ब्रांचिंग क्वांटिफायर: Difference between revisions

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==परिभाषा और गुण==
==परिभाषा और गुण==


सबसे सरल हेनकिन परिमाणक <math>Q_H</math> है
सबसे सरल हेनकिन क्वांटिफायर <math>Q_H</math> है


:<math>(Q_Hx_1,x_2,y_1,y_2)\varphi(x_1,x_2,y_1,y_2)\equiv\begin{pmatrix}\forall x_1 \, \exists y_1\\ \forall x_2 \, \exists y_2\end{pmatrix}\varphi(x_1,x_2,y_1,y_2).</math>
:<math>(Q_Hx_1,x_2,y_1,y_2)\varphi(x_1,x_2,y_1,y_2)\equiv\begin{pmatrix}\forall x_1 \, \exists y_1\\ \forall x_2 \, \exists y_2\end{pmatrix}\varphi(x_1,x_2,y_1,y_2).</math>
यह (वास्तव में हेनकिन उपसर्ग वाला प्रत्येक सूत्र, न कि केवल सबसे सरल सूत्र) इसके दूसरे क्रम के [[शोलेमाइजेशन]] के बराबर है, अर्थात।
यह वास्तव में हेनकिन उपसर्ग वाला प्रत्येक सूत्र, न कि केवल सबसे सरल सूत्र इसके दूसरे क्रम के [[शोलेमाइजेशन]] के बराबर है,  
 
अर्थात।


: <math>\exists f \, \exists g \, \forall x_1 \forall x_2 \, \varphi (x_1, x_2, f(x_1), g(x_2)). </math>
: <math>\exists f \, \exists g \, \forall x_1 \forall x_2 \, \varphi (x_1, x_2, f(x_1), g(x_2)). </math>
यह परिमाणक को परिभाषित करने के लिए भी पर्याप्त शक्तिशाली है <math>Q_{\geq\mathbb{N}}</math> (अर्थात् अपरिमित रूप से अनेक हैं) के रूप में परिभाषित किया गया है
यह क्वांटिफायर को परिभाषित करने के लिए भी पर्याप्त प्रभावशाली <math>Q_{\geq\mathbb{N}}</math> के रूप में परिभाषित किया गया है:


:<math>(Q_{\geq\mathbb{N}}x)\varphi (x)\equiv(\exists a)(Q_Hx_1,x_2,y_1,y_2)[\varphi(a)\land (x_1=x_2 \leftrightarrow y_1=y_2) \land (\varphi (x_1)\rightarrow (\varphi (y_1)\land y_1\neq a))].</math>
:<math>(Q_{\geq\mathbb{N}}x)\varphi (x)\equiv(\exists a)(Q_Hx_1,x_2,y_1,y_2)[\varphi(a)\land (x_1=x_2 \leftrightarrow y_1=y_2) \land (\varphi (x_1)\rightarrow (\varphi (y_1)\land y_1\neq a))].</math>
इससे कई बातें सामने आती हैं, जिनमें प्रथम-क्रम तर्क की गैर-अक्सिओमेटिज़ेबिलिटी भी शामिल है <math>Q_H</math> (पहली बार [[नमी का सम्मान करें]] द्वारा देखा गया), और इसकी समकक्षता <math>\Sigma_1^1</math>-दूसरे क्रम के तर्क का टुकड़ा ([[अस्तित्वगत दूसरे क्रम का तर्क]]) - बाद वाला परिणाम 1970 में [[हर्बर्ट एंडर्टन]] द्वारा स्वतंत्र रूप से प्रकाशित हुआ<ref>Jaakko Hintikka and Gabriel Sandu, "Game-theoretical semantics", in ''Handbook of logic and language'', ed. J. van Benthem and [[Alice ter Meulen|A. ter Meulen]], Elsevier 2011 (2nd ed.) citing Enderton, H.B., 1970. Finite {{Sic|hide=y|partially|-}}ordered quantifiers. Z. Math. Logik Grundlag. Math. 16, 393–397 {{doi|10.1002/malq.19700160802}}.</ref> और डब्ल्यू वॉको।<ref>{{Cite journal | last1 = Blass | first1 = A. | last2 = Gurevich | first2 = Y. | doi = 10.1016/0168-0072(86)90040-0 | title = हेनकिन क्वांटिफायर और संपूर्ण समस्याएं| journal = Annals of Pure and Applied Logic | volume = 32 | pages = 1–16 | year = 1986 | url = http://research.microsoft.com/en-us/um/people/gurevich/Opera/66.pdf| hdl = 2027.42/26312 | hdl-access = free }} citing W. Walkoe, Finite {{Sic|hide=y|partially|-}}ordered quantification, Journal of Symbolic Logic 35 (1970) 535–555. {{JSTOR|2271440}}</ref>
इससे कई बातें सामने आती हैं, जिनमें प्रथम-क्रम तर्क की गैर-अभिधानत्वीयता भी सम्मिलित है  
निम्नलिखित परिमाणक भी इसके द्वारा परिभाषित किये जा सकते हैं <math>Q_H</math>.<ref name="Badia2009"/>
 
इससे कई बातें सामने आती हैं जिनमें पहले ओथर लॉजिक को "<math>Q_H</math>" के साथ नॉनअक्सिओमेटिज़ेबिलिटी नहीं किया जा सकता जिसे पहली बार एहरनफ्यूच्ट द्वारा देखा गया था <ref>{{Cite journal | last1 = Blass | first1 = A. | last2 = Gurevich | first2 = Y. | doi = 10.1016/0168-0072(86)90040-0 | title = हेनकिन क्वांटिफायर और संपूर्ण समस्याएं| journal = Annals of Pure and Applied Logic | volume = 32 | pages = 1–16 | year = 1986 | url = http://research.microsoft.com/en-us/um/people/gurevich/Opera/66.pdf| hdl = 2027.42/26312 | hdl-access = free }} citing W. Walkoe, Finite {{Sic|hide=y|partially|-}}ordered quantification, Journal of Symbolic Logic 35 (1970) 535–555. {{JSTOR|2271440}}</ref>और दूसरे ओथर लॉजिक के समानता को <math>\Sigma_1^1</math>-के साथ समान माना जा सकता है<ref>Jaakko Hintikka and Gabriel Sandu, "Game-theoretical semantics", in ''Handbook of logic and language'', ed. J. van Benthem and [[Alice ter Meulen|A. ter Meulen]], Elsevier 2011 (2nd ed.) citing Enderton, H.B., 1970. Finite {{Sic|hide=y|partially|-}}ordered quantifiers. Z. Math. Logik Grundlag. Math. 16, 393–397 {{doi|10.1002/malq.19700160802}}.</ref> यह दूसरा परिणाम [[हर्बर्ट एंडर्टन]] और डब्ल्यू वॉको ने 1970 में अलग-अलग प्रकाशित किया था।<ref name="Badia2009" />
 
निम्नलिखित क्वांटिफायर भी <math>Q_H</math> द्वारा परिभाषित किये जा सकते हैं :


* रिसचर: φs की संख्या ψs की संख्या से कम या उसके बराबर है
* राइकर्ट: φs की संख्या ψs की संख्या से कम या उसके बराबर है


::<math>(Q_Lx)(\varphi x,\psi x)\equiv \operatorname{Card}(\{ x \colon\varphi x\} )\leq \operatorname{Card}(\{ x \colon\psi x\} ) \equiv (Q_Hx_1x_2y_1y_2)[(x_1=x_2 \leftrightarrow y_1=y_2) \land (\varphi x_1 \rightarrow \psi y_1)]</math>
::<math>(Q_Lx)(\varphi x,\psi x)\equiv \operatorname{Card}(\{ x \colon\varphi x\} )\leq \operatorname{Card}(\{ x \colon\psi x\} ) \equiv (Q_Hx_1x_2y_1y_2)[(x_1=x_2 \leftrightarrow y_1=y_2) \land (\varphi x_1 \rightarrow \psi y_1)]</math>
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::<math>(Q_Ix)(\varphi x,\psi x)\equiv (Q_Lx)(\varphi x,\psi x) \land (Q_Lx)(\psi x,\varphi x)</math>
::<math>(Q_Ix)(\varphi x,\psi x)\equiv (Q_Lx)(\varphi x,\psi x) \land (Q_Lx)(\psi x,\varphi x)</math>
* चांग: मॉडल के डोमेन के साथ φs की संख्या समतुल्य है
* चांग: प्रारूप के क्षेत्र के साथ φs की संख्या समतुल्य है


::<math>(Q_Cx)(\varphi x)\equiv (Q_Lx)(x=x,\varphi x)</math>
::<math>(Q_Cx)(\varphi x)\equiv (Q_Lx)(x=x,\varphi x)</math>
हेनकिन परिमाणक <math>Q_H</math> स्वयं को एक प्रकार (4) लिंडस्ट्रॉम क्वांटिफायर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।<ref name="Badia2009"/>
हेनकिन क्वांटिफायर <math>Q_H</math> स्वयं को एक प्रकार (4) लिंडस्ट्रॉम क्वांटिफायर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।<ref name="Badia2009"/>




Revision as of 14:14, 20 July 2023

ब्रांचिंग क्वांटिफायर एक लॉजिकीय अवधारणा है,[1] जिसे हिंदी में "हेंकिन क्वांटिफायर" भी कहा जाता है। यह एक आंशिक क्रमबद्धता की एक विशेषता है जो लॉजिक में प्रयोग की जाती है। इसे "सीमित आंशिक क्रमबद्ध क्वांटिफायर" या "अनैक लीनियर क्वांटिफायर" भी कहा जाता है।

क्वांटिफायर के बारे में जो Q ∈ {∀, ∃} द्वारा निर्दिष्ट किया गया है, वे विशेष रूप से सामान्यीकृत क्वांटिफायर के एक विशेष प्रकार हैं। पारंपरिक तर्क में, क्वांटिफायर प्रत्ययांश रूपांतरित करने के लिए रेखांकित विधि से व्यवस्थित होते हैं जिससे क्वांटिफायर Qm द्वारा बांधी गई चर ym का मूल्य पिछले क्वांटिफायर द्वारा बांधी गई चर के मूल्य पर निर्भर करता है।

y1, ..., ym−1

क्वांटिफायर से बंधा हुआ

Qy1, ..., Qym−1

पूर्ववर्ती Qm.सीमित या आंशिक क्रमबद्ध परिमाणन वाले तर्क में, क्वांटिफायर प्रत्ययांशों का लगातार व्यवस्थित होने का सामान्य अवधारणा नहीं होता है।[2]

ब्रांचिंग परिमाणन का प्रथम उल्लेख 1959 में लियॉन हेंकिन के एक सम्मेलन पत्र में हुआ था। आंशिक रूप से क्रमबद्ध परिमाणीकरण की प्रणालियाँ पहले-क्रम तर्क और दूसरे-क्रम तर्क के बीच की ताकत में मध्यवर्ती हैं। इन्हें हिंटिका और गेब्रियल सैंडू के स्वतंत्रता-अनुकूल तर्क के आधार के रूप में उपयोग किया जा रहा है।

परिभाषा और गुण

सबसे सरल हेनकिन क्वांटिफायर है

यह वास्तव में हेनकिन उपसर्ग वाला प्रत्येक सूत्र, न कि केवल सबसे सरल सूत्र इसके दूसरे क्रम के शोलेमाइजेशन के बराबर है,

अर्थात।

यह क्वांटिफायर को परिभाषित करने के लिए भी पर्याप्त प्रभावशाली के रूप में परिभाषित किया गया है:

इससे कई बातें सामने आती हैं, जिनमें प्रथम-क्रम तर्क की गैर-अभिधानत्वीयता भी सम्मिलित है

इससे कई बातें सामने आती हैं जिनमें पहले ओथर लॉजिक को "" के साथ नॉनअक्सिओमेटिज़ेबिलिटी नहीं किया जा सकता जिसे पहली बार एहरनफ्यूच्ट द्वारा देखा गया था [3]और दूसरे ओथर लॉजिक के समानता को -के साथ समान माना जा सकता है[4] यह दूसरा परिणाम हर्बर्ट एंडर्टन और डब्ल्यू वॉको ने 1970 में अलग-अलग प्रकाशित किया था।[5]

निम्नलिखित क्वांटिफायर भी द्वारा परिभाषित किये जा सकते हैं :

  • राइकर्ट: φs की संख्या ψs की संख्या से कम या उसके बराबर है
  • हार्टिग: φs, ψs के साथ समसंख्यक हैं
  • चांग: प्रारूप के क्षेत्र के साथ φs की संख्या समतुल्य है

हेनकिन क्वांटिफायर स्वयं को एक प्रकार (4) लिंडस्ट्रॉम क्वांटिफायर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।[5]


प्राकृतिक भाषाओं से संबंध

1973 के एक पेपर में हिन्तिक्का[6] इस परिकल्पना को आगे बढ़ाया कि प्राकृतिक भाषाओं में कुछ वाक्यों को शाखा परिमाणकों के संदर्भ में सबसे अच्छी तरह से समझा जाता है, उदाहरण के लिए: प्रत्येक ग्रामीण के कुछ रिश्तेदार और प्रत्येक शहरवासी के कुछ रिश्तेदार एक-दूसरे से नफरत करते हैं, हिंटिका के अनुसार, इसकी व्याख्या इस प्रकार की जानी चाहिए:[7][8]

यह ज्ञात है कि इसका कोई प्रथम-क्रम तर्क समतुल्य नहीं है।[7]

शाखाओं में बँटने का विचार आवश्यक रूप से शास्त्रीय परिमाणकों को पत्तियों के रूप में उपयोग करने तक ही सीमित नहीं है। 1979 के एक पेपर में,[9] जॉन बारवाइज ने हिंटिका वाक्यों की विविधताएं प्रस्तावित कीं (जैसा कि ऊपर कभी-कभी कहा जाता है) जिसमें आंतरिक परिमाणक स्वयं सामान्यीकृत परिमाणक होते हैं, उदाहरण के लिए: अधिकांश ग्रामीण और अधिकांश शहरवासी एक-दूसरे से नफरत करते हैं।[7]उसका अवलोकन कर रहे हैं निषेध के तहत बंद नहीं किया गया है, बारवाइज़ ने यह निर्धारित करने के लिए एक व्यावहारिक परीक्षण का भी प्रस्ताव रखा है कि क्या प्राकृतिक भाषा के वाक्यों में वास्तव में शाखा परिमाणक शामिल हैं, अर्थात् यह परीक्षण करने के लिए कि क्या उनके प्राकृतिक-भाषा निषेध में एक निर्धारित चर पर सार्वभौमिक परिमाणीकरण शामिल है (ए) वाक्य)।[10] हिंटिका के प्रस्ताव को कई तर्कशास्त्रियों ने संदेह के साथ स्वीकार किया क्योंकि नीचे दिए गए जैसे कुछ प्रथम-क्रम वाक्य प्राकृतिक भाषा हिंटिका वाक्य को अच्छी तरह से पकड़ते प्रतीत होते हैं।

कहाँ

अर्थ है

हालाँकि बहुत अधिक सैद्धांतिक बहस हुई, लेकिन 2009 तक ऐसा नहीं हुआ कि तर्क में प्रशिक्षित छात्रों के साथ कुछ अनुभवजन्य परीक्षणों में पाया गया कि वे कई प्राकृतिक-भाषा निर्माणों के लिए ब्रांचिंग-क्वांटिफायर वाक्य के बजाय द्विदिश प्रथम-क्रम वाक्य से मेल खाने वाले मॉडल निर्दिष्ट करने की अधिक संभावना रखते हैं। हिंटिका वाक्य से लिया गया है। उदाहरण के लिए, छात्रों को अप्रत्यक्ष द्विदलीय ग्राफ़ दिखाए गए - जिसमें वर्ग और वृत्त शीर्ष के रूप में थे - और यह बताने के लिए कहा गया कि क्या 3 से अधिक वृत्त और 3 से अधिक वर्ग रेखाओं से जुड़े हुए हैं, जैसे वाक्य आरेखों का सही वर्णन कर रहे हैं।[7]


यह भी देखें

संदर्भ

  1. ↑ Stanley Peters; Dag Westerståhl (2006). भाषा और तर्क में परिमाणक. Clarendon Press. pp. 66–72. ISBN 978-0-19-929125-0.
  2. ↑ Henkin, L. "Some Remarks on Infinitely Long Formulas". Infinitistic Methods: Proceedings of the Symposium on Foundations of Mathematics, Warsaw, 2–9 September 1959, Panstwowe Wydawnictwo Naukowe and Pergamon Press, Warsaw, 1961, pp. 167–183. OCLC 2277863
  3. ↑ Blass, A.; Gurevich, Y. (1986). "हेनकिन क्वांटिफायर और संपूर्ण समस्याएं" (PDF). Annals of Pure and Applied Logic. 32: 1–16. doi:10.1016/0168-0072(86)90040-0. hdl:2027.42/26312. citing W. Walkoe, Finite partially-ordered quantification, Journal of Symbolic Logic 35 (1970) 535–555. JSTOR 2271440
  4. ↑ Jaakko Hintikka and Gabriel Sandu, "Game-theoretical semantics", in Handbook of logic and language, ed. J. van Benthem and A. ter Meulen, Elsevier 2011 (2nd ed.) citing Enderton, H.B., 1970. Finite partially-ordered quantifiers. Z. Math. Logik Grundlag. Math. 16, 393–397 doi:10.1002/malq.19700160802.
  5. ↑ 5.0 5.1 Cite error: Invalid <ref> tag; no text was provided for refs named Badia2009
  6. ↑ Hintikka, J. (1973). "परिमाणक बनाम परिमाणीकरण सिद्धांत". Dialectica. 27 (3–4): 329–358. doi:10.1111/j.1746-8361.1973.tb00624.x.
  7. ↑ 7.0 7.1 7.2 7.3 Gierasimczuk, N.; Szymanik, J. (2009). "शाखा परिमाणीकरण बनाम दोतरफा परिमाणीकरण" (PDF). Journal of Semantics. 26 (4): 367. doi:10.1093/jos/ffp008.
  8. ↑ Sher, G. (1990). "परिमाणकों को शाखाबद्ध करने के तरीके" (PDF). Linguistics and Philosophy. 13 (4): 393–422. doi:10.1007/BF00630749. S2CID 61362436.
  9. ↑ Barwise, J. (1979). "अंग्रेजी में ब्रांचिंग क्वांटिफायर पर". Journal of Philosophical Logic. 8: 47–80. doi:10.1007/BF00258419. S2CID 31950692.
  10. ↑ Hand, Michael (1998). "Reviewed work: On Branching Quantifiers in English, Jon Barwise; Branching Generalized Quantifiers and Natural Language. Generalized Quantifiers, Linguistic and Logical Approaches, Dag Westerståhl, Peter Gärdenfors; Ways of Branching Quantifiers, Gila Sher". The Journal of Symbolic Logic. 63 (4): 1611–1614. doi:10.2307/2586678. JSTOR 2586678. S2CID 117833401.


बाहरी संबंध

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