, मान लीजिए μ_n+1 = 2^μ_n जो κ से कम है क्योंकि यह एक मजबूत सीमा कार्डिनल है। तब उनकी सीमा एक मजबूत सीमा कार्डिनल है और इसकी नियमितता से κ से कम है। बेशुमार मजबूत सीमा कार्डिनल्स की सीमाएँ भी बेशुमार मजबूत सीमा कार्डिनल्स हैं। तो उनका सेट κ में क्लब है। κ से कम दृढ़ता से दुर्गम कार्डिनल्स का एक स्थिर सेट प्राप्त करने के लिए उस क्लब सेट को κ से कम कमजोर पहुंच वाले कार्डिनल्स के स्थिर सेट के साथ इंटरसेक्ट करें।

उदाहरण: यह दर्शाता है कि महलो कार्डिनल्स κ-दुर्गम (अति-दुर्गम) हैं

अति दुर्गम शब्द अस्पष्ट है। इस खंड में, एक कार्डिनल κ को अति-दुर्गम कहा जाता है यदि यह κ-दुर्गम है (1-दुर्गम के अधिक सामान्य अर्थ के विपरीत)।

मान लीजिए κ महलो है। हम यह दिखाने के लिए α पर ट्रांसफ़िनिट इंडक्शन द्वारा आगे बढ़ते हैं कि κ किसी भी α ≤ κ के लिए α-दुर्गम है। चूँकि κ महलो है, κ अप्राप्य है; और इस प्रकार 0-दुर्गम, जो एक ही बात है।

यदि κ α-दुर्गम है, तो β-दुर्गम (β < α के लिए) मनमाने ढंग से κ के करीब हैं। ऐसे β-दुर्गम की एक साथ सीमाओं के सेट पर विचार करें जो कुछ सीमा से बड़ा है लेकिन κ से कम है। यह κ में असीमित है (कल्पना करें कि β <α ω-बार के लिए β-दुर्गम के माध्यम से घूमते हुए हर बार एक बड़ा कार्डिनल चुनें, फिर वह सीमा लें जो नियमितता से κ से कम है (यदि α ≥ κ तो यही विफल रहता है))। यह बंद है, इसलिए यह κ में क्लब है। तो, κ के महलो-नेस द्वारा, इसमें एक दुर्गम शामिल है। वह दुर्गम वास्तव में एक α-दुर्गम है। तो κ α+1-पहुंच योग्य नहीं है।

यदि λ ≤ κ एक सीमा क्रमसूचक है और κ सभी α < λ के लिए α-दुर्गम है, तो प्रत्येक β < λ कुछ α < λ के लिए α से भी कम है। इसलिए यह मामला मामूली है. विशेष रूप से, κ κ-दुर्गम है और इस प्रकार अप्राप्य कार्डिनल|अति-दुर्गम है।

यह दिखाने के लिए कि κ अति-दुर्गम की एक सीमा है और इस प्रकार 1-अति-दुर्गम है, हमें यह दिखाने की आवश्यकता है कि कार्डिनल्स μ < κ का विकर्ण सेट जो प्रत्येक α < μ के लिए α-दुर्गम है, κ में क्लब है। दहलीज के ऊपर 0-दुर्गम चुनें, इसे α कहें₀. फिर एक α चुनें₀-दुर्गम, इसे α कहें₁. इसे दोहराते रहें और सीमा पर सीमाएं लेते रहें जब तक कि आप एक निश्चित बिंदु तक नहीं पहुंच जाते, इसे μ कहते हैं। फिर μ के पास आवश्यक संपत्ति है (सभी α < μ के लिए α-दुर्गम की एक साथ सीमा होने के नाते) और नियमितता से κ से कम है। ऐसे कार्डिनल्स की सीमाओं में भी संपत्ति होती है, इसलिए उनका सेट κ में क्लब है। κ के महलो-नेस द्वारा, इस सेट में एक दुर्गम है और यह अति-दुर्गम है। तो κ 1-अति-दुर्गम है। हम κ से कम हाइपर-एक्सेसिबल्स का एक स्थिर सेट प्राप्त करने के लिए इसी क्लब सेट को κ से कम स्थिर सेट के साथ प्रतिच्छेद कर सकते हैं।

शेष प्रमाण कि κ α-अति-दुर्गम है, इस प्रमाण की नकल करता है कि यह α-दुर्गम है। तो κ अति-अति-दुर्गम, आदि है।

α-महलो, हाइपर-महलो और अत्यधिक महलो कार्डिनल्स

α-Mahlo शब्द अस्पष्ट है और विभिन्न लेखक असमान परिभाषाएँ देते हैं। एक परिभाषा यह है एक कार्डिनल κ को कुछ ऑर्डिनल α के लिए α-Mahlo कहा जाता है यदि κ दृढ़ता से पहुंच योग्य नहीं है और प्रत्येक ऑर्डिनल β<α के लिए, κ के नीचे β-Mahlo कार्डिनल्स का सेट κ में स्थिर है। हालाँकि स्थिति κ अत्यधिक दुर्गम है जिसे कभी-कभी अन्य स्थितियों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, जैसे कि κ नियमित है या κ कमजोर रूप से दुर्गम है या κ महलो है। हम हाइपर-महलो, α-हाइपर-महलो, हाइपर-हाइपर-महलो, कमजोर रूप से α-महलो, कमजोर रूप से हाइपर-महलो, कमजोर रूप से α-हाइपर-महलो, इत्यादि को दुर्गमों की परिभाषाओं के अनुरूप परिभाषित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए एक कार्डिनल κ को हाइपर-महलो कहा जाता है यदि यह κ-महलो है।

एक कार्डिनल κ बहुत हद तक महलो या κ होता है⁺-महलो यदि और केवल यदि यह पहुंच योग्य नहीं है और κ के पावर सेट पर एक सामान्य (यानी गैर-तुच्छ और विकर्ण चौराहों के नीचे बंद) κ-पूर्ण फ़िल्टर (गणित) है जो महलो ऑपरेशन के तहत बंद है, जो ऑर्डिनल्स के सेट को S से {α तक मैप करता है$\in$S: α में अनगिनत सह-अंतिमता है और S∩α α में स्थिर है}

यदि हम ब्रह्मांड को एक आंतरिक मॉडल से प्रतिस्थापित करते हैं, तो अप्राप्य, महलो, कमजोर रूप से महलो, α-महलो, बहुत महलो आदि के गुण संरक्षित रहते हैं।

प्रत्येक प्रतिबिंबित कार्डिनल के पास बहुत अधिक महलो की तुलना में सख्ती से अधिक स्थिरता शक्ति होती है, लेकिन दुर्गम प्रतिबिंबित कार्डिनल सामान्य महलो में नहीं होते हैं - https://mathoverflow.net/q/212597 देखें

महलो ऑपरेशन

यदि इस ऑपरेशन एम को 'महलो ऑपरेशन' कहा जाता है। इसका उपयोग महलो कार्डिनल्स को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है: उदाहरण के लिए, यदि एक्स नियमित कार्डिनल्स का वर्ग है, तो एम(एक्स) कमजोर महलो कार्डिनल्स का वर्ग है। यह शर्त कि α में बेशुमार सह-अंतिमता है, यह सुनिश्चित करती है कि α के बंद असंबद्ध उपसमुच्चय प्रतिच्छेदन के तहत बंद हैं और इस प्रकार एक फ़िल्टर बनाते हैं; व्यवहार में एक्स के तत्वों में अक्सर पहले से ही बेशुमार सह-अंतिमता होती है, ऐसी स्थिति में यह स्थिति बेमानी है। कुछ लेखक यह शर्त जोड़ते हैं कि α X में है, जो व्यवहार में आमतौर पर थोड़ा अंतर डालता है क्योंकि यह अक्सर स्वचालित रूप से संतुष्ट होता है।

एक निश्चित नियमित बेशुमार कार्डिनल κ के लिए, महलो ऑपरेशन गैर-स्थिर आदर्श κ मॉड्यूलो के सभी उपसमुच्चय के बूलियन बीजगणित पर एक ऑपरेशन को प्रेरित करता है।

महलो ऑपरेशन को इस प्रकार अनंत रूप से दोहराया जा सकता है:

• एम⁰(एक्स) = एक्स
• एम^α+1(X) = M(M^α(X))
• यदि α एक सीमा क्रमसूचक है तो M^α(X) M का प्रतिच्छेदन है^β(X) β<α के लिए

ये पुनरावृत्त महलो ऑपरेशन दृढ़ता से दुर्गम कार्डिनल्स के वर्ग से शुरू होने वाले α-महलो कार्डिनल्स की कक्षाएं उत्पन्न करते हैं।

इस प्रक्रिया को परिभाषित करके विकर्ण बनाना भी संभव है

• एम^Δ(X) ऑर्डिनल्स α का सेट है जो M में है^β(X) β<α के लिए।

और निश्चित रूप से इस विकर्णीकरण प्रक्रिया को भी दोहराया जा सकता है। विकर्ण महलो ऑपरेशन हाइपर-महलो कार्डिनल्स इत्यादि का उत्पादन करता है।

महलो कार्डिनल्स और प्रतिबिंब सिद्धांत

एक्सिओम एफ का कथन है कि ऑर्डिनल्स पर प्रत्येक सामान्य फ़ंक्शन का एक नियमित निश्चित बिंदु होता है। (यह प्रथम-क्रम का स्वयंसिद्ध नहीं है क्योंकि यह सभी सामान्य कार्यों की मात्रा निर्धारित करता है, इसलिए इसे या तो दूसरे-क्रम के स्वयंसिद्ध के रूप में या एक स्वयंसिद्ध योजना के रूप में माना जा सकता है।) एक कार्डिनल को महलो कहा जाता है यदि उस पर प्रत्येक सामान्य कार्य का एक नियमित निश्चित बिंदु होता है, इसलिए स्वयंसिद्ध F कुछ अर्थों में कह रहा है कि सभी अध्यादेशों का वर्ग महलो है। एक कार्डिनल κ महलो है यदि और केवल यदि स्वयंसिद्ध F का दूसरा क्रम रूप V में है_κ. अभिगृहीत एफ बदले में इस कथन के समतुल्य है कि मापदंडों के साथ किसी भी सूत्र φ के लिए मनमाने ढंग से बड़े दुर्गम अध्यादेश α हैं जैसे कि वी_α φ को प्रतिबिंबित करता है (दूसरे शब्दों में φ को V में रखा जाता है_α यदि और केवल यदि यह पूरे ब्रह्मांड में व्याप्त है) (Drake 1974, chapter 4).

बोरेल विकर्णीकरण में उपस्थिति

Harvey Friedman (1981) ने दिखाया है कि बंद इकाई अंतराल के उत्पादों पर बोरेल कार्यों के बारे में कुछ प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए महलो कार्डिनल्स का अस्तित्व एक आवश्यक धारणा है।

होने देना $Q$ होना $[0,1]^{\omega }$, द $\omega$- बंद इकाई अंतराल के पुनरावृत्त कार्टेशियन उत्पाद को अपने साथ मोड़ें। समूह $(H,\cdot )$ के सभी क्रमपरिवर्तन के $\mathbb {N}$ वह चाल केवल सीमित रूप से कई प्राकृतिक संख्याओं पर कार्य करते हुए देखी जा सकती है $Q$ निर्देशांक को क्रमपरिवर्तित करके। समूह क्रिया $\cdot$ किसी भी उत्पाद पर विकर्ण रूप से भी कार्य करता है $Q^{n}$, संकेतन के दुरुपयोग को परिभाषित करके $g\cdot (x_{1},\ldots ,x_{n})=(g\cdot x_{1},\ldots ,g\cdot x_{n})$. के लिए $x,y\in Q^{n}$, होने देना $x\sim y$ अगर $x$ और $y$ इस विकर्ण क्रिया के तहत एक ही कक्षा में हैं।

होने देना $F:Q\times Q^{n}\to [0,1]$ किसी के लिए भी ऐसा बोरेल फ़ंक्शन बनें $x\in Q^{n}$ और $y,z\in Q$, अगर $y\sim z$ तब $F(x,y)=F(x,z)$. फिर एक क्रम है $(x_{k})_{0\leq k\leq m}$ जैसे कि सूचकांकों के सभी अनुक्रमों के लिए $s<t_{1}<\ldots <t_{n}\leq m$, $F(x_{s},(x_{t_{1}},\ldots ,x_{t_{n}}))$ का पहला निर्देशांक है $x_{s+1}$. यह प्रमेय सिद्ध करने योग्य है $ZFC+\forall (n<\omega )\exists \kappa (\kappa \;{\textrm {is}}\;n{\textrm {-Mahlo}})$, लेकिन किसी सिद्धांत में नहीं $ZFC+\exists \kappa (\kappa \;{\textrm {is}}\;n{\textrm {-Mahlo}})$ कुछ के लिए तय किया गया $n<\omega$.

यह भी देखें

• दुर्गम कार्डिनल
• स्थिर सेट
• आंतरिक मॉडल

संदर्भ

• Drake, Frank R. (1974). Set Theory: An Introduction to Large Cardinals. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. Vol. 76. Elsevier Science Ltd. ISBN 0-444-10535-2. Zbl 0294.02034.
• Friedman, Harvey (1981). "On the necessary use of abstract set theory" (PDF). Advances in Mathematics. 41 (3): 209–280. doi:10.1016/0001-8708(81)90021-9. Retrieved 19 December 2022.
• Kanamori, Akihiro (2003). The Higher Infinite : Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings. Springer Monographs in Mathematics (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 3-540-00384-3. Zbl 1022.03033.
• Mahlo, Paul (1911), "Über lineare transfinite Mengen", Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch-Physische Klasse, 63: 187–225, JFM 42.0090.02
• Mahlo, Paul (1912), "Zur Theorie und Anwendung der ρ₀-Zahlen", Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch-Physische Klasse, 64: 108–112, JFM 43.0113.01
• Mahlo, Paul (1913), "Zur Theorie und Anwendung der ρ₀-Zahlen II", Berichte über die Verhandlungen der Königlich Sächsischen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig. Mathematisch-Physische Klasse, 65: 268–282, JFM 44.0092.02