आंतरिक मॉडल

This article is about गणितीय समुच्चय सिद्धांत के मॉडल. For मानक प्रभावी तापमान समुच्चय मॉडल, see ऊष्मीय §  मानक प्रभावी तापमान.

समुच्चय सिद्धान्त में गणितीय तर्क की शाखा या सिद्धांत T के लिए आंतरिक मॉडल के समुच्चय सिद्धांत मॉडल M की संरचना है जो T के लिए एक मॉडल है। जिसमे M के सभी अनुक्रम सम्मिलित हैं।

परिभाषा

माना कि $L=\langle \in \rangle$ समुच्चय सिद्धांत की भाषा है। मान लीजिए कि S एक विशेष समुच्चय सिद्धांत है। उदाहरण के लिए जेडएफसी सिद्धान्त अभिगृहीत और T संभवतः S के समान भी $L$ में एक सिद्धांत है।

यदि M, S के लिए एक मॉडल है और N की $L$ संरचना है जैसे कि:

1. N, M की एक उपसंरचना है, अर्थात $\in _{N}$ में $\in _{N}$ की व्याख्या (मॉडल सिद्धांत) ${\in _{M}}\cap N^{2}$ है।
2. N, T के लिए एक मॉडल है।
3. N का डोमेन M का सकर्मक वर्ग है।
4. N में M की सभी क्रमिक संख्याएँ सम्मिलित हैं।

तब हम कह सकते है कि N, T का आंतरिक मॉडल है। सामान्यतः T, S के बराबर या सम्मिलित होता है। क्योकि N, S के मॉडल M के 'अंदर' S के लिए एक मॉडल होता है।

यदि केवल नियम 1 और 2 प्रयुक्त होता हैं, तो N को T का मानक मॉडल (M) कहा जाता है, T का मानक उपमॉडल (यदि S = T और) N, M में एक समुच्चय है। M में T का मॉडल N सकर्मक कहलाता है जब यह मानक और स्थिति 3 होती है। यदि मूल सिद्धांत के स्वयंसिद्ध को नहीं माना जाता है। अर्थात S में नहीं है तो इन तीनों अवधारणाओं को अतिरिक्त शर्त दी जाती है कि N अच्छी तरह से स्थापित हो। इसलिए आंतरिक मॉडल सकर्मक हैं और सकर्मक मॉडल मानक हैं क्योकि मानक मॉडल अच्छी तरह से स्थापित हैं।

इस धारणा मे जेडएफसी सिद्धान्त (किसी दिए गए ब्रह्मांड में) का मानक उपमॉडल सम्मिलित है। जो धारणा से अधिक जटिल है कि एक मॉडल सम्मिलित है। वास्तव में यदि कोई मानक उपमॉडल है, तो एक सबसे छोटा मानक उपमॉडल है। जिसे सभी मानक उपमॉडल में निहित 'न्यूनतम मॉडल (समुच्चय सिद्धांत)' कहा जाता है। न्यूनतम उपमॉडल में कोई मानक उपमॉडल नहीं होता है क्योंकि यह न्यूनतम है लेकिन (जेडएफसी की निरंतरता को मानते हुए) इसमें गोडेल पूर्णता प्रमेय द्वारा जेडएफसी सिद्धान्त का कुछ मॉडल सम्मिलित है। यह मॉडल आवश्यक रूप से अच्छी तरह से स्थापित नहीं है अन्यथा इसका मोस्टोव्स्की पतन एक मानक उपमॉडल हो सकता है। यह ब्रह्मांड में एक संबंध के रूप में अच्छी तरह से स्थापित नहीं है, हालांकि यह मूल सिद्धांत के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करता है। इसलिए आंतरिक रूप से स्थापित है। अपेक्षाकृत अच्छी प्रकार से स्थापित होना एक पूर्ण विशेषता नहीं है। विशेष रूप से न्यूनतम उपमॉडल में जेडएफसी सिद्धान्त का एक मॉडल है लेकिन जेडएफसी सिद्धान्त का कोई मानक उपमॉडल नहीं है।

प्रयोग

सामान्यतः जब कोई सिद्धांत के आंतरिक मॉडल के विषय में चर्चा करता है, तो जिस सिद्धांत पर चर्चा की जा रही है वह जेडएफसी या जेडएफसी सिद्धान्त का कुछ विस्तार है। जैसे ZFC+$\exists$ एक औसत भाग कि गणना सम्मिलित है। जब किसी सिद्धांत का उल्लेख नहीं किया जाता है, तो सामान्यतः यह माना जाता है कि चर्चा के अंतर्गत मॉडल जेडएफसी सिद्धान्त का आंतरिक मॉडल है। हालाँकि, जेडएफसी (जैसे ZF या KP) के आंतरिक मॉडलों के आंतरिक मॉडल के विषय में चर्चा करना असामान्य नहीं होता है।

संबंधित विचार

कर्ट गोडेल द्वारा यह सिद्ध किया गया था कि जेडएफ सिद्धान्त के किसी भी मॉडल में जेडएफ का कम से कम आंतरिक मॉडल होता है जो कि ZFC + GCH का एक आंतरिक मॉडल है। जिसे रचनात्मक समष्टि या L कहा जाता है।

समुच्चय सिद्धांत की यह एक शाखा है जिसे इनर मॉडल सिद्धान्त कहा जाता है, जो ZF को विस्तारित करने वाले सिद्धांतों के कम से कम आंतरिक मॉडल के निर्माण के प्रकारों का अध्ययन करता है। आंतरिक मॉडल सिद्धांत ने कई महत्वपूर्ण समुच्चय सैद्धांतिक गुणों की समुचित समष्टि घात की खोज की है।

यह भी देखें

• गणनीय सकर्मक मॉडल और सामान्य फ़िल्टर