कैनोनिकल एन्सेम्बल (विहित समुदाय)

सांख्यिकीय यांत्रिकी में एक विहित पहनावा या सांख्यिकीय पहनावा गणितीय भौतिकी है जो एक निश्चित तापमान पर ताप स्नान के साथ तापीय संतुलन में एक यांत्रिक प्रणाली की संभावित स्थितियों का प्रतिनिधित्व करता है तथा प्रयुक्त ऊष्मा स्नान के साथ ऊर्जा का आदान-प्रदान कर सकता है जिससे प्रणाली तंत्र की स्थिति कुल ऊर्जा में भिन्न होगी।

तथा राज्यों के संभाव्यता वितरण का निर्धारण करने वाले विहित समूह का प्रमुख थर्मोडायनामिक चर पूर्ण तापमान में है प्रतीक: Tसंयोजन अधिकतर यांत्रिक चर पर भी निर्भर करता है जैसे तंत्र में कणों की संख्या प्रतीक N और प्रणाली का आयतन प्रतीक: V जिनमें से प्रत्येक प्रणाली की आंतरिक स्थितियों की प्रकृति को प्रभावित करता है इन तीन मापदंडों वाले समूह को कभी-कभी NVT पहनावा कहा जाता है

विहित पहनावा एक संभाव्यता निर्दिष्ट करता है P प्रत्येक विशिष्ट सूक्ष्म अवस्था व सांख्यिकीय यांत्रिकी को निम्नलिखित घातांक द्वारा प्रदर्शित किया गया है

$P=e^{(F-E)/(kT)},$

जहाँ E सूक्ष्म अवस्था की कुल ऊर्जा है और k बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है

जहाँ F मुक्त ऊर्जा है विशेष रूप से हेल्महोल्ट्ज़ मुक्त ऊर्जा और समूह के लिए एक स्थिरांक है जबकि संभावनाएँ math|F हैं तो एन, वी, टी का चयन किया जाता है मुक्त ऊर्जा F दो भूमिकाएँ निभाता है जबकि पहला यह संभाव्यता वितरण के लिए एक सामान्यीकरण कारक प्रदान करता है और सूक्ष्म अवस्था के पूरे समूह पर संभावनाओं को आगे तक जोड़ना होगा तथा दूसरा कई महत्वपूर्ण संयोजन औसतों की गणना सीधे समारोह से की जा सकती है जैसे F(N, V, T).

समान अवधारणा के लिए एक वैकल्पिक समतुल्य सूत्रीकरण संभाव्यता को इस प्रकार लिखता है जो इस प्रकार है-

$\textstyle P={\frac {1}{Z}}e^{-E/(kT)},$

विभाजन समारोह सांख्यिकीय यांत्रिकी का उपयोग करना

$\textstyle Z=e^{-F/(kT)}$

मुफ्त ऊर्जा की जगह नीचे दिए गए समीकरणों को मुक्त ऊर्जा के संदर्भ में सरल गणितीय जोड़ द्वारा विहित विभाजन कार्यक्रम के संदर्भ में पुनर्स्थापित किया जा सकता है।

ऐतिहासिक रूप से विहित पहनावे का वर्णन सबसे पहले लुडविग बोल्ट्ज़मान जिन्होंने इसे होलोड कहा था इनके द्वारा 1884 में एक अपेक्षाकृत अज्ञात पेपर लिया गया बाद में 1902 में जोशिया विलार्ड गिब्स द्वारा इसका पुनरुद्धार किया गया और व्यापक जांच की गई।

विहित संयोजन की प्रयोज्यता

विहित पहनावा वह पहनावा है जो एक प्रणाली की संभावित स्थितियों का वर्णन करता है जो ताप स्नान के साथ तापीय संतुलन में है इस तथ्य की व्युत्पत्ति गिब्स में पाई जा सकती है

विहित पहनावा किसी भी आकार की प्रणालियों पर लागू होता है जबकि यह मानना ​​आवश्यक है कि ताप स्नान बहुत बड़ा है यानी एक स्थूल सीमा प्रणाली स्वयं छोटा या बड़ा हो सकता है

यह शर्त कि प्रणाली यांत्रिक रूप से पृथक है इसको सुनिश्चित करने के लिए यह आवश्यक है कि यह गर्मी स्नान के अलावा किसी भी बाहरी वस्तु के साथ ऊर्जा का आदान-प्रदान नहीं करता है सामान्य तौर पर उन प्रणालियों पर विहित पहनावा लागू करना वांछनीय है जो गर्मी स्नान के सीधे संपर्क में हैं क्योंकि यह वह संपर्क है जो संतुलन सुनिश्चित करता है तथा व्यावहारिक स्थितियों में विहित संयोजन के उपयोग पर यह उचित है यह मानकर कि संपर्क यांत्रिक रूप से कमजोर है विश्लेषण के तहत प्रणाली में गर्म स्नान जोड़ का एक उपयुक्त हिस्सा सम्मिलित करके जुडा़व का यांत्रिक प्रभाव प्रणाली के भीतर प्रारूपित की जाती है।

जब कुल ऊर्जा निश्चित होती है लेकिन प्रणाली की आंतरिक स्थिति अज्ञात होती है तो उचित विवरण विहित पहनावा नहीं बल्कि सूक्ष्म विहित पहनावा होता है उन प्रणालियों के लिए जहां कण संख्या परिवर्तनशील है कण भंडार के संपर्क के कारण सही विवरण भव्य विहित पहनावा है कण प्रणालियों की परस्पर क्रिया के लिए सांख्यिकीय भौतिकी पाठ्यपुस्तकों में तीन संयोजनों को थर्मोडायनामिक सीमा माना जाता है उनके औसत मूल्य के आसपास सूक्ष्मदर्शी की मात्रा में उतार-चढ़ाव छोटा हो जाता है और जैसे-जैसे कणों की संख्या अनंत हो जाती है वे गायब हो जाते हैं तथा बाद की सीमा में इसे थर्मोडायनामिक सीमा कहा जाता है औसत बाधाएं प्रभावी रूप से कठिन बाधाएं बन जाती हैं जबकि सांख्यिकीय पहनावा गणितीय भौतिकी तुल्यता की धारणा जोशिया विलार्ड गिब्स के समय से चली आ रही है और भौतिक प्रणालियों के कुछ प्रारूपों के लिए छोटी दूरी की अंतःक्रियाओं और छोटी संख्या में मैक्रोस्कोपिक बाधाओं के अधीन सत्यापित की गई है इस तथ्य के बाद कि कई पाठ्यपुस्तकें अभी भी यह संदेश देती हैं कि संयोजन तुल्यता सभी भौतिक प्रणालियों के लिए होती है तथा पिछले दशकों में भौतिक प्रणालियों के विभिन्न उदाहरण पाए गए हैं जिनके लिए संयोजन तुल्यता का टूटना होता है।

गुण

• विशिष्टता : विहित पहनावा किसी दिए गए भौतिक प्रणाली के लिए तथा किसी दिए गए तापमान पर विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है और समन्वय प्रणाली शास्त्रीय यांत्रिकी, आधार क्वांटम यांत्रिकी या ऊर्जा के शून्य की पसंद जैसे मनमाने विकल्पों पर निर्भर नहीं करता है विहित पहनावा निरंतर एन , वी और टी के साथ एकमात्र पहनावा है जो मौलिक थर्मोडायनामिक संबंध को पुन: पेश करता है ।
• सांख्यिकीय संतुलन स्थिर अवस्था: एक विहित समूह समय के साथ विकसित नहीं होता है इस तथ्य के बाद अंतर्निहित प्रणाली निरंतर गति में है ऐसा इसलिए है क्योंकि संयोजन केवल प्रणाली ऊर्जा की संरक्षित मात्रा का एक कार्य है।
• अन्य प्रणालियों के साथ तापीय संतुलन : दो प्रणालियाँ जिनमें से प्रत्येक को समान तापमान के एक विहित संयोजन द्वारा वर्णित किया गया है तथा इसे तापीय संपर्क में लाया गया है प्रत्येक एक ही संयोजन को बनाए रखेगा और परिणामी संयुक्त प्रणाली को समान तापमान के एक विहित समूह द्वारा वर्णित किया जाएगा।
• अधिकतम एन्ट्रापी : किसी दिए गए यांत्रिक प्रणाली निश्चित एन , वी के लिए विहित पहनावा औसत −⟨लॉग पी ⟩ ( एन्ट्रापी ) समान ⟨ ई ⟩ के साथ किसी भी संयोजन के लिए अधिकतम संभव है ।
• न्यूनतम मुक्त ऊर्जा : किसी दिए गए यांत्रिक प्रणाली निश्चित एन , वी और टी के दिए गए मान के लिए विहित संयोजन औसत ⟨ ई + केटी लॉग पी ⟩ हेल्महोल्ट्ज़ मुक्त ऊर्जा किसी भी संयोजन की तुलना में सबसे कम संभव है इसे आसानी से एन्ट्रापी को अधिकतम करने के बराबर देखा जा सकता है।

मुक्त ऊर्जा, समग्र औसत और सटीक अंतर

• समारोह का आंशिक व्युत्पन्न F(N, V, T) महत्वपूर्ण विहित पहनावा औसत मात्राएँ दें
  • औसत दबाव है
    $$\langle p\rangle =-{\frac {\partial F}{\partial V}},$$
  • गिब्स एन्ट्रापी है
    $$S=-k\langle \log P\rangle =-{\frac {\partial F}{\partial T}},$$
  • आंशिक व्युत्पन्न ∂F/∂N लगभग रासायनिक क्षमता से संबंधित है जबकि रासायनिक संतुलन की अवधारणा छोटी प्रणालियों के विहित समूहों पर बिल्कुल लागू नहीं होती है
  • और औसत ऊर्जा है
    $$\langle E\rangle =F+ST.$$
• सटीक अंतर: उपरोक्त अभिव्यक्तियों से यह देखा जा सकता है कि समारोह F(V, T), किसी प्रदत्त के लिए N, सटीक अंतर है
  $$dF=-S\,dT-\langle p\rangle \,dV.$$
• ऊष्मप्रवैगिकी का पहला नियम: उपरोक्त संबंध को प्रतिस्थापित करना ⟨E⟩ के सटीक अंतर में F कुछ मात्राओं पर औसत संकेतों को छोड़कर थर्मोडायनामिक्स के पहले नियम के समान एक समीकरण पाया जाता है
  $$d\langle E\rangle =T\,dS-\langle p\rangle \,dV.$$
• तापीय उतार-चढ़ाव: तंत्र में ऊर्जा के विहित संयोजन में अनिश्चितता है जो ऊर्जा का विचरण करता है
  $$\langle E^{2}\rangle -\langle E\rangle ^{2}=kT^{2}{\frac {\partial \langle E\rangle }{\partial T}}.$$

उदाहरण समुच्चय

अभिलेख अवरोधन को एक ही प्रकृति की बड़ी संख्या में प्रणालियों की कल्पना कर सकते हैं लेकिन एक निश्चित समय पर उनके विन्यास और वेग में भिन्नता होती है तथा बहुत ही कम अंतर होता है जबकि यह इतना भिन्न हो सकता है कि प्रत्येक कल्पनीय संयोजन को गले लगा सके विन्यास और वेग... जे. डब्ल्यू. गिब्स (1903) के अनुसार है-

बोल्ट्ज़मैन वितरण (वियोज्य प्रणाली)

यदि एक विहित समूह द्वारा वर्णित प्रणाली को स्वतंत्र भागों में विभाजित किया जा सकता है ऐसा तब होता है जब विभिन्न भाग परस्पर क्रिया नहीं करते हैं और उनमें से प्रत्येक भाग की एक निश्चित सामग्री संरचना होती है तथा प्रत्येक भाग को अपने आप में एक प्रणाली के रूप में देखा जा सकता है और है संपूर्ण तापमान के समान तापमान वाले एक विवर्णि करता है समूह द्वारा वर्णित तंत्र कई समान भागों से बना है तथा प्रत्येक भाग का वितरण अन्य भागों के समान ही होता है।

इस तरह विहित पहनावा किसी भी संख्या में कणों की प्रणाली के लिए बिल्कुल बोल्ट्ज़मैन वितरण जिसे मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी के रूप में भी जाना जाता है इसकी तुलना में सूक्ष्म विहित एकत्र से बोल्ट्ज़मैन वितरण का औचित्य केवल बड़ी संख्या में भागों अर्थात थर्मोडायनामिक सीमा में वाले तंत्र के लिए लागू होता है।

बोल्ट्ज़मैन वितरण वास्तविक प्रणालियों में सांख्यिकीय यांत्रिकी को लागू करने में सबसे महत्वपूर्ण उपकरणों में से एक है क्योंकि यह उन प्रणालियों के अध्ययन को व्यापक रूप से सरल बनाता है जिन्हें स्वतंत्र भागों में विभाजित किया जा सकता है उदाहरण के लिए मैक्सवेल गति वितरण, प्लैंक का नियम, पॉलिमर भौतिकी आदि।

एकीकृत प्रारूप दृढ़ता से इंटरैक्ट करने वाला तंत्र

Main article: Ising model

एक दूसरे के साथ परस्पर क्रिया करने वाले टुकड़ों से बने तंत्र में आमतौर पर प्रणाली को स्वतंत्र उपप्रणालियों में अलग करने का तरीका खोजना संभव नहीं होता है जैसा कि बोल्ट्ज़मैन वितरण में किया गया है इन प्रणालियों में जब तंत्र को ताप स्नान के लिए ऊष्मातापी किया जाता है तो उसके थर्मोडायनामिक्स का वर्णन करने के लिए विहित पहनावा की पूर्ण अभिव्यक्ति का उपयोग करना आवश्यक होता है विहित पहनावा अधिकतर सांख्यिकीय यांत्रिकी के अध्ययन के लिए सबसे सीधा ढांचा है और यहां तक ​​कि कुछ इंटरैक्टिंग प्रारूप तंत्र में सटीक समाधान प्राप्त करने की अनुमति भी देता है इसका एक उत्कृष्ट उदाहरण एकीकृत प्रारूप है जो लौह चुम्बकत्व और स्व-इकट्ठे मोनोलेयर गठन की घटनाओं के लिए एक व्यापक रूप से चर्चित प्रारूप है और सबसे सरल प्रारूपों में से एक है जो एक चरण संक्रमण दिखाता है लार्स ऑनसागर ने विहित समूह में शून्य चुंबकीय क्षेत्र पर एक अनंत आकार के वर्ग-जाली एकीकृतग प्रारूप की मुक्त ऊर्जा की गणना की।

समूह के लिए सटीक अभिव्यक्ति

एक सांख्यिकीय समूह के लिए सटीक गणितीय अभिव्यक्ति विचाराधीन यांत्रिकी के प्रकार पर निर्भर करती है - क्वांटम या शास्त्रीय - क्योंकि इन दोनों मामलों में माइक्रोस्टेट की धारणा काफी भिन्न है। क्वांटम यांत्रिकी में, विहित पहनावा एक सरल विवरण प्रदान करता है क्योंकि मैट्रिक्स विकर्णीकरण विशिष्ट ऊर्जाओं के साथ माइक्रोस्टेट (सांख्यिकीय यांत्रिकी) का एक अलग सेट प्रदान करता है। शास्त्रीय यांत्रिक मामला अधिक जटिल है क्योंकि इसमें विहित चरण स्थान पर एक अभिन्न अंग शामिल है, और चरण स्थान में माइक्रोस्टेट्स का आकार कुछ हद तक मनमाने ढंग से चुना जा सकता है।

क्वांटम मैकेनिकल

Example of canonical ensemble for a quantum system consisting of one particle in a potential well.

Plot of all possible states of this system. The available stationary states displayed as horizontal bars of varying darkness according to |ψ_i(x)|².

A canonical ensemble for this system, for the temperature shown. The states are weighted exponentially in energy.

The particle's Hamiltonian is Schrödinger-type, Ĥ = U(x) + p²/2m (the potential U(x) is plotted as a red curve). Each panel shows an energy-position plot with the various stationary states, along with a side plot showing the distribution of states in energy.

Further information on the representation of ensembles in quantum mechanics: Statistical ensemble (mathematical physics)

प्रमात्रा यांत्रिकी में एक सांख्यिकीय समूह को घनत्व गणितीय द्वारा दर्शाया जाता है जिसे ${\hat {\rho }}$ द्वारा दर्शाया जाता है आधार मुक्त संकेतन में विहित संयोजन घनत्व गणित है जो इस प्रकार है-

${\hat {\rho }}=\exp \left({\tfrac {1}{kT}}(F-{\hat {H}})\right),$

जहाँ Ĥ तंत्र का कुल ऊर्जा चालक हैमिल्टनियन क्वांटम यांत्रिकी है और exp() मैट्रिक्स घातांक चालक है मुक्त ऊर्जा F संभाव्यता सामान्यीकरण स्थिति द्वारा निर्धारित किया जाता है कि घनत्व मैट्रिक्स में एक का निशान रैखिक बीजगणित होता है, $\operatorname {Tr} {\hat {\rho }}=1$:

$e^{-{\frac {F}{kT}}}=\operatorname {Tr} \exp \left(-{\tfrac {1}{kT}}{\hat {H}}\right).$

यदि प्रणाली की स्थिर स्थिति और ऊर्जा के अभिलक्षण ​​​​ज्ञात हैं जिससे विहित पहनावा को वैकल्पिक रूप से संकेतन प्रारूप का उपयोग करके सरल रूप में लिखा जा सकता है ऊर्जा सहप्रसरण का पूरा आधार दिया गया है |ψ_i⟩, द्वारा अनुक्रमित i, विहित पहनावा है इस प्रकार है-

${\hat {\rho }}=\sum _{i}e^{\frac {F-E_{i}}{kT}}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|$

$e^{-{\frac {F}{kT}}}=\sum _{i}e^{\frac {-E_{i}}{kT}}.$

जहां E_i द्वारा निर्धारित ऊर्जा अभिलक्षण ​​हैं Ĥ|ψ_i⟩ = E_i|ψ_i⟩. तथा दूसरे शब्दों में प्रमात्रा यांत्रिकी में सूक्ष्म विहित का एक समूह जो स्थिर राज्यों के एक पूरे समूह द्वारा दिया जाता है इस आधार पर घनत्व गणितीय विकर्ण है जो विकर्ण प्रविष्टियाँ प्रत्येक सीधे एक संभाव्यता देती हैं।

शास्त्रीय यांत्रिक

Example of canonical ensemble for a classical system consisting of one particle in a potential well.

Plot of all possible states of this system. The available physical states are evenly distributed in phase space, but with an uneven distribution in energy; the side-plot displays dv/dE.

A canonical ensemble for this system, for the temperature shown. The states are weighted exponentially in energy.

Each panel shows phase space (upper graph) and energy-position space (lower graph). The particle's Hamiltonian is H = U(x) + p²/2m, with the potential U(x) shown as a red curve. The side plot shows the distribution of states in energy.

Further information on the representation of ensembles in classical mechanics: Statistical ensemble (mathematical physics)

शास्त्रीय यांत्रिकी में, एक सांख्यिकीय समूह को सिस्टम के चरण स्थान में एक संयुक्त संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन द्वारा दर्शाया जाता है,

ρ(p1, … pn, q1, … qn), जहां p1, … pn और q1, … qn सिस्टम की स्वतंत्रता की आंतरिक डिग्री के विहित निर्देशांक (सामान्यीकृत संवेग और सामान्यीकृत निर्देशांक) हैं।

कणों की एक प्रणाली में, स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या n कणों की संख्या पर निर्भर करता है N एक तरह से जो भौतिक स्थिति पर निर्भर करता है। मोनोएटोम्स (अणु नहीं) की त्रि-आयामी गैस के लिए, n = 3N. द्विपरमाणुक गैसों में स्वतंत्रता की घूर्णी और कंपनात्मक डिग्री भी होंगी।

विहित समूह के लिए संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन है:

$\rho ={\frac {1}{h^{n}C}}e^{\frac {F-E}{kT}},$

कहाँ

• E सिस्टम की ऊर्जा है, चरण का एक कार्य है (p₁, … q_n),
• h की इकाइयों के साथ एक मनमाना लेकिन पूर्वनिर्धारित स्थिरांक है energy×time, एक माइक्रोस्टेट की सीमा निर्धारित करना और सही आयाम प्रदान करना ρ.
• C एक ओवरकाउंटिंग सुधार कारक है, जिसका उपयोग अक्सर कण प्रणालियों के लिए किया जाता है जहां समान कण एक दूसरे के साथ स्थान बदलने में सक्षम होते हैं।
• F एक सामान्यीकरण कारक प्रदान करता है और यह विशिष्ट अवस्था फ़ंक्शन, मुक्त ऊर्जा भी है।

फिर से, का मूल्य Fउसकी मांग करके निर्धारित किया जाता है ρ एक सामान्यीकृत संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन है:

$e^{-{\frac {F}{kT}}}=\int \ldots \int {\frac {1}{h^{n}C}}e^{\frac {-E}{kT}}\,dp_{1}\ldots dq_{n}$

यह अभिन्न अंग पूरे चरण स्थान पर लिया गया है।

दूसरे शब्दों में, शास्त्रीय यांत्रिकी में एक माइक्रोस्टेट एक चरण अंतरिक्ष क्षेत्र है, और इस क्षेत्र में आयतन है hⁿC. इसका मतलब यह है कि प्रत्येक माइक्रोस्टेट ऊर्जा की एक सीमा तक फैला हुआ है, हालांकि इस सीमा को चुनकर मनमाने ढंग से संकीर्ण बनाया जा सकता है h बहुत छोटा होना. चरण स्थान इंटीग्रल को माइक्रोस्टेट्स पर एक योग में परिवर्तित किया जा सकता है, एक बार चरण स्थान को पर्याप्त डिग्री तक बारीक रूप से विभाजित किया गया है।