अनिश्चितता सिद्धांत

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एक कण की स्थिति q और संवेग p चर के लिए कैनोनिकल कम्यूटेशन नियम, 1927। pq - qp = h/2πi। हाइजेनबर्ग का अनिश्चितता सिद्धांत, 1927।

क्वांटम यांत्रिकी में, अनिश्चितता सिद्धांत (जिसे हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के रूप में भी जाना जाता है) विभिन्न प्रकार की असमिका (गणित) है। सटीकता के लिए आधारभूत सीमा पर जोर देना जिसके साथ किसी कण की भौतिक मात्राओं के कुछ जोड़े, जैसे स्थिति सदिश, x, और संवेग, p, के लिए प्रारंभिक स्थितियों से प्रागुक्त की जा सकती है।

ऐसे चर युग्मों को संपूरकता (भौतिकी) या विहित निर्देशांक के रूप में जाना जाता है; और, व्याख्या के आधार पर, अनिश्चितता का सिद्धांत किस हद तक इस तरह के संयुग्म गुण अपने अनुमानित अर्थ को बनाए रखता है, क्योंकि क्वांटम यांत्रिकी का गणितीय ढांचा एक ही मान द्वारा व्यक्त एक साथ अच्छी तरह से परिभाषित संयुग्म गुणों की धारणा का समर्थन नहीं करता है। अनिश्चितता सिद्धांत का अर्थ है कि सामान्य रूप से मनमाना निश्चितता के साथ किसी मात्रा के मान की प्रागुक्त करना भले ही सभी प्रारंभिक शर्तें निर्दिष्ट हों संभव नहीं है।

जर्मन भौतिक विज्ञानी वर्नर हाइजेनबर्ग द्वारा पहली बार 1927 में प्रक्षेपित किया गया, अनिश्चितता सिद्धांत बताता है कि किसी कण की स्थिति जितनी अधिक सटीक रूप से निर्धारित की जाती है, उतनी ही सटीक रूप से प्रारंभिक स्थितियों से इसकी गति का अनुमान लगाया जा सकता है, और इसके विपरीत अनुमान लगाया जा सकता है। 1927 के प्रकाशित पत्र में, हाइजेनबर्ग ने मूल रूप से निष्कर्ष निकाला कि अनिश्चितता सिद्धांत ΔpΔq ≈ h पूर्ण प्लैंक स्थिरांक का उपयोग कर रहा था। The formal inequality relating the standard deviation of position σ_x and the standard deviation of momentum σ_p was derived by Earle Hesse Kennard later that year and by Hermann Weyl 1928 में:

$\sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}~~$

जहाँ ħ घटा हुआ प्लैंक स्थिरांक है, h/(2π).

ऐतिहासिक रूप से, अनिश्चितता सिद्धांत भ्रमित किया गया है भौतिकी में संबंधित प्रभाव के साथ, पर्यवेक्षक प्रभाव (भौतिकी) कहा जाता है, जो नोट करता है कि प्रणाली को प्रभावित किए बिना कुछ प्रणालियों का मापन नहीं किया जा सकता है, अर्थात, प्रणाली में कुछ बदलाव किए बिना मापन नहीं किया जा सकता है। क्वांटम अनिश्चितता के भौतिक स्पष्टीकरण के रूप में हाइजेनबर्ग ने क्वांटम स्तर (नीचे देखें) पर इस तरह के पर्यवेक्षक प्रभाव का उपयोग किया है। चूंकि, यह तब से स्पष्ट हो गया है कि अनिश्चितता का सिद्धांत सभी तरंग जैसी प्रणालियों के गुणों में निहित है, और यह क्वांटम यांत्रिकी में सभी क्वांटम वस्तुओं की पदार्थ तरंग प्रकृति के कारण उत्पन्न होता है। इस प्रकार, अनिश्चितता सिद्धांत वास्तव में क्वांटम प्रणाली की आधारभूत गुण बताता है और वर्तमान प्रौद्योगिकी की अवलोकन संबंधी सफलता के बारे में एक बयान नहीं है। वास्तव में अनिश्चितता के सिद्धांत की जड़ें इस बात में हैं कि हम यांत्रिकी के बुनियादी समीकरणों को लिखने के लिए कलन को कैसे लागू करते हैं। इस बात पर जोर दिया जाना चाहिए कि माप का मतलब केवल प्रक्रिया नहीं है जिसमें भौतिक विज्ञानी-पर्यवेक्षक भाग लेता है, बल्कि किसी भी पर्यवेक्षक की परवाह किए बिना पारम्परिक और क्वांटम वस्तुओं के बीच कोई भी अन्तःक्रिया होती है।

चूँकि अनिश्चितता सिद्धांत क्वांटम यांत्रिकी में ऐसा मूल परिणाम है, क्वांटम यांत्रिकी में विशिष्ट प्रयोग नियमित रूप से इसके पहलुओं का निरीक्षण करते हैं। हालाँकि, कुछ प्रयोग, उनके मुख्य शोध कार्यक्रम के भाग के रूप में जानबूझकर अनिश्चितता सिद्धांत के विशेष रूप का परीक्षण कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, अतिचालकता में संख्या-चरण अनिश्चितता संबंधों के परीक्षण या क्वांटम प्रकाशिकी प्रणाली हैं। उनके संचालन के लिए अनिश्चितता सिद्धांत पर निर्भर अनुप्रयोगों में अत्यंत निम्न रव वाली तकनीक सम्मिलित है जैसे कि गुरुत्वाकर्षण-तरंग व्यतिकरणमिति में आवश्यक है।

परिचय

Main article: क्वांटम यांत्रिकी का परिचय

तरंग पैकेट बनाने के लिए कई समतल तरंगों का अध्यारोपण। यह तरंग पैकेट कई तरंगों के योग के साथ उत्तरोत्तर स्थानीयकृत होता जाता है। फूरियर ट्रांसफ़ॉर्म एक गणितीय ऑपरेशन है जो एक तरंग पैकेट को उसकी व्यक्तिगत समतल तरंगों में अलग करता है। यहां दिखाई गई तरंगें केवल उदाहरण के लिए वास्तविक कार्य हैं; क्वांटम यांत्रिकी में तरंग कार्य सामान्यतः जटिल कार्य होता है।

यह स्पष्ट करना महत्वपूर्ण है कि सिद्धांत अपेक्षाकृत सुगम भौतिक स्थितियों पर कैसे लागू होता है क्योंकि यह सूक्ष्मदर्शीय पर अविवेकी है पैमाने जो मनुष्य अनुभव करते हैं। क्वांटम भौतिकी के लिए दो वैकल्पिक ढांचे अनिश्चितता सिद्धांत के लिए अलग-अलग स्पष्टीकरण प्रदान करते हैं। अनिश्चितता सिद्धांत का श्रोडिंगर समीकरण चित्र अधिक दृष्टिगत रूप से सहज है, लेकिन अधिक अमूर्त आव्यूह यांत्रिकी चित्र इसे इस तरह से तैयार करता है जो अधिक आसानी से सामान्यीकरण करता है।

गणितीय रूप से, तरंग यांत्रिकी में, स्थिति और संवेग के बीच अनिश्चितता का संबंध उत्पन्न होता है क्योंकि हिल्बर्ट समष्टि में दो संगत ऑर्थोनॉर्मल आधार (रैखिक बीजगणित) में तरंग के अभिव्यंजना दूसरे के फूरियर रूपांतरण हैं (अर्थात, स्थिति और संवेग संयुग्म चर हैं)। अशून्य फलन और इसके फूरियर रूपांतरण दोनों को एक ही समय में तेजी से स्थानीयकृत नहीं किया जा सकता है। फूरियर विश्लेषण द्वारा रेखांकित सभी प्रणालियों में फूरियर संयुग्मों के प्रसरण के बीच समान दुविधा उत्पन्न होता है, उदाहरण के लिए ध्वनि तरंगों में: शुद्ध स्वर एकल आवृत्ति पर डिराक डेल्टा फलन है, जबकि इसका फूरियर रूपांतरण ध्वनि तरंग का आकार देता है काल प्रांत, जो पूरी तरह से विस्थापित ज्या तरंग है। क्वांटम यांत्रिकी में, दो प्रमुख बिंदु हैं कि कण की स्थिति पदार्थ तरंग का रूप लेती है, और संवेग इसका फूरियर संयुग्म है, जो पदार्थ तरंग द्वारा सुनिश्चित होता है p = ħk, जहाँ k तरंग संख्या है।

आव्यूह यांत्रिकी में, क्वांटम यांत्रिकी का गणितीय सूत्रीकरण, गैर-कम्यूटेटर स्व-आसन्न परिचालक की कोई भी युग्म अवलोकनीय का प्रतिनिधित्व करती है जो समान अनिश्चितता सीमाओं के अधीन हैं। प्रेक्षणीय का ईजेनस्टेट निश्चित माप मान (अभिलक्षणिक मान) के लिए तरंग फलन की स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है। उदाहरण के लिए, यदि अवलोकनीय का माप A किया जाता है, तो प्रणाली विशेष ईजेनस्टेट Ψ में है। हालाँकि, अवलोकन योग्य A का विशेष ईजेनस्टेट को किसी अन्य अवलोकन योग्य B का ईजेनस्टेट नहीं होना चाहिए: यदि ऐसा है, तो इसके लिए विशिष्ट संबद्ध माप नहीं है, क्योंकि प्रणाली उस अवलोकनीय के ईजेनस्टेट में नहीं है।

तरंग यांत्रिकी की व्याख्या

(संदर्भ )

Plane wave

Wave packet

डी ब्रॉगली वेव्स का 1डी में प्रचार—कॉम्प्लेक्स का असली हिस्सा नीला है, काल्पनिक हिस्सा हरा है। किसी दिए गए बिंदु x पर कण को खोजने की संभावना (रंग अस्पष्टता] के रूप में दिखाई गई) एक तरंग की तरह फैली हुई है, कण की कोई निश्चित स्थिति नहीं है। जैसे ही आयाम शून्य से ऊपर बढ़ता है वक्रता उलटा संकेत देता है, इसलिए आयाम फिर से घटने लगता है, और इसके विपरीत - परिणाम एक वैकल्पिक आयाम होता है: तरंग

Main articles: वेव पैकेट and श्रोडिंगर समीकरण

द्रव्य तरंग के अनुसार ब्रह्मांड की प्रत्येक वस्त तरंग है, अर्थात ऐसी स्थिति जो इस घटना को वृद्धि देती है। कण की स्थिति को तरंग क्रिया $\Psi (x,t)$ द्वारा वर्णित किया जाता है। तरंग संख्या k₀ के एकल पद्धति समतल तरंग का काल अनाश्रित तरंग फलन या गति p₀है

$$\psi (x)\propto e^{ik_{0}x}=e^{ip_{0}x/\hbar }~.$$

बोर्न नियम कहता है कि इसे संभाव्यता घनत्व फलन के रूप में इस अर्थ में व्याख्या किया जाना चाहिए कि a और b के बीच कण अभिज्ञान की संभावना है

$$\operatorname {P} [a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}|\psi (x)|^{2}\,\mathrm {d} x~.$$

एकल पद्धति समतल तरंग के मामले में, $|\psi (x)|^{2}$ एकसमान बंटन (निरंतर) है। दूसरे शब्दों में, कण की स्थिति इस अर्थ में अत्यंत अनिश्चित है कि यह अनिवार्य रूप से तरंग पैकेट के साथ कहीं भी हो सकता है।

दूसरी ओर, तरंग फलन पर विचार करें जो अध्यारोपण सिद्धांत है, जिसे हम इस रूप में लिख सकते हैं

$$\psi (x)\propto \sum _{n}A_{n}e^{ip_{n}x/\hbar }~,$$

जहाँ A_n समग्र कुल में मोड p_n के सापेक्ष योगदान का प्रतिनिधित्व करता है। दाईं ओर के आंकड़े दिखाते हैं कि कैसे कई समतल तरंगों के जुड़ने से तरंग पैकेट अधिक स्थानीयकृत हो सकता है। हम इसे सातत्य की सीमा तक एक कदम और आगे ले जा सकते हैं, जहां तरंग फलन सभी संभावित विधाओं का समाकलन है

$$\psi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (p)\cdot e^{ipx/\hbar }\,dp~,$$

साथ $\varphi (p)$ इन विधाओं के आयाम का प्रतिनिधित्व करता है और इसे संवेग स्थान में तरंग फलन कहा जाता है। गणितीय शब्दों में, हम कहते हैं कि $\varphi (p)$ का फूरियर रूपांतरण है $\psi (x)$ और वह x और p संयुग्मी चर हैं। इन सभी समतल तरंगों को एक साथ जोड़ने पर लागत आती है, अर्थात् संवेग कम सटीक हो गया है, जो कई अलग-अलग संवेगों की तरंगों का मिश्रण बन गया है।

स्थिति और संवेग की सटीकता को निर्धारित करने का तरीका मानक विचलन σ है। तब से $|\psi (x)|^{2}$ स्थिति के लिए प्रायिकता घनत्व फलन है, हम इसके मानक विचलन की गणना करते हैं।

स्थिति की सटीकता में सुधार हुआ है, अर्थात σ_x घटाया गया है, कई समतल तरंगों का उपयोग करके, जिससे संवेग की शुद्धता कमजोर हो जाती है, अर्थात σ_p बढ़ जाती हैं। इसे बताने का दूसरा तरीका यह है कि σ_x और σ_pउलटा संबंध है या कम से कम नीचे से घिरे हुए हैं। यह अनिश्चितता का सिद्धांत है, जिसकी सटीक सीमा केनार्ड बाउंड है। तरंग यांत्रिकी का उपयोग करके केनार्ड असमिका की अर्ध-औपचारिक व्युत्पत्ति देखने के लिए नीचे दिए गए शो बटन पर क्लिक करें।

Proof of the Kennard inequality using wave mechanics

We are interested in the variances of position and momentum, defined as

$$\sigma _{x}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\cdot |\psi (x)|^{2}\,dx-\left(\int _{-\infty }^{\infty }x\cdot |\psi (x)|^{2}\,dx\right)^{2}$$

$$\sigma _{p}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }p^{2}\cdot |\varphi (p)|^{2}\,dp-\left(\int _{-\infty }^{\infty }p\cdot |\varphi (p)|^{2}\,dp\right)^{2}~.$$

Without loss of generality, we will assume that the means vanish, which just amounts to a shift of the origin of our coordinates. (A more general proof that does not make this assumption is given below.) This gives us the simpler form

$$\sigma _{x}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}\cdot |\psi (x)|^{2}\,dx$$

$$\sigma _{p}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }p^{2}\cdot |\varphi (p)|^{2}\,dp~.$$

The function $f(x)=x\cdot \psi (x)$ can be interpreted as a vector in a function space. We can define an inner product for a pair of functions u(x) and v(x) in this vector space:

$$\langle u\mid v\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }u^{*}(x)\cdot v(x)\,dx,$$

where the asterisk denotes the complex conjugate.

With this inner product defined, we note that the variance for position can be written as

$$\sigma _{x}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx=\langle f\mid f\rangle ~.$$

We can repeat this for momentum by interpreting the function ${\tilde {g}}(p)=p\cdot \varphi (p)$ as a vector, but we can also take advantage of the fact that $\psi (x)$ and $\varphi (p)$ are Fourier transforms of each other. We evaluate the inverse Fourier transform through integration by parts:

where the canceled term vanishes because the wave function vanishes at infinity. Often the term ${\textstyle -i\hbar {\frac {d}{dx}}}$ is called the momentum operator in position space. Applying Parseval's theorem, we see that the variance for momentum can be written as

$$\sigma _{p}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }|{\tilde {g}}(p)|^{2}\,dp=\int _{-\infty }^{\infty }|g(x)|^{2}\,dx=\langle g\mid g\rangle .$$

The Cauchy–Schwarz inequality asserts that

$$\sigma _{x}^{2}\sigma _{p}^{2}=\langle f\mid f\rangle \cdot \langle g\mid g\rangle \geq |\langle f\mid g\rangle |^{2}~.$$

The modulus squared of any complex number z can be expressed as

$$|z|^{2}={\Big (}{\text{Re}}(z){\Big )}^{2}+{\Big (}{\text{Im}}(z){\Big )}^{2}\geq {\Big (}{\text{Im}}(z){\Big )}^{2}=\left({\frac {z-z^{\ast }}{2i}}\right)^{2}.$$

we let $z=\langle f|g\rangle$ and $z^{*}=\langle g\mid f\rangle$ and substitute these into the equation above to get

$$|\langle f\mid g\rangle |^{2}\geq \left({\frac {\langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle }{2i}}\right)^{2}~.$$

All that remains is to evaluate these inner products.

Plugging this into the above inequalities, we get

$$\sigma _{x}^{2}\sigma _{p}^{2}\geq |\langle f\mid g\rangle |^{2}\geq \left({\frac {\langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle }{2i}}\right)^{2}=\left({\frac {i\hbar }{2i}}\right)^{2}={\frac {\hbar ^{2}}{4}}$$

or taking the square root

$$\sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}~.$$

Note that the only physics involved in this proof was that $\psi (x)$ and $\varphi (p)$ are wave functions for position and momentum, which are Fourier transforms of each other. A similar result would hold for any pair of conjugate variables.

आव्यूह यांत्रिकी व्याख्या

(संदर्भ

Main article: मैट्रिक्स यांत्रिकी

आव्यूह यांत्रिकी में, अवलोकनीय जैसे स्थिति और संवेग को स्व-संलग्न संचालक द्वारा दर्शाया जाता है। अवलोकनीय के जोड़े पर विचार करते समय, महत्वपूर्ण मात्रा कम्यूटेटर है। संचालक की युग्म के लिए Â और ${\hat {B}}$, कोई उनके कम्यूटेटर को परिभाषित करता है

$$[{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}.$$

स्थिति और संवेग के मामले में, कम्यूटेटर विहित रूपान्तरण संबंध है

$$[{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar .$$

स्थिति और संवेग ईजेनस्टेट पर कम्यूटेटर के प्रभाव पर विचार करके गैर क्रमविनिमेयता का भौतिक अर्थ समझा जा सकता है। $|\psi \rangle$ एक स्थिर अभिलक्षणिक मान x₀ के साथ स्थिति का सही ईजेनस्टेट है। परिभाषा के अनुसार, इसका मतलब यह है ${\hat {x}}|\psi \rangle =x_{0}|\psi \rangle .$ कम्यूटेटर को लागू करना $|\psi \rangle$ देता है

$$[{\hat {x}},{\hat {p}}]|\psi \rangle =({\hat {x}}{\hat {p}}-{\hat {p}}{\hat {x}})|\psi \rangle =({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}}){\hat {p}}\,|\psi \rangle =i\hbar |\psi \rangle ,$$

जहाँ Î तत्समक आव्यूह है।

मान लीजिए, विरोधाभास द्वारा प्रमाण के लिए, कि $|\psi \rangle$ संवेग का सही आइजेनस्टेट भी है, जिसमें निरंतर अभिलक्षणिक मान p₀ है, यदि यह सच होता, तो कोई लिख सकता था

$$({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}}){\hat {p}}\,|\psi \rangle =({\hat {x}}-x_{0}{\hat {I}})p_{0}\,|\psi \rangle =(x_{0}{\hat {I}}-x_{0}{\hat {I}})p_{0}\,|\psi \rangle =0.$$

दूसरी ओर, उपरोक्त विहित रूपांतरण संबंध की आवश्यकता है

$$[{\hat {x}},{\hat {p}}]|\psi \rangle =i\hbar |\psi \rangle \neq 0.$$

इसका तात्पर्य यह है कि कोई भी क्वांटम स्थिति एक साथ स्थिति और संवेग दोनों नहीं हो सकती है।

जब अवस्था को मापा जाता है, तो इसे सम्बद्ध अवलोकन के आधार पर ईजेनस्टेट पर प्रक्षेपित किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि कण की स्थिति को मापा जाता है, तो स्थिति ईजेनस्टेट के बराबर होती है। इसका मतलब यह है कि अवस्था संवेग आइजनस्टेट नहीं है, बल्कि, इसे कई संवेग आधार ईजेनस्टेट्स के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, गति कम सटीक होनी चाहिए। यह सटीकता मानक विचलन द्वारा निर्धारित की जा सकती है,

$$\sigma _{x}={\sqrt {\langle {\hat {x}}^{2}\rangle -\langle {\hat {x}}\rangle ^{2}}}$$

$$\sigma _{p}={\sqrt {\langle {\hat {p}}^{2}\rangle -\langle {\hat {p}}\rangle ^{2}}}.$$

ऊपर तरंग यांत्रिकी की व्याख्या के अनुसार, अनिश्चितता सिद्धांत द्वारा परिमाणित, दो की संबंधित सटीकता के बीच दुविधा को देखता है।

हाइजेनबर्ग सीमा

क्वांटम मेट्रोलॉजी और विशेष रूप से व्यतिकरणमिति में, हाइजेनबर्ग सीमा इष्टतम दर है जिस पर माप की सटीकता माप में उपयोग की जाने वाली ऊर्जा के साथ मापी जा सकती है। सामान्यतः, यह एक चरण का माप है ( किरणपुंज विपाटक पर लागू होता है) और ऊर्जा व्यतिकरणमिति में उपयोग किए जाने वाले फोटॉन की संख्या से दी जाती है। चूंकि कुछ लोग हाइजेनबर्ग सीमा को तोड़ने का दावा करते हैं, यह मापन संसाधन की परिभाषा पर असहमति को दर्शाता है। उपयुक्त रूप से परिभाषित, हाइजेनबर्ग सीमा क्वांटम यांत्रिकी के मूल सिद्धांतों का परिणाम है और इसे पराजित नहीं किया जा सकता है, चूंकि कमजोर हाइजेनबर्ग सीमा को पराजित किया जा सकता है।

रॉबर्टसन-श्रोडिंगर अनिश्चितता संबंध

अनिश्चितता सिद्धांत का सबसे आम सामान्य रूप हावर्ड पर्सी रॉबर्टसन अनिश्चितता संबंध है। मनमाना स्व-आसन्न परिचालक के लिए ${\hat {\mathcal {O}}}$ एक मानक विचलन को संबद्ध कर सकते हैं

$$\sigma _{\mathcal {O}}={\sqrt {\langle {\hat {\mathcal {O}}}^{2}\rangle -\langle {\hat {\mathcal {O}}}\rangle ^{2}}},$$

जहां कोष्ठक $\langle {\mathcal {O}}\rangle$ अपेक्षा मान (क्वांटम यांत्रिकी) इंगित करता है। संचालक की युग्म के लिए ${\hat {A}}$ और ${\hat {B}}$, हम उनके कम्यूटेटर को परिभाषित कर सकते हैं

$$[{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}},$$

इस अंकन में, रॉबर्टसन अनिश्चितता संबंध द्वारा दिया गया है

$$\sigma _{A}\sigma _{B}\geq \left|{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle \right|={\frac {1}{2}}\left|\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle \right|,$$

रॉबर्टसन अनिश्चितता संबंध थोड़ी मजबूत असमानता, श्रोडिंगर अनिश्चितता संबंध,से तुरंत अनुसरण करता है

$\sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geq \left|{\frac {1}{2}}\langle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle \right|^{2}+\left|{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle \right|^{2},$

जहां हमने एंटीकम्यूटेटर प्रक्षेपित किया है,

$$\{{\hat {A}},{\hat {B}}\}={\hat {A}}{\hat {B}}+{\hat {B}}{\hat {A}}.$$

Proof of the Schrödinger uncertainty relation

The derivation shown here incorporates and builds off of those shown in Robertson, Schrödinger and standard textbooks such as Griffiths. For any Hermitian operator ${\hat {A}}$, based upon the definition of variance, we have

$$\sigma _{A}^{2}=\langle ({\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle )\Psi |({\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle )\Psi \rangle .$$

we let $|f\rangle =|({\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle )\Psi \rangle$ and thus

$$\sigma _{A}^{2}=\langle f\mid f\rangle \,.$$

Similarly, for any other Hermitian operator ${\hat {B}}$ in the same state

$$\sigma _{B}^{2}=\langle ({\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle )\Psi |({\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle )\Psi \rangle =\langle g\mid g\rangle$$

for $|g\rangle =|({\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle )\Psi \rangle .$

The product of the two deviations can thus be expressed as

$\sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}=\langle f\mid f\rangle \langle g\mid g\rangle .$

(1)

In order to relate the two vectors $|f\rangle$ and $|g\rangle$, we use the Cauchy–Schwarz inequality which is defined as

$$\langle f\mid f\rangle \langle g\mid g\rangle \geq |\langle f\mid g\rangle |^{2},$$

and thus Equation (1) can be written as

$\sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geq |\langle f\mid g\rangle |^{2}.$

(2)

Since $\langle f\mid g\rangle$ is in general a complex number, we use the fact that the modulus squared of any complex number $z$ is defined as $|z|^{2}=zz^{*}$, where $z^{*}$ is the complex conjugate of $z$. The modulus squared can also be expressed as

$|z|^{2}={\Big (}\operatorname {Re} (z){\Big )}^{2}+{\Big (}\operatorname {Im} (z){\Big )}^{2}={\Big (}{\frac {z+z^{\ast }}{2}}{\Big )}^{2}+{\Big (}{\frac {z-z^{\ast }}{2i}}{\Big )}^{2}.$

(3)

we let $z=\langle f\mid g\rangle$ and $z^{*}=\langle g\mid f\rangle$ and substitute these into the equation above to get

$|\langle f\mid g\rangle |^{2}={\bigg (}{\frac {\langle f\mid g\rangle +\langle g\mid f\rangle }{2}}{\bigg )}^{2}+{\bigg (}{\frac {\langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle }{2i}}{\bigg )}^{2}$

(4)

The inner product $\langle f\mid g\rangle$ is written out explicitly as

$$\langle f\mid g\rangle =\langle ({\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle )\Psi |({\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle )\Psi \rangle ,$$

and using the fact that ${\hat {A}}$ and ${\hat {B}}$ are Hermitian operators, we find

$${\begin{aligned}\langle f\mid g\rangle &=\langle \Psi |({\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle )({\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle )\Psi \rangle \\[4pt]&=\langle \Psi \mid ({\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {A}}\langle {\hat {B}}\rangle -{\hat {B}}\langle {\hat {A}}\rangle +\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle )\Psi \rangle \\[4pt]&=\langle \Psi \mid {\hat {A}}{\hat {B}}\Psi \rangle -\langle \Psi \mid {\hat {A}}\langle {\hat {B}}\rangle \Psi \rangle -\langle \Psi \mid {\hat {B}}\langle {\hat {A}}\rangle \Psi \rangle +\langle \Psi \mid \langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle \Psi \rangle \\[4pt]&=\langle {\hat {A}}{\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle +\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle \\[4pt]&=\langle {\hat {A}}{\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle .\end{aligned}}$$

Similarly it can be shown that $\langle g\mid f\rangle =\langle {\hat {B}}{\hat {A}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle .$

Thus, we have

$$\langle f\mid g\rangle -\langle g\mid f\rangle =\langle {\hat {A}}{\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {B}}{\hat {A}}\rangle +\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle =\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle$$

and

$$\langle f\mid g\rangle +\langle g\mid f\rangle =\langle {\hat {A}}{\hat {B}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle +\langle {\hat {B}}{\hat {A}}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle =\langle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}\rangle -2\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle .$$

We now substitute the above two equations above back into Eq. (4) and get

$$|\langle f\mid g\rangle |^{2}={\Big (}{\frac {1}{2}}\langle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle {\Big )}^{2}+{\Big (}{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle {\Big )}^{2}\,.$$

Substituting the above into Equation (2) we get the Schrödinger uncertainty relation

$$\sigma _{A}\sigma _{B}\geq {\sqrt {{\Big (}{\frac {1}{2}}\langle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}\rangle -\langle {\hat {A}}\rangle \langle {\hat {B}}\rangle {\Big )}^{2}+{\Big (}{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle {\Big )}^{2}}}.$$

This proof has an issue related to the domains of the operators involved. For the proof to make sense, the vector ${\hat {B}}|\Psi \rangle$ has to be in the domain of the unbounded operator ${\hat {A}}$, which is not always the case. In fact, the Robertson uncertainty relation is false if ${\hat {A}}$ is an angle variable and ${\hat {B}}$ is the derivative with respect to this variable. In this example, the commutator is a nonzero constant—just as in the Heisenberg uncertainty relation—and yet there are states where the product of the uncertainties is zero. (See the counterexample section below.) This issue can be overcome by using a variational method for the proof, or by working with an exponentiated version of the canonical commutation relations.

Note that in the general form of the Robertson–Schrödinger uncertainty relation, there is no need to assume that the operators ${\hat {A}}$ and ${\hat {B}}$ are self-adjoint operators. It suffices to assume that they are merely symmetric operators. (The distinction between these two notions is generally glossed over in the physics literature, where the term Hermitian is used for either or both classes of operators. See Chapter 9 of Hall's book for a detailed discussion of this important but technical distinction.)

मिश्रित अवस्था

घनत्व आव्यूह का वर्णन करने के लिए रॉबर्टसन-श्रोडिंगर अनिश्चितता संबंध को सीधे तरीके से सामान्यीकृत किया जा सकता है।

$$\sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geq \left|{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (\rho \{A,B\})-\operatorname {tr} (\rho A)\operatorname {tr} (\rho B)\right|^{2}+\left|{\frac {1}{2i}}\operatorname {tr} (\rho [A,B])\right|^{2}.$$

मैककोन-पति अनिश्चितता संबंध रॉबर्टसन-श्रोडिंगर अनिश्चितता संबंध तुच्छ हो सकता है यदि प्रणाली की स्थिति को अवलोकन योग्य में से किसी एक के ईजेनस्टेट के रूप में चुना जाता है। मैककोन और पाटी द्वारा सिद्ध किए गए मजबूत अनिश्चितता संबंध दो असंगत अवलोकनीय के लिए भिन्नताओं के योग पर गैर-तुच्छ सीमाएं प्रदान करते हैं। (पूर्व में भिन्नताओं के योग के रूप में तैयार किए गए अनिश्चितता संबंधों पर किए गए कार्यों में सम्मिलित हैं, उदाहरण के लिए, रेफ हुआंग के कारण हैं।) दो गैर-आगंतुक अवलोकनीय के लिए $A$ और $B$ पहला मजबूत अनिश्चितता संबंध दिया जाता है

$$\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}\geq \pm i\langle \Psi \mid [A,B]|\Psi \rangle +\mid \langle \Psi \mid (A\pm iB)\mid {\bar {\Psi }}\rangle |^{2},$$

जहाँ $\sigma _{A}^{2}=\langle \Psi |A^{2}|\Psi \rangle -\langle \Psi \mid A\mid \Psi \rangle ^{2}$, $\sigma _{B}^{2}=\langle \Psi |B^{2}|\Psi \rangle -\langle \Psi \mid B\mid \Psi \rangle ^{2}$, $|{\bar {\Psi }}\rangle$ सामान्यीकृत सदिश है जो प्रणाली की स्थिति के लिए लंबकोणीय है $|\Psi \rangle$ और इस वास्तविक मात्रा को एक घनात्मक संख्या बनाने के लिए $\pm i\langle \Psi \mid [A,B]\mid \Psi \rangle$ का चिन्ह चुनना चाहिए।

दूसरा मजबूत अनिश्चितता संबंध द्वारा दिया गया है

$$\sigma _{A}^{2}+\sigma _{B}^{2}\geq {\frac {1}{2}}|\langle {\bar {\Psi }}_{A+B}\mid (A+B)\mid \Psi \rangle |^{2}$$

जहाँ $|{\bar {\Psi }}_{A+B}\rangle$ के लिए अवस्था लंबकोणीय है $|\Psi \rangle$। $|{\bar {\Psi }}_{A+B}\rangle$ का रूप तात्पर्य यह है कि नए अनिश्चितता संबंध का दाहिना हाथ अशून्य है जब तक कि $|\Psi \rangle$ का आइजेनस्टेट है $(A+B)$। कोई इसे नोट कर सकता है $|\Psi \rangle$ का आइजेनस्टेट हो सकता है $(A+B)$ इनमें से किसी का भी ईजेनस्टेट नहीं है $A$ या $B$। चूंकि, कब $|\Psi \rangle$ दो अवलोकनीय में से एक का आइजनस्टेट है, हाइजेनबर्ग-श्रोडिंगर अनिश्चितता संबंध तुच्छ हो जाता है। लेकिन जब तक नए संबंध में निचली सीमा शून्य नहीं है $|\Psi \rangle$ दोनों का एक आइजेनस्टेट है।

घनत्व आव्यूह के अपघटन के आधार पर रॉबर्टसन-श्रोडिंगर अनिश्चितता संबंध में सुधार

रॉबर्टसन-श्रोडिंगर अनिश्चितता को ध्यान में रखते हुए सुधार किया जा सकता है कि यह सभी घटकों के लिए होना चाहिए $\varrho _{k}$ के रूप में दिए गए घनत्व आव्यूह के किसी भी अपघटन में

$$\varrho =\sum _{k}p_{k}\varrho _{k}.$$

यहाँ, संभावनाओं के लिए $p_{k}\geq 0$ और $\sum _{k}p_{k}=1$ संचालित करे। फिर, संबंध का उपयोग करना

$$\sum _{k}a_{k}\sum _{k}b_{k}\geq \left(\sum _{k}{\sqrt {a_{k}b_{k}}}\right)^{2}$$

$a_{k},b_{k}\geq 0$,के लिए यह इस प्रकार है कि

$$\sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geq \left[\sum _{k}p_{k}L(\varrho _{k})\right]^{2},$$

जहां सीमा में फलन परिभाषित किया गया है

$$L(\varrho )={\sqrt {\left|{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (\rho \{A,B\})-\operatorname {tr} (\rho A)\operatorname {tr} (\rho B)\right|^{2}+\left|{\frac {1}{2i}}\operatorname {tr} (\rho [A,B])\right|^{2}}}.$$

उपरोक्त संबंध में अधिकांशतः मूल रॉबर्टसन-श्रोडिंगर अनिश्चितता संबंध की तुलना में बड़ी सीमा होती है। इस प्रकार, हमें क्वांटम अवस्था के अतिरिक्त क्वांटम अवस्था के मिश्रित घटकों के लिए रॉबर्टसन-श्रोडिंगर अनिश्चितता की सीमा की गणना करने की आवश्यकता है, और उनकी वर्ग जड़ों की औसत गणना करता है निम्नलिखित अभिव्यक्ति रॉबर्टसन-श्रोडिंगर अनिश्चितता संबंध से अधिक मजबूत है

$$\sigma _{A}^{2}\sigma _{B}^{2}\geq \left[\max _{p_{k},\varrho _{k}}\sum _{k}p_{k}L(\varrho _{k})\right]^{2},$$

जहां दाहिनी ओर घनत्व आव्यूह के अपघटन पर अवतल शीर्ष है। उपरोक्त सुधारित संबंध सभी एकल-क्विट क्वांटम अवस्था द्वारा संतृप्त है।

इसी तरह के तर्कों के साथ, दाईं ओर उत्तल शीर्ष के साथ संबंध प्राप्त किया जा सकता है

$$\sigma _{A}^{2}F_{Q}[\varrho ,B]\geq 4\left[\min _{p_{k},\Psi _{k}}\sum _{k}p_{k}L(\vert \Psi _{k}\rangle \langle \Psi _{k}\vert )\right]^{2}$$

जहाँ $F_{Q}[\varrho ,B]$ क्वांटम फिशर जानकारी को दर्शाता है और घनत्व आव्यूह को शुद्ध अवस्थाओं में विघटित किया जाता है

$$\varrho =\sum _{k}p_{k}\vert \Psi _{k}\rangle \langle \Psi _{k}\vert .$$

व्युत्पत्ति इस तथ्य का लाभ उठाती है कि क्वांटम फिशर सूचना प्रसरण गुणा चार की उत्तल शीर्ष है। उत्तल शीर्ष के बिना सरल असमिका का पालन होता है

$$\sigma _{A}^{2}F_{Q}[\varrho ,B]\geq \vert \langle i[A,B]\rangle \vert ^{2},$$

जो हाइजेनबर्ग अनिश्चितता संबंध से अधिक मजबूत है, क्योंकि हमारे पास क्वांटम फिशर की जानकारी है

$$F_{Q}[\varrho ,B]\leq 4\sigma _{B},$$

जबकि शुद्ध अवस्था के लिए समानता है।

चरण स्थान

क्वांटम यांत्रिकी के चरण समष्टि निर्माण में, रॉबर्टसन-श्रोडिंगर संबंध वास्तविक स्टार-स्क्वायर फलन पर धनात्मक की स्थिति से अनुसरण करता है। विग्नर फलन $W(x,p)$ स्टार प्रोडक्ट ★ और एक फलन f के साथ बंटन दिया गया है, निम्नलिखित सामान्यतः सच है:

$$\langle f^{*}\star f\rangle =\int (f^{*}\star f)\,W(x,p)\,dx\,dp\geq 0~.$$

का चयन $f=a+bx+cp$, हम पहुँचते हैं

$$\langle f^{*}\star f\rangle ={\begin{bmatrix}a^{*}&b^{*}&c^{*}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&\langle x\rangle &\langle p\rangle \\\langle x\rangle &\langle x\star x\rangle &\langle x\star p\rangle \\\langle p\rangle &\langle p\star x\rangle &\langle p\star p\rangle \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}\geq 0~.$$

चूँकि यह धनात्मक स्थिति सभी a, b, और c के लिए सत्य है, यह इस प्रकार है कि आव्यूह के सभी अभिलक्षणिक मान ऋणेतर हैं।

ऋणेतर अभिलक्षणिक मान ​​तब निर्धारक पर संबंधित ऋणेतर स्थिति का संकेत देते हैं,

$$\det {\begin{bmatrix}1&\langle x\rangle &\langle p\rangle \\\langle x\rangle &\langle x\star x\rangle &\langle x\star p\rangle \\\langle p\rangle &\langle p\star x\rangle &\langle p\star p\rangle \end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}1&\langle x\rangle &\langle p\rangle \\\langle x\rangle &\langle x^{2}\rangle &\left\langle xp+{\frac {i\hbar }{2}}\right\rangle \\\langle p\rangle &\left\langle xp-{\frac {i\hbar }{2}}\right\rangle &\langle p^{2}\rangle \end{bmatrix}}\geq 0~,$$

या, स्पष्ट रूप से, बीजगणितीय परिचालन के बाद,

$$\sigma _{x}^{2}\sigma _{p}^{2}=\left(\langle x^{2}\rangle -\langle x\rangle ^{2}\right)\left(\langle p^{2}\rangle -\langle p\rangle ^{2}\right)\geq \left(\langle xp\rangle -\langle x\rangle \langle p\rangle \right)^{2}+{\frac {\hbar ^{2}}{4}}~.$$

उदाहरण

चूंकि रॉबर्टसन और श्रोडिंगर संबंध सामान्य संचालक के लिए हैं, विशिष्ट अनिश्चितता संबंधों को प्राप्त करने के लिए संबंधों को किन्हीं दो अवलोकनों पर लागू किया जा सकता है। साहित्य में पाए जाने वाले कुछ सबसे सामान्य संबंध नीचे दिए गए हैं।

• स्थिति और रैखिक गति के लिए, विहित रूपांतरण संबंध $[{\hat {x}},{\hat {p}}]=i\hbar$ ऊपर से केनार्ड असमिका का तात्पर्य है:
  $$\sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}.$$
• किसी वस्तु के कोणीय संवेग संचालक के दो लंबकोणीय घटकों के लिए:
  $$\sigma _{J_{i}}\sigma _{J_{j}}\geq {\frac {\hbar }{2}}{\big |}\langle J_{k}\rangle {\big |},$$
  जहां i, j, k अलग हैं, और J_i, x_i अक्ष के साथ कोणीय गति को दर्शाता है। इस संबंध का तात्पर्य है कि जब तक सभी तीन घटक एक साथ लोपी नहीं हो जाते, तब तक प्रणाली के कोणीय गति के केवल घटक को मनमाना सटीकता के साथ परिभाषित किया जा सकता है, सामान्य रूप से बाहरी (चुंबकीय या विद्युत) क्षेत्र के समानांतर घटक के साथ परिभाषित किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, $[J_{x},J_{y}]=i\hbar \varepsilon _{xyz}J_{z}$ के लिए, एक विकल्प ${\hat {A}}=J_{x}$, ${\hat {B}}=J_{y}$, कोणीय संवेग गुणक में, ψ = |j, m⟩, कासिमिर अपरिवर्तनीय सीमा (कोणीय संवेग वर्ग, $\langle J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}\rangle$) नीचे से और इस प्रकार उपयोगी बाधाओं जैसे j(j + 1) ≥ m(m + 1), और इसलिए j ≥ m, दूसरों के बीच में उत्पन्न करता है।
• गैर-सापेक्षवादी यांत्रिकी में, समय को स्वतंत्र चर के रूप में विशेषाधिकार प्राप्त है। फिर भी, 1945 में, एल. आई. मैंडेलश्टम और इगोर टैम ने गैर-सापेक्षवादी समय-ऊर्जा अनिश्चितता संबंध को निम्नानुसार व्युत्पन्न किया है। गैर-स्थिर अवस्था में क्वांटम प्रणाली के लिए ψ और स्व-संलग्न परिचालक द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाने वाला अवलोकनीय B, ${\hat {B}}$, निम्नलिखित सूत्र धारण करता है:
  $$\sigma _{E}{\frac {\sigma _{B}}{\left|{\frac {d\langle {\hat {B}}\rangle }{dt}}\right|}}\geq {\frac {\hbar }{2}},$$
  जहां σ_E अवस्था में ऊर्जा परिचालक (हैमिल्टनियन) ψ का मानक विचलन है , σ_B B के मानक विचलन के लिए है। चूंकि बाईं ओर के दूसरे कारक में समय का आयाम है, यह उस समय पैरामीटर से अलग है जो श्रोडिंगर समीकरण में प्रवेश करता है। यह अवस्था ψ का जीवन भर है अवलोकन योग्य B के संबंध में: दूसरे शब्दों में, यह समय अंतराल (Δt) है जिसके बाद प्रत्याशित मान $\langle {\hat {B}}\rangle$ प्रशंसनीय रूप से बदलता है। सिद्धांत का अनौपचारिक, अनुमानी अर्थ निम्नलिखित है: अवस्था जो केवल थोड़े समय के लिए सम्मिलित होता है, उसमें एक निश्चित ऊर्जा नहीं हो सकती है। एक निश्चित ऊर्जा होने के लिए, अवस्था की आवृत्ति को सटीक रूप से परिभाषित किया जाना चाहिए, और इसके लिए अवस्था को कई चक्रों के लिए आवश्यक सटीकता का पारस्परिक घूमने की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रोस्कोपी में, उत्तेजित अवस्थाओं का जीवनकाल सीमित होता है। समय-ऊर्जा अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार, उनके पास निश्चित ऊर्जा नहीं होती है, और हर बार जब वे क्षय होते हैं, तो उनके द्वारा छोड़ी जाने वाली ऊर्जा थोड़ी भिन्न होती है। निर्गामी फोटॉन की औसत ऊर्जा अवस्था की सैद्धांतिक ऊर्जा पर चोटी है, लेकिन वितरण की परिमित चौड़ाई है जिसे स्पेक्ट्रल लाइनविड्थ कहा जाता है। तेजी से क्षयमान वाले अवस्था में विस्तृत रेखाचौड़ाई होती है, जबकि धीमी गति से क्षयमान वाले अवस्था में संकीर्ण रेखाचौड़ाई होती है। इसी लाइनविड्थ प्रभाव से कण भौतिकी में अस्थिर, तेजी से क्षयमान वाले कणों के बाकी द्रव्यमान को निर्दिष्ट करना भी मुश्किल हो जाता है। जितनी तेजी से कण का क्षय होता है (जितना कम उसका जीवनकाल होता है), उसका द्रव्यमान उतना ही कम होता है (कण का अनुनाद (कण भौतिकी) जितना बड़ा होता है)।
• अतिचालकता में इलेक्ट्रॉनों की संख्या और इसके गिन्ज़बर्ग-लैंडौ सिद्धांत के चरण कारक के लिएl
  $$\Delta N\,\Delta \varphi \geq 1.$$