पी-समूह: Difference between revisions

Latest revision as of 09:43, 26 July 2023

गणित में, विशेष रूप से समूह सिद्धांत में, अभाज्य संख्या P द्वारा दी जाती है, 'पी-समूह' ऐसा समूह है, जिसमें प्रत्येक तत्व के समूह तत्व का क्रम P की घात द्वारा प्रकट किया जाता है। अर्थात्, पी-समूह मुख्य रूप से G के प्रत्येक तत्व को G के लिए धनात्मक पूर्णांक n में उपस्थिति रहते है, जैसे कि Pⁿg का उत्पाद की प्रतियां, और कम नहीं होने के साथ ही इसकी पहचान के लिए तत्व के समान है। विभिन्न तत्वों का क्रम p की भिन्न-भिन्न घात्स हो सकता है।

एबेलियन समूह पी-समूहों को 'पी-प्राथमिक' या केवल 'प्राथमिक' भी कहा जाता है।

किसी परिमित समूह के लिए पी-समूह इस प्रकार है यदि समूह का क्रम इसके तत्वों की संख्या P की घात को प्रदर्शित करती है। इस स्थिति में परिमित समूह G को देखते हुए, सिलो प्रमेय क्रम pⁿ के लिए G के उपसमूह के अस्तित्व की गारंटी देते हैं, जहाँ प्रत्येक सर्वोच्च शक्ति Pⁿ के लिए जो G के क्रम को विभाजित करता है।

प्रत्येक परिमित पी-समूह निलपोटेंट समूह है।

इस लेख का शेष भाग परिमित पी-समूहों से संबंधित है। अनंत एबेलियन पी-समूह के उदाहरण के लिए, प्रुफ़र समूह देखें, और इस प्रकार अनंत सरल समूह पी-समूह के उदाहरण के लिए, टार्स्की समूह देखें।

गुण

प्रत्येक पी-समूह आवर्त समूह है क्योंकि परिभाषा के अनुसार प्रत्येक तत्व का क्रम सीमित होता है।

यदि p अभाज्य है और G क्रम p^k का समूह है, तो इस प्रकार G के पास होने वाले क्रम में p^m का सामान्य उपसमूह है, जिसे प्रत्येक 1 ≤ m ≤ k के लिए इसके बाद वाले समूहों के लिए कॉची के प्रमेय समूह सिद्धांत या कॉची के प्रमेय और पत्राचार प्रमेय (समूह सिद्धांत) का उपयोग करके प्रेरित किया जाता है। इस प्रमाण रेखाचित्र इस प्रकार है: क्योंकि कॉची के प्रमेय (समूह सिद्धांत) के अनुसार G के समूह Z का केंद्र तुच्छ समूह या गैर-तुच्छ है। इस प्रकार कॉची के प्रमेय Z में क्रम p का उपसमूह H है। इस प्रकार P में केंद्रीय होने के नाते, एच अनिवार्य रूप से G में सामान्य है। अब हम आगमनात्मक परिकल्पना को जी/एच पर लागू कर सकते हैं, और परिणाम पत्राचार प्रमेय से आता है।

गैर-तुच्छ केंद्र

वर्ग समीकरण का उपयोग करने वाले पहले मानक परिणामों में से यह है कि गैर-तुच्छ परिमित पी-समूह का केंद्र (समूह सिद्धांत) तुच्छ उपसमूह नहीं हो सकता है।^[1] यह पी-समूहों में कई आगमनात्मक विधियों का आधार बनता है।

उदाहरण के लिए, परिमित पी-समूह G के उचित उपसमूह एच के सामान्यीकरणकर्ता एन में उचित रूप से एच सम्मिलित है, क्योंकि H = N के साथ किसी भी प्रति-उदाहरण के लिए, केंद्र जेड एन में निहित है, और इसी तरह एच में भी, अपितु फिर है छोटा उदाहरण H/Z जिसका G/Z में सामान्यीकरणकर्ता N/Z = H/Z है, जो अनंत वंश का निर्माण करता है। परिणाम के रूप में, प्रत्येक परिमित पी-समूह शून्यशक्तिशाली समूह है।

दूसरी दिशा में, परिमित पी-समूह का प्रत्येक सामान्य उपसमूह एन केंद्र को गैर-तुच्छ रूप से काटता है जैसा कि एन के तत्वों पर विचार करके प्रमाणित किया जा सकता है, जो तब तय होते हैं, जब G संयुग्मन द्वारा एन पर कार्य करता है। चूँकि प्रत्येक केंद्रीय उपसमूह सामान्य है, इस प्रकार इसका तात्पर्य यह है कि परिमित पी-समूह का प्रत्येक न्यूनतम सामान्य उपसमूह केंद्रीय है और उसका क्रम P है। इसके अतिरिक्त परिमित पी-समूह के समूह का आधार केंद्र का उपसमूह है जिसमें क्रम P के केंद्रीय तत्व सम्मिलित हैं।

यदि G p-समूह है, तो G/Z भी है, और इसलिए इसका भी गैर-तुच्छ केंद्र है। G में जी/जेड के केंद्र की पूर्व प्रतिबिंब को केंद्र समूह सिद्धांत के लिए उच्च केंद्र कहा जाता है और ये समूह ऊपरी केंद्रीय श्रृंखला प्रारंभ करते हैं। इस प्रकार सोसल के बारे में पहले की टिप्पणियों को सामान्यीकृत करते हुए, क्रम Pⁿ के साथ परिमित पी-समूह में क्रम pⁱ 0 ≤ i ≤ n के साथ के सामान्य उपसमूह सम्मिलित हैं, और इसी क्रम में pⁱitth का कोई भी सामान्य उपसमूह केंद्र Z_i में समाहित है, इसके आधार पर यदि सामान्य उपसमूह Z_i में समाहित नहीं है, फिर इसका प्रतिच्छेदन Z_i+1 के साथ है, इसका आकार कम से कम pⁱ⁺¹ है।

ऑटोमोर्फिज्म

पी-समूहों के समूह ऑटोमोर्फिज़्म समूहों का अच्छी तरह से अध्ययन किया गया है। जिस प्रकार प्रत्येक परिमित पी-समूह में गैर-तुच्छ केंद्र होता है, जिससे कि आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म समूह समूह का उचित भागफल हो, उसी प्रकार प्रत्येक परिमित पी-समूह में गैर-तुच्छ समूह स्वचालितता समूह होता हैं, इस प्रकार G का प्रत्येक ऑटोमोर्फिज्म G/Φ(G) पर ऑटोमोर्फिज्म प्रेरित करता है, जहां इस प्रकार Φ(G) G का फ्रैटिनी उपसमूह है। इस प्रकार भागफल G/Φ(G) प्रारंभिक एबेलियन समूह है और इसका ऑटोमोर्फिज्म समूह सामान्य रैखिक समूह है, जो बहुत अच्छी तरह से समझ में आया हैं, इस प्रकार G के ऑटोमोर्फिज्म समूह से इस सामान्य रैखिक समूह में मानचित्र का अध्ययन विलियम बर्नसाइड द्वारा किया गया है, जिन्होंने दिखाया कि इस मानचित्र का कर्नेल पी-समूह है।

उदाहरण

समान क्रम के पी-समूह आवश्यक रूप से समरूपता नहीं हैं, उदाहरण के लिए, चक्रीय समूह C₄ और क्लेन चार-समूह V₄ दोनों क्रम 4 के 2-समूह हैं, अपितु वे समरूपी नहीं हैं।

न ही किसी पी-समूह को एबेलियन समूह होने की आवश्यकता है, डायहेड्रल समूह P₄ के क्रम में 8 का गैर-एबेलियन 2-समूह है। चूंकि, ऑर्डर P² का प्रत्येक समूह एबेलियन है, डायहेड्रल समूह चतुर्धातुक समूहों और सेमीडायहेड्रल समूहों के समान और बहुत भिन्न दोनों हैं। डायहेड्रल, अर्धफलकीय समूह क्वाटरनियन समूह मिलकर अधिकतम वर्ग के 2-समूह बनाते हैं, अर्ताथ क्रम 2ⁿ⁺¹ के समूह और निलपोटेंसी क्लास एन प्रकार का हैं।

पुनरावृत्त श्रेणी उत्पाद

क्रम p के चक्रीय समूहों के पुनरावृत्त श्रेणी उत्पाद, p-समूहों के बहुत महत्वपूर्ण उदाहरण हैं। इस क्रम p के चक्रीय समूह को W(1) के रूप में और W(1) के साथ W(n) के श्रेणी उत्पाद को W(n + 1) के रूप में निरूपित करें। इस स्थिति में W(n) सममित समूह Sym(p)ⁿ का सिलो पी-उपसमूह है, यहाँ पर सामान्य रैखिक समूह GL(n,'Q') के अधिकतम p-उपसमूह विभिन्न W(n) के प्रत्यक्ष उत्पाद हैं। इसमें ऑर्डर Pⁿ है जहां n = (Pⁿ - 1)/(p - 1) को प्रदर्शित करता हैं, इसमें निलपोटेंसी क्लास Pⁿ⁻¹ है, और इसकी निचली केंद्रीय श्रृंखला, ऊपरी केंद्रीय श्रृंखला, निचली घातांक-पी केंद्रीय श्रृंखला, और ऊपरी घातांक-पी केंद्रीय श्रृंखला बराबर हैं। यह क्रम p के तत्वों द्वारा उत्पन्न होता है, अपितु इसका प्रतिपादक pⁿ है. ऐसा दूसरा समूह, W(2), भी अधिकतम वर्ग का p-समूह है, क्योंकि इसका क्रम p^p+1 है और शून्यशक्ति वर्ग p, अपितु यह नियमित p-समूह नहीं है, जो नियमित p-समूह का उचित प्रकार हैं। चूंकि आदेश के समूह P^p सदैव नियमित समूह होते हैं, यह भी ऐसा न्यूनतम उदाहरण है।

सामान्यीकृत डायहेड्रल समूह

जब p = 2 और n = 2, W(n) क्रम 8 का डायहेड्रल समूह है, तो कुछ अर्थों में W(n) n = 2 होने पर सभी अभाज्य संख्याओं p के लिए डायहेड्रल समूह के लिए एनालॉग प्रदान करता है। चूंकि, उच्चतर n के लिए सादृश्य तनावपूर्ण हो जाता है। उदाहरणों का अलग समूह है जो क्रम 2ⁿ के डायहेड्रल समूहों की अधिक बारीकी से नकल करता है, अपितु इसके लिए थोड़े अधिक सेटअप की आवश्यकता है। इस प्रकार मान लीजिए ζ सम्मिश्र संख्याओं में एकीकरण के लिए pth मूल को दर्शाता है, जहाँ मान लीजिए कि 'Z'[ζ] इसके द्वारा उत्पन्न पूर्णांकों के वलय का वलय है, और मान लीजिए कि P 1−ζ द्वारा उत्पन्न अभाज्य आदर्श है। मान लीजिए कि G तत्व z द्वारा उत्पन्न क्रम p का चक्रीय समूह है। इस प्रकार 'Z'[ζ] और G का अर्धप्रत्यक्ष उत्पाद E(p) बनाएं जहां z, ζ से गुणन के रूप में कार्य करता है। उक्त घात Pⁿ E(p) के सामान्य उपसमूह हैं, और उदाहरण समूह E(p,n) = E(p)/P हैंⁿ. E(p,n) का क्रम pⁿ⁺¹ है, और निलपोटेंसी वर्ग n, अधिकतम वर्ग का पी-समूह भी है। जब p = 2, E(2,n) क्रम 2ⁿ का डायहेड्रल समूह है, जब p विषम है, तो W(2) और E(p,p) दोनों अधिकतम वर्ग और क्रम p^p+1 के अनियमित समूह हैं, अपितु समरूपी नहीं हैं।

एकत्रिकोणीय आव्यूह समूह

सामान्य रैखिक समूहों के सिलो उपसमूह उदाहरणों का और मौलिक समूह हैं। मान लीजिए V आयाम n का सदिश समष्टि है जिसका आधार { e₁, e₂, ..., e_n } और V_i को परिभाषित करें जहाँ पर e_i द्वारा उत्पन्न सदिश समष्टि होना, यह है e_i+1, ..., e_n } जहाँ पर 1 ≤ i ≤ n के लिए और V_i = 0 को परिभाषित करते हैं, इस प्रकार जब i> n के समान हैं तो प्रत्येक 1 ≤ m ≤ n के लिए, V के व्युत्क्रमणीय रैखिक परिवर्तनों का सेट जो प्रत्येक V_i लेता है, जो इस प्रकार b_i+m Aut(V) का उपसमूह बनाएं जिसे U_m दर्शाया गया है, इस प्रकार यदि V, 'Z'/p'Z' के ऊपर सदिश समष्टि है, तो U₁ ऑट(V) = GL(n, p) का सिलो पी-उपसमूह है, और इसकी निचली केंद्रीय श्रृंखला की शर्तें सिर्फ u_m को प्रकट करती हैं, इस प्रकार उक्त आव्यूह के संदर्भ में, u_m वे ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह हैं, जिनके विकर्ण पर 1s और पहले m−1 अतिविकर्णों पर 0s हैं। इस प्रकार समूह u₁ आदेश P है^n·(n−1)/2, निलपोटेंसी वर्ग n के समान हैं, और प्रतिपादक p^k के समान हैं, जहां k सबसे छोटा पूर्णांक है, जो कम से कम n के आधार p लघुगणक जितना बड़ा है।

वर्गीकरण

आदेश के समूह pⁿ0 ≤ n ≤ 4 के लिए समूह सिद्धांत के इतिहास में प्रारंभिक रूप से वर्गीकृत किया गया था,^[2] और इस प्रकार आधुनिक कार्य ने इन वर्गीकरणों को उन समूहों तक विस्तारित किया है जिनका क्रम p⁷ को विभाजित करता है, चूंकि ऐसे समूहों के समूहों की संख्या इतनी तेजी से बढ़ती है कि इन पंक्तियों के साथ आगे के वर्गीकरण को मानव मस्तिष्क के लिए समझना मुश्किल माना जाता है।^[3] उदाहरण के लिए, मार्शल हॉल (गणितज्ञ) या मार्शल हॉल जूनियर और जेम्स के क्रम 2ⁿ1964 में n ≤ 6 के लिए इसके वरिष्ठ वर्गीकृत समूह को प्रदर्शित करता हैं।^[4] इस प्रकार समूहों को क्रम से वर्गीकृत करने के अतिरिक्त, फिलिप हॉल ने समूहों के समद्विबाहुवाद की धारणा का उपयोग करने का प्रस्ताव रखा, जो बड़े भागफल और उपसमूहों के आधार पर परिमित पी-समूहों को समूहों में एकत्रित करता था।^[5] इस प्रकार पूर्ण रूप से अलग विधि परिमित पी-समूहों को उनके 'सहवर्ग' के आधार पर वर्गीकृत करती है, अर्थात, उनकी रचना श्रृंखला और उनके निलपोटेंट समूह के बीच का अंतर। तथाकथित 'कोक्लास अनुमान' ने निश्चित सहवर्ग अनुमान सभी परिमित पी-समूहों के सेट को सीमित रूप से कई प्रो-पी समूहों की त्रुटि के रूप में वर्णित किया है। जिसके आधार पर 1980 के दशक में बीजगणित और शक्तिशाली पी-समूहों से संबंधित तकनीकों का उपयोग करके कोक्लास अनुमान सिद्ध किए गए थे।^[6] कोक्लास प्रमेयों के अंतिम प्रमाण ए. शालेव और स्वतंत्र रूप से सी आर लीडहैम-ग्रीन के कारण हैं, दोनों 1994 में देखने को मिले हैं। इस प्रकार इसके वंशज वृक्ष समूह सिद्धांत में परिमित पी-समूहों के वर्गीकरण को स्वीकार करते हैं, जहाँ पर मल्टीफर्केशन और कोक्लास ग्राफ इसमें केवल सीमित रूप से कई कोक्लास पेड़ सम्मिलित हैं, जिसके लिए कई सदस्यों को सीमित रूप से कई पैरामीट्रिज्ड प्रस्तुतियों की विशेषता है।

क्रम P⁵ का प्रत्येक समूह मेटाबेलियन समूह है।^[7]

पी³

तुच्छ समूह क्रम का एकमात्र समूह है, और चक्रीय समूह C_p ऑर्डर P का एकमात्र समूह है। जहाँ यह क्रम p² के ठीक दो समूह हैं, इस प्रकार दोनों एबेलियन, अर्थात् C_p² और C_p× C_p के समान हैं, जैसे उदाहरण के लिए, चक्रीय समूह C₄ और क्लेन चार-समूह V₄ जो C₂× C₂ है, जहाँ दोनों क्रम 4 के 2-समूह हैं।

इस प्रकार इस ऑर्डर में P³ के तीन एबेलियन समूह हैं, अर्थात् C_p³, C_p²× C_p, और C_p× c_p× C_p दो गैर-एबेलियन समूह भी हैं।

P ≠ 2 के लिए, C_p× C_p C_p के साथ का अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है, और दूसरा c_p² का अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है, इस प्रकार C_p के साथ पहले को अन्य शब्दों में P तत्वों के साथ परिमित क्षेत्र पर इकाई त्रिकोणीय आव्यूह के समूह UT (3, P) के रूप में वर्णित किया जा सकता है, जिसे हाइजेनबर्ग समूह मोडुलो विषम अभाज्य P भी कहा जाता है।

पी = 2 के लिए, ऊपर उल्लिखित दोनों अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद डायहेड्रल समूह डिह₄ क्रम 8 के समरूपी हैं। जहाँ पर क्रम 8 का अन्य गैर-एबेलियन समूह चतुर्भुज समूह Q₈ है।

व्यापकता

समूहों के बीच

क्रम Pⁿ के समूहों के समरूपता वर्गों की संख्या $p^{{\frac {2}{27}}n^{3}+O(n^{8/3})}$ के रूप में बढ़ता है, और इन पर उन वर्गों का वर्चस्व है, जो इस प्रकार दो-चरणीय शून्य घात को प्रकट करता हैं।^[8] इस तीव्र वृद्धि के कारण, गणितीय लोककथा अनुमान है कि लगभग सभी परिमित समूह 2-समूह हैं: क्रम के समूहों के समरूपता वर्गों के बीच 2-समूहों के समरूपता वर्गों का अंश, अधिकतम n के रूप में 1 की ओर माना जाता है। इस प्रकार अनन्त सीमा के लिए प्रवृत्त होता है। उदाहरण के लिए इस प्रकार के ऑर्डर के 49 910 529 484 विभिन्न समूहों में से अधिकतम 2000, 49 487 365 422, या बस 99% से अधिक, ऑर्डर 1024 के 2-समूह हैं।^[9]

एक समूह के भीतर

प्रत्येक परिमित समूह जिसका क्रम p से विभाज्य है, जिसमें उपसमूह होता है जो गैर-तुच्छ पी-समूह है, अर्थात् कॉची के प्रमेय (समूह सिद्धांत) या कॉची के प्रमेय से प्राप्त क्रम P के तत्व द्वारा उत्पन्न क्रम P का चक्रीय समूह को प्रदर्शित करता हैं। वास्तविकता में इसमें अधिकतम संभव क्रम का पी-समूह सम्मिलित है: यदि $|G|=n=p^{k}m$ जहाँ p, m को विभाजित नहीं करता है, तो G के पास क्रम का उपसमूह P है, जिसके लिए $p^{k},$ सिलो पी-उपसमूह कहा जाता है। इस उपसमूह को अद्वितीय होने की आवश्यकता नहीं है, अपितु इस क्रम का कोई भी उपसमूह संयुग्मित है, और G का कोई भी p-उपसमूह सिलो p-उपसमूह में समाहित है। यह और अन्य गुण साइलो प्रमेय में सिद्ध होते हैं।

समूह की संरचना के लिए आवेदन

पी-समूह समूहों की संरचना को समझने और परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण में मौलिक उपकरण हैं। पी-समूह उपसमूह और भागफल समूह दोनों के रूप में उत्पन्न होते हैं। उपसमूहों के रूप में, किसी दिए गए प्राइम P के लिए सिलो पी-उपसमूह P के लिए सबसे बड़ा पी-उपसमूह अद्वितीय नहीं है, अपितु सभी संयुग्मित और पी-कोर $O_{p}(G)$ है, जहाँ अद्वितीय सबसे बड़ा सामान्य पी-उपसमूह, और इस प्रकार विभिन्न भागफल के रूप में, सबसे बड़ा पी-समूह भागफल, पी-अवशिष्ट उपसमूह द्वारा G का भागफल है। जो इस प्रकार पी-अवशिष्ट उपसमूह $O^{p}(G).$ के समूह से संबंधित हैं, जहाँ विभिन्न अभाज्य संख्याओं के लिए इनमें फोकल उपसमूह प्रमेय जैसे महत्वपूर्ण गुण होते हैं, और समूह की संरचना के कई पहलुओं को निर्धारित करने की अनुमति मिलती है।

स्थानीय नियंत्रण

इस प्रकार के परिमित समूह की अधिकांश संरचना उसके तथाकथित स्थानीय उपसमूहों की संरचना में होती है, जो गैर-पहचान पी-उपसमूहों के सामान्यीकरणकर्ता हैं।^[10] जिसमें इस प्रकार परिमित समूह के बड़े प्राथमिक एबेलियन समूह उस समूह पर नियंत्रण रखते हैं, जिसका उपयोग फीट-थॉम्पसन प्रमेय के प्रमाण में किया गया था। कुछ समूह विस्तार प्राथमिक एबेलियन समूहों के केंद्रीय विस्तार, जिन्हें अतिरिक्त विशेष समूह कहा जाता है, इसके समूहों की संरचना को सहानुभूतिपूर्ण सदिश स्थानों पर कार्य करने में सहायता करते हैं।

रिचर्ड ब्रौएर ने उन सभी समूहों को वर्गीकृत किया जिनके साइलो 2-उपसमूह क्रम 4 के दो चक्रीय समूहों के प्रत्यक्ष उत्पाद हैं, और इस प्रकार जॉन वाल्टर (गणितज्ञ), डैनियल गोरेन्स्टीन, हेल्मुट बेंडर, मिचियो सुजुकी (गणितज्ञ), जॉर्ज फेथरमैन और अन्य ने उन सरल समूहों को वर्गीकृत किया है। जिनके सिलो 2-उपसमूह एबेलियन, डायहेड्रल, सेमीडायहेड्रल, या क्वाटरनियन थे।

यह भी देखें

फ़ुटनोट

उद्धरण

↑ proof
↑ (Burnside 1897)
↑ (Leedham-Green & McKay 2002, p. 214)
↑ (Hall Jr. & Senior 1964)
↑ (Hall 1940)
↑ (Leedham-Green & McKay 2002)
↑ "Every group of order p⁵ is metabelian". Stack Exchange. 24 March 2012. Retrieved 7 January 2016.
↑ (Sims 1965)
↑ (Besche, Eick & O'Brien 2002)
↑ (Glauberman 1971)

संदर्भ

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Burnside, William (1897), Theory of groups of finite order, Cambridge University Press, ISBN 9781440035456
Glauberman, George (1971), "Global and local properties of finite groups", Finite simple groups (Proc. Instructional Conf., Oxford, 1969), Boston, MA: Academic Press, pp. 1–64, MR 0352241
Hall Jr., Marshall; Senior, James K. (1964), The Groups of Order 2ⁿ (n ≤ 6), London: Macmillan, LCCN 64016861, MR 0168631 — An exhaustive catalog of the 340 non-abelian groups of order dividing 64 with detailed tables of defining relations, constants, and lattice presentations of each group in the notation the text defines. "Of enduring value to those interested in finite groups" (from the preface).
Hall, Philip (1940), "The classification of prime-power groups", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1940 (182): 130–141, doi:10.1515/crll.1940.182.130, ISSN 0075-4102, MR 0003389, S2CID 122817195
Leedham-Green, C. R.; McKay, Susan (2002), The structure of groups of prime power order, London Mathematical Society Monographs. New Series, vol. 27, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853548-5, MR 1918951
Sims, Charles (1965), "Enumerating p-groups", Proc. London Math. Soc., Series 3, 15: 151–166, doi:10.1112/plms/s3-15.1.151, MR 0169921

अग्रिम पठन

Berkovich, Yakov (2008), Groups of Prime Power Order, de Gruyter Expositions in Mathematics 46, vol. 1, Berlin: Walter de Gruyter GmbH, ISBN 978-3-1102-0418-6
Berkovich, Yakov; Janko, Zvonimir (2008), Groups of Prime Power Order, de Gruyter Expositions in Mathematics 47, vol. 2, Berlin: Walter de Gruyter GmbH, ISBN 978-3-1102-0419-3
Berkovich, Yakov; Janko, Zvonimir (2011-06-16), Groups of Prime Power Order, de Gruyter Expositions in Mathematics 56, vol. 3, Berlin: Walter de Gruyter GmbH, ISBN 978-3-1102-0717-0

बाहरी संबंध

Rowland, Todd & Weisstein, Eric W. "p-Group". MathWorld.

[1] roof

[2] (Burnside 1897)

[3] (Leedham-Green & McKay 2002, p. 214)

[4] (Hall Jr. & Senior 1964)

[5] (Hall 1940)

[6] (Leedham-Green & McKay 2002)

[metabelian-7] "Every group of order p⁵ is metabelian". Stack Exchange. 24 March 2012. Retrieved 7 January 2016.

[8] (Sims 1965)

[9] (Besche, Eick & O'Brien 2002)

[10] (Glauberman 1971)

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@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Group in which the order of every element is a power of p}}
-{{Distinguish|n-group (category theory)}}
+{{Distinguish|एन-समूह (श्रेणी सिद्धांत)}}
 {{Group theory sidebar |Finite}}
 {{DISPLAYTITLE:{{mvar|p}}-group}}
-गणित में, विशेष रूप से [[समूह सिद्धांत]] में, एक [[अभाज्य संख्या]] पी दी जाती है, एक 'पी-समूह' एक [[समूह (गणित)]] है जिसमें प्रत्येक तत्व के [[समूह तत्व का क्रम]] पी की एक [[शक्ति (गणित)]] है। अर्थात्, पी-समूह जी के प्रत्येक तत्व जी के लिए, एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक n मौजूद है जैसे कि पी का उत्पाद<sup>n</sup>g की प्रतियां, और कम नहीं, [[पहचान तत्व]] के बराबर है। विभिन्न तत्वों का क्रम p की भिन्न-भिन्न शक्तियाँ हो सकता है।
+गणित में, विशेष रूप से [[समूह सिद्धांत]] में, [[अभाज्य संख्या]] P द्वारा दी जाती है, '<nowiki/>'''पी-समूह'''' ऐसा [[समूह (गणित)|समूह]] है, जिसमें प्रत्येक तत्व के [[समूह तत्व का क्रम]] P की घात द्वारा प्रकट किया जाता है। अर्थात्, पी-समूह मुख्य रूप से G के प्रत्येक तत्व को G के लिए धनात्मक पूर्णांक n में उपस्थिति रहते है, जैसे कि P<sup>n</sup>g का उत्पाद की प्रतियां, और कम नहीं होने के साथ ही इसकी [[पहचान तत्व|पहचान के लिए तत्व]] के समान है। विभिन्न तत्वों का क्रम p की भिन्न-भिन्न घात्स हो सकता है।
 [[एबेलियन समूह]] पी-समूहों को 'पी-प्राथमिक' या केवल 'प्राथमिक' भी कहा जाता है।
-एक [[परिमित समूह]] एक पी-समूह है यदि और केवल यदि समूह का क्रम (इसके तत्वों की संख्या) पी की शक्ति है। एक परिमित समूह G को देखते हुए, [[सिलो प्रमेय]] क्रम p के G के एक [[उपसमूह]] के अस्तित्व की गारंटी देते हैं<sup>n</sup>प्रत्येक [[ सर्वोच्च शक्ति ]] पी के लिए<sup>n</sup> जो G के क्रम को विभाजित करता है।
+किसी [[परिमित समूह]] के लिए पी-समूह इस प्रकार है यदि समूह का क्रम इसके तत्वों की संख्या P की घात को प्रदर्शित करती है। इस स्थिति में परिमित समूह G को देखते हुए, [[सिलो प्रमेय]] क्रम p<sup>n</sup> के लिए G के [[उपसमूह]] के अस्तित्व की गारंटी देते हैं, जहाँ प्रत्येक [[ सर्वोच्च शक्ति |सर्वोच्च शक्ति]] P<sup>n</sup> के लिए जो G के क्रम को विभाजित करता है।
 प्रत्येक परिमित पी-समूह [[निलपोटेंट समूह]] है।
-इस लेख का शेष भाग परिमित पी-समूहों से संबंधित है। अनंत एबेलियन पी-समूह के उदाहरण के लिए, प्रुफ़र समूह देखें, और अनंत [[सरल समूह]] पी-समूह के उदाहरण के लिए, [[टार्स्की राक्षस समूह]] देखें।
+इस लेख का शेष भाग परिमित पी-समूहों से संबंधित है। अनंत एबेलियन पी-समूह के उदाहरण के लिए, प्रुफ़र समूह देखें, और इस प्रकार अनंत [[सरल समूह]] पी-समूह के उदाहरण के लिए, [[टार्स्की राक्षस समूह|टार्स्की समूह]] देखें।
 ==गुण==
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 प्रत्येक पी-समूह आवर्त समूह है क्योंकि परिभाषा के अनुसार प्रत्येक तत्व का क्रम सीमित होता है।
-यदि p अभाज्य है और G क्रम p का एक समूह है<sup>k</sup>, तो G के पास क्रम p का एक सामान्य उपसमूह है<sup>m</sup>प्रत्येक 1 ≤ m ≤ k के लिए। इसके बाद समूहों के लिए कॉची के प्रमेय (समूह सिद्धांत) | कॉची के प्रमेय और [[पत्राचार प्रमेय (समूह सिद्धांत)]] का उपयोग करके प्रेरण किया जाता है। एक प्रमाण रेखाचित्र इस प्रकार है: क्योंकि कॉची के प्रमेय (समूह सिद्धांत) के अनुसार G के समूह Z का केंद्र [[तुच्छ समूह]] | गैर-तुच्छ (नीचे देखें) है | कॉची के प्रमेय Z में क्रम p का एक उपसमूह H है। जी में केंद्रीय होने के नाते, एच अनिवार्य रूप से जी में सामान्य है। अब हम आगमनात्मक परिकल्पना को जी/एच पर लागू कर सकते हैं, और परिणाम पत्राचार प्रमेय से आता है।
+यदि p अभाज्य है और G क्रम p<sup>k</sup> का समूह है, तो इस प्रकार G के पास होने वाले क्रम में p<sup>m</sup> का सामान्य उपसमूह है, जिसे प्रत्येक 1 ≤ m ≤ k के लिए इसके बाद वाले समूहों के लिए कॉची के प्रमेय समूह सिद्धांत या कॉची के प्रमेय और [[पत्राचार प्रमेय (समूह सिद्धांत)]] का उपयोग करके प्रेरित किया जाता है। इस प्रमाण रेखाचित्र इस प्रकार है: क्योंकि कॉची के प्रमेय (समूह सिद्धांत) के अनुसार G के समूह Z का केंद्र [[तुच्छ समूह]] या गैर-तुच्छ है। इस प्रकार कॉची के प्रमेय Z में क्रम p का उपसमूह H है। इस प्रकार P में केंद्रीय होने के नाते, एच अनिवार्य रूप से G में सामान्य है। अब हम आगमनात्मक परिकल्पना को जी/एच पर लागू कर सकते हैं, और परिणाम पत्राचार प्रमेय से आता है।
 ===गैर-तुच्छ केंद्र===
-[[वर्ग समीकरण]] का उपयोग करने वाले पहले मानक परिणामों में से एक यह है कि एक गैर-तुच्छ परिमित पी-समूह का [[केंद्र (समूह सिद्धांत)]] तुच्छ उपसमूह नहीं हो सकता है।<ref>[[Conjugacy class#Example|proof]]</ref>
+[[वर्ग समीकरण]] का उपयोग करने वाले पहले मानक परिणामों में से यह है कि गैर-तुच्छ परिमित पी-समूह का [[केंद्र (समूह सिद्धांत)]] तुच्छ उपसमूह नहीं हो सकता है।<ref>[[Conjugacy class#Example|proof]]</ref> यह पी-समूहों में कई आगमनात्मक विधियों का आधार बनता है।
-यह पी-समूहों में कई आगमनात्मक विधियों का आधार बनता है।
-उदाहरण के लिए, एक परिमित पी-समूह जी के [[उचित उपसमूह]] एच के सामान्यीकरणकर्ता एन में उचित रूप से एच शामिल है, क्योंकि एच = एन के साथ किसी भी प्रति-उदाहरण के लिए, केंद्र जेड एन में निहित है, और इसी तरह एच में भी, लेकिन फिर एक है छोटा उदाहरण H/Z जिसका G/Z में सामान्यीकरणकर्ता N/Z = H/Z है, जो एक अनंत वंश का निर्माण करता है। परिणाम के रूप में, प्रत्येक परिमित पी-समूह शून्यशक्तिशाली समूह है।
+उदाहरण के लिए, परिमित पी-समूह G के [[उचित उपसमूह]] एच के सामान्यीकरणकर्ता एन में उचित रूप से एच सम्मिलित है, क्योंकि H = N के साथ किसी भी प्रति-उदाहरण के लिए, केंद्र जेड एन में निहित है, और इसी तरह एच में भी, अपितु फिर है छोटा उदाहरण H/Z जिसका G/Z में सामान्यीकरणकर्ता N/Z = H/Z है, जो अनंत वंश का निर्माण करता है। परिणाम के रूप में, प्रत्येक परिमित पी-समूह शून्यशक्तिशाली समूह है।
-दूसरी दिशा में, एक परिमित पी-समूह का प्रत्येक [[सामान्य उपसमूह]] एन केंद्र को गैर-तुच्छ रूप से काटता है जैसा कि एन के तत्वों पर विचार करके साबित किया जा सकता है जो तब तय होते हैं जब जी संयुग्मन द्वारा एन पर कार्य करता है। चूँकि प्रत्येक केंद्रीय उपसमूह सामान्य है, इसका तात्पर्य यह है कि परिमित पी-समूह का प्रत्येक न्यूनतम सामान्य उपसमूह केंद्रीय है और उसका क्रम पी है। दरअसल, एक परिमित पी-समूह के समूह का आधार केंद्र का उपसमूह है जिसमें क्रम पी के केंद्रीय तत्व शामिल हैं।
+दूसरी दिशा में, परिमित पी-समूह का प्रत्येक [[सामान्य उपसमूह]] एन केंद्र को गैर-तुच्छ रूप से काटता है जैसा कि एन के तत्वों पर विचार करके प्रमाणित किया जा सकता है, जो तब तय होते हैं, जब G संयुग्मन द्वारा एन पर कार्य करता है। चूँकि प्रत्येक केंद्रीय उपसमूह सामान्य है, इस प्रकार इसका तात्पर्य यह है कि परिमित पी-समूह का प्रत्येक न्यूनतम सामान्य उपसमूह केंद्रीय है और उसका क्रम P है। इसके अतिरिक्त परिमित पी-समूह के समूह का आधार केंद्र का उपसमूह है जिसमें क्रम P के केंद्रीय तत्व सम्मिलित हैं।
-यदि G एक p-समूह है, तो G/Z भी है, और इसलिए इसका भी एक गैर-तुच्छ केंद्र है। जी में जी/जेड के केंद्र की पूर्वछवि को केंद्र (समूह सिद्धांत)#उच्च केंद्र कहा जाता है और ये समूह [[ऊपरी केंद्रीय श्रृंखला]] शुरू करते हैं। सोसल के बारे में पहले की टिप्पणियों को सामान्यीकृत करते हुए, क्रम पी के साथ एक परिमित पी-समूह<sup>n</sup> में क्रम p के सामान्य उपसमूह शामिल हैं<sup>i</sup> 0 ≤ i ≤ n के साथ, और क्रम p का कोई भी सामान्य उपसमूह<sup>i</sup>itth केंद्र Z में समाहित है<sub>''i''</sub>. यदि एक सामान्य उपसमूह Z में समाहित नहीं है<sub>''i''</sub>, फिर इसका प्रतिच्छेदन Z के साथ है<sub>''i''+1</sub> इसका आकार कम से कम p है<sup>मैं+1</sup>.
+यदि G p-समूह है, तो G/Z भी है, और इसलिए इसका भी गैर-तुच्छ केंद्र है। G में जी/जेड के केंद्र की पूर्व प्रतिबिंब को केंद्र समूह सिद्धांत के लिए उच्च केंद्र कहा जाता है और ये समूह [[ऊपरी केंद्रीय श्रृंखला]] प्रारंभ करते हैं। इस प्रकार सोसल के बारे में पहले की टिप्पणियों को सामान्यीकृत करते हुए, क्रम P<sup>n</sup> के साथ परिमित पी-समूह में क्रम p<sup>i</sup> 0 ≤ i ≤ n के साथ के सामान्य उपसमूह सम्मिलित हैं, और इसी क्रम में p<sup>i</sup>itth का कोई भी सामान्य उपसमूह केंद्र Z<sub>''i''</sub> में समाहित है, इसके आधार पर यदि सामान्य उपसमूह Z<sub>''i''</sub> में समाहित नहीं है, फिर इसका प्रतिच्छेदन Z<sub>''i''+1</sub> के साथ है, इसका आकार कम से कम p<sup>i+1</sup> है।
 ===ऑटोमोर्फिज्म===
-पी-समूहों के समूह ऑटोमोर्फिज़्म समूहों का अच्छी तरह से अध्ययन किया गया है। जिस प्रकार प्रत्येक परिमित पी-समूह में एक गैर-तुच्छ केंद्र होता है ताकि [[आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म समूह]] समूह का एक उचित भागफल हो, उसी प्रकार प्रत्येक परिमित पी-समूह में एक गैर-तुच्छ [[समूह स्वचालितता]] समूह हो<!-- Gaschuetz. In fact people tried to figure out how big it was, conjecture, minimal counterexample of order p^6, yada yada-->. G का प्रत्येक ऑटोमोर्फिज्म G/Φ(G) पर एक ऑटोमोर्फिज्म प्रेरित करता है, जहां Φ(G) G का [[फ्रैटिनी उपसमूह]] है। भागफल G/Φ(G) एक प्रारंभिक एबेलियन समूह है और इसका [[ऑटोमोर्फिज्म समूह]] एक [[सामान्य रैखिक समूह]] है, बहुत अच्छी तरह से समझ में आया. जी के ऑटोमोर्फिज्म समूह से इस सामान्य रैखिक समूह में मानचित्र का अध्ययन [[विलियम बर्नसाइड]] द्वारा किया गया है, जिन्होंने दिखाया कि इस मानचित्र का कर्नेल एक पी-समूह है। <!-- give corresponding theorems for action on Ω and the socle -->
+पी-समूहों के समूह '''ऑटोमोर्फिज़्म''' समूहों का अच्छी तरह से अध्ययन किया गया है। जिस प्रकार प्रत्येक परिमित पी-समूह में गैर-तुच्छ केंद्र होता है, जिससे कि [[आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म समूह]] समूह का उचित भागफल हो, उसी प्रकार प्रत्येक परिमित पी-समूह में गैर-तुच्छ [[समूह स्वचालितता]] समूह होता हैं, इस प्रकार G का प्रत्येक ऑटोमोर्फिज्म G/Φ(G) पर ऑटोमोर्फिज्म प्रेरित करता है, जहां इस प्रकार Φ(G) G का [[फ्रैटिनी उपसमूह]] है। इस प्रकार भागफल G/Φ(G) प्रारंभिक एबेलियन समूह है और इसका [[ऑटोमोर्फिज्म समूह]] [[सामान्य रैखिक समूह]] है, जो बहुत अच्छी तरह से समझ में आया हैं, इस प्रकार G के ऑटोमोर्फिज्म समूह से इस सामान्य रैखिक समूह में मानचित्र का अध्ययन [[विलियम बर्नसाइड]] द्वारा किया गया है, जिन्होंने दिखाया कि इस मानचित्र का कर्नेल पी-समूह है।
 ==उदाहरण==
-समान क्रम के पी-समूह आवश्यक रूप से समरूपता नहीं हैं; उदाहरण के लिए, [[चक्रीय समूह]] सी<sub>4</sub> और क्लेन चार-समूह वी<sub>4</sub> दोनों क्रम 4 के 2-समूह हैं, लेकिन वे समरूपी नहीं हैं।
+समान क्रम के पी-समूह आवश्यक रूप से समरूपता नहीं हैं, उदाहरण के लिए, [[चक्रीय समूह]] C<sub>4</sub> और क्लेन चार-समूह V<sub>4</sub> दोनों क्रम 4 के 2-समूह हैं, अपितु वे समरूपी नहीं हैं।
-न ही किसी पी-समूह को एबेलियन समूह होने की आवश्यकता है; [[डायहेड्रल समूह]] दिह<sub>4</sub> क्रम 8 का एक गैर-एबेलियन 2-समूह है। हालाँकि, ऑर्डर पी का प्रत्येक समूह<sup>2</sup>एबेलियन है.<ref group="note">To prove that a group of order ''p''<sup>2</sup> is abelian, note that it is a ''p''-group so has non-trivial center, so given a non-trivial element of the center ''g,'' this either generates the group (so ''G'' is cyclic, hence abelian: <math>G=C_{p^2}</math>), or it generates a subgroup of order ''p,'' so ''g'' and some element ''h'' not in its orbit generate ''G,'' (since the subgroup they generate must have order <math>p^2</math>) but they commute since ''g'' is central, so the group is abelian, and in fact <math>G=C_p \times C_p.</math></ref>
+न ही किसी पी-समूह को एबेलियन समूह होने की आवश्यकता है, [[डायहेड्रल समूह]] P<sub>4</sub> के क्रम में 8 का गैर-एबेलियन 2-समूह है। चूंकि, ऑर्डर P<sup>2</sup> का प्रत्येक समूह एबेलियन है, डायहेड्रल समूह चतुर्धातुक समूहों और सेमीडायहेड्रल समूहों के समान और बहुत भिन्न दोनों हैं। डायहेड्रल, [[अर्धफलकीय समूह]] क्वाटरनियन समूह मिलकर [[अधिकतम वर्ग]] के 2-समूह बनाते हैं, अर्ताथ क्रम 2<sup>n+1</sup> के समूह और निलपोटेंसी क्लास एन प्रकार का हैं।
-डायहेड्रल समूह चतुर्धातुक समूहों और सेमीडायहेड्रल समूहों के समान और बहुत भिन्न दोनों हैं। डायहेड्रल, [[अर्धफलकीय समूह]] क्वाटरनियन समूह मिलकर [[अधिकतम वर्ग]] के 2-समूह बनाते हैं, यानी क्रम 2 के समूह<sup>n+1</sup> और निलपोटेंसी क्लास एन।
-===पुनरावृत्त [[पुष्पांजलि उत्पाद]]===
+===पुनरावृत्त श्रेणी [[पुष्पांजलि उत्पाद|उत्पाद]]===
-क्रम p के चक्रीय समूहों के पुनरावृत्त पुष्प उत्पाद, p-समूहों के बहुत महत्वपूर्ण उदाहरण हैं। क्रम p के चक्रीय समूह को W(1) के रूप में और W(1) के साथ W(n) के पुष्प उत्पाद को W(n + 1) के रूप में निरूपित करें। तब W(n) [[सममित समूह]] Sym(p) का सिलो पी-उपसमूह है<sup>n</sup>). सामान्य रैखिक समूह GL(n,'Q') के अधिकतम p-उपसमूह विभिन्न W(n) के प्रत्यक्ष उत्पाद हैं। इसमें ऑर्डर पी है<sup>क</sup> जहां क = (पृ<sup>n</sup> - 1)/(p - 1). इसमें निलपोटेंसी क्लास पी है<sup>n−1</sup>, और इसकी निचली केंद्रीय श्रृंखला, ऊपरी केंद्रीय श्रृंखला, निचली घातांक-पी केंद्रीय श्रृंखला, और ऊपरी घातांक-पी केंद्रीय श्रृंखला बराबर हैं। यह क्रम p के तत्वों द्वारा उत्पन्न होता है, लेकिन इसका प्रतिपादक p है<sup>n</sup>. ऐसा दूसरा समूह, W(2), भी अधिकतम वर्ग का एक p-समूह है, क्योंकि इसका क्रम p है<sup>p+1</sup> और nilpotency वर्ग p, लेकिन यह नियमित p-समूह नहीं है|नियमित p-समूह। चूंकि आदेश के समूह पी<sup>पी</sup>हमेशा नियमित समूह होते हैं, यह भी ऐसा एक न्यूनतम उदाहरण है।
+क्रम p के चक्रीय समूहों के पुनरावृत्त श्रेणी उत्पाद, p-समूहों के बहुत महत्वपूर्ण उदाहरण हैं। इस क्रम p के चक्रीय समूह को W(1) के रूप में और W(1) के साथ W(n) के श्रेणी उत्पाद को W(n + 1) के रूप में निरूपित करें। इस स्थिति में W(n) [[सममित समूह]] Sym(p)<sup>n</sup> का सिलो पी-उपसमूह है, यहाँ पर सामान्य रैखिक समूह GL(n,'Q') के अधिकतम p-उपसमूह विभिन्न W(n) के प्रत्यक्ष उत्पाद हैं। इसमें ऑर्डर P<sup>n</sup> है जहां n = (P<sup>n</sup> - 1)/(p - 1) को प्रदर्शित करता हैं, इसमें निलपोटेंसी क्लास P<sup>n−1</sup> है, और इसकी निचली केंद्रीय श्रृंखला, ऊपरी केंद्रीय श्रृंखला, निचली घातांक-पी केंद्रीय श्रृंखला, और ऊपरी घातांक-पी केंद्रीय श्रृंखला बराबर हैं। यह क्रम p के तत्वों द्वारा उत्पन्न होता है, अपितु इसका प्रतिपादक p<sup>n</sup> है. ऐसा दूसरा समूह, W(2), भी अधिकतम वर्ग का p-समूह है, क्योंकि इसका क्रम p<sup>p+1</sup> है और शून्यशक्ति वर्ग p, अपितु यह नियमित p-समूह नहीं है, जो नियमित p-समूह का उचित प्रकार हैं। चूंकि आदेश के समूह P<sup>p</sup> सदैव नियमित समूह होते हैं, यह भी ऐसा न्यूनतम उदाहरण है।
 ===सामान्यीकृत डायहेड्रल समूह===
-जब p = 2 और n = 2, W(n) क्रम 8 का डायहेड्रल समूह है, तो कुछ अर्थों में W(n) n = 2 होने पर सभी अभाज्य संख्याओं p के लिए डायहेड्रल समूह के लिए एक एनालॉग प्रदान करता है। हालाँकि, उच्चतर n के लिए सादृश्य तनावपूर्ण हो जाता है। उदाहरणों का एक अलग परिवार है जो क्रम 2 के डायहेड्रल समूहों की अधिक बारीकी से नकल करता है<sup>n</sup>, लेकिन इसके लिए थोड़े अधिक सेटअप की आवश्यकता है। मान लीजिए ζ सम्मिश्र संख्याओं में एकता के एक आदिम pth मूल को दर्शाता है, मान लीजिए कि 'Z'[ζ] इसके द्वारा उत्पन्न पूर्णांकों के वलय का वलय है, और मान लीजिए कि P 1−ζ द्वारा उत्पन्न अभाज्य आदर्श है। मान लीजिए कि G एक तत्व z द्वारा उत्पन्न क्रम p का एक चक्रीय समूह है। 'Z'[ζ] और G का [[अर्धप्रत्यक्ष उत्पाद]] E(p) बनाएं जहां z, ζ से गुणन के रूप में कार्य करता है। शक्तियां पी<sup>n</sup> E(p) के सामान्य उपसमूह हैं, और उदाहरण समूह E(p,n) = E(p)/P हैं<sup>n</sup>. E(p,n) का क्रम p है<sup>n+1</sup> और निलपोटेंसी वर्ग n, अधिकतम वर्ग का एक पी-समूह भी है। जब p = 2, E(2,n) क्रम 2 का डायहेड्रल समूह है<sup>n</sup>. जब p विषम है, तो W(2) और E(p,p) दोनों अधिकतम वर्ग और क्रम p के अनियमित समूह हैं<sup>p+1</sup>, लेकिन समरूपी नहीं हैं।
+जब p = 2 और n = 2, W(n) क्रम 8 का डायहेड्रल समूह है, तो कुछ अर्थों में W(n) n = 2 होने पर सभी अभाज्य संख्याओं p के लिए डायहेड्रल समूह के लिए एनालॉग प्रदान करता है। चूंकि, उच्चतर n के लिए सादृश्य तनावपूर्ण हो जाता है। उदाहरणों का अलग समूह है जो क्रम 2<sup>n</sup> के डायहेड्रल समूहों की अधिक बारीकी से नकल करता है, अपितु इसके लिए थोड़े अधिक सेटअप की आवश्यकता है। इस प्रकार मान लीजिए ζ सम्मिश्र संख्याओं में एकीकरण के लिए pth मूल को दर्शाता है, जहाँ मान लीजिए कि 'Z'[ζ] इसके द्वारा उत्पन्न पूर्णांकों के वलय का वलय है, और मान लीजिए कि P 1−ζ द्वारा उत्पन्न अभाज्य आदर्श है। मान लीजिए कि G तत्व z द्वारा उत्पन्न क्रम p का चक्रीय समूह है। इस प्रकार 'Z'[ζ] और G का [[अर्धप्रत्यक्ष उत्पाद]] E(p) बनाएं जहां z, ζ से गुणन के रूप में कार्य करता है। उक्त घात P<sup>n</sup> E(p) के सामान्य उपसमूह हैं, और उदाहरण समूह E(p,n) = E(p)/P हैं<sup>n</sup>. E(p,n) का क्रम p<sup>n+1</sup> है, और निलपोटेंसी वर्ग n, अधिकतम वर्ग का पी-समूह भी है। जब p = 2, E(2,n) क्रम 2<sup>n</sup> का डायहेड्रल समूह है, जब p विषम है, तो W(2) और E(p,p) दोनों अधिकतम वर्ग और क्रम p<sup>p+1</sup> के अनियमित समूह हैं, अपितु समरूपी नहीं हैं।
-===एकत्रिकोणीय मैट्रिक्स समूह===
+===एकत्रिकोणीय आव्यूह समूह===
-सामान्य रैखिक समूहों के सिलो उपसमूह उदाहरणों का एक और मौलिक परिवार हैं। मान लीजिए V आयाम n का एक सदिश समष्टि है जिसका आधार { e है<sub>1</sub>, यह है<sub>2</sub>, ..., यह है<sub>''n''</sub> } और वी को परिभाषित करें<sub>''i''</sub> { e द्वारा उत्पन्न सदिश समष्टि होना<sub>''i''</sub>, यह है<sub>''i''+1</sub>, ..., यह है<sub>''n''</sub> } 1 ≤ i ≤ n के लिए, और V को परिभाषित करें<sub>''i''</sub> = 0 जब मैं > एन. प्रत्येक 1 ≤ m ≤ n के लिए, V के व्युत्क्रमणीय रैखिक परिवर्तनों का सेट जो प्रत्येक V लेता है<sub>''i''</sub> अक्षर बी<sub>''i''+''m''</sub> Aut(V) का एक उपसमूह बनाएं जिसे U दर्शाया गया है<sub>''m''</sub>. यदि V, 'Z'/p'Z' के ऊपर एक सदिश समष्टि है, तो U<sub>1</sub> ऑट(वी) = जीएल(एन, पी) का एक सिलो पी-उपसमूह है, और इसकी [[निचली केंद्रीय श्रृंखला]] की शर्तें सिर्फ यू हैं<sub>''m''</sub>. मैट्रिक्स के संदर्भ में, यू<sub>''m''</sub> वे ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह हैं जिनके एक विकर्ण पर 1s और पहले m−1 अतिविकर्णों पर 0s हैं। समूह यू<sub>1</sub> आदेश पी है<sup>n·(n−1)/2</sup>, निलपोटेंसी वर्ग n, और प्रतिपादक p<sup>k</sup> जहां k सबसे छोटा पूर्णांक है जो कम से कम n के आधार p लघुगणक जितना बड़ा है।
+सामान्य रैखिक समूहों के सिलो उपसमूह उदाहरणों का और मौलिक समूह हैं। मान लीजिए V आयाम n का सदिश समष्टि है जिसका आधार { e<sub>1</sub>, e<sub>2</sub>, ..., e<sub>''n''</sub> } और V<sub>''i''</sub> को परिभाषित करें जहाँ पर e<sub>''i''</sub> द्वारा उत्पन्न सदिश समष्टि होना, यह है e<sub>''i''+1</sub>, ..., e<sub>''n''</sub> } जहाँ पर 1 ≤ i ≤ n के लिए और V<sub>''i''</sub> = 0 को परिभाषित करते हैं, इस प्रकार जब i> n के समान हैं तो प्रत्येक 1 ≤ m ≤ n के लिए, V के व्युत्क्रमणीय रैखिक परिवर्तनों का सेट जो प्रत्येक V<sub>''i''</sub> लेता है, जो इस प्रकार b<sub>''i''+''m''</sub> Aut(V) का उपसमूह बनाएं जिसे U<sub>''m''</sub> दर्शाया गया है, इस प्रकार यदि V, 'Z'/p'Z' के ऊपर सदिश समष्टि है, तो U<sub>1</sub> ऑट(V) = GL(n, p) का सिलो पी-उपसमूह है, और इसकी [[निचली केंद्रीय श्रृंखला]] की शर्तें सिर्फ u<sub>''m''</sub> को प्रकट करती हैं, इस प्रकार उक्त आव्यूह के संदर्भ में, u<sub>''m''</sub> वे ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह हैं, जिनके विकर्ण पर 1s और पहले m−1 अतिविकर्णों पर 0s हैं। इस प्रकार समूह u<sub>1</sub> आदेश P है<sup>n·(n−1)/2</sup>, निलपोटेंसी वर्ग n के समान हैं, और प्रतिपादक p<sup>k</sup> के समान हैं, जहां k सबसे छोटा पूर्णांक है, जो कम से कम n के आधार p लघुगणक जितना बड़ा है।
 ==वर्गीकरण==
-आदेश के समूह पी<sup>n</sup>0 ≤ n ≤ 4 के लिए समूह सिद्धांत के इतिहास में प्रारंभिक रूप से वर्गीकृत किया गया था,<ref>{{harv|Burnside|1897}}</ref> और आधुनिक कार्य ने इन वर्गीकरणों को उन समूहों तक विस्तारित किया है जिनका क्रम p को विभाजित करता है<sup>7</sup>, हालांकि ऐसे समूहों के परिवारों की संख्या इतनी तेजी से बढ़ती है कि इन पंक्तियों के साथ आगे के वर्गीकरण को मानव मस्तिष्क के लिए समझना मुश्किल माना जाता है।<ref>{{harv|Leedham-Green|McKay|2002|p=214}}</ref> उदाहरण के लिए, मार्शल हॉल (गणितज्ञ)|मार्शल हॉल जूनियर और जेम्स के. क्रम 2 के वरिष्ठ वर्गीकृत समूह<sup>n</sup>1964 में n ≤ 6 के लिए।<ref>{{Harv|Hall Jr.|Senior|1964}}</ref>
+आदेश के समूह p<sup>n</sup>0 ≤ n ≤ 4 के लिए समूह सिद्धांत के इतिहास में प्रारंभिक रूप से वर्गीकृत किया गया था,<ref>{{harv|Burnside|1897}}</ref> और इस प्रकार आधुनिक कार्य ने इन वर्गीकरणों को उन समूहों तक विस्तारित किया है जिनका क्रम p<sup>7</sup> को विभाजित करता है, चूंकि ऐसे समूहों के समूहों की संख्या इतनी तेजी से बढ़ती है कि इन पंक्तियों के साथ आगे के वर्गीकरण को मानव मस्तिष्क के लिए समझना मुश्किल माना जाता है।<ref>{{harv|Leedham-Green|McKay|2002|p=214}}</ref> उदाहरण के लिए, मार्शल हॉल (गणितज्ञ) या मार्शल हॉल जूनियर और जेम्स के क्रम 2<sup>n</sup>1964 में n ≤ 6 के लिए इसके वरिष्ठ वर्गीकृत समूह को प्रदर्शित करता हैं।<ref>{{Harv|Hall Jr.|Senior|1964}}</ref> इस प्रकार समूहों को क्रम से वर्गीकृत करने के अतिरिक्त, [[फिलिप हॉल]] ने समूहों के समद्विबाहुवाद की धारणा का उपयोग करने का प्रस्ताव रखा, जो बड़े भागफल और उपसमूहों के आधार पर परिमित पी-समूहों को समूहों में एकत्रित करता था।<ref>{{harv|Hall|1940}}</ref> इस प्रकार पूर्ण रूप से अलग विधि परिमित पी-समूहों को उनके '[[सहवर्ग]]' के आधार पर वर्गीकृत करती है, अर्थात, उनकी रचना श्रृंखला और उनके निलपोटेंट समूह के बीच का अंतर। तथाकथित 'कोक्लास अनुमान' ने निश्चित [[सहवर्ग अनुमान]] सभी परिमित पी-समूहों के सेट को सीमित रूप से कई [[प्रो-पी समूह|प्रो-पी समूहों]] की त्रुटि के रूप में वर्णित किया है। जिसके आधार पर 1980 के दशक में [[झूठ बीजगणित|बीजगणित]] और [[शक्तिशाली पी-समूह|शक्तिशाली पी-समूहों]] से संबंधित तकनीकों का उपयोग करके कोक्लास अनुमान सिद्ध किए गए थे।<ref>{{harv|Leedham-Green|McKay|2002}}</ref> कोक्लास प्रमेयों के अंतिम प्रमाण ए. शालेव और स्वतंत्र रूप से सी आर लीडहैम-ग्रीन के कारण हैं, दोनों 1994 में देखने को मिले हैं। इस प्रकार इसके वंशज वृक्ष समूह सिद्धांत में परिमित ''पी''-समूहों के वर्गीकरण को स्वीकार करते हैं, जहाँ पर मल्टीफर्केशन और कोक्लास ग्राफ इसमें केवल सीमित रूप से कई कोक्लास पेड़ सम्मिलित हैं, जिसके लिए कई सदस्यों को सीमित रूप से कई पैरामीट्रिज्ड प्रस्तुतियों की विशेषता है।
-समूहों को क्रम से वर्गीकृत करने के बजाय, [[फिलिप हॉल]] ने समूहों के समद्विबाहुवाद की धारणा का उपयोग करने का प्रस्ताव रखा, जो बड़े भागफल और उपसमूहों के आधार पर परिमित पी-समूहों को परिवारों में इकट्ठा करता था।<ref>{{harv|Hall|1940}}</ref>
-एक पूरी तरह से अलग विधि परिमित पी-समूहों को उनके '[[सहवर्ग]]' के आधार पर वर्गीकृत करती है, अर्थात, उनकी रचना श्रृंखला और उनके निलपोटेंट समूह के बीच का अंतर। तथाकथित 'कोक्लास अनुमान' ने निश्चित [[सहवर्ग अनुमान]] सभी परिमित पी-समूहों के सेट को सीमित रूप से कई [[प्रो-पी समूह]]ों की गड़बड़ी के रूप में वर्णित किया है। 1980 के दशक में [[झूठ बीजगणित]] और [[शक्तिशाली पी-समूह]]ों से संबंधित तकनीकों का उपयोग करके कोक्लास अनुमान सिद्ध किए गए थे।<ref>{{harv|Leedham-Green|McKay|2002}}</ref> कोक्लास प्रमेयों के अंतिम प्रमाण ए. शालेव और स्वतंत्र रूप से सी. आर. लीडहैम-ग्रीन के कारण हैं, दोनों 1994 में। वे वंशज वृक्ष (समूह सिद्धांत) में परिमित ''पी''-समूहों के वर्गीकरण को स्वीकार करते हैं#मल्टीफर्केशन और कोक्लास ग्राफ इसमें केवल सीमित रूप से कई कोक्लास पेड़ शामिल हैं जिनके (असीम रूप से कई) सदस्यों को सीमित रूप से कई पैरामीट्रिज्ड प्रस्तुतियों की विशेषता है।
-क्रम ''पी'' का प्रत्येक समूह<sup>5</sup>मेटाबेलियन समूह है।<ref name="metabelian">{{cite web | url=https://math.stackexchange.com/q/124010/178864 | title=Every group of order ''p''<sup>5</sup> is metabelian | date=24 March 2012 | publisher=Stack Exchange |access-date=7 January 2016}}</ref>
-===पी तक<sup>3</sup>===
+क्रम P<sup>5</sup> का प्रत्येक समूह मेटाबेलियन समूह है।<ref name="metabelian">{{cite web | url=https://math.stackexchange.com/q/124010/178864 | title=Every group of order ''p''<sup>5</sup> is metabelian | date=24 March 2012 | publisher=Stack Exchange |access-date=7 January 2016}}</ref>
-तुच्छ समूह क्रम एक का एकमात्र समूह है, और चक्रीय समूह सी<sub>''p''</sub> ऑर्डर पी का एकमात्र समूह है। क्रम p के ठीक दो समूह हैं<sup>2</sup>, दोनों एबेलियन, अर्थात् सी<sub>''p''<sup>2</sup></sub> और सी<sub>''p''</sub>× सी<sub>''p''</sub>. उदाहरण के लिए, चक्रीय समूह सी<sub>4</sub> और क्लेन चार-समूह वी<sub>4</sub> जो सी है<sub>2</sub>× सी<sub>2</sub> दोनों क्रम 4 के 2-समूह हैं।
+===पी<sup>3</sup>===
+तुच्छ समूह क्रम का एकमात्र समूह है, और चक्रीय समूह C<sub>''p''</sub> ऑर्डर P का एकमात्र समूह है। जहाँ यह क्रम p<sup>2</sup> के ठीक दो समूह हैं, इस प्रकार दोनों एबेलियन, अर्थात् C<sub>''p''<sup>2</sup></sub> और C<sub>''p''</sub>× C<sub>''p''</sub> के समान हैं, जैसे उदाहरण के लिए, चक्रीय समूह C<sub>4</sub> और क्लेन चार-समूह V<sub>4</sub> जो C<sub>2</sub>× C<sub>2</sub> है, जहाँ दोनों क्रम 4 के 2-समूह हैं।
-ऑर्डर पी के तीन एबेलियन समूह हैं<sup>3</sup>, अर्थात् सी<sub>''p''<sup>3</sup></sub>, सी<sub>''p''<sup>2</sup></sub>× सी<sub>''p''</sub>, और सी<sub>''p''</sub>× सी<sub>''p''</sub>× सी<sub>''p''</sub>. दो गैर-एबेलियन समूह भी हैं।
+इस प्रकार इस ऑर्डर में P<sup>3</sup> के तीन एबेलियन समूह हैं, अर्थात् C<sub>''p''<sup>3</sup></sub>, C<sub>''p''<sup>2</sup></sub>× C<sub>''p''</sub>, और C<sub>''p''</sub>× c<sub>''p''</sub>× C<sub>''p''</sub> दो गैर-एबेलियन समूह भी हैं।
-पी ≠ 2 के लिए, एक सी का अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है<sub>''p''</sub>× सी<sub>''p''</sub> सी के साथ<sub>''p''</sub>, और दूसरा सी का अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है<sub>''p''<sup>2</sup></sub> सी के साथ<sub>''p''</sub>. पहले को अन्य शब्दों में पी तत्वों के साथ परिमित क्षेत्र पर इकाई त्रिकोणीय मैट्रिक्स के समूह यूटी (3, पी) के रूप में वर्णित किया जा सकता है, जिसे हाइजेनबर्ग समूह # हाइजेनबर्ग समूह मोडुलो एक विषम अभाज्य पी भी कहा जाता है।
+P ≠ 2 के लिए, C<sub>''p''</sub>× C<sub>''p''</sub> C<sub>''p''</sub> के साथ का अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है, और दूसरा c<sub>''p''<sup>2</sup></sub> का अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है, इस प्रकार C<sub>''p''</sub> के साथ पहले को अन्य शब्दों में P तत्वों के साथ परिमित क्षेत्र पर इकाई त्रिकोणीय आव्यूह के समूह UT (3, P) के रूप में वर्णित किया जा सकता है, जिसे हाइजेनबर्ग समूह मोडुलो विषम अभाज्य P भी कहा जाता है।
-पी = 2 के लिए, ऊपर उल्लिखित दोनों अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद डायहेड्रल समूह डिह के समरूपी हैं<sub>4</sub> क्रम 8 का। क्रम 8 का अन्य गैर-एबेलियन समूह चतुर्भुज समूह Q है<sub>8</sub>.
+पी = 2 के लिए, ऊपर उल्लिखित दोनों अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद डायहेड्रल समूह डिह<sub>4</sub> क्रम 8 के समरूपी हैं। जहाँ पर क्रम 8 का अन्य गैर-एबेलियन समूह चतुर्भुज समूह Q<sub>8</sub> है।
 ==व्यापकता==
 === समूहों के बीच ===
-क्रम पी के समूहों के समरूपता वर्गों की संख्या<sup>n</sup>के रूप में बढ़ता है <math>p^{\frac{2}{27}n^3+O(n^{8/3})}</math>, और इन पर उन वर्गों का वर्चस्व है जो दो-चरणीय शून्यशक्तिशाली हैं।<ref>{{harv|Sims|1965}}</ref> इस तीव्र वृद्धि के कारण, एक गणितीय लोककथा अनुमान है कि लगभग सभी परिमित समूह 2-समूह हैं: क्रम के समूहों के [[समरूपता वर्ग]]ों के बीच 2-समूहों के समरूपता वर्गों का अंश, अधिकतम n के रूप में 1 की ओर माना जाता है। अनन्त की ओर प्रवृत्त होता है। उदाहरण के लिए, ऑर्डर के 49 910 529 484 विभिन्न समूहों में से अधिकतम 2000, 49 487 365 422, या बस 99% से अधिक, ऑर्डर 1024 के 2-समूह हैं।<ref>{{harv|Besche|Eick|O'Brien|2002}}</ref>
+क्रम P<sup>n</sup> के समूहों के समरूपता वर्गों की संख्या <math>p^{\frac{2}{27}n^3+O(n^{8/3})}</math> के रूप में बढ़ता है, और इन पर उन वर्गों का वर्चस्व है, जो इस प्रकार दो-चरणीय शून्य घात को प्रकट करता हैं।<ref>{{harv|Sims|1965}}</ref> इस तीव्र वृद्धि के कारण, गणितीय लोककथा अनुमान है कि लगभग सभी परिमित समूह 2-समूह हैं: क्रम के समूहों के [[समरूपता वर्ग|समरूपता वर्गों]] के बीच 2-समूहों के समरूपता वर्गों का अंश, अधिकतम n के रूप में 1 की ओर माना जाता है। इस प्रकार अनन्त सीमा के लिए प्रवृत्त होता है। उदाहरण के लिए इस प्रकार के ऑर्डर के 49 910 529 484 विभिन्न समूहों में से अधिकतम 2000, 49 487 365 422, या बस 99% से अधिक, ऑर्डर 1024 के 2-समूह हैं।<ref>{{harv|Besche|Eick|O'Brien|2002}}</ref>
 === एक समूह के भीतर ===
-प्रत्येक परिमित समूह जिसका क्रम p से विभाज्य है, में एक उपसमूह होता है जो एक गैर-तुच्छ पी-समूह है, अर्थात् कॉची के प्रमेय (समूह सिद्धांत) | कॉची के प्रमेय से प्राप्त क्रम पी के एक तत्व द्वारा उत्पन्न क्रम पी का एक चक्रीय समूह। वास्तव में, इसमें अधिकतम संभव क्रम का एक पी-समूह शामिल है: यदि <math>|G|=n=p^km</math> जहाँ p, m को विभाजित नहीं करता है, तो G के पास क्रम का एक उपसमूह P है <math>p^k,</math> सिलो पी-उपसमूह कहा जाता है। इस उपसमूह को अद्वितीय होने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन इस क्रम का कोई भी उपसमूह संयुग्मित है, और G का कोई भी p-उपसमूह सिलो p-उपसमूह में समाहित है। यह और अन्य गुण साइलो प्रमेय में सिद्ध होते हैं।
+प्रत्येक परिमित समूह जिसका क्रम p से विभाज्य है, जिसमें उपसमूह होता है जो गैर-तुच्छ पी-समूह है, अर्थात् कॉची के प्रमेय (समूह सिद्धांत) या कॉची के प्रमेय से प्राप्त क्रम P के तत्व द्वारा उत्पन्न क्रम P का चक्रीय समूह को प्रदर्शित करता हैं। वास्तविकता में इसमें अधिकतम संभव क्रम का पी-समूह सम्मिलित है: यदि <math>|G|=n=p^km</math> जहाँ p, m को विभाजित नहीं करता है, तो G के पास क्रम का उपसमूह P है, जिसके लिए <math>p^k,</math> सिलो पी-उपसमूह कहा जाता है। इस उपसमूह को अद्वितीय होने की आवश्यकता नहीं है, अपितु इस क्रम का कोई भी उपसमूह संयुग्मित है, और G का कोई भी p-उपसमूह सिलो p-उपसमूह में समाहित है। यह और अन्य गुण साइलो प्रमेय में सिद्ध होते हैं।
 == समूह की संरचना के लिए आवेदन ==
-पी-समूह समूहों की संरचना को समझने और परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण में मौलिक उपकरण हैं। पी-समूह उपसमूह और भागफल समूह दोनों के रूप में उत्पन्न होते हैं। उपसमूहों के रूप में, किसी दिए गए प्राइम पी के लिए सिलो पी-उपसमूह पी (सबसे बड़ा पी-उपसमूह अद्वितीय नहीं है लेकिन सभी संयुग्मित) और पी-कोर|पी-कोर है <math>O_p(G)</math> (अद्वितीय सबसे बड़ा सामान्य पी-उपसमूह), और विभिन्न अन्य। भागफल के रूप में, सबसे बड़ा पी-समूह भागफल, पी-अवशिष्ट उपसमूह द्वारा जी का भागफल है|पी-अवशिष्ट उपसमूह <math>O^p(G).</math> ये समूह संबंधित हैं (विभिन्न अभाज्य संख्याओं के लिए), इनमें [[फोकल उपसमूह प्रमेय]] जैसे महत्वपूर्ण गुण होते हैं, और समूह की संरचना के कई पहलुओं को निर्धारित करने की अनुमति मिलती है।
+पी-समूह समूहों की संरचना को समझने और परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण में मौलिक उपकरण हैं। पी-समूह उपसमूह और भागफल समूह दोनों के रूप में उत्पन्न होते हैं। उपसमूहों के रूप में, किसी दिए गए प्राइम P के लिए सिलो पी-उपसमूह P के लिए सबसे बड़ा पी-उपसमूह अद्वितीय नहीं है, अपितु सभी संयुग्मित और पी-कोर <math>O_p(G)</math> है,  जहाँ अद्वितीय सबसे बड़ा सामान्य पी-उपसमूह, और इस प्रकार विभिन्न भागफल के रूप में, सबसे बड़ा पी-समूह भागफल, पी-अवशिष्ट उपसमूह द्वारा G का भागफल है। जो इस प्रकार पी-अवशिष्ट उपसमूह <math>O^p(G).</math> के समूह से संबंधित हैं, जहाँ विभिन्न अभाज्य संख्याओं के लिए इनमें [[फोकल उपसमूह प्रमेय]] जैसे महत्वपूर्ण गुण होते हैं, और समूह की संरचना के कई पहलुओं को निर्धारित करने की अनुमति मिलती है।
 === स्थानीय नियंत्रण ===
-एक परिमित समूह की अधिकांश संरचना उसके तथाकथित स्थानीय उपसमूहों की संरचना में होती है, जो गैर-पहचान ''पी''-उपसमूहों के सामान्यीकरणकर्ता हैं।<ref>{{harv|Glauberman|1971}}</ref>
+इस प्रकार के परिमित समूह की अधिकांश संरचना उसके तथाकथित स्थानीय उपसमूहों की संरचना में होती है, जो गैर-पहचान ''पी''-उपसमूहों के सामान्यीकरणकर्ता हैं।<ref>{{harv|Glauberman|1971}}</ref> जिसमें इस प्रकार परिमित समूह के बड़े प्राथमिक एबेलियन समूह उस समूह पर नियंत्रण रखते हैं, जिसका उपयोग फीट-थॉम्पसन प्रमेय के प्रमाण में किया गया था। कुछ समूह विस्तार प्राथमिक एबेलियन समूहों के केंद्रीय विस्तार, जिन्हें [[अतिरिक्त विशेष समूह]] कहा जाता है, इसके समूहों की संरचना को सहानुभूतिपूर्ण सदिश स्थानों पर कार्य करने में सहायता करते हैं।
-एक परिमित समूह के बड़े प्राथमिक एबेलियन समूह उस समूह पर नियंत्रण रखते हैं जिसका उपयोग फीट-थॉम्पसन प्रमेय के प्रमाण में किया गया था। कुछ समूह विस्तार#प्राथमिक एबेलियन समूहों के केंद्रीय विस्तार, जिन्हें [[अतिरिक्त विशेष समूह]] कहा जाता है, समूहों की संरचना को सहानुभूतिपूर्ण वेक्टर स्थानों पर कार्य करने में मदद करते हैं।
-[[ रिचर्ड ब्रौएर ]] ने उन सभी समूहों को वर्गीकृत किया जिनके साइलो 2-उपसमूह क्रम 4 के दो चक्रीय समूहों के प्रत्यक्ष उत्पाद हैं, और [[जॉन वाल्टर (गणितज्ञ)]], [[डैनियल गोरेन्स्टीन]], [[हेल्मुट बेंडर]], मिचियो सुजुकी (गणितज्ञ), [[जॉर्ज फेथरमैन]] और अन्य ने उन सरल समूहों को वर्गीकृत किया है। जिनके सिलो 2-उपसमूह एबेलियन, डायहेड्रल, सेमीडायहेड्रल, या क्वाटरनियन थे।
+[[ रिचर्ड ब्रौएर | रिचर्ड ब्रौएर]] ने उन सभी समूहों को वर्गीकृत किया जिनके साइलो 2-उपसमूह क्रम 4 के दो चक्रीय समूहों के प्रत्यक्ष उत्पाद हैं, और इस प्रकार [[जॉन वाल्टर (गणितज्ञ)]], [[डैनियल गोरेन्स्टीन]], [[हेल्मुट बेंडर]], मिचियो सुजुकी (गणितज्ञ), [[जॉर्ज फेथरमैन]] और अन्य ने उन सरल समूहों को वर्गीकृत किया है। जिनके सिलो 2-उपसमूह एबेलियन, डायहेड्रल, सेमीडायहेड्रल, या क्वाटरनियन थे।
 == यह भी देखें ==
 *[[प्राथमिक समूह]]
 * प्रुफ़र रैंक
-* [[नियमित पी-समूह]]<!-- include the power commutator structure -->
+* [[नियमित पी-समूह]]
 ==फ़ुटनोट==
 ===टिप्पणियाँ===
 {{Reflist|group=note}}
 ===उद्धरण===
 {{Reflist}}
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 ==बाहरी संबंध==
 *{{MathWorld|title=p-Group|id=p-Group|author=Rowland, Todd|author-link=Todd Rowland|author2=Weisstein, Eric W.|author2-link=Eric W. Weisstein|name-list-style=amp}}
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