बॉर्न रूल: Difference between revisions

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* मापा गया परिणाम [[आइगेनवैल्यूज़ एवं आइगेनवेक्टर्स]] में से एक होगा, <math>\lambda</math> का <math>A</math>, और
* मापा गया परिणाम [[आइगेनवैल्यूज़ एवं आइगेनवेक्टर्स]] में से एक होगा, <math>\lambda</math> का <math>A</math>, और
* किसी दिए गए स्वदेशी मान को मापने की संभावना <math>\lambda_i</math> के समान <math>\lang\psi|P_i|\psi\rang</math> होगा , जहाँ <math>P_i</math> के [[आइगेनवैल्यूज़ एवं आइगेनवेक्टर्स|आइगेन]] पर <math>A</math> तदनुसार <math>\lambda_i</math>प्रक्षेपण है  
* किसी दिए गए स्वदेशी मान को मापने की संभावना <math>\lambda_i</math> के समान <math>\lang\psi|P_i|\psi\rang</math> होगा , जहाँ <math>P_i</math> के [[आइगेनवैल्यूज़ एवं आइगेनवेक्टर्स|आइगेन]] पर <math>A</math> तदनुसार <math>\lambda_i</math>प्रक्षेपण है  
: (उस विषय में जहां का <math>A</math> तदनुसार <math>\lambda_i</math> आइगेनस्पेस आयामी है और सामान्यीकृत ईजेनवेक्टर द्वारा विस्तृत किया गया है <math>|\lambda_i\rang</math>, <math>P_i</math> के समान <math>|\lambda_i\rang\lang\lambda_i|</math> है, तो संभावना <math>\lang\psi|P_i|\psi\rang</math> के समान <math>\lang\psi|\lambda_i\rang\lang\lambda_i|\psi\rang</math> है। सम्मिश्र संख्या के बाद से <math>\lang\lambda_i|\psi\rang</math> [[संभाव्यता आयाम]] के रूप में जाना जाता है कि राज्य वेक्टर <math>|\psi\rang</math> आइगेनवेक्टर <math>|\lambda_i\rang</math> को असाइन करता है, बोर्न नियम का वर्णन यह कहते हुए करना आम है कि संभाव्यता आयाम-वर्ग के समान है (वास्तव में आयाम अपने स्वयं के जटिल संयुग्म का समय है)। समान रूप से, संभाव्यता को इस प्रकार <math>\big|\lang\lambda_i|\psi\rang\big|^2</math>लिखा जा सकता है।
: (उस विषय में जहां का <math>A</math> तदनुसार <math>\lambda_i</math> आइगेनस्पेस आयामी है और सामान्यीकृत ईजेनवेक्टर द्वारा विस्तृत किया गया है <math>|\lambda_i\rang</math>, <math>P_i</math> के समान <math>|\lambda_i\rang\lang\lambda_i|</math> है, तो संभावना <math>\lang\psi|P_i|\psi\rang</math> के समान <math>\lang\psi|\lambda_i\rang\lang\lambda_i|\psi\rang</math> है। सम्मिश्र संख्या के पश्चात से <math>\lang\lambda_i|\psi\rang</math> [[संभाव्यता आयाम]] के रूप में जाना जाता है कि राज्य वेक्टर <math>|\psi\rang</math> आइगेनवेक्टर <math>|\lambda_i\rang</math> को असाइन करता है, बोर्न नियम का वर्णन यह कहते हुए करना आम है कि संभाव्यता आयाम-वर्ग के समान है (वास्तव में आयाम अपने स्वयं के जटिल संयुग्म का समय है)। समान रूप से, संभाव्यता को इस प्रकार <math>\big|\lang\lambda_i|\psi\rang\big|^2</math>लिखा जा सकता है।


ऐसे विषय में जहां का स्पेक्ट्रम <math>A</math> पूरी तरह से असतत नहीं है, [[वर्णक्रमीय प्रमेय]] एक निश्चित [[प्रक्षेपण-मूल्य माप]] के अस्तित्व को साबित करता है <math>Q</math>, का वर्णक्रमीय माप <math>A</math>. इस विषय में:
ऐसे विषय में जहां का स्पेक्ट्रम <math>A</math> पूर्ण रूप से असतत नहीं है, [[वर्णक्रमीय प्रमेय]] निश्चित [[प्रक्षेपण-मूल्य माप]] <math>Q</math> के अस्तित्व का परिमाण देता है, <math>A</math> का वर्णक्रमीय माप इस विषय में:
* संभावना है कि माप का परिणाम एक मापने योग्य सेट में निहित है <math>M</math> द्वारा दिया गया है <math>\lang\psi|Q(M)|\psi\rang</math>.
* संभावना है कि माप का परिणाम मापने योग्य समुच्च्य <math>M</math> में निहित है जो <math>\lang\psi|Q(M)|\psi\rang</math> द्वारा दिया गया है।


एक तरंग फलन <math>\psi</math> अंतरिक्ष स्थिति में एकल संरचनाहीन कण के लिए <math>(x, y, z)</math> तात्पर्य यह है कि संभाव्यता घनत्व फलन <math>p</math> समय पर कणों की स्थिति की माप के लिए <math>t_0</math> है:
तरंग फलन <math>\psi</math> अंतरिक्ष स्थिति <math>(x, y, z)</math> में एकल संरचनाहीन कण का तात्पर्य यह है कि संभाव्यता घनत्व फलन <math>p</math> समय <math>t_0</math> पर कणों की स्थिति की माप के लिए


: <math>p(x, y, z, t_0) = |\psi(x, y, z, t_0)|^2.</math>
: <math>p(x, y, z, t_0) = |\psi(x, y, z, t_0)|^2</math>है।
कुछ अनुप्रयोगों में, बॉर्न नियम के इस उपचार को [[POVM]]|पॉजिटिव-ऑपरेटर-वैल्यू उपायों का उपयोग करके सामान्यीकृत किया जाता है। पीओवीएम एक [[माप (गणित)]] है जिसका मान [[मैट्रिक्स की निश्चितता]] है | [[ हिल्बर्ट स्थान ]] पर सकारात्मक अर्ध-निश्चित ऑपरेटर। पीओवीएम वॉन न्यूमैन माप का एक सामान्यीकरण है और, तदनुसार, पीओवीएम द्वारा वर्णित क्वांटम माप स्व-सहायक वेधशालाओं द्वारा वर्णित क्वांटम माप का एक सामान्यीकरण है। मोटे तौर पर सादृश्य में, एक पीओवीएम एक पीवीएम के लिए वही है जो एक क्वांटम अवस्था#मिश्रित अवस्था एक क्वांटम अवस्था#शुद्ध अवस्था के लिए है। किसी बड़े प्राणाली के उपतंत्र की स्थिति को निर्दिष्ट करने के लिए मिश्रित अवस्थाओं की आवश्यकता होती है ([[क्वांटम अवस्था की शुद्धि]] देखें); समान रूप से, पीओवीएम एक बड़े प्राणाली पर किए गए प्रोजेक्टिव माप के सबप्राणाली पर प्रभाव का वर्णन करने के लिए आवश्यक हैं। पीओवीएम क्वांटम यांत्रिकी में सबसे सामान्य प्रकार का माप है और इसका उपयोग [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] में भी किया जा सकता है।<ref>{{cite journal |last1=Peres |first1=Asher |author-link1=Asher Peres |last2=Terno |first2=Daniel R. |title=क्वांटम सूचना और सापेक्षता सिद्धांत|journal=[[Reviews of Modern Physics]] |volume=76 |number=1 |year=2004 |pages=93–123 |arxiv=quant-ph/0212023 |doi=10.1103/RevModPhys.76.93 |bibcode=2004RvMP...76...93P |s2cid=7481797 }}</ref> क्वांटम सूचना के क्षेत्र में इनका बड़े पैमाने पर उपयोग किया जाता है।
कुछ अनुप्रयोगों में, बॉर्न नियम के इस उपचार को सकारात्मक-ऑपरेटर-मूल्यवान उपायों का उपयोग करके सामान्यीकृत किया जाता है। पीओवीएम [[माप (गणित)|माप]] है जिसका मान[[ हिल्बर्ट स्थान ]]पर सकारात्मक अर्ध-निश्चित ऑपरेटर है। पीओवीएम वॉन न्यूमैन माप का सामान्यीकरण है और, तदनुसार, पीओवीएम द्वारा वर्णित क्वांटम माप स्व-सहायक वेधशालाओं द्वारा वर्णित क्वांटम माप का सामान्यीकरण है। सादृश्य में, पीओवीएम, पीवीएम के लिए वही है जो मिश्रित अवस्था शुद्ध अवस्था के लिए है। किसी बड़े प्राणाली के उपतंत्र की स्थिति को निर्दिष्ट करने के लिए मिश्रित अवस्थाओं की आवश्यकता होती है ([[क्वांटम अवस्था की शुद्धि]] देखें); समान रूप से, पीओवीएम बड़े प्राणाली पर किए गए प्रोजेक्टिव माप के सबप्राणाली पर प्रभाव का वर्णन करने के लिए आवश्यक हैं। पीओवीएम क्वांटम यांत्रिकी में सबसे सामान्य प्रकार का माप है और इसका उपयोग [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] में भी किया जा सकता है।<ref>{{cite journal |last1=Peres |first1=Asher |author-link1=Asher Peres |last2=Terno |first2=Daniel R. |title=क्वांटम सूचना और सापेक्षता सिद्धांत|journal=[[Reviews of Modern Physics]] |volume=76 |number=1 |year=2004 |pages=93–123 |arxiv=quant-ph/0212023 |doi=10.1103/RevModPhys.76.93 |bibcode=2004RvMP...76...93P |s2cid=7481797 }}</ref> क्वांटम सूचना के क्षेत्र में इनका बड़े स्तर पर उपयोग किया जाता है।


सबसे सरल विषय में, परिमित-आयामी हिल्बर्ट स्थान पर कार्य करने वाले तत्वों की एक सीमित संख्या के साथ एक POVM, एक POVM एक मैट्रिक्स की निश्चितता का एक सेट है | सकारात्मक अर्ध-निश्चित [[मैट्रिक्स (गणित)]] <math>\{F_i\}</math> हिल्बर्ट स्थान पर <math>\mathcal{H}</math> पहचान मैट्रिक्स का योग,<ref name="mike_ike">{{Cite book |last1=Nielsen |first=Michael A. |author-link1=Michael Nielsen |last2=Chuang |first2=Isaac L. |author-link2=Isaac Chuang |title=क्वांटम संगणना और क्वांटम सूचना|title-link=क्वांटम संगणना और क्वांटम सूचना |publisher=[[Cambridge University Press]] |location=Cambridge |year=2000 |edition=1st |oclc=634735192 |isbn=978-0-521-63503-5}}</ref>{{rp|90}}:
सबसे सरल विषय में, परिमित-आयामी हिल्बर्ट स्थान पर कार्य करने वाले तत्वों की एक सीमित संख्या के साथ एक POVM, एक POVM एक मैट्रिक्स की निश्चितता का एक समुच्च्य है | सकारात्मक अर्ध-निश्चित [[मैट्रिक्स (गणित)]] <math>\{F_i\}</math> हिल्बर्ट स्थान पर <math>\mathcal{H}</math> पहचान मैट्रिक्स का योग,<ref name="mike_ike">{{Cite book |last1=Nielsen |first=Michael A. |author-link1=Michael Nielsen |last2=Chuang |first2=Isaac L. |author-link2=Isaac Chuang |title=क्वांटम संगणना और क्वांटम सूचना|title-link=क्वांटम संगणना और क्वांटम सूचना |publisher=[[Cambridge University Press]] |location=Cambridge |year=2000 |edition=1st |oclc=634735192 |isbn=978-0-521-63503-5}}</ref>{{rp|90}}:


: <math>\sum_{i=1}^n F_i = I.</math>
: <math>\sum_{i=1}^n F_i = I.</math>
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===अधिक बुनियादी सिद्धांतों से व्युत्पत्ति===
===अधिक बुनियादी सिद्धांतों से व्युत्पत्ति===
ग्लीसन के प्रमेय से पता चलता है कि बोर्न नियम को क्वांटम भौतिकी में माप के सामान्य गणितीय प्रतिनिधित्व के साथ-साथ [[क्वांटम प्रासंगिकता]] | गैर-संदर्भ की धारणा से प्राप्त किया जा सकता है। एंड्रयू एम. ग्लीसन ने पहली बार 1957 में प्रमेय सिद्ध किया,<ref name="gleason1957">{{cite journal |first=Andrew M. |author-link=Andrew M. Gleason |year = 1957 |title = हिल्बर्ट स्थान के बंद उपस्थानों पर उपाय|url = http://www.iumj.indiana.edu/IUMJ/FULLTEXT/1957/6/56050 |journal = [[Indiana University Mathematics Journal]] |volume = 6 |issue=4 |pages = 885–893 |doi=10.1512/iumj.1957.6.56050 |mr=0096113 |last = Gleason |doi-access = free}}</ref> जॉर्ज मैके|जॉर्ज डब्ल्यू मैके द्वारा पूछे गए एक प्रश्न से प्रेरित।<ref>{{Cite journal |last=Mackey |first=George W. |author-link=George Mackey |title=क्वांटम मैकेनिक्स और हिल्बर्ट स्पेस|journal=[[The American Mathematical Monthly]] |year=1957 |volume=64 |number=8P2 |pages=45–57 |doi=10.1080/00029890.1957.11989120 |jstor=2308516}}</ref><ref name="chernoff2009">{{Cite journal|last=Chernoff |first=Paul R. |author-link=Paul Chernoff |title=एंडी ग्लीसन और क्वांटम मैकेनिक्स|date=November 2009 |journal=[[Notices of the AMS]] |volume=56 |number=10 |pages=1253–1259 |url=https://www.ams.org/notices/200910/rtx091001236p.pdf}}</ref> यह प्रमेय ऐतिहासिक रूप से महत्वपूर्ण था क्योंकि इसने यह दिखाने में भूमिका निभाई कि छुपे-चर सिद्धांत की विस्तृत श्रेणियाँ|छिपे हुए-चर सिद्धांत क्वांटम भौतिकी के साथ असंगत हैं।<ref name="mermin1993">{{Cite journal |last=Mermin |first=N. David |author-link=David Mermin |date=1993-07-01 |title=छिपे हुए चर और जॉन बेल के दो प्रमेय|journal=[[Reviews of Modern Physics]] |volume=65 |issue=3 |pages=803–815 |doi=10.1103/RevModPhys.65.803 |bibcode=1993RvMP...65..803M |arxiv=1802.10119 |s2cid=119546199}}</ref>
ग्लीसन के प्रमेय से पता चलता है कि बोर्न नियम को क्वांटम भौतिकी में माप के सामान्य गणितीय प्रतिनिधित्व के साथ-साथ [[क्वांटम प्रासंगिकता]] | गैर-संदर्भ की धारणा से प्राप्त किया जा सकता है। एंड्रयू एम. ग्लीसन ने पहली बार 1957 में प्रमेय सिद्ध किया,<ref name="gleason1957">{{cite journal |first=Andrew M. |author-link=Andrew M. Gleason |year = 1957 |title = हिल्बर्ट स्थान के बंद उपस्थानों पर उपाय|url = http://www.iumj.indiana.edu/IUMJ/FULLTEXT/1957/6/56050 |journal = [[Indiana University Mathematics Journal]] |volume = 6 |issue=4 |pages = 885–893 |doi=10.1512/iumj.1957.6.56050 |mr=0096113 |last = Gleason |doi-access = free}}</ref> जॉर्ज मैके|जॉर्ज डब्ल्यू मैके द्वारा पूछे गए एक प्रश्न से प्रेरित।<ref>{{Cite journal |last=Mackey |first=George W. |author-link=George Mackey |title=क्वांटम मैकेनिक्स और हिल्बर्ट स्पेस|journal=[[The American Mathematical Monthly]] |year=1957 |volume=64 |number=8P2 |pages=45–57 |doi=10.1080/00029890.1957.11989120 |jstor=2308516}}</ref><ref name="chernoff2009">{{Cite journal|last=Chernoff |first=Paul R. |author-link=Paul Chernoff |title=एंडी ग्लीसन और क्वांटम मैकेनिक्स|date=November 2009 |journal=[[Notices of the AMS]] |volume=56 |number=10 |pages=1253–1259 |url=https://www.ams.org/notices/200910/rtx091001236p.pdf}}</ref> यह प्रमेय ऐतिहासिक रूप से महत्वपूर्ण था क्योंकि इसने यह दिखाने में भूमिका निभाई कि छुपे-चर सिद्धांत की विस्तृत श्रेणियाँ|छिपे हुए-चर सिद्धांत क्वांटम भौतिकी के साथ असंगत हैं।<ref name="mermin1993">{{Cite journal |last=Mermin |first=N. David |author-link=David Mermin |date=1993-07-01 |title=छिपे हुए चर और जॉन बेल के दो प्रमेय|journal=[[Reviews of Modern Physics]] |volume=65 |issue=3 |pages=803–815 |doi=10.1103/RevModPhys.65.803 |bibcode=1993RvMP...65..803M |arxiv=1802.10119 |s2cid=119546199}}</ref>
कई अन्य शोधकर्ताओं ने भी बोर्न नियम को अधिक बुनियादी सिद्धांतों से प्राप्त करने का प्रयास किया है। अनेक जगतों की व्याख्या के संदर्भ में अनेक व्युत्पत्तियाँ प्रस्तावित की गई हैं। इनमें [[ डेविड जर्मन ]] द्वारा प्रवर्तित निर्णय-सिद्धांत दृष्टिकोण शामिल है<ref>{{cite journal |last1=Deutsch |first1=David |author-link=David Deutsch |title=संभाव्यता और निर्णय का क्वांटम सिद्धांत|journal=Proceedings of the Royal Society A |date=8 August 1999 |volume=455 |issue=1988 |pages=3129–3137 |doi=10.1098/rspa.1999.0443 |arxiv=quant-ph/9906015 |s2cid=5217034 |url=https://royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rspa.1999.0443 |access-date=December 5, 2022 |ref=deutsch}}</ref> और बाद में [[हिलेरी ग्रीव्स]] द्वारा विकसित किया गया<ref>{{cite journal |last1=Greaves |first1=Hilary |title=एवरेट व्याख्या में संभाव्यता|journal=Philosophy Compass |date=21 December 2006 |volume=2 |issue=1 |pages=109–128 |doi=10.1111/j.1747-9991.2006.00054.x |url=https://compass.onlinelibrary.wiley.com/doi/full/10.1111/j.1747-9991.2006.00054.x |access-date=6 December 2022 |ref=greaves}}</ref> और डेविड वालेस;<ref>{{Cite arXiv|last1=Wallace |first1=David |title=निर्णय-सैद्धांतिक मान्यताओं से जन्मे नियम का एक औपचारिक प्रमाण|year=2009 |class=quant-ph |eprint=0906.2718 |ref=wallace}}</ref> और वोज्शिएच एच. ज़्यूरेक द्वारा एक प्रतिशोधात्मक दृष्टिकोण;<ref>{{cite journal |last1=Zurek |first1=Wojciech H. |title=उलझाव से संभावनाएँ, प्रतिलोम से बोर्न का नियम|journal=Physical Review A |date=25 May 2005 |volume=71 |page=052105 |doi=10.1103/PhysRevA.71.052105 |arxiv=quant-ph/0405161 |url=https://journals.aps.org/pra/abstract/10.1103/PhysRevA.71.052105 |access-date=6 December 2022 |ref=zurek}}</ref> हालाँकि, इन सबूतों की सर्कुलर के रूप में आलोचना की गई है।<ref>{{cite book |first=N. P. |last=Landsman |chapter-url=https://www.math.ru.nl/~landsman/Born.pdf |quote=निष्कर्ष यह प्रतीत होता है कि बोर्न नियम की कोई आम तौर पर स्वीकृत व्युत्पत्ति आज तक नहीं दी गई है, लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि ऐसी व्युत्पत्ति सैद्धांतिक रूप से असंभव है|chapter=The Born rule and its interpretation |title=क्वांटम भौतिकी का संग्रह|editor-first=F. |editor-last=Weinert |editor2-first=K. |editor2-last=Hentschel |editor3-first=D. |editor3-last=Greenberger |editor4-first=B. |editor4-last=Falkenburg |publisher=Springer |year=2008 |isbn=978-3-540-70622-9 }}</ref> अभी हाल ही में, चार्ल्स सेबेंस और सीन एम. कैरोल द्वारा स्व-पता लगाने की अनिश्चितता पर आधारित एक दृष्टिकोण का सुझाव दिया गया है।<ref>{{cite journal |last1=Sebens |first1=Charles T. |last2=Carroll |first2=Sean M. |date=March 2018 |title=एवरेटियन क्वांटम यांत्रिकी में स्व-पता लगाने वाली अनिश्चितता और संभावना की उत्पत्ति|journal=The British Journal for the Philosophy of Science |volume=69 |issue=1 |pages=25–74 |doi=10.1093/bjps/axw004 |ref=sebens-carroll|doi-access=free }}</ref>
कई अन्य शोधकर्ताओं ने भी बोर्न नियम को अधिक बुनियादी सिद्धांतों से प्राप्त करने का प्रयास किया है। अनेक जगतों की व्याख्या के संदर्भ में अनेक व्युत्पत्तियाँ प्रस्तावित की गई हैं। इनमें [[ डेविड जर्मन ]] द्वारा प्रवर्तित निर्णय-सिद्धांत दृष्टिकोण शामिल है<ref>{{cite journal |last1=Deutsch |first1=David |author-link=David Deutsch |title=संभाव्यता और निर्णय का क्वांटम सिद्धांत|journal=Proceedings of the Royal Society A |date=8 August 1999 |volume=455 |issue=1988 |pages=3129–3137 |doi=10.1098/rspa.1999.0443 |arxiv=quant-ph/9906015 |s2cid=5217034 |url=https://royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rspa.1999.0443 |access-date=December 5, 2022 |ref=deutsch}}</ref> और पश्चात में [[हिलेरी ग्रीव्स]] द्वारा विकसित किया गया<ref>{{cite journal |last1=Greaves |first1=Hilary |title=एवरेट व्याख्या में संभाव्यता|journal=Philosophy Compass |date=21 December 2006 |volume=2 |issue=1 |pages=109–128 |doi=10.1111/j.1747-9991.2006.00054.x |url=https://compass.onlinelibrary.wiley.com/doi/full/10.1111/j.1747-9991.2006.00054.x |access-date=6 December 2022 |ref=greaves}}</ref> और डेविड वालेस;<ref>{{Cite arXiv|last1=Wallace |first1=David |title=निर्णय-सैद्धांतिक मान्यताओं से जन्मे नियम का एक औपचारिक प्रमाण|year=2009 |class=quant-ph |eprint=0906.2718 |ref=wallace}}</ref> और वोज्शिएच एच. ज़्यूरेक द्वारा एक प्रतिशोधात्मक दृष्टिकोण;<ref>{{cite journal |last1=Zurek |first1=Wojciech H. |title=उलझाव से संभावनाएँ, प्रतिलोम से बोर्न का नियम|journal=Physical Review A |date=25 May 2005 |volume=71 |page=052105 |doi=10.1103/PhysRevA.71.052105 |arxiv=quant-ph/0405161 |url=https://journals.aps.org/pra/abstract/10.1103/PhysRevA.71.052105 |access-date=6 December 2022 |ref=zurek}}</ref> हालाँकि, इन सबूतों की सर्कुलर के रूप में आलोचना की गई है।<ref>{{cite book |first=N. P. |last=Landsman |chapter-url=https://www.math.ru.nl/~landsman/Born.pdf |quote=निष्कर्ष यह प्रतीत होता है कि बोर्न नियम की कोई आम तौर पर स्वीकृत व्युत्पत्ति आज तक नहीं दी गई है, लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि ऐसी व्युत्पत्ति सैद्धांतिक रूप से असंभव है|chapter=The Born rule and its interpretation |title=क्वांटम भौतिकी का संग्रह|editor-first=F. |editor-last=Weinert |editor2-first=K. |editor2-last=Hentschel |editor3-first=D. |editor3-last=Greenberger |editor4-first=B. |editor4-last=Falkenburg |publisher=Springer |year=2008 |isbn=978-3-540-70622-9 }}</ref> अभी हाल ही में, चार्ल्स सेबेंस और सीन एम. कैरोल द्वारा स्व-पता लगाने की अनिश्चितता पर आधारित एक दृष्टिकोण का सुझाव दिया गया है।<ref>{{cite journal |last1=Sebens |first1=Charles T. |last2=Carroll |first2=Sean M. |date=March 2018 |title=एवरेटियन क्वांटम यांत्रिकी में स्व-पता लगाने वाली अनिश्चितता और संभावना की उत्पत्ति|journal=The British Journal for the Philosophy of Science |volume=69 |issue=1 |pages=25–74 |doi=10.1093/bjps/axw004 |ref=sebens-carroll|doi-access=free }}</ref>
यह भी दावा किया गया है कि पायलट-वेव सिद्धांत का उपयोग बोर्न नियम को सांख्यिकीय रूप से प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है, हालांकि यह विवादास्पद बना हुआ है।<ref>{{cite book |chapter=Bohmian Mechanics |title=[[Stanford Encyclopedia of Philosophy]] |chapter-url=https://plato.stanford.edu/entries/qm-bohm/ |year=2017 |publisher=Metaphysics Research Lab, Stanford University |editor-first=Edward N. |editor-last=Zalta |first=Sheldon |last=Goldstein}}</ref> कास्टनर का दावा है कि बोर्न नियम के लिए भौतिक स्पष्टीकरण देने में लेनदेन संबंधी व्याख्या अद्वितीय है।<ref>{{cite book |title=क्वांटम यांत्रिकी की लेन-देन संबंधी व्याख्या|url=https://archive.org/details/transactionalint00kast |url-access=limited |first=R. E. |last=Kastner |publisher=Cambridge University Press |year=2013 |isbn=978-0-521-76415-5 |page=[https://archive.org/details/transactionalint00kast/page/n44 35] }}</ref>
यह भी दावा किया गया है कि पायलट-वेव सिद्धांत का उपयोग बोर्न नियम को सांख्यिकीय रूप से प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है, हालांकि यह विवादास्पद बना हुआ है।<ref>{{cite book |chapter=Bohmian Mechanics |title=[[Stanford Encyclopedia of Philosophy]] |chapter-url=https://plato.stanford.edu/entries/qm-bohm/ |year=2017 |publisher=Metaphysics Research Lab, Stanford University |editor-first=Edward N. |editor-last=Zalta |first=Sheldon |last=Goldstein}}</ref> कास्टनर का दावा है कि बोर्न नियम के लिए भौतिक स्पष्टीकरण देने में लेनदेन संबंधी व्याख्या अद्वितीय है।<ref>{{cite book |title=क्वांटम यांत्रिकी की लेन-देन संबंधी व्याख्या|url=https://archive.org/details/transactionalint00kast |url-access=limited |first=R. E. |last=Kastner |publisher=Cambridge University Press |year=2013 |isbn=978-0-521-76415-5 |page=[https://archive.org/details/transactionalint00kast/page/n44 35] }}</ref>
2019 में, [[सैद्धांतिक भौतिकी के लिए परिधि संस्थान]] के लुईस मैसेन्स और थॉमस गैली और [[क्वांटम ऑप्टिक्स और क्वांटम सूचना संस्थान]] के मार्कस मुलर ने बोर्न नियम की व्युत्पत्ति प्रस्तुत की।<ref>{{cite journal |last1=Masanes |first1=Lluís |last2=Galley |first2=Thomas |last3=Müller |first3=Markus |url= |title=क्वांटम यांत्रिकी के माप सिद्धांत परिचालन रूप से अनावश्यक हैं|journal=[[Nature Communications]] |volume=10 |year=2019 |issue=1 |page=1361 |doi=10.1038/s41467-019-09348-x |pmid=30911009 |pmc=6434053 |arxiv=1811.11060 |bibcode=2019NatCo..10.1361M }}</ref> हालाँकि उनका परिणाम ग्लीसन के प्रमेय के समान प्रारंभिक मान्यताओं का उपयोग नहीं करता है, यह हिल्बर्ट-स्पेस संरचना और एक प्रकार की संदर्भ स्वतंत्रता का अनुमान लगाता है।<ref>{{cite web |last=Ball |first=Philip |author-link=Philip Ball |date=February 13, 2019 |title=रहस्यमय क्वांटम नियम खरोंच से पुनर्निर्माण किया गया|url=https://www.quantamagazine.org/the-born-rule-has-been-derived-from-simple-physical-principles-20190213/ |url-status=live |website=[[Quanta Magazine]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20190213180115/https://www.quantamagazine.org/the-born-rule-has-been-derived-from-simple-physical-principles-20190213/ |archive-date=2019-02-13 }}</ref>
2019 में, [[सैद्धांतिक भौतिकी के लिए परिधि संस्थान]] के लुईस मैसेन्स और थॉमस गैली और [[क्वांटम ऑप्टिक्स और क्वांटम सूचना संस्थान]] के मार्कस मुलर ने बोर्न नियम की व्युत्पत्ति प्रस्तुत की।<ref>{{cite journal |last1=Masanes |first1=Lluís |last2=Galley |first2=Thomas |last3=Müller |first3=Markus |url= |title=क्वांटम यांत्रिकी के माप सिद्धांत परिचालन रूप से अनावश्यक हैं|journal=[[Nature Communications]] |volume=10 |year=2019 |issue=1 |page=1361 |doi=10.1038/s41467-019-09348-x |pmid=30911009 |pmc=6434053 |arxiv=1811.11060 |bibcode=2019NatCo..10.1361M }}</ref> हालाँकि उनका परिणाम ग्लीसन के प्रमेय के समान प्रारंभिक मान्यताओं का उपयोग नहीं करता है, यह हिल्बर्ट-स्पेस संरचना और एक प्रकार की संदर्भ स्वतंत्रता का अनुमान लगाता है।<ref>{{cite web |last=Ball |first=Philip |author-link=Philip Ball |date=February 13, 2019 |title=रहस्यमय क्वांटम नियम खरोंच से पुनर्निर्माण किया गया|url=https://www.quantamagazine.org/the-born-rule-has-been-derived-from-simple-physical-principles-20190213/ |url-status=live |website=[[Quanta Magazine]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20190213180115/https://www.quantamagazine.org/the-born-rule-has-been-derived-from-simple-physical-principles-20190213/ |archive-date=2019-02-13 }}</ref>

Revision as of 14:59, 16 July 2023

Not to be confused with Cauchy–Born rule or Born approximation.
के बारे में लेखों की एक श्रृंखला का हिस्सा
क्वांटम यांत्रिकी
श्रोडिंगर समीकरण
पृष्ठभूमि
बुनियादी बातों
* पूरक
प्रयोगों
* बेल की असमानता
* क्वांटम इरेज़र
  • स्टर्न & ndash; gerlach
  • व्हीलर की देरी-पसंद
    		•
    योगों
    * हाइजेनबर्ग
    समीकरण
    * dirac
    व्याख्याओं
    * बेयसियन
    उन्नत विषय
    वैज्ञानिक
    * अहरोनोव

    बोर्न नियम क्वांटम यांत्रिकी का सिद्धांत है जो यह संभावना देता है कि क्वांटम यांत्रिकी में माप से निश्चित परिणाम प्राप्त होगा।[1] अपने सरलतम रूप में, यह बताता है कि किसी दिए गए राज्य में प्रणाली को खोजने की संभाव्यता घनत्व, जब मापा जाता है, तो उस राज्य में प्राणाली के तरंग फलन के आयाम के वर्ग के समानुपाती होता है। इसे 1926 में जर्मन भौतिक विज्ञानी मैक्स बोर्न द्वारा तैयार किया गया था।

    विवरण

    बोर्न नियम में कहा गया है कि यदि स्व-सहायक ऑपरेटर के अनुरूप अवलोकन योग्य है असतत स्पेक्ट्रम वाले को सामान्यीकृत तरंग फलन वाले प्राणाली में मापा जाता है (ब्रा-केट नोटेशन देखें), फिर:

    • मापा गया परिणाम आइगेनवैल्यूज़ एवं आइगेनवेक्टर्स में से एक होगा, का , और
    • किसी दिए गए स्वदेशी मान को मापने की संभावना के समान होगा , जहाँ के आइगेन पर तदनुसार प्रक्षेपण है
    (उस विषय में जहां का तदनुसार आइगेनस्पेस आयामी है और सामान्यीकृत ईजेनवेक्टर द्वारा विस्तृत किया गया है , के समान है, तो संभावना के समान है। सम्मिश्र संख्या के पश्चात से संभाव्यता आयाम के रूप में जाना जाता है कि राज्य वेक्टर आइगेनवेक्टर को असाइन करता है, बोर्न नियम का वर्णन यह कहते हुए करना आम है कि संभाव्यता आयाम-वर्ग के समान है (वास्तव में आयाम अपने स्वयं के जटिल संयुग्म का समय है)। समान रूप से, संभाव्यता को इस प्रकार लिखा जा सकता है।

    ऐसे विषय में जहां का स्पेक्ट्रम पूर्ण रूप से असतत नहीं है, वर्णक्रमीय प्रमेय निश्चित प्रक्षेपण-मूल्य माप के अस्तित्व का परिमाण देता है, का वर्णक्रमीय माप इस विषय में:

    • संभावना है कि माप का परिणाम मापने योग्य समुच्च्य में निहित है जो द्वारा दिया गया है।

    तरंग फलन अंतरिक्ष स्थिति में एकल संरचनाहीन कण का तात्पर्य यह है कि संभाव्यता घनत्व फलन समय पर कणों की स्थिति की माप के लिए

    है।

    कुछ अनुप्रयोगों में, बॉर्न नियम के इस उपचार को सकारात्मक-ऑपरेटर-मूल्यवान उपायों का उपयोग करके सामान्यीकृत किया जाता है। पीओवीएम माप है जिसका मानहिल्बर्ट स्थान पर सकारात्मक अर्ध-निश्चित ऑपरेटर है। पीओवीएम वॉन न्यूमैन माप का सामान्यीकरण है और, तदनुसार, पीओवीएम द्वारा वर्णित क्वांटम माप स्व-सहायक वेधशालाओं द्वारा वर्णित क्वांटम माप का सामान्यीकरण है। सादृश्य में, पीओवीएम, पीवीएम के लिए वही है जो मिश्रित अवस्था शुद्ध अवस्था के लिए है। किसी बड़े प्राणाली के उपतंत्र की स्थिति को निर्दिष्ट करने के लिए मिश्रित अवस्थाओं की आवश्यकता होती है (क्वांटम अवस्था की शुद्धि देखें); समान रूप से, पीओवीएम बड़े प्राणाली पर किए गए प्रोजेक्टिव माप के सबप्राणाली पर प्रभाव का वर्णन करने के लिए आवश्यक हैं। पीओवीएम क्वांटम यांत्रिकी में सबसे सामान्य प्रकार का माप है और इसका उपयोग क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में भी किया जा सकता है।[2] क्वांटम सूचना के क्षेत्र में इनका बड़े स्तर पर उपयोग किया जाता है।

    सबसे सरल विषय में, परिमित-आयामी हिल्बर्ट स्थान पर कार्य करने वाले तत्वों की एक सीमित संख्या के साथ एक POVM, एक POVM एक मैट्रिक्स की निश्चितता का एक समुच्च्य है | सकारात्मक अर्ध-निश्चित मैट्रिक्स (गणित) हिल्बर्ट स्थान पर पहचान मैट्रिक्स का योग,[3]: 90 :

    POVM तत्व माप परिणाम से जुड़ा है , जैसे कि क्वांटम अवस्था पर माप करते समय इसे प्राप्त करने की संभावना द्वारा दिया गया है:

    जहाँ ट्रेस (रैखिक बीजगणित) ऑपरेटर है। यह बोर्न नियम का POVM संस्करण है। जब मापी जा रही क्वांटम अवस्था एक शुद्ध अवस्था होती है यह सूत्र कम हो जाता है:

    बोर्न नियम, समय विकास संचालक के एकात्मक संचालक के साथ (या, समकक्ष, हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) हर्मिटियन मैट्रिक्स होने के नाते, सिद्धांत की यूनिटेरिटी (भौतिकी) का तात्पर्य है, जिसे स्थिरता के लिए आवश्यक माना जाता है। उदाहरण के लिए, एकात्मकता यह सुनिश्चित करती है कि सभी संभावित परिणामों की संभावनाओं का योग 1 हो (हालाँकि यह इस विशेष आवश्यकता को प्राप्त करने के लिए क्वांटम चैनल है)[clarification needed]).

    इतिहास

    बोर्न नियम 1926 के एक पेपर में बोर्न द्वारा तैयार किया गया था।[4] इस पेपर में, बॉर्न एक प्रकीर्णन समस्या के लिए श्रोडिंगर समीकरण को हल करता है और, अल्बर्ट आइंस्टीन और आइंस्टीन के विचार प्रयोगों से प्रेरित होकर#पृष्ठभूमि: आइंस्टीन और क्वांटम|फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव के लिए आइंस्टीन का संभाव्य नियम,[5] एक फ़ुटनोट में निष्कर्ष निकाला गया है कि बोर्न नियम समाधान की एकमात्र संभावित व्याख्या देता है। 1954 में, वाल्थर बोथे के साथ, बॉर्न को इस और अन्य कार्य के लिए भौतिकी में नोबेल पुरस्कार से सम्मानित किया गया था।[5]जॉन वॉन न्यूमैन ने अपनी 1932 की पुस्तक में बॉर्न के नियम में वर्णक्रमीय सिद्धांत के अनुप्रयोग पर चर्चा की।[6]


    अधिक बुनियादी सिद्धांतों से व्युत्पत्ति

    ग्लीसन के प्रमेय से पता चलता है कि बोर्न नियम को क्वांटम भौतिकी में माप के सामान्य गणितीय प्रतिनिधित्व के साथ-साथ क्वांटम प्रासंगिकता | गैर-संदर्भ की धारणा से प्राप्त किया जा सकता है। एंड्रयू एम. ग्लीसन ने पहली बार 1957 में प्रमेय सिद्ध किया,[7] जॉर्ज मैके|जॉर्ज डब्ल्यू मैके द्वारा पूछे गए एक प्रश्न से प्रेरित।[8][9] यह प्रमेय ऐतिहासिक रूप से महत्वपूर्ण था क्योंकि इसने यह दिखाने में भूमिका निभाई कि छुपे-चर सिद्धांत की विस्तृत श्रेणियाँ|छिपे हुए-चर सिद्धांत क्वांटम भौतिकी के साथ असंगत हैं।[10] कई अन्य शोधकर्ताओं ने भी बोर्न नियम को अधिक बुनियादी सिद्धांतों से प्राप्त करने का प्रयास किया है। अनेक जगतों की व्याख्या के संदर्भ में अनेक व्युत्पत्तियाँ प्रस्तावित की गई हैं। इनमें डेविड जर्मन द्वारा प्रवर्तित निर्णय-सिद्धांत दृष्टिकोण शामिल है[11] और पश्चात में हिलेरी ग्रीव्स द्वारा विकसित किया गया[12] और डेविड वालेस;[13] और वोज्शिएच एच. ज़्यूरेक द्वारा एक प्रतिशोधात्मक दृष्टिकोण;[14] हालाँकि, इन सबूतों की सर्कुलर के रूप में आलोचना की गई है।[15] अभी हाल ही में, चार्ल्स सेबेंस और सीन एम. कैरोल द्वारा स्व-पता लगाने की अनिश्चितता पर आधारित एक दृष्टिकोण का सुझाव दिया गया है।[16] यह भी दावा किया गया है कि पायलट-वेव सिद्धांत का उपयोग बोर्न नियम को सांख्यिकीय रूप से प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है, हालांकि यह विवादास्पद बना हुआ है।[17] कास्टनर का दावा है कि बोर्न नियम के लिए भौतिक स्पष्टीकरण देने में लेनदेन संबंधी व्याख्या अद्वितीय है।[18] 2019 में, सैद्धांतिक भौतिकी के लिए परिधि संस्थान के लुईस मैसेन्स और थॉमस गैली और क्वांटम ऑप्टिक्स और क्वांटम सूचना संस्थान के मार्कस मुलर ने बोर्न नियम की व्युत्पत्ति प्रस्तुत की।[19] हालाँकि उनका परिणाम ग्लीसन के प्रमेय के समान प्रारंभिक मान्यताओं का उपयोग नहीं करता है, यह हिल्बर्ट-स्पेस संरचना और एक प्रकार की संदर्भ स्वतंत्रता का अनुमान लगाता है।[20] क्वांटम सिद्धांत की क्वांटम बायेसियनवाद व्याख्या के भीतर, बोर्न नियम को कुल संभाव्यता के मानक कानून के संशोधन के रूप में देखा जाता है, जो इसमें शामिल भौतिक प्रणाली के हिल्बर्ट अंतरिक्ष आयाम को ध्यान में रखता है। बोर्न नियम को प्राप्त करने की कोशिश करने के बजाय, जैसा कि क्वांटम यांत्रिकी की कई व्याख्याएं करती हैं, क्यूबीस्ट बोर्न नियम के सूत्रीकरण को आदिम मानते हैं और इससे जितना संभव हो उतना क्वांटम सिद्धांत प्राप्त करने का लक्ष्य रखते हैं।[21]


    संदर्भ

    1. ↑ The time evolution of a quantum system is entirely deterministic according to the Schrödinger equation. It is through the Born Rule that probability enters into the theory.
    2. ↑ Peres, Asher; Terno, Daniel R. (2004). "क्वांटम सूचना और सापेक्षता सिद्धांत". Reviews of Modern Physics. 76 (1): 93–123. arXiv:quant-ph/0212023. Bibcode:2004RvMP...76...93P. doi:10.1103/RevModPhys.76.93. S2CID 7481797.
    3. ↑ Nielsen, Michael A.; Chuang, Isaac L. (2000). क्वांटम संगणना और क्वांटम सूचना (1st ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-63503-5. OCLC 634735192.
    4. ↑ Born, Max (1926). "I.2". In Wheeler, J. A.; Zurek, W. H. (eds.). Zur Quantenmechanik der Stoßvorgänge [On the quantum mechanics of collisions]. pp. 863–867. Bibcode:1926ZPhy...37..863B. doi:10.1007/BF01397477. ISBN 978-0-691-08316-2. S2CID 119896026. {{cite book}}: |journal= ignored (help)
    5. ↑ 5.0 5.1 Born, Max (11 December 1954). "The statistical interpretation of quantum mechanics" (PDF). www.nobelprize.org. nobelprize.org. Retrieved 7 November 2018. Again an idea of Einstein's gave me the lead. He had tried to make the duality of particles - light quanta or photons - and waves comprehensible by interpreting the square of the optical wave amplitudes as probability density for the occurrence of photons. This concept could at once be carried over to the psi-function: |psi|2 ought to represent the probability density for electrons (or other particles).
    6. ↑ Neumann (von), John (1932). Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik [Mathematical Foundations of Quantum Mechanics]. Translated by Beyer, Robert T. Princeton University Press (published 1996). ISBN 978-0691028934.
    7. ↑ Gleason, Andrew M. (1957). "हिल्बर्ट स्थान के बंद उपस्थानों पर उपाय". Indiana University Mathematics Journal. 6 (4): 885–893. doi:10.1512/iumj.1957.6.56050. MR 0096113.
    8. ↑ Mackey, George W. (1957). "क्वांटम मैकेनिक्स और हिल्बर्ट स्पेस". The American Mathematical Monthly. 64 (8P2): 45–57. doi:10.1080/00029890.1957.11989120. JSTOR 2308516.
    9. ↑ Chernoff, Paul R. (November 2009). "एंडी ग्लीसन और क्वांटम मैकेनिक्स" (PDF). Notices of the AMS. 56 (10): 1253–1259.
    10. ↑ Mermin, N. David (1993-07-01). "छिपे हुए चर और जॉन बेल के दो प्रमेय". Reviews of Modern Physics. 65 (3): 803–815. arXiv:1802.10119. Bibcode:1993RvMP...65..803M. doi:10.1103/RevModPhys.65.803. S2CID 119546199.
    11. ↑ Deutsch, David (8 August 1999). "संभाव्यता और निर्णय का क्वांटम सिद्धांत". Proceedings of the Royal Society A. 455 (1988): 3129–3137. arXiv:quant-ph/9906015. doi:10.1098/rspa.1999.0443. S2CID 5217034. Retrieved December 5, 2022.
    12. ↑ Greaves, Hilary (21 December 2006). "एवरेट व्याख्या में संभाव्यता". Philosophy Compass. 2 (1): 109–128. doi:10.1111/j.1747-9991.2006.00054.x. Retrieved 6 December 2022.
    13. ↑ Wallace, David (2009). "निर्णय-सैद्धांतिक मान्यताओं से जन्मे नियम का एक औपचारिक प्रमाण". arXiv:0906.2718 [quant-ph].
    14. ↑ Zurek, Wojciech H. (25 May 2005). "उलझाव से संभावनाएँ, प्रतिलोम से बोर्न का नियम". Physical Review A. 71: 052105. arXiv:quant-ph/0405161. doi:10.1103/PhysRevA.71.052105. Retrieved 6 December 2022.
    15. ↑ Landsman, N. P. (2008). "The Born rule and its interpretation" (PDF). In Weinert, F.; Hentschel, K.; Greenberger, D.; Falkenburg, B. (eds.). क्वांटम भौतिकी का संग्रह. Springer. ISBN 978-3-540-70622-9. निष्कर्ष यह प्रतीत होता है कि बोर्न नियम की कोई आम तौर पर स्वीकृत व्युत्पत्ति आज तक नहीं दी गई है, लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि ऐसी व्युत्पत्ति सैद्धांतिक रूप से असंभव है
    16. ↑ Sebens, Charles T.; Carroll, Sean M. (March 2018). "एवरेटियन क्वांटम यांत्रिकी में स्व-पता लगाने वाली अनिश्चितता और संभावना की उत्पत्ति". The British Journal for the Philosophy of Science. 69 (1): 25–74. doi:10.1093/bjps/axw004.
    17. ↑ Goldstein, Sheldon (2017). "Bohmian Mechanics". In Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab, Stanford University.
    18. ↑ Kastner, R. E. (2013). क्वांटम यांत्रिकी की लेन-देन संबंधी व्याख्या. Cambridge University Press. p. 35. ISBN 978-0-521-76415-5.
    19. ↑ Masanes, Lluís; Galley, Thomas; Müller, Markus (2019). "क्वांटम यांत्रिकी के माप सिद्धांत परिचालन रूप से अनावश्यक हैं". Nature Communications. 10 (1): 1361. arXiv:1811.11060. Bibcode:2019NatCo..10.1361M. doi:10.1038/s41467-019-09348-x. PMC 6434053. PMID 30911009.
    20. ↑ Ball, Philip (February 13, 2019). "रहस्यमय क्वांटम नियम खरोंच से पुनर्निर्माण किया गया". Quanta Magazine. Archived from the original on 2019-02-13.
    21. ↑ Healey, Richard (2016). "Quantum-Bayesian and Pragmatist Views of Quantum Theory". In Zalta, Edward N. (ed.). स्टैनफोर्ड इनसाइक्लोपीडिया ऑफ फिलॉसफी. Metaphysics Research Lab, Stanford University.


    बाहरी संबंध

    Wikiquote has quotations related to बॉर्न रूल.
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