दृढ़ता मॉड्यूल: Difference between revisions

Revision as of 14:24, 19 July 2023

एक दृढ़ता मॉड्यूल निरंतर सजातीय और सांस्थितिक डेटा विश्लेषण में एक गणितीय संरचना है जो औपचारिक रूप से स्केल मापदंडों की एक श्रृंखला में किसी वस्तु की सांस्थितिक विशेषताओं की दृढ़ता को पकड़ती है। एक दृढ़ता मॉड्यूल में अधिकतर सांस्थितिक रिक्त स्थान के निस्पंदन (गणित) के अनुरूप सजातीय (गणित) (या कार्यक्षेत्र गुणांक का उपयोग करते समय वेक्टर रिक्त स्थान) का संग्रह होता है, और निस्पंदन के समावेशन से प्रेरित रैखिक मानचित्रों का संग्रह होता है। दृढ़ता मॉड्यूल की अवधारणा को पहली बार 2005 में बहुपद रिंगों पर वर्गीकृत मॉड्यूल के अनुप्रयोग के रूप में प्रस्तुत किया गया था, इस प्रकार एकरूपता स्थापित करने के लिए शास्त्रीय क्रमविनिमेय बीजगणित सिद्धांत से अच्छी तरह से विकसित बीजगणितीय विचारों को आयात किया गया था।^[1] तब से, दृढ़ता मॉड्यूल उपयुक्त सांस्थिति के क्षेत्र में अध्ययन किए गए प्राथमिक बीजगणितीय संरचनाओं में से एक रहा है।^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]^[7]

परिभाषा

एकल प्राचल दृढ़ता मॉड्यूल

यह होने दिया $P$ आंशिक रूप से अनुक्रम किया गया श्रेणी (पोसेट) हो और चलो $K$ एक क्षेत्र हो। पोसेट $P$ को कभी-कभी अनुक्रमण श्रेणी भी कहा जाता है। फिर एक दृढ़ता मॉड्यूल $M$ एक पदाधिकारी है $M:P\to \mathbf {Vec} _{K}$ पोसेट श्रेणी (गणित) से $P$ सदिश स्थानों की श्रेणी में $K$ और रैखिक मानचित्र।^[8] पूर्णांक जैसे असतत पॉसेट द्वारा अनुक्रमित एक दृढ़ता मॉड्यूल को रिक्त स्थान के आरेख के रूप में सहज रूप से दिखाया गया है:

\cdots \to M_{-1}\to M_{0}\to M_{1}\to M_{2}\to \cdots

उपयोग किए जा रहे अनुक्रमण श्रेणी पर जोर देने के लिए, एक दृढ़ता मॉड्यूल द्वारा अनुक्रमित किया गया

P

को कभी-कभी a कहा जाता है

P

-दृढ़ता मॉड्यूल, या बस एक

P

-मॉड्यूल।^[9] कोई वैकल्पिक रूप से एक दृढ़ता मॉड्यूल की श्रेणी सैद्धांतिक परिभाषा का उपयोग कर सकता है जो श्रेणीबद्ध दृष्टिकोण के बराबर है: एक दृढ़ता मॉड्यूल एक जोड़ी है

(V,\pi )

कहाँ

V

एक संग्रह है

\{V_{z}\}_{z\in P}

का

K

-सदिश रिक्त स्थान और

\pi

एक संग्रह है

\{\pi _{y,z}\}_{y\leq z\in P}

रैखिक मानचित्रों का जहाँ

\pi _{y,z}:V_{y}\to V_{z}

प्रत्येक के लिए

y\leq z\in P

, ऐसा कि

\pi _{y,z}\circ \pi _{x,y}=\pi _{x,z}

किसी के लिए भी

x\leq y\leq z\in P

(अर्थात, सभी मानचित्र चलते हैं)।^[4]

बहुप्राचल दृढ़ता मॉड्यूल

a के स्थिति में $P$ -मापांक $M$ कहाँ $P$ एक एकल आंशिक रूप से अनुक्रम किया गया श्रेणी है (उदाहरण के लिए, $\mathbb {R} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {N}$ , आदि), हम कहते हैं $M$ एक एकल या 1-प्राचल दृढ़ता मॉड्यूल है। हालांकि, यदि इसके अतिरिक्त $P$ का एक उत्पाद है $n$ पूरी तरह से अनुक्रम,किए गए श्रेणी, अर्थात, $P=T_{1}\times \dots \times T_{n}$ कुछ पूरी तरह से अनुक्रम किए गए श्रेणी के लिए $T_{i}$ , फिर दान देकर $P$ द्वारा उत्पाद का आंशिक अनुक्रम दिया गया $(s_{1},\dots ,s_{n})\leq (t_{1},\dots ,t_{n})$ केवल यदि $s_{i}\leq t_{i}$ सभी के लिए $i=1,\dots ,n$ , हम अनुक्रमित एक बहुप्राचल दृढ़ता मॉड्यूल को परिभाषित कर सकते हैं $P$ .

इस स्थिति में, a $P$ -दृढ़ता मॉड्यूल को एक के रूप में जाना जाता है $n$ -आयामी या $n$ -प्राचल दृढ़ता मॉड्यूल, या बस एक बहुप्राचल या बहुआयामी मॉड्यूल यदि प्राचल की संख्या संदर्भ से पहले से ही स्पष्ट है।^[10]

5x5 ग्रिड पर अनुक्रमित दो-प्राचल दृढ़ता मॉड्यूल का एक उदाहरण, जिसे एक परिमित पोसेट माना जाता है।

बहुआयामी दृढ़ता मॉड्यूल पहली बार 2009 में कार्लसन और ज़ोमोरोडियन द्वारा प्रस्तुत किए गए थे।^[11] तब से, बहुआयामी मॉड्यूल के साथ काम करने के सिद्धांत और अभ्यास में महत्वपूर्ण मात्रा में शोध हुआ है, क्योंकि वे डेटा के आकार का अध्ययन करने के लिए अधिक संरचना प्रदान करते हैं।^[12]^[13]^[14] अर्थात्, बहुप्राचल मॉड्यूल में एकल-प्राचल मॉड्यूल की तुलना में ग़ैर के लिए अधिक घनत्व संवेदनशीलता और शक्ति हो सकती है, जो उन्हें डेटा विश्लेषण के लिए संभावित रूप से उपयोगी उपकरण बनाती है।^[15]^[16]^[17]

बहुप्राचल दृढ़ता का एक नकारात्मक पक्ष इसकी अंतर्निहित जटिलता है। इससे बहुप्राचल दृढ़ता मॉड्यूल से संबंधित गणना करना कठिन हो जाता है। सबसे खराब स्थिति में, बहुआयामी सतत समरूपता की अभिकलनात्मक जटिलता घातीय है।^[18]

दो बहुप्राचल दृढ़ता मॉड्यूल की समानता को मापने का सबसे सामान्य तरीका अंतग्रंथन दूरी का उपयोग करना है, जो टोंटी दूरी का विस्तार है।^[19]

उदाहरण

अनुरूपता मॉड्यूल

किसी क्षेत्र (गणित) में गुणांकों के साथ अनुरूपता (गणित) का उपयोग करते समय, एक अनुरूपता समूह (गणित) में एक सदिश स्थान की संरचना होती है। इसलिए, रिक्त स्थान का एक निस्पंदन (गणित) दिया गया है $F:P\to \mathbf {Top}$ , प्रत्येक सूचकांक पर अनुरूपता कारकों को उपयुक्त करके हम एक दृढ़ता मॉड्यूल प्राप्त करते हैं $H_{i}(F):P\to \mathbf {Vec} _{K}$ प्रत्येक के लिए $i=1,2,\dots$ कहा जाता है ( $i$ वें-आयामी) अनुरूपता मॉड्यूल $F$ . अनुरूपता मॉड्यूल के सदिश रिक्त स्थान को सूचकांक-वार परिभाषित किया जा सकता है $H_{i}(F)_{z}=H_{i}(F_{z})$ सभी के लिए $z\in P$ , और रैखिक मानचित्र समावेशन मानचित्रों से प्रेरित होते हैं $F$ .^[1]

अनुरूपता मॉड्यूल दृढ़ता मॉड्यूल के सबसे सर्वव्यापी उदाहरण हैं, क्योंकि वे किसी वस्तु की सांस्थिति विशेषताओं की संख्या और पैमाने के बारे में जानकारी को पूरी तरह से बीजगणितीय संरचना में कूटलेखन करते हैं (सामान्यता एक बिंदु समूह पर निस्पंदन के निर्माण से प्राप्त होते हैं), इस प्रकार के आकार को समझते हैं बीजगणितीय तकनीकों के लिए उपयुक्त डेटा, गणित के सुविकसित क्षेत्रों जैसे कि क्रमविनिमेय बीजगणित और प्रतिनिधित्व सिद्धांत से आयातित।^[5]^[20]^[21]

अंतराल मॉड्यूल

दृढ़ता मॉड्यूल के अध्ययन में एक प्राथमिक चिंता यह है कि क्या मॉड्यूल को मोटे तौर पर "सरल टुकड़ों " में विघटित किया जा सकता है। विशेष रूप से, यह बीजगणितीय और अभिकलनात्मक रूप से सुविधाजनक है यदि एक दृढ़ता मॉड्यूल को अंतराल मॉड्यूल के रूप में ज्ञात छोटे मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।^[1]

होने देना $J$ किसी आंशिकतः क्रमित समुच्च्य का गैर-रिक्त उपसमुच्चय होना $P$ . तब $J$ 'में एक अंतराल है $P$ अगर

हर एक के लिए $x,z\in J$ अगर $x\leq y\leq z\in P$ तब $y\in J$
हर एक के लिए $x,z\in J$ तत्वों का एक क्रम है $p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}\in J$ ऐसा है कि $p_{1}=x$ , $p_{n}=z$ , और $p_{i},p_{j}$ सभी के लिए तुलनीय हैं $i,j\in \{1,\dots ,n\}$ .

अब एक अंतराल दिया गया है $J\subseteq P$ हम एक दृढ़ता मॉड्यूल को परिभाषित कर सकते हैं $\mathbb {I} ^{J}$ सूचकांक-वार इस प्रकार है:

$\mathbb {I} _{z}^{J}:={\begin{cases}K&{\text{if }}z\in J\\0&{\text{otherwise }}\end{cases}}$ ; $\mathbb {I} _{y,z}^{J}:={\begin{cases}\operatorname {id} _{K}&{\text{if }}y\leq z\in J\\0&{\text{otherwise }}\end{cases}}$ .

मॉड्यूल $\mathbb {I} ^{J}$ अंतराल मॉड्यूल कहा जाता है.^[9]^[22]

मुक्त मॉड्यूल

यह होने दिया $a\in P$ . तब हम एक दृढ़ता मॉड्यूल को परिभाषित कर सकते हैं $Q^{a}$ इसके संबंध में $a$ जहां रिक्त स्थान दिए गए हैं

$Q_{z}^{a}:={\begin{cases}K&{\text{if }}z\geq a\\0&{\text{otherwise }}\end{cases}}$ , और मानचित्रों के माध्यम से परिभाषित $Q_{y,z}^{a}:={\begin{cases}\operatorname {id} _{K}&{\text{if }}z\geq a\\0&{\text{otherwise }}\end{cases}}$ .

तब $Q^{a}$ एक मुक्त (दृढ़ता) मॉड्यूल के रूप में जाना जाता है।^[23]

कोई अंतराल मॉड्यूल में अपघटन के संदर्भ में एक मुक्त मॉड्यूल को भी परिभाषित कर सकता है। प्रत्येक के लिए $a\in P$ अंतराल को परिभाषित करें $a^{\llcorner }:=\{b\in P\mid b\geq a\}$ , जिसे कभी-कभी "मुक्त अंतराल" भी कहा जाता है।^[9] फिर एक दृढ़ता मॉड्यूल $F$ यदि कोई बहुश्रेणी उपस्थित है तो यह एक मुक्त मॉड्यूल है ${\mathfrak {J}}(F)\subseteq P$ ऐसा है कि $F=\bigoplus _{a\in {\mathfrak {J}}(F)}\mathbb {I} ^{a^{\llcorner }}$ .^[22]दूसरे शब्दों में, एक मॉड्यूल एक मुक्त मॉड्यूल है यदि इसे मुक्त अंतराल मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग के रूप में विघटित किया जा सकता है।

गुण

परिमित प्रकार की स्थिति

एक दृढ़ता मॉड्यूल $M$ पर अनुक्रमित किया गया $\mathbb {N}$ यदि निम्नलिखित स्थितियाँ सभी के लिए उपयुक्त होती हैं तो इसे परिमित प्रकार का कहा जाता है $n\in \mathbb {N}$ :

प्रत्येक सदिश स्थान $M_{n}$ परिमित-आयामी है.
वह एक पूर्णांक उपस्थित है $N$ ऐसा कि मानचित्र $M_{N,n}$ सभी के लिए एक समरूपता है $n\geq N$ .

यदि $M$ तो,फिर पहली स्थिति को पूरा करता है $M$ सामान्यता इसे बिंदुवार परिमित-आयामी (पी.एफ.डी.)' कहा जाता है।'^[24]^[25]^[26] बिंदुवार परिमित-आयामीता की धारणा तुरंत मनमाने अनुक्रमण श्रेणी तक विस्तारित होती है।

परिमित प्रकार की परिभाषा को निरंतर अनुक्रमण श्रेणी के लिए भी अनुकूलित किया जा सकता है। अर्थात्, एक मॉड्यूल $M$ को अनुक्रमित किया गया $\mathbb {R}$ परिमित प्रकार का है यदि $M$ पी.एफ.डी. है, और $M$ में अद्वितीय सदिश रिक्त स्थान की एक सीमित संख्या सम्मिलित होती है।^[27] औपचारिक रूप से कहें तो, इसके लिए सीमित संख्या के अतरिक्त सभी के लिए अंकों की आवश्यकता होती है $x\in \mathbb {R}$ एक पड़ोस है का $N$ $x$ ऐसा है कि $M_{y}\cong M_{z}$ सभी के लिए $y,z\in N$ , और यह भी कि कुछ है $w\in \mathbb {R}$ ऐसा है कि $M_{v}=0$ सभी के लिए $v\leq w$ .^[4] केवल पूर्व संपत्ति को संतुष्ट करने वाले मॉड्यूल को कभी-कभी अनिवार्य रूप से असतत लेबल किया जाता है, जबकि दोनों गुणों को संतुष्ट करने वाले मॉड्यूल को अनिवार्य रूप से परिमित के रूप में जाना जाता है।'^[28]^[23]^[29]

एक $\mathbb {R}$ -दृढ़ता मॉड्यूल को यदि किसी के लिए अर्ध-निरंतर कहा जाता है $x\in \mathbb {R}$ और कोई भी $y\leq x$ के पास में $x$ , मानचित्र $M_{y,x}:M_{y}\to M_{x}$ एक समरूपता है। ध्यान दें कि यदि उपरोक्त अन्य परिमित प्रकार की स्थितियां संतुष्ट हैं तो यह स्थिति अनावश्यक है, इसलिए यह सामान्यता परिभाषा में सम्मिलित नहीं है, लेकिन कुछ परिस्थितियों में प्रासंगिक है।^[4]

संरचना प्रमेय

दृढ़ता मॉड्यूल के अध्ययन में प्राथमिक लक्ष्यों में से एक मॉड्यूल को अंतराल मॉड्यूल में उनकी विघटनशीलता के अनुसार वर्गीकृत करना है। एक दृढ़ता मॉड्यूल जो अंतराल मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग के रूप में एक अपघटन को स्वीकार करता है उसे अधिकतर "अंतराल विघटित" कहा जाता है। इस दिशा में प्राथमिक परिणामों में से एक यह है कि कोई भी पी.एफ.डी. पूरी तरह से अनुक्रम किए गए श्रेणी पर अनुक्रमित दृढ़ता मॉड्यूल अंतराल विघटित होता है। इसे कभी-कभी "दृढ़ता मॉड्यूल के लिए संरचना प्रमेय" के रूप में जाना जाता है।^[24]

इसके अंतराल अपघटन के साथ विमान में 2-डी दृढ़ता मॉड्यूल का एक उदाहरण।

स्थिति जब $P$ परिमित है एक प्रमुख आदर्श डोमेन पर परिमित रूप से उत्पन्न मॉड्यूल के लिए संरचना प्रमेय का एक सीधा अनुप्रयोग है। मॉड्यूल के लिए ऊपर अनुक्रमित $\mathbb {Z}$ , संरचना प्रमेय का पहला ज्ञात प्रमाण वेब के कारण है।^[30] प्रमेय को $K$ स्थिति में विस्तारित किया गया था $\mathbb {R}$ (या कोई भी पूरी तरह से अनुक्रम किया गया सबश्रेणी जिसमें एक गणनीय उपसमुच्चय होता है जो सघन श्रेणी होता है $\mathbb {R}$ 2015 में क्रॉली-बोवे द्वारा अनुक्रम सांस्थिति के साथ)।^[31] संरचना प्रमेय का सामान्यीकृत संस्करण, अर्थात, पी.एफ.डी. के लिए। एकपक्षी ढंग से पूरी तरह से अनुक्रम किए गए श्रेणी पर अनुक्रमित मॉड्यूल, 2019 में बोटनान और क्रॉली-बोवे द्वारा स्थापित किया गया था।^[32]

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-एक दृढ़ता मॉड्यूल लगातार सजातीय और [[टोपोलॉजिकल स्पेस|सांस्थितिक डेटा]] विश्लेषण में एक गणितीय संरचना है जो औपचारिक रूप से स्केल मापदंडों की एक श्रृंखला में किसी वस्तु की [[टोपोलॉजी|सांस्थितिक]] विशेषताओं की दृढ़ता को पकड़ती है। एक दृढ़ता मॉड्यूल में अक्सर [[टोपोलॉजिकल स्पेस|सांस्थितिक]] रिक्त स्थान के [[निस्पंदन (गणित)]] के अनुरूप [[होमोलॉजी (गणित)|सजातीय (गणित)]] (या [[फ़ील्ड (गणित)|कार्यक्षेत्र]] गुणांक का उपयोग करने पर वेक्टर रिक्त स्थान) का संग्रह होता है, और निस्पंदन के समावेशन से प्रेरित [[रैखिक मानचित्रों]] का संग्रह होता है।  दृढ़ता मॉड्यूल की अवधारणा को पहली बार 2005 में बहुपद रिंगों पर वर्गीकृत मॉड्यूल के अनुप्रयोग के रूप में प्रस्तुत किया गया था, इस प्रकार शास्त्रीय विनिमेय बीजगणित सिद्धांत से लगातार सजातीय की स्थापना के लिए अच्छी तरह से विकसित बीजगणितीय विचारों को आयात किया गया था।<ref name=":0">{{Cite journal |last1=Zomorodian |first1=Afra |last2=Carlsson |first2=Gunnar |date=2005 |title=पर्सिस्टेंट होमोलॉजी की गणना|url=http://link.springer.com/10.1007/s00454-004-1146-y |journal=Discrete & Computational Geometry |language=en |volume=33 |issue=2 |pages=249–274 |doi=10.1007/s00454-004-1146-y |issn=0179-5376}}</ref> तब से, दृढ़ता मॉड्यूल लागू टोपोलॉजी के क्षेत्र में अध्ययन किए गए प्राथमिक बीजगणितीय संरचनाओं में से एक रहा है।<ref>{{Cite book |url=https://www.worldcat.org/oclc/960458101 |title=दृढ़ता मॉड्यूल की संरचना और स्थिरता|date=2016 |others=Frédéric Chazal, Vin De Silva, Marc Glisse, Steve Y. Oudot |isbn=978-3-319-42545-0 |location=Switzerland |oclc=960458101}}</ref><ref>{{Cite book |last=Oudot |first=Steve Y. |url=https://www.worldcat.org/oclc/918149730 |title=Persistence theory : from quiver representations to data analysis |date=2015 |isbn=978-1-4704-2545-6 |location=Providence, Rhode Island |oclc=918149730}}</ref><ref name=":1">{{Cite book |last=Polterovich |first=Leonid |url=https://www.worldcat.org/oclc/1142009348 |title=ज्यामिति और विश्लेषण में टोपोलॉजिकल दृढ़ता|date=2020 |others=Daniel Rosen, Karina Samvelyan, Jun Zhang |isbn=978-1-4704-5495-1 |location=Providence, Rhode Island |oclc=1142009348}}</ref><ref name=":2">{{Cite book |last=Schenck |first=Hal |url=https://www.worldcat.org/oclc/1351750760 |title=अनुप्रयुक्त टोपोलॉजी और डेटा विश्लेषण के लिए बीजगणितीय नींव|date=2022 |isbn=978-3-031-06664-1 |location=Cham |oclc=1351750760}}</ref><ref>{{Cite book |last=Dey |first=Tamal K. |url=https://www.worldcat.org/oclc/1281786176 |title=डेटा विश्लेषण के लिए कम्प्यूटेशनल टोपोलॉजी|date=2022 |others=Yusu Wang |isbn=978-1-009-09995-0 |location=Cambridge, United Kingdom |oclc=1281786176}}</ref><ref>{{Cite book |last1=Rabadan |first1=Raul |url=https://www.cambridge.org/core/books/topological-data-analysis-for-genomics-and-evolution/FCC8429FAD2B5D1525AEA47A8366D6EB |title=Topological Data Analysis for Genomics and Evolution: Topology in Biology |last2=Blumberg |first2=Andrew J. |date=2019 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-1-107-15954-9 |location=Cambridge |doi=10.1017/9781316671665|s2cid=242498045 }}</ref>
+एक दृढ़ता मॉड्यूल निरंतर सजातीय और [[टोपोलॉजिकल स्पेस|सांस्थितिक डेटा]] विश्लेषण में एक गणितीय संरचना है जो औपचारिक रूप से स्केल मापदंडों की एक श्रृंखला में किसी वस्तु की [[टोपोलॉजी|सांस्थितिक]] विशेषताओं की दृढ़ता को पकड़ती है। एक दृढ़ता मॉड्यूल में अधिकतर [[टोपोलॉजिकल स्पेस|सांस्थितिक]] रिक्त स्थान के [[निस्पंदन (गणित)]] के अनुरूप [[होमोलॉजी (गणित)|सजातीय (गणित)]] (या [[फ़ील्ड (गणित)|कार्यक्षेत्र]] गुणांक का उपयोग करते समय  वेक्टर रिक्त स्थान) का संग्रह होता है, और निस्पंदन के समावेशन से प्रेरित [[रैखिक मानचित्रों]] का संग्रह होता है।  दृढ़ता मॉड्यूल की अवधारणा को पहली बार 2005 में बहुपद रिंगों पर वर्गीकृत मॉड्यूल के अनुप्रयोग के रूप में प्रस्तुत किया गया था, इस प्रकार एकरूपता स्थापित करने के लिए शास्त्रीय क्रमविनिमेय बीजगणित सिद्धांत से अच्छी तरह से विकसित बीजगणितीय विचारों को आयात किया गया था।<ref name=":0">{{Cite journal |last1=Zomorodian |first1=Afra |last2=Carlsson |first2=Gunnar |date=2005 |title=पर्सिस्टेंट होमोलॉजी की गणना|url=http://link.springer.com/10.1007/s00454-004-1146-y |journal=Discrete & Computational Geometry |language=en |volume=33 |issue=2 |pages=249–274 |doi=10.1007/s00454-004-1146-y |issn=0179-5376}}</ref> तब से, दृढ़ता मॉड्यूल उपयुक्त सांस्थिति के क्षेत्र में अध्ययन किए गए प्राथमिक बीजगणितीय संरचनाओं में से एक रहा है।<ref>{{Cite book |url=https://www.worldcat.org/oclc/960458101 |title=दृढ़ता मॉड्यूल की संरचना और स्थिरता|date=2016 |others=Frédéric Chazal, Vin De Silva, Marc Glisse, Steve Y. Oudot |isbn=978-3-319-42545-0 |location=Switzerland |oclc=960458101}}</ref><ref>{{Cite book |last=Oudot |first=Steve Y. |url=https://www.worldcat.org/oclc/918149730 |title=Persistence theory : from quiver representations to data analysis |date=2015 |isbn=978-1-4704-2545-6 |location=Providence, Rhode Island |oclc=918149730}}</ref><ref name=":1">{{Cite book |last=Polterovich |first=Leonid |url=https://www.worldcat.org/oclc/1142009348 |title=ज्यामिति और विश्लेषण में टोपोलॉजिकल दृढ़ता|date=2020 |others=Daniel Rosen, Karina Samvelyan, Jun Zhang |isbn=978-1-4704-5495-1 |location=Providence, Rhode Island |oclc=1142009348}}</ref><ref name=":2">{{Cite book |last=Schenck |first=Hal |url=https://www.worldcat.org/oclc/1351750760 |title=अनुप्रयुक्त टोपोलॉजी और डेटा विश्लेषण के लिए बीजगणितीय नींव|date=2022 |isbn=978-3-031-06664-1 |location=Cham |oclc=1351750760}}</ref><ref>{{Cite book |last=Dey |first=Tamal K. |url=https://www.worldcat.org/oclc/1281786176 |title=डेटा विश्लेषण के लिए कम्प्यूटेशनल टोपोलॉजी|date=2022 |others=Yusu Wang |isbn=978-1-009-09995-0 |location=Cambridge, United Kingdom |oclc=1281786176}}</ref><ref>{{Cite book |last1=Rabadan |first1=Raul |url=https://www.cambridge.org/core/books/topological-data-analysis-for-genomics-and-evolution/FCC8429FAD2B5D1525AEA47A8366D6EB |title=Topological Data Analysis for Genomics and Evolution: Topology in Biology |last2=Blumberg |first2=Andrew J. |date=2019 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-1-107-15954-9 |location=Cambridge |doi=10.1017/9781316671665|s2cid=242498045 }}</ref>
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 === एकल प्राचल दृढ़ता मॉड्यूल ===
-होने देना <math>P</math> [[आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट|आंशिक रूप से अनुक्रम किया गया श्रेणी]] (पोसेट) हो और चलो <math>K</math> एक क्षेत्र हो। पोसेट <math>P</math> को कभी-कभी अनुक्रमण श्रेणी भी कहा जाता है। फिर एक दृढ़ता मॉड्यूल <math>M</math>  एक पदाधिकारी है <math>M:P\to \mathbf{Vec}_K</math> पोसेट [[श्रेणी (गणित)]] से <math>P</math> सदिश स्थानों की श्रेणी में <math>K</math> और रैखिक मानचित्र।<ref>{{Cite journal |last1=Bubenik |first1=Peter |last2=Scott |first2=Jonathan A. |date=2014-04-01 |title=सतत समरूपता का वर्गीकरण|url=https://doi.org/10.1007/s00454-014-9573-x |journal=Discrete & Computational Geometry |language=en |volume=51 |issue=3 |pages=600–627 |doi=10.1007/s00454-014-9573-x |s2cid=254027425 |issn=1432-0444}}</ref> [[पूर्णांक]] जैसे असतत पॉसेट द्वारा अनुक्रमित एक दृढ़ता मॉड्यूल को रिक्त स्थान के आरेख के रूप में सहज रूप से दर्शाया जा सकता है: <math display="block">\cdots \to M_{-1} \to M_0 \to M_1 \to M_2 \to \cdots </math>उपयोग किए जा रहे अनुक्रमण [[आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट|श्रेणी]] पर जोर देने के लिए, एक दृढ़ता मॉड्यूल द्वारा अनुक्रमित किया गया <math>P</math> को कभी-कभी a कहा जाता है <math>P</math>-दृढ़ता मॉड्यूल, या बस एक <math>P</math>-मॉड्यूल।<ref name=":3">{{Cite journal |last=Bakke Bjerkevik |first=Håvard |date=2021 |title=अंतराल विघटित दृढ़ता मॉड्यूल की स्थिरता पर|url=https://link.springer.com/10.1007/s00454-021-00298-0 |journal=Discrete & Computational Geometry |language=en |volume=66 |issue=1 |pages=92–121 |doi=10.1007/s00454-021-00298-0 |s2cid=243797357 |issn=0179-5376}}</ref>
+यह होने दिया <math>P</math> [[आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट|आंशिक रूप से अनुक्रम किया गया श्रेणी]] (पोसेट) हो और चलो <math>K</math> एक क्षेत्र हो। पोसेट <math>P</math> को कभी-कभी अनुक्रमण श्रेणी भी कहा जाता है। फिर एक दृढ़ता मॉड्यूल <math>M</math>  एक पदाधिकारी है <math>M:P\to \mathbf{Vec}_K</math> पोसेट [[श्रेणी (गणित)]] से <math>P</math> सदिश स्थानों की श्रेणी में <math>K</math> और रैखिक मानचित्र।<ref>{{Cite journal |last1=Bubenik |first1=Peter |last2=Scott |first2=Jonathan A. |date=2014-04-01 |title=सतत समरूपता का वर्गीकरण|url=https://doi.org/10.1007/s00454-014-9573-x |journal=Discrete & Computational Geometry |language=en |volume=51 |issue=3 |pages=600–627 |doi=10.1007/s00454-014-9573-x |s2cid=254027425 |issn=1432-0444}}</ref> [[पूर्णांक]] जैसे असतत पॉसेट द्वारा अनुक्रमित एक दृढ़ता मॉड्यूल को रिक्त स्थान के आरेख के रूप में सहज रूप से दिखाया गया है: <math display="block">\cdots \to M_{-1} \to M_0 \to M_1 \to M_2 \to \cdots </math>उपयोग किए जा रहे अनुक्रमण [[आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट|श्रेणी]] पर जोर देने के लिए, एक दृढ़ता मॉड्यूल द्वारा अनुक्रमित किया गया <math>P</math> को कभी-कभी a कहा जाता है <math>P</math>-दृढ़ता मॉड्यूल, या बस एक <math>P</math>-मॉड्यूल।<ref name=":3">{{Cite journal |last=Bakke Bjerkevik |first=Håvard |date=2021 |title=अंतराल विघटित दृढ़ता मॉड्यूल की स्थिरता पर|url=https://link.springer.com/10.1007/s00454-021-00298-0 |journal=Discrete & Computational Geometry |language=en |volume=66 |issue=1 |pages=92–121 |doi=10.1007/s00454-021-00298-0 |s2cid=243797357 |issn=0179-5376}}</ref>
-कोई वैकल्पिक रूप से एक दृढ़ता मॉड्यूल की श्रेणी सैद्धांतिक परिभाषा का उपयोग कर सकता है जो श्रेणीबद्ध दृष्टिकोण के बराबर है: एक दृढ़ता मॉड्यूल एक जोड़ी है <math>(V,\pi) </math> कहाँ <math>V </math> एक संग्रह है <math>\{V_z\}_{z\in P} </math> का <math>K </math>-वेक्टर रिक्त स्थान और <math>\pi </math> एक संग्रह है <math>\{\pi_{y,z}\}_{y\leq z\in P} </math> रैखिक मानचित्रों का जहाँ <math>\pi_{y,z} : V_y \to V_z </math> प्रत्येक के लिए <math>y\leq z \in P </math>, ऐसा कि <math>\pi_{y,z} \circ \pi_{x,y} = \pi_{x,z} </math> किसी के लिए भी<math>x \leq y \leq z \in P </math> (अर्थात, सभी मानचित्र [[क्रमविनिमेय आरेख|चलते हैं]])।<ref name=":1" />
+कोई वैकल्पिक रूप से एक दृढ़ता मॉड्यूल की श्रेणी सैद्धांतिक परिभाषा का उपयोग कर सकता है जो श्रेणीबद्ध दृष्टिकोण के बराबर है: एक दृढ़ता मॉड्यूल एक जोड़ी है <math>(V,\pi) </math> कहाँ <math>V </math> एक संग्रह है <math>\{V_z\}_{z\in P} </math> का <math>K </math>-सदिश रिक्त स्थान और <math>\pi </math> एक संग्रह है <math>\{\pi_{y,z}\}_{y\leq z\in P} </math> रैखिक मानचित्रों का जहाँ <math>\pi_{y,z} : V_y \to V_z </math> प्रत्येक के लिए <math>y\leq z \in P </math>, ऐसा कि <math>\pi_{y,z} \circ \pi_{x,y} = \pi_{x,z} </math> किसी के लिए भी<math>x \leq y \leq z \in P </math> (अर्थात, सभी मानचित्र [[क्रमविनिमेय आरेख|चलते हैं]])।<ref name=":1" />
 === बहुप्राचल दृढ़ता मॉड्यूल ===
-a के स्थिति में <math>P</math>-मापांक <math>M</math> कहाँ <math>P</math> एक एकल आंशिक रूप से अनुक्रम किया गया श्रेणी है (उदाहरण के लिए, <math>\mathbb R, \mathbb Z, \mathbb N</math>, आदि), हम कहते हैं <math>M</math> एक एकल या 1-प्राचल दृढ़ता मॉड्यूल है। हालांकि, यदि  इसके अतिरिक्त <math>P</math> का एक उत्पाद है <math>n</math> पूरी तरह से [[कुल ऑर्डर|अनुक्रम]],किए गए श्रेणी, यानी, <math>P=T_1 \times \dots \times T_n</math> कुछ पूरी तरह से अनुक्रम किए गए श्रेणी के लिए <math>T_i </math>, फिर दान देकर <math>P</math> द्वारा उत्पाद का [[आंशिक आदेश|आंशिक अनुक्रम]] दिया गया <math>(s_1,\dots,s_n)\leq (t_1,\dots,t_n)</math> केवल यदि <math>s_i \leq t_i</math> सभी के लिए <math>i=1,\dots,n</math>, हम अनुक्रमित एक बहुप्राचल दृढ़ता मॉड्यूल को परिभाषित कर सकते हैं <math>P</math>.
+a के स्थिति में <math>P</math>-मापांक <math>M</math> कहाँ <math>P</math> एक एकल आंशिक रूप से अनुक्रम किया गया श्रेणी है (उदाहरण के लिए, <math>\mathbb R, \mathbb Z, \mathbb N</math>, आदि), हम कहते हैं <math>M</math> एक एकल या 1-प्राचल दृढ़ता मॉड्यूल है। हालांकि, यदि  इसके अतिरिक्त <math>P</math> का एक उत्पाद है <math>n</math> पूरी तरह से [[कुल ऑर्डर|अनुक्रम]],किए गए श्रेणी, अर्थात, <math>P=T_1 \times \dots \times T_n</math> कुछ पूरी तरह से अनुक्रम किए गए श्रेणी के लिए <math>T_i </math>, फिर दान देकर <math>P</math> द्वारा उत्पाद का [[आंशिक आदेश|आंशिक अनुक्रम]] दिया गया <math>(s_1,\dots,s_n)\leq (t_1,\dots,t_n)</math> केवल यदि <math>s_i \leq t_i</math> सभी के लिए <math>i=1,\dots,n</math>, हम अनुक्रमित एक बहुप्राचल दृढ़ता मॉड्यूल को परिभाषित कर सकते हैं <math>P</math>.
 इस स्थिति में, a <math>P</math>-दृढ़ता मॉड्यूल को एक के रूप में जाना जाता है <math>n</math>-आयामी या <math>n</math>-प्राचल दृढ़ता मॉड्यूल, या बस एक बहुप्राचल या बहुआयामी मॉड्यूल यदि प्राचल की संख्या संदर्भ से पहले से ही स्पष्ट है।<ref>{{Cite arXiv |last1=Botnan |first1=Magnus Bakke |last2=Lesnick |first2=Michael |date=2022-03-27 |title=मल्टीपैरामीटर दृढ़ता का एक परिचय|class=math.AT |eprint=2203.14289}}</ref>
-[[File:Two-Parameter Persistence Module.png|thumb|5x5 ग्रिड पर अनुक्रमित दो-प्राचल दृढ़ता मॉड्यूल का एक उदाहरण, जिसे एक परिमित पोसेट माना जाता है।]]बहुआयामी दृढ़ता मॉड्यूल पहली बार 2009 में कार्लसन और ज़ोमोरोडियन द्वारा प्रस्तुत किए गए थे।<ref>{{Cite journal |last1=Carlsson |first1=Gunnar |last2=Zomorodian |first2=Afra |date=2009-07-01 |title=बहुआयामी दृढ़ता का सिद्धांत|url=https://doi.org/10.1007/s00454-009-9176-0 |journal=Discrete & Computational Geometry |language=en |volume=42 |issue=1 |pages=71–93 |doi=10.1007/s00454-009-9176-0 |issn=1432-0444}}</ref> तब से, बहुआयामी मॉड्यूल के साथ काम करने के सिद्धांत और अभ्यास में महत्वपूर्ण मात्रा में शोध हुआ है, क्योंकि वे डेटा के आकार का अध्ययन करने के लिए अधिक संरचना प्रदान करते हैं।<ref>{{Cite journal |last1=Cerri |first1=Andrea |last2=Landi |first2=Claudia |date=2013 |editor-last=Gonzalez-Diaz |editor-first=Rocio |editor2-last=Jimenez |editor2-first=Maria-Jose |editor3-last=Medrano |editor3-first=Belen |title=बहुआयामी पर्सिस्टेंट होमोलॉजी में पर्सिस्टेंस स्पेस|url=https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-642-37067-0_16 |journal=Discrete Geometry for Computer Imagery |series=Lecture Notes in Computer Science |volume=7749 |language=en |location=Berlin, Heidelberg |publisher=Springer |pages=180–191 |doi=10.1007/978-3-642-37067-0_16 |isbn=978-3-642-37067-0}}</ref><ref>{{Cite arXiv |last1=Cagliari |first1=F. |last2=Di Fabio |first2=B. |last3=Ferri |first3=M. |date=2008-07-28 |title=बहुआयामी सतत समरूपता का एक आयामी न्यूनीकरण|eprint=math/0702713 }}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Allili |first1=Madjid |last2=Kaczynski |first2=Tomasz |last3=Landi |first3=Claudia |date=2017-01-01 |title=बहुआयामी सतत समरूपता सिद्धांत में जटिलताओं को कम करना|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0747717116300086 |journal=Journal of Symbolic Computation |series=Algorithms and Software for Computational Topology |language=en |volume=78 |pages=61–75 |doi=10.1016/j.jsc.2015.11.020 |s2cid=14185228 |issn=0747-7171}}</ref> अर्थात्, बहुप्राचल मॉड्यूल में एकल-प्राचल मॉड्यूल की तुलना में ग़ैर के लिए अधिक घनत्व संवेदनशीलता और मजबूती हो सकती है, जो उन्हें डेटा विश्लेषण के लिए संभावित रूप से उपयोगी उपकरण बनाती है।<ref>{{Cite journal |last1=Blumberg |first1=Andrew J. |last2=Lesnick |first2=Michael |date=2022-10-17 |title=Stability of 2-Parameter Persistent Homology |url=https://doi.org/10.1007/s10208-022-09576-6 |journal=Foundations of Computational Mathematics |language=en |doi=10.1007/s10208-022-09576-6 |arxiv=2010.09628 |s2cid=224705357 |issn=1615-3383}}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Cerri |first1=Andrea |last2=Fabio |first2=Barbara Di |last3=Ferri |first3=Massimo |last4=Frosini |first4=Patrizio |last5=Landi |first5=Claudia |date=2013 |title=बहुआयामी सतत समरूपता में बेट्टी संख्याएँ स्थिर कार्य हैं|url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/mma.2704 |journal=Mathematical Methods in the Applied Sciences |language=en |volume=36 |issue=12 |pages=1543–1557 |doi=10.1002/mma.2704|bibcode=2013MMAS...36.1543C |s2cid=9938133 }}</ref><ref>{{Cite arXiv |last1=Cerri |first1=Andrea |last2=Di Fabio |first2=Barbara |last3=Ferri |first3=Massimo |last4=Frosini |first4=Patrizio |last5=Landi |first5=Claudia |date=2009-08-01 |title=बहुआयामी सतत समरूपता स्थिर है|class=math.AT |eprint=0908.0064 }}</ref>
+[[File:Two-Parameter Persistence Module.png|thumb|5x5 ग्रिड पर अनुक्रमित दो-प्राचल दृढ़ता मॉड्यूल का एक उदाहरण, जिसे एक परिमित पोसेट माना जाता है।]]बहुआयामी दृढ़ता मॉड्यूल पहली बार 2009 में कार्लसन और ज़ोमोरोडियन द्वारा प्रस्तुत किए गए थे।<ref>{{Cite journal |last1=Carlsson |first1=Gunnar |last2=Zomorodian |first2=Afra |date=2009-07-01 |title=बहुआयामी दृढ़ता का सिद्धांत|url=https://doi.org/10.1007/s00454-009-9176-0 |journal=Discrete & Computational Geometry |language=en |volume=42 |issue=1 |pages=71–93 |doi=10.1007/s00454-009-9176-0 |issn=1432-0444}}</ref> तब से, बहुआयामी मॉड्यूल के साथ काम करने के सिद्धांत और अभ्यास में महत्वपूर्ण मात्रा में शोध हुआ है, क्योंकि वे डेटा के आकार का अध्ययन करने के लिए अधिक संरचना प्रदान करते हैं।<ref>{{Cite journal |last1=Cerri |first1=Andrea |last2=Landi |first2=Claudia |date=2013 |editor-last=Gonzalez-Diaz |editor-first=Rocio |editor2-last=Jimenez |editor2-first=Maria-Jose |editor3-last=Medrano |editor3-first=Belen |title=बहुआयामी पर्सिस्टेंट होमोलॉजी में पर्सिस्टेंस स्पेस|url=https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-642-37067-0_16 |journal=Discrete Geometry for Computer Imagery |series=Lecture Notes in Computer Science |volume=7749 |language=en |location=Berlin, Heidelberg |publisher=Springer |pages=180–191 |doi=10.1007/978-3-642-37067-0_16 |isbn=978-3-642-37067-0}}</ref><ref>{{Cite arXiv |last1=Cagliari |first1=F. |last2=Di Fabio |first2=B. |last3=Ferri |first3=M. |date=2008-07-28 |title=बहुआयामी सतत समरूपता का एक आयामी न्यूनीकरण|eprint=math/0702713 }}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Allili |first1=Madjid |last2=Kaczynski |first2=Tomasz |last3=Landi |first3=Claudia |date=2017-01-01 |title=बहुआयामी सतत समरूपता सिद्धांत में जटिलताओं को कम करना|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0747717116300086 |journal=Journal of Symbolic Computation |series=Algorithms and Software for Computational Topology |language=en |volume=78 |pages=61–75 |doi=10.1016/j.jsc.2015.11.020 |s2cid=14185228 |issn=0747-7171}}</ref> अर्थात्, बहुप्राचल मॉड्यूल में एकल-प्राचल मॉड्यूल की तुलना में ग़ैर के लिए अधिक घनत्व संवेदनशीलता और शक्ति हो सकती है, जो उन्हें डेटा विश्लेषण के लिए संभावित रूप से उपयोगी उपकरण बनाती है।<ref>{{Cite journal |last1=Blumberg |first1=Andrew J. |last2=Lesnick |first2=Michael |date=2022-10-17 |title=Stability of 2-Parameter Persistent Homology |url=https://doi.org/10.1007/s10208-022-09576-6 |journal=Foundations of Computational Mathematics |language=en |doi=10.1007/s10208-022-09576-6 |arxiv=2010.09628 |s2cid=224705357 |issn=1615-3383}}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Cerri |first1=Andrea |last2=Fabio |first2=Barbara Di |last3=Ferri |first3=Massimo |last4=Frosini |first4=Patrizio |last5=Landi |first5=Claudia |date=2013 |title=बहुआयामी सतत समरूपता में बेट्टी संख्याएँ स्थिर कार्य हैं|url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/mma.2704 |journal=Mathematical Methods in the Applied Sciences |language=en |volume=36 |issue=12 |pages=1543–1557 |doi=10.1002/mma.2704|bibcode=2013MMAS...36.1543C |s2cid=9938133 }}</ref><ref>{{Cite arXiv |last1=Cerri |first1=Andrea |last2=Di Fabio |first2=Barbara |last3=Ferri |first3=Massimo |last4=Frosini |first4=Patrizio |last5=Landi |first5=Claudia |date=2009-08-01 |title=बहुआयामी सतत समरूपता स्थिर है|class=math.AT |eprint=0908.0064 }}</ref>
 बहुप्राचल दृढ़ता का एक नकारात्मक पक्ष इसकी अंतर्निहित जटिलता है। इससे बहुप्राचल दृढ़ता मॉड्यूल से संबंधित गणना करना कठिन हो जाता है। सबसे खराब स्थिति में, बहुआयामी सतत समरूपता की अभिकलनात्मक जटिलता घातीय है।<ref>{{Cite journal |last1=Skryzalin |first1=Jacek |last2=Vongmasa |first2=Pawin |date=2017 |title=बहुआयामी दृढ़ता की कम्प्यूटेशनल जटिलता|url=https://www.osti.gov/biblio/1429696 |journal=Proposed Journal Article, Unpublished |language=English |volume=2017 |osti=1429696 |issn=}}</ref>
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 === अनुरूपता मॉड्यूल ===
-किसी क्षेत्र (गणित) में गुणांकों के साथ अनुरूपता (गणित) का उपयोग करते समय, एक अनुरूपता [[समूह (गणित)]] में एक सदिश स्थान की संरचना होती है। इसलिए, रिक्त स्थान का एक निस्पंदन (गणित) दिया गया है <math>F:P \to \mathbf{Top} </math>, प्रत्येक सूचकांक पर अनुरूपता कारकों को लागू करके हम एक दृढ़ता मॉड्यूल प्राप्त करते हैं <math>H_i(F) : P \to \mathbf{Vec}_K </math> प्रत्येक के लिए <math>i=1,2,\dots </math> कहा जाता है (<math>i </math>वें-आयामी) अनुरूपता मॉड्यूल <math>F </math>. अनुरूपता मॉड्यूल के सदिश रिक्त स्थान को सूचकांक-वार परिभाषित किया जा सकता है <math>H_i(F)_z = H_i (F_z) </math> सभी के लिए <math>z\in P </math>, और रैखिक मानचित्र समावेशन मानचित्रों से [[प्रेरित समरूपता|प्रेरित होते]] हैं <math>F </math>.<ref name=":0" />
+किसी क्षेत्र (गणित) में गुणांकों के साथ अनुरूपता (गणित) का उपयोग करते समय, एक अनुरूपता [[समूह (गणित)]] में एक सदिश स्थान की संरचना होती है। इसलिए, रिक्त स्थान का एक निस्पंदन (गणित) दिया गया है <math>F:P \to \mathbf{Top} </math>, प्रत्येक सूचकांक पर अनुरूपता कारकों को उपयुक्त करके हम एक दृढ़ता मॉड्यूल प्राप्त करते हैं <math>H_i(F) : P \to \mathbf{Vec}_K </math> प्रत्येक के लिए <math>i=1,2,\dots </math> कहा जाता है (<math>i </math>वें-आयामी) अनुरूपता मॉड्यूल <math>F </math>. अनुरूपता मॉड्यूल के सदिश रिक्त स्थान को सूचकांक-वार परिभाषित किया जा सकता है <math>H_i(F)_z = H_i (F_z) </math> सभी के लिए <math>z\in P </math>, और रैखिक मानचित्र समावेशन मानचित्रों से [[प्रेरित समरूपता|प्रेरित होते]] हैं <math>F </math>.<ref name=":0" />
 अनुरूपता मॉड्यूल दृढ़ता मॉड्यूल के सबसे सर्वव्यापी उदाहरण हैं, क्योंकि वे किसी वस्तु की सांस्थिति विशेषताओं की संख्या और पैमाने के बारे में जानकारी को पूरी तरह से बीजगणितीय संरचना में कूटलेखन करते हैं (सामान्यता एक बिंदु समूह पर निस्पंदन के निर्माण से प्राप्त होते हैं), इस प्रकार के आकार को समझते हैं बीजगणितीय तकनीकों के लिए उपयुक्त डेटा, गणित के सुविकसित क्षेत्रों जैसे कि क्रमविनिमेय बीजगणित और [[प्रतिनिधित्व सिद्धांत]] से आयातित।<ref name=":2" /><ref>{{Cite journal |last=Carlsson |first=Gunnar |date=2009 |title=टोपोलॉजी और डेटा|url=https://www.ams.org/bull/2009-46-02/S0273-0979-09-01249-X/ |journal=Bulletin of the American Mathematical Society |language=en |volume=46 |issue=2 |pages=255–308 |doi=10.1090/S0273-0979-09-01249-X |issn=0273-0979}}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Chazal |first1=Frédéric |last2=Michel |first2=Bertrand |date=2021 |title=An Introduction to Topological Data Analysis: Fundamental and Practical Aspects for Data Scientists |journal=Frontiers in Artificial Intelligence |volume=4 |doi=10.3389/frai.2021.667963 |pmid=34661095 |issn=2624-8212|doi-access=free }}</ref>
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 === मुक्त मॉड्यूल ===
-होने देना <math>a\in P </math>. तब हम एक दृढ़ता मॉड्यूल को परिभाषित कर सकते हैं <math>Q^a </math> इसके संबंध में <math>a </math> जहां रिक्त स्थान दिए गए हैं
+यह होने दिया <math>a\in P </math>. तब हम एक दृढ़ता मॉड्यूल को परिभाषित कर सकते हैं <math>Q^a </math> इसके संबंध में <math>a </math> जहां रिक्त स्थान दिए गए हैं
 <math>Q^a_z :=
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 === परिमित प्रकार की स्थिति ===
-एक दृढ़ता मॉड्यूल <math>M </math> पर अनुक्रमित किया गया <math>\mathbb N </math> यदि निम्नलिखित स्थितियाँ सभी के लिए लागू होती हैं तो इसे परिमित प्रकार का कहा जाता है  <math>n \in \mathbb N </math>:
+एक दृढ़ता मॉड्यूल <math>M </math> पर अनुक्रमित किया गया <math>\mathbb N </math> यदि निम्नलिखित स्थितियाँ सभी के लिए उपयुक्त होती हैं तो इसे परिमित प्रकार का कहा जाता है  <math>n \in \mathbb N </math>:
 # प्रत्येक सदिश स्थान <math>M_n </math> परिमित-आयामी है.
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 यदि <math>M </math> तो,फिर पहली स्थिति को पूरा करता है <math>M </math> सामान्यता इसे बिंदुवार परिमित-आयामी (पी.एफ.डी.)' कहा जाता है।'<ref name=":6">{{Cite arXiv |last1=Botnan |first1=Magnus Bakke |last2=Crawley-Boevey |first2=William |date=2019-10-04 |title=दृढ़ता मॉड्यूल का अपघटन|class=math.RT |eprint=1811.08946}}</ref><ref>{{Cite journal |last=Schmahl |first=Maximilian |date=2022 |title=अर्ध-निरंतर $q$-वश दृढ़ता मॉड्यूल की संरचना|url=https://www.intlpress.com/site/pub/pages/journals/items/hha/content/vols/0024/0001/a006/abstract.php |journal=Homology, Homotopy and Applications |language=EN |volume=24 |issue=1 |pages=117–128 |doi=10.4310/HHA.2022.v24.n1.a6 |arxiv=2008.09493 |s2cid=221246111 |issn=1532-0081}}</ref><ref>{{Cite arXiv |last1=Hanson |first1=Eric J. |last2=Rock |first2=Job D. |date=2020-07-17 |title=Decomposition of Pointwise Finite-Dimensional S^1 Persistence Modules |class=math.RT |eprint=2006.13793}}</ref> बिंदुवार परिमित-आयामीता की धारणा तुरंत मनमाने अनुक्रमण श्रेणी तक विस्तारित होती है।
-परिमित प्रकार की परिभाषा को निरंतर अनुक्रमण श्रेणी के लिए भी अनुकूलित किया जा सकता है। अर्थात्, एक मॉड्यूल <math>M </math> को अनुक्रमित किया गया <math>\mathbb R </math> परिमित प्रकार का है यदि <math>M </math> पी.एफ.डी. है, और <math>M </math> में अद्वितीय सदिश रिक्त स्थान की एक सीमित संख्या सम्मिलित होती है।<ref>{{Cite journal |last1=Carlsson |first1=Gunnar |last2=Zomorodian |first2=Afra |last3=Collins |first3=Anne |last4=Guibas |first4=Leonidas |date=2004-07-08 |title=आकृतियों के लिए दृढ़ता बारकोड|url=https://dl.acm.org/doi/10.1145/1057432.1057449 |journal=Proceedings of the 2004 Eurographics/ACM SIGGRAPH Symposium on Geometry Processing |language=en |location=Nice France |publisher=ACM |pages=124–135 |doi=10.1145/1057432.1057449 |isbn=978-3-905673-13-5|s2cid=456712 }}</ref> औपचारिक रूप से कहें तो, इसके लिए सीमित संख्या को छोड़कर सभी के लिए अंकों की आवश्यकता होती है <math>x\in \mathbb R </math>  एक पड़ोस है का <math>N </math>  <math>x </math> ऐसा है कि <math>M_y \cong M_z </math> सभी के लिए <math>y,z \in N </math>, और यह भी कि कुछ है <math>w \in \mathbb R </math> ऐसा है कि <math>M_v = 0 </math> सभी के लिए <math>v \leq w </math>.<ref name=":1" /> केवल पूर्व संपत्ति को संतुष्ट करने वाले मॉड्यूल को कभी-कभी अनिवार्य रूप से असतत लेबल किया जाता है, जबकि दोनों गुणों को संतुष्ट करने वाले मॉड्यूल को अनिवार्य रूप से परिमित के रूप में जाना जाता है।'<ref>{{Cite arXiv|last=Lesnick |first=Michael |date=2012-06-06 |title=टोपोलॉजिकल अनुमान के लिए बहुआयामी इंटरलीविंग्स और अनुप्रयोग|class=math.AT |eprint=1206.1365 }}</ref><ref name=":5" /><ref>{{Cite web |title=3. Mathematical Preliminaries — RIVET 1.0 documentation |url=https://rivet.readthedocs.io/en/latest/preliminaries.html |access-date=2023-02-27 |website=rivet.readthedocs.io}}</ref>
+परिमित प्रकार की परिभाषा को निरंतर अनुक्रमण श्रेणी के लिए भी अनुकूलित किया जा सकता है। अर्थात्, एक मॉड्यूल <math>M </math> को अनुक्रमित किया गया <math>\mathbb R </math> परिमित प्रकार का है यदि <math>M </math> पी.एफ.डी. है, और <math>M </math> में अद्वितीय सदिश रिक्त स्थान की एक सीमित संख्या सम्मिलित होती है।<ref>{{Cite journal |last1=Carlsson |first1=Gunnar |last2=Zomorodian |first2=Afra |last3=Collins |first3=Anne |last4=Guibas |first4=Leonidas |date=2004-07-08 |title=आकृतियों के लिए दृढ़ता बारकोड|url=https://dl.acm.org/doi/10.1145/1057432.1057449 |journal=Proceedings of the 2004 Eurographics/ACM SIGGRAPH Symposium on Geometry Processing |language=en |location=Nice France |publisher=ACM |pages=124–135 |doi=10.1145/1057432.1057449 |isbn=978-3-905673-13-5|s2cid=456712 }}</ref> औपचारिक रूप से कहें तो, इसके लिए सीमित संख्या के अतरिक्त सभी के लिए अंकों की आवश्यकता होती है <math>x\in \mathbb R </math>  एक पड़ोस है का <math>N </math>  <math>x </math> ऐसा है कि <math>M_y \cong M_z </math> सभी के लिए <math>y,z \in N </math>, और यह भी कि कुछ है <math>w \in \mathbb R </math> ऐसा है कि <math>M_v = 0 </math> सभी के लिए <math>v \leq w </math>.<ref name=":1" /> केवल पूर्व संपत्ति को संतुष्ट करने वाले मॉड्यूल को कभी-कभी अनिवार्य रूप से असतत लेबल किया जाता है, जबकि दोनों गुणों को संतुष्ट करने वाले मॉड्यूल को अनिवार्य रूप से परिमित के रूप में जाना जाता है।'<ref>{{Cite arXiv|last=Lesnick |first=Michael |date=2012-06-06 |title=टोपोलॉजिकल अनुमान के लिए बहुआयामी इंटरलीविंग्स और अनुप्रयोग|class=math.AT |eprint=1206.1365 }}</ref><ref name=":5" /><ref>{{Cite web |title=3. Mathematical Preliminaries — RIVET 1.0 documentation |url=https://rivet.readthedocs.io/en/latest/preliminaries.html |access-date=2023-02-27 |website=rivet.readthedocs.io}}</ref>
-एक <math>\mathbb R </math>-दृढ़ता मॉड्यूल को यदि किसी के लिए अर्ध-निरंतर कहा जाता है <math>x\in \mathbb R </math> और कोई भी <math>y\leq x </math> के बहुत नजदीक <math>x </math>,  मानचित्र <math>M_{y,x}: M_y \to M_x </math> एक समरूपता है। ध्यान दें कि यदि उपरोक्त अन्य परिमित प्रकार की स्थितियां संतुष्ट हैं तो यह स्थिति अनावश्यक है, इसलिए यह सामान्यता परिभाषा में सम्मिलित नहीं है, लेकिन कुछ परिस्थितियों में प्रासंगिक है।<ref name=":1" />
+एक <math>\mathbb R </math>-दृढ़ता मॉड्यूल को यदि किसी के लिए अर्ध-निरंतर कहा जाता है <math>x\in \mathbb R </math> और कोई भी <math>y\leq x </math> के पास में <math>x </math>,  मानचित्र <math>M_{y,x}: M_y \to M_x </math> एक समरूपता है। ध्यान दें कि यदि उपरोक्त अन्य परिमित प्रकार की स्थितियां संतुष्ट हैं तो यह स्थिति अनावश्यक है, इसलिए यह सामान्यता परिभाषा में सम्मिलित नहीं है, लेकिन कुछ परिस्थितियों में प्रासंगिक है।<ref name=":1" />
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 दृढ़ता मॉड्यूल के अध्ययन में प्राथमिक लक्ष्यों में से एक मॉड्यूल को अंतराल मॉड्यूल में उनकी विघटनशीलता के अनुसार वर्गीकृत करना है। एक दृढ़ता मॉड्यूल जो अंतराल मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग के रूप में एक अपघटन को स्वीकार करता है उसे अधिकतर "अंतराल विघटित"  कहा जाता है। इस दिशा में प्राथमिक परिणामों में से एक यह है कि कोई भी पी.एफ.डी. पूरी तरह से अनुक्रम किए गए श्रेणी पर अनुक्रमित दृढ़ता मॉड्यूल अंतराल विघटित होता है। इसे कभी-कभी "दृढ़ता मॉड्यूल के लिए संरचना प्रमेय" के रूप में जाना जाता है।<ref name=":6" />
-[[File:Interval Decomposable 2-D Persistence Module.png|thumb|इसके अंतराल अपघटन के साथ विमान में 2-डी दृढ़ता मॉड्यूल का एक उदाहरण।]]स्थिति जब <math>P </math> परिमित है एक [[प्रमुख आदर्श डोमेन]] पर  [[एक प्रमुख आदर्श डोमेन पर परिमित रूप से उत्पन्न मॉड्यूल के लिए संरचना प्रमेय|परिमित रूप से उत्पन्न मॉड्यूल के लिए संरचना प्रमेय]] का एक सीधा अनुप्रयोग है। मॉड्यूल के लिए ऊपर अनुक्रमित <math>\mathbb Z </math>, संरचना प्रमेय का पहला ज्ञात प्रमाण वेब के कारण है।<ref>{{Cite journal |last=Webb |first=Cary |date=1985 |title=श्रेणीबद्ध मॉड्यूल का अपघटन|url=https://www.ams.org/proc/1985-094-04/S0002-9939-1985-0792261-6/ |journal=Proceedings of the American Mathematical Society |language=en |volume=94 |issue=4 |pages=565–571 |doi=10.1090/S0002-9939-1985-0792261-6 |s2cid=115146035 |issn=0002-9939}}</ref> प्रमेय को <math>K</math> स्थिति में विस्तारित किया गया था <math>\mathbb R </math> (या कोई भी पूरी तरह से अनुक्रम किया गया [[सबसेट|सबश्रेणी]] जिसमें एक गणनीय उपसमुच्चय होता है जो [[सघन सेट|सघन श्रेणी]] होता है <math>\mathbb R </math> 2015 में क्रॉली-बोवे द्वारा [[ऑर्डर टोपोलॉजी|अनुक्रम सांस्थिति]] के साथ)।<ref>{{Cite journal |last=Crawley-Boevey |first=William |date=2015-06-01 |title=बिंदुवार परिमित-आयामी दृढ़ता मॉड्यूल का अपघटन|url=https://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0219498815500668 |journal=Journal of Algebra and Its Applications |volume=14 |issue=5 |pages=1550066 |doi=10.1142/S0219498815500668 |arxiv=1210.0819 |s2cid=119635797 |issn=0219-4988}}</ref> संरचना प्रमेय का सामान्यीकृत संस्करण, यानी, पी.एफ.डी. के लिए। एकपक्षी ढंग से पूरी तरह से अनुक्रम किए गए श्रेणी पर अनुक्रमित मॉड्यूल, 2019 में बोटनान और क्रॉली-बोवे द्वारा स्थापित किया गया था।<ref>{{Cite journal |last1=Botnan |first1=Magnus |last2=Crawley-Boevey |first2=William |date=2020 |title=दृढ़ता मॉड्यूल का अपघटन|url=https://www.ams.org/proc/2020-148-11/S0002-9939-2020-14790-9/ |journal=Proceedings of the American Mathematical Society |language=en |volume=148 |issue=11 |pages=4581–4596 |doi=10.1090/proc/14790 |s2cid=119711245 |issn=0002-9939}}</ref>
+[[File:Interval Decomposable 2-D Persistence Module.png|thumb|इसके अंतराल अपघटन के साथ विमान में 2-डी दृढ़ता मॉड्यूल का एक उदाहरण।]]स्थिति जब <math>P </math> परिमित है एक [[प्रमुख आदर्श डोमेन]] पर  [[एक प्रमुख आदर्श डोमेन पर परिमित रूप से उत्पन्न मॉड्यूल के लिए संरचना प्रमेय|परिमित रूप से उत्पन्न मॉड्यूल के लिए संरचना प्रमेय]] का एक सीधा अनुप्रयोग है। मॉड्यूल के लिए ऊपर अनुक्रमित <math>\mathbb Z </math>, संरचना प्रमेय का पहला ज्ञात प्रमाण वेब के कारण है।<ref>{{Cite journal |last=Webb |first=Cary |date=1985 |title=श्रेणीबद्ध मॉड्यूल का अपघटन|url=https://www.ams.org/proc/1985-094-04/S0002-9939-1985-0792261-6/ |journal=Proceedings of the American Mathematical Society |language=en |volume=94 |issue=4 |pages=565–571 |doi=10.1090/S0002-9939-1985-0792261-6 |s2cid=115146035 |issn=0002-9939}}</ref> प्रमेय को <math>K</math> स्थिति में विस्तारित किया गया था <math>\mathbb R </math> (या कोई भी पूरी तरह से अनुक्रम किया गया [[सबसेट|सबश्रेणी]] जिसमें एक गणनीय उपसमुच्चय होता है जो [[सघन सेट|सघन श्रेणी]] होता है <math>\mathbb R </math> 2015 में क्रॉली-बोवे द्वारा [[ऑर्डर टोपोलॉजी|अनुक्रम सांस्थिति]] के साथ)।<ref>{{Cite journal |last=Crawley-Boevey |first=William |date=2015-06-01 |title=बिंदुवार परिमित-आयामी दृढ़ता मॉड्यूल का अपघटन|url=https://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0219498815500668 |journal=Journal of Algebra and Its Applications |volume=14 |issue=5 |pages=1550066 |doi=10.1142/S0219498815500668 |arxiv=1210.0819 |s2cid=119635797 |issn=0219-4988}}</ref> संरचना प्रमेय का सामान्यीकृत संस्करण, अर्थात, पी.एफ.डी. के लिए। एकपक्षी ढंग से पूरी तरह से अनुक्रम किए गए श्रेणी पर अनुक्रमित मॉड्यूल, 2019 में बोटनान और क्रॉली-बोवे द्वारा स्थापित किया गया था।<ref>{{Cite journal |last1=Botnan |first1=Magnus |last2=Crawley-Boevey |first2=William |date=2020 |title=दृढ़ता मॉड्यूल का अपघटन|url=https://www.ams.org/proc/2020-148-11/S0002-9939-2020-14790-9/ |journal=Proceedings of the American Mathematical Society |language=en |volume=148 |issue=11 |pages=4581–4596 |doi=10.1090/proc/14790 |s2cid=119711245 |issn=0002-9939}}</ref>

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परिभाषा

एकल प्राचल दृढ़ता मॉड्यूल

बहुप्राचल दृढ़ता मॉड्यूल

उदाहरण

अनुरूपता मॉड्यूल

अंतराल मॉड्यूल

मुक्त मॉड्यूल

गुण

परिमित प्रकार की स्थिति

संरचना प्रमेय

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दृढ़ता मॉड्यूल: Difference between revisions

Revision as of 14:24, 19 July 2023

परिभाषा

एकल प्राचल दृढ़ता मॉड्यूल

बहुप्राचल दृढ़ता मॉड्यूल

उदाहरण

अनुरूपता मॉड्यूल

अंतराल मॉड्यूल

मुक्त मॉड्यूल

गुण

परिमित प्रकार की स्थिति

संरचना प्रमेय

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