कैनोनिकल एन्सेम्बल (विहित समुदाय): Difference between revisions

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सांख्यिकीय यांत्रिक में एक कैनोनिकल एन्सेम्बल (विहित समुदाय) एक सांख्यिकीय समूह है जो एक निश्चित तापमान पर ताप कुण्ड के साथ ऊष्मीय साम्य में एक यांत्रिक तंत्र की संभावित स्थितियों का प्रतिनिधित्व करता है।^[1] तंत्र ताप कुण्ड के साथ ऊर्जा का आदान-प्रदान कर सकता है, जिससे तंत्र की स्थिति कुल ऊर्जा में भिन्न होगी।

अवस्थाओ के प्रायिकता वितरण को निर्धारित करने वाले कैनोनिकल एन्सेम्बल का प्रमुख ऊष्मागतिक चर, परम ताप (प्रतीक, T) है। समूह सामान्यतः यांत्रिक चर पर भी निर्भर करता है जैसे तंत्र में कणों की संख्या (प्रतीक, $N$ ) और तंत्र की मात्रा (प्रतीक, $V$ ), जिनमें से यह प्रत्येक तंत्र की आंतरिक स्थितियों की प्रकृति को प्रभावित करता है। इन तीन मापदंडों वाले समूह को कभी-कभी $NVT$ समूह कहा जाता है

कैनोनिकल एन्सेम्बल निम्नलिखित घातांक द्वारा दिए गए प्रत्येक विशिष्ट सूक्ष्म अवस्था को एक प्रायिकता $P$ प्रदान करता है,

P=e^{(F-E)/(kT)},

जहाँ $E$ सूक्ष्म अवस्था की कुल ऊर्जा है और $k$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है

संख्या $F$ मुक्त ऊर्जा है (विशेष रूप से हेल्महोल्ट्ज़ मुक्त ऊर्जा) और समूह के लिए एक स्थिरांक है। हालाँकि, यदि अलग-अलग N, V, T का चयन किया जाता है तो संभावनाएँ और $F$ अलग-अलग होंगे। मुक्त ऊर्जा F दो भूमिकाएँ निभाती है, पहला, यह प्रायिकता वितरण के लिए एक सामान्यीकरण कारक प्रदान करता है (सूक्ष्म अवस्था के पूरे समूह पर संभावनाओं का योग एक होना चाहिए), दूसरा कई महत्वपूर्ण समूह औसतों की गणना सीधे फलन $F (N, V, T)$ से की जा सकती है।

समान अवधारणा के लिए एक वैकल्पिक समतुल्य सूत्रीकरण, मुक्त ऊर्जा के बजाय विहित विभाजन फलन

$\textstyle Z=e^{-F/(kT)}$

का उपयोग करते हुए, संभावना को

\textstyle P={\frac {1}{Z}}e^{-E/(kT)},

के रूप में लिखता है

नीचे दिए गए समीकरणों (मुक्त ऊर्जा के संदर्भ में) को सरल गणितीय परिचालन द्वारा विहित विभाजन फलन के संदर्भ में पुनर्स्थापित किया जा सकता है।

ऐतिहासिक रूप से कैनोनिकल एन्सेम्बल का वर्णन पहली बार बोल्ट्ज़मान (जिन्होंने इसे होलोड कहा था) द्वारा 1884 में एक अपेक्षाकृत अज्ञात पेपर में किया गया था। बाद में 1902 में गिब्स द्वारा इसका पुनर्निर्माण किया गया और व्यापक जांच की गई।^[1]

कैनोनिकल एन्सेम्बल की प्रयोज्यता

कैनोनिकल एन्सेम्बल वह समूह है जो एक तंत्र की संभावित स्थितियों का वर्णन करता है जो ताप कुण्ड के साथ तापीय संतुलन में है (इस तथ्य की व्युत्पत्ति गिब्स में पाई जा सकती है। ^[1]

कैनोनिकल एन्सेम्बल किसी भी आकार की प्रणालियों पर लागू होता है, जबकि यह मानना आवश्यक है कि ताप कुण्ड बहुत बड़ा है (अर्थात, एक स्थूल सीमा लें), और तंत्र स्वयं छोटा या बड़ा हो सकता है।

यह शर्त कि तंत्र यांत्रिक रूप से पृथक है, यह सुनिश्चित करने के लिए आवश्यक है कि यह ताप कुण्ड के अलावा किसी भी बाहरी वस्तु के साथ ऊर्जा का आदान-प्रदान नहीं करता है।^[1] सामान्य तौर पर उन प्रणालियों पर कैनोनिकल एन्सेम्बल लागू करना वांछनीय है जो ताप कुण्ड के सीधे संपर्क में हैं क्योंकि यह वह संपर्क है जो संतुलन सुनिश्चित करता है। व्यावहारिक स्थितियों में कैनोनिकल एन्सेम्बल का उपयोग सामान्यतः या तो उचित है (1 यह मानकर कि संपर्क यांत्रिक रूप से कमजोर है, या 2) जो विश्लेषण के तहत तंत्र में ताप कुण्ड संबन्ध का एक उपयुक्त भाग सम्मिलित करके संबन्ध का यांत्रिक प्रभाव तंत्र के भीतर प्रारूपित कर सकता है।

जब कुल ऊर्जा निश्चित होती है लेकिन सिस्टम की आंतरिक स्थिति अन्यथा अज्ञात होती है, तो उचित विवरण कैनोनिकल एन्सेम्बल नहीं बल्कि सूक्ष्म कैनोनिकल एन्सेम्बल होता है। उन प्रणालियों के लिए कण संख्या परिवर्तनशील है (कण भंडार के संपर्क के कारण), सही विवरण उच्च कैनोनिकल एन्सेम्बल है। कण प्रणालियों की परस्पर क्रिया के लिए सांख्यिकीय भौतिकी पाठ्यपुस्तकों में तीन समूहों को ऊष्मागतिक रूप से समतुल्य माना जाता है, उनके औसत मूल्य के आसपास स्थूल मात्राओं का उतार-चढ़ाव छोटा हो जाता है और, जैसे-जैसे कणों की संख्या अनंत हो जाती है, वे गायब हो जाते हैं। बाद की सीमा में जिसे ऊष्मागतिक सीमा कहा जाता है उसमें औसत बाधाएं प्रभावी रूप से कठिन बाधाएं बन जाती हैं। संयोजन तुल्यता की धारणा गिब्स के समय से चली आ रही है और इसे भौतिक प्रणालियों के कुछ प्रारूपों के लिए छोटी दूरी की अंतःक्रियाओं और छोटी संख्या में सूक्ष्म बाधाओं के अधीन सत्यापित किया गया है। इस तथ्य के बाद कि कई पाठ्यपुस्तकें अभी भी यह संदेश देती हैं कि समूह तुल्यता सभी भौतिक प्रणालियों के लिए होती है तथा पिछले दशकों में भौतिक प्रणालियों के विभिन्न उदाहरण पाए गए हैं जिनके लिए समूह तुल्यता का टूटना भी होता है।^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]^[7]

गुण

विशिष्टता, कैनोनिकल एन्सेम्बल किसी दिए गए भौतिक तंत्र के लिए तथा किसी दिए गए तापमान पर विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है, और समन्वय तंत्र (चिरप्रतिष्ठित यांत्रिकी), या आधार (क्वांटम यांत्रिकी), या ऊर्जा के शून्य के विकल्प जैसे यादृच्छिक विकल्पों पर निर्भर नहीं करता है। कैनोनिकल एन्सेम्बल निरंतर N , V और T के साथ एकमात्र समूह है जो मौलिक ऊष्मागतिक संबंध को पुन: उत्पन्न करता है ।
सांख्यिकीय संतुलन, एक कैनोनिकल एन्सेम्बल समय के साथ विकसित नहीं होता है, इस तथ्य कि अंतर्निहित तंत्र निरंतर गति में है। ऐसा इसलिए है क्योंकि समूह केवल तंत्र ऊर्जा की संरक्षित मात्रा का एक फलन है।
अन्य प्रणालियों के साथ तापीय संतुलन: दो प्रणालियाँ जिनमें से प्रत्येक को समान तापमान के एक कैनोनिकल एन्सेम्बल द्वारा वर्णित किया गया है, तथा इसे तापीय संपर्क में लाया गया है प्रत्येक एक ही समूह को बनाए रखेगा और परिणामी संयुक्त प्रणाली को उसी तापमान के एक कैनोनिकल एन्सेम्बल द्वारा वर्णित किया जाएगा।
अधिकतम एन्ट्रापी,: किसी दिए गए यांत्रिक तंत्र (निश्चित N , V ) के लिए कैनोनिकल एन्सेम्बल औसत −⟨log P ⟩ ( एन्ट्रापी ) समान ⟨E ⟩ के साथ किसी भी समूह के लिए अधिकतम संभव है ।
न्यूनतम मुक्त ऊर्जा, किसी दिए गए यांत्रिक तंत्र (निश्चित N , V )और T के दिए गए मान के लिए कैनोनिकल एन्सेम्बल औसत ⟨ E + kT log P ⟩ (हेल्महोल्ट्ज़ मुक्त ऊर्जा) किसी भी समूह की तुलना में में सबसे कम संभव है। इसे आसानी से एन्ट्रापी को अधिकतम करने के बराबर देखा जा सकता है।

मुक्त ऊर्जा, सामुदायिक औसत और सटीक अंतर

फलन F(N, V, T) के आंशिक व्युत्पन्न महत्वपूर्ण विहित संयोजन औसत मात्राएँ देते हैं,
- औसत दबाव ^[1] $\langle p\rangle =-{\frac {\partial F}{\partial V}},$ है,
- गिब्स एन्ट्रापी ^[1] $S=-k\langle \log P\rangle =-{\frac {\partial F}{\partial T}},$ है,
- आंशिक व्युत्पन्न $\partial F /\partial N$ लगभग रासायनिक क्षमता से संबंधित है, हालांकि रासायनिक संतुलन की अवधारणा छोटी प्रणालियों के विहित संयोजनों पर बिल्कुल लागू नहीं होती है। ^{[note 1]}
- और औसत ऊर्जा $\langle E\rangle =F+ST.$ है।
सटीक अंतर, उपरोक्त अभिव्यक्तियों से यह देखा जा सकता है कि दिए गए $N$ के लिए फलन $F (V, T)$ , में सटीक अंतर सटीक अंतर ^[1] $dF=-S\,dT-\langle p\rangle \,dV.$ है।
ऊष्मागतिकी का पहला नियम, $⟨ E ⟩$ के लिए उपरोक्त संबंध को $F$ के सटीक अंतर में प्रतिस्थापित करने पर, ऊष्मागतिकी के पहले नियम के समान, कुछ मात्राओं पर औसत संकेतों को छोड़कर: एक समीकरण मिलता है, ^[1] $d\langle E\rangle =T\,dS-\langle p\rangle \,dV.$
ऊर्जा उच्चावचन, तंत्र में ऊर्जा के कैनोनिकल एन्सेम्बल में अनिश्चितता है। ऊर्जा का विचरण^[1] $\langle E^{2}\rangle -\langle E\rangle ^{2}=kT^{2}{\frac {\partial \langle E\rangle }{\partial T}}.$ है।

उदाहरण समूह

"हम एक ही प्रकृति की बड़ी संख्या में प्रणालियों की कल्पना कर सकते हैं, लेकिन एक निश्चित समय पर उनके विन्यास और वेग में भिन्नता होती है, और न केवल अनन्त रूप से भिन्न, बल्कि यह इस प्रकार हो सकता है कि विन्यास और वेगों के हर कल्पनीय संयोजन को समाविष्ट कर सके..." जे. डब्ल्यू. गिब्स (1903)-^[8]

बोल्ट्ज़मैन वितरण (वियोज्य प्रणाली)

यदि एक कैनोनिकल एन्सेम्बल द्वारा वर्णित प्रणाली को स्वतंत्र भागों में विभाजित किया जा सकता है (ऐसा तब होता है जब विभिन्न भाग परस्पर क्रिया नहीं करते हैं), और उनमें से प्रत्येक भाग की एक निश्चित सामग्री संरचना होती है तथा प्रत्येक भाग को अपने आप में एक तंत्र के रूप में देखा जा सकता है और पूरे के समान तापमान वाले एक कैनोनिकल एन्सेम्बल द्वारा वर्णित किया जाता है। इसके अलावा, यदि तंत्र कई समान भागों से बना है, तो प्रत्येक भाग का वितरण अन्य भागों के समान ही होता है।

इस तरह कैनोनिकल एन्सेम्बल किसी भी संख्या में कणों की प्रणाली के लिए बिल्कुल बोल्ट्ज़मैन वितरण (जिसे मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी के रूप में भी जाना जाता है) प्रदान करता है। इसकी तुलना में सूक्ष्म कैनोनिकल एन्सेम्बल से बोल्ट्ज़मैन वितरण का औचित्य केवल बड़ी संख्या में भागों (अर्थात ऊष्मागतिक सीमा में) वाले तंत्र के लिए लागू होता है।

बोल्ट्ज़मैन वितरण स्वयं सांख्यिकीय यांत्रिकी को वास्तविक प्रणालियों पर लागू करने में सबसे महत्वपूर्ण उपकरणों में से एक है, क्योंकि यह उन प्रणालियों के अध्ययन को व्यापक रूप से सरल बनाता है जिन्हें स्वतंत्र भागों (उदाहरण के लिए, गैस में कण, गुहा में विद्युत चुम्बकीय मोड, बहुलक में आणविक बंधन) में विभाजित किया जा सकता है।

आइसिंग निदर्श (दृढ़ता से अन्योन्यकारी तंत्र)

एक दूसरे के साथ परस्पर क्रिया करने वाले टुकड़ों से बने तंत्र में, सामान्यतः तंत्र को स्वतंत्र उपप्रणालियों में अलग करने का तरीका खोजना संभव नहीं होता है जैसा कि बोल्ट्ज़मैन वितरण में किया गया है। इन प्रणालियों में जब तंत्र को ताप कुण्ड के लिए तापस्थापी किया जाता है तो उसके ऊष्मागतिकी का वर्णन करने के लिए कैनोनिकल एन्सेम्बल की पूर्ण अभिव्यक्ति का उपयोग करना आवश्यक होता है। कैनोनिकल एन्सेम्बल सामान्यतः सांख्यिकीय यांत्रिकी के अध्ययन के लिए सबसे सीधी संरचना है और यहां तक कि कुछ अन्योन्यकारी प्रारूप तंत्र में सही समाधान प्राप्त करने की अनुमति भी देता है ^[9]

इसका एक उत्कृष्ट उदाहरण एकीकृत प्रारूप है जो लौह चुम्बकत्व और स्वयंजोड़ित एकस्तरी गठन की घटनाओं के लिए एक व्यापक रूप से चर्चित प्टॉय रारूप है जो सबसे सरल प्रारूपों में से एक है एक प्रावस्था संक्रमण दिखाता है। लार्स ऑनसागर ने कैनोनिकल एन्सेम्बल में शून्य चुंबकीय क्षेत्र पर एक अनंत आकार के वर्ग-जाली आइसिंग प्रारूप की मुक्त ऊर्जा की गणना की।^[10]

समूह के लिए सटीक व्यंजक

एक सांख्यिकीय समूह के लिए सटीक गणितीय अभिव्यक्ति विचाराधीन यांत्रिकी के प्रकार पर निर्भर करती है - क्वांटम या चिरप्रतिष्ठित- क्योंकि इन दोनों स्थितियों में "सूक्ष्म अवस्था" की धारणा काफी भिन्न है। क्वांटम यांत्रिकी में, कैनोनिकल एन्सेम्बल एक सरल विवरण प्रदान करता है क्योंकि विकर्णीकरण विशिष्ट ऊर्जाओं के साथ सूक्ष्म अवस्थाओ का एक अलग समूह प्रदान करता है। चिरप्रतिष्ठित यांत्रिक स्थिति अधिक जटिल है क्योंकि इसमें विहित प्रावस्था समष्टि पर एक समाकल सम्मिलित है, और प्रावस्था समष्टि में सूक्ष्म अवस्थाओ का आकार कुछ हद तक स्वेच्छतः रूप से चुना जा सकता है।

क्वान्टम यांत्रिकी

Example of canonical ensemble for a quantum system consisting of one particle in a potential well.

Plot of all possible states of this system. The available stationary states displayed as horizontal bars of varying darkness according to

| ψ i (x)| 2

.

A canonical ensemble for this system, for the temperature shown. The states are weighted exponentially in energy.

The particle's Hamiltonian is Schrödinger-type,

Ĥ = U (x) + p 2 /2 m

(the potential

U (x)

is plotted as a red curve). Each panel shows an energy-position plot with the various stationary states, along with a side plot showing the distribution of states in energy.

क्वांटम यांत्रिकी में एक सांख्यिकीय समूह को घनत्व आव्यूह द्वारा दर्शाया जाता है जिसे ${\hat {\rho }}$ द्वारा भी दर्शाया जाता है। आधार मुक्त संकेतन में कैनोनिकल एन्सेम्बल घनत्व आव्यूह^{[citation needed]}

{\hat {\rho }}=\exp \left({\tfrac {1}{kT}}(F-{\hat {H}})\right),

है जहां $Ĥ$ तंत्र की कुल ऊर्जा संचालक (हैमिल्टनियन) है और $exp()$ आव्यूह चरघातांकी संकारक है।मुक्त ऊर्जा $F$ प्रायिकता सामान्यीकरण स्थिति द्वारा निर्धारित की जाती है जिसमें घनत्व आव्यूह का एक चिन्ह होता है, $\operatorname {Tr} {\hat {\rho }}=1$ ,

e^{-{\frac {F}{kT}}}=\operatorname {Tr} \exp \left(-{\tfrac {1}{kT}}{\hat {H}}\right).

।

यदि तंत्र की ऊर्जा आइजन अवस्था और ऊर्जा आइजनमान ज्ञात हैं, तो कैनोनिकल एन्सेम्बल को वैकल्पिक रूप से ब्रा-केट संकेतन का उपयोग करके सरल रूप में लिखा जा सकता है।

पूर्ण ऊर्जा आइजन अवस्थाओ $| ψ i ⟩$ i⟩ का एक संपूर्ण आधार दिया गया है, जिसे $i$ से चिन्हित किया जाता है, जो कैनोनिकल एन्सेम्बल इस प्रकार है,

{\hat {\rho }}=\sum _{i}e^{\frac {F-E_{i}}{kT}}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|

e^{-{\frac {F}{kT}}}=\sum _{i}e^{\frac {-E_{i}}{kT}}.

जहां $E i$ $Ĥ | ψ i ⟩ = E i | ψ i ⟩$ द्वारा निर्धारित ऊर्जा आइजनमान हैं। तथा दूसरे शब्दों में क्वांटम यांत्रिकी में सूक्ष्म अवस्थाओ का एक समूह जो स्थिर अवस्थाओ के एक पूरे समुच्चय द्वारा दिया जाता है। इस आधार पर घनत्व आव्यूह विकर्ण है, जिससे विकर्ण प्रविष्टियाँ प्रत्येक सीधे अंश पर एक प्रायिकता देती हैं।

चिरप्रतिष्ठित यांत्रिक

एक संभावित कुएं में एक कण से युक्त शास्त्रीय प्रणाली के लिए विहित समूह का उदाहरण।

File:समूह चिरप्रतिष्ठित 1DOF सभी अवस्थाए.png

इस प्रणाली की सभी संभावित स्थितियों का प्लॉट उपलब्ध भौतिक अवस्थाएँ चरण स्थान में समान रूप से वितरित हैं, लेकिन ऊर्जा में असमान वितरण के साथ, साइड-प्लॉट प्रदर्शित करता है

dv / dE

.

File:समूह चिरप्रतिष्ठित 1DOF canonical.png

दिखाए गए तापमान के लिए, इस प्रणाली के लिए एक विहित समूह। अवस्थाओ को ऊर्जा में तेजी से भारित किया जाता है।

प्रत्येक पैनल प्रावस्था समष्टि (ऊपरी ग्राफ़) और ऊर्जा-स्थिति समष्टि (निचला ग्राफ़) दिखाता है। कण का हैमिल्टनियन math|H = U(x) + p²/2m}} है, जिसकी क्षमता

U (x)

को लाल वक्र के रूप में दिखाया गया है। साइड प्लॉट ऊर्जा में अवस्थाओ के वितरण को दर्शाता है।

चिरप्रतिष्ठित यांत्रिकी में, एक सांख्यिकीय समूह को तंत्र के प्रावस्था समष्टि

$ρ (p 1, \dots p n, q 1, \dots q n)$ में एक संयुक्त प्रायिकता घनत्व फलन द्वारा दर्शाया जाता है, जहां $p 1, \dots p n$ और $q 1, \dots q n$ तंत्र की स्वतंत्रता की आंतरिक डिग्री के विहित निर्देशांक (सामान्यीकृत संवेग और सामान्यीकृत निर्देशांक) हैं। कणों की एक प्रणाली में, स्वतंत्रता की डिग्री n कणों की संख्या N पर एक ऐसे तरीके से निर्भर करती है जो भौतिक परिस्थिति पर निर्भर करता है। एक त्रिआयामी गैस के लिए (जिसमें मोलेक्यूलेस नहीं, बल्कि केवल एक परमाणु के कण होते हैं), स्वतंत्रता की संख्या n = 3N होती है।

द्विपरमाणुक गैसों में स्वतंत्रता की घूर्णी और कंपनात्मक डिग्री भी होंगी।

कैनोनिकल एन्सेम्बल के लिए संप्रायिकता घनत्व फलन है

\rho ={\frac {1}{h^{n}C}}e^{\frac {F-E}{kT}},

जहॉं

$E$ तंत्र की ऊर्जा है तथा चरण का एक फलन $(p 1, \dots q n)$ है
$h$ ऊर्जा × समय की इकाइयों के साथ एक यादृच्छिक लेकिन पूर्व निर्धारित स्थिरांक है, जो एक सूक्ष्म अवस्था की सीमा निर्धारित करता है और $ρ$ को सही आयाम प्रदान करता है।
$C$ एक अधिकर्तन सुधार कारक है जिसका उपयोग सामान्यतः कण प्रणालियों के लिए किया जाता है जहां समान कण एक दूसरे के साथ स्थान बदलने में सक्षम होते हैं।^{[note 2]}
$F$ एक सामान्यीकरण कारक प्रदान करता है और यह विशिष्ट अवस्था फलन मुक्त ऊर्जा भी है।

फिर से, F का मान यह मांग करके निर्धारित किया जाता है कि $ρ$ एक सामान्यीकृत प्रायिकता घनत्व फलन है,

e^{-{\frac {F}{kT}}}=\int \ldots \int {\frac {1}{h^{n}C}}e^{\frac {-E}{kT}}\,dp_{1}\ldots dq_{n}

यह समाकल पूरे प्रावस्था समष्टि पर लिया गया है

दूसरे शब्दों में चिरप्रतिष्ठित यांत्रिकी में एक सूक्ष्म सूक्ष्म प्रावस्था समष्टि है और इस क्षेत्र में आयतन $h n C$ है। इसका मतलब यह है कि प्रत्येक सूक्ष्म विहित ऊर्जा की एक सीमा तक फैला हुआ है हालांकि $h$ को बहुत छोटा चुनकर इस सीमा को स्वेच्छतः से संकीर्ण बनाया जा सकता है। जैसे ही प्रावस्था समष्टि को पर्याप्त डिग्री तक सुक्ष्म विभाजित किया जाता है, वैसे ही प्रावस्था समष्टि समाकल को सूक्ष्म अवस्थाओ पर एक योग में परिवर्तित कर देता है।

↑ Since $N$ is an integer, this "derivative" actually refers to a finite difference expression such as $F (N) - F (N - 1)$ , or $F (N + 1) - F (N)$ , or $[F (N + 1) - F (N - 1)]/2$ . These finite difference expressions are equivalent only in the thermodynamic limit (very large $N$ ).
↑ In a system of $N$ identical particles, $C = N!$ (factorial of $N$ ). This factor corrects the overcounting in phase space due to identical physical states being found in multiple locations. See the statistical ensemble article for more information on this overcounting.

संदर्भ

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[8] Since $N$ is an integer, this "derivative" actually refers to a finite difference expression such as $F (N) - F (N - 1)$ , or $F (N + 1) - F (N)$ , or $[F (N + 1) - F (N - 1)]/2$ . These finite difference expressions are equivalent only in the thermodynamic limit (very large $N$ ).

[12] In a system of $N$ identical particles, $C = N!$ (factorial of $N$ ). This factor corrects the overcounting in phase space due to identical physical states being found in multiple locations. See the statistical ensemble article for more information on this overcounting.

[gibbs-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 ^1.4 ^1.5 ^1.6 ^1.7 ^1.8 Gibbs, Josiah Willard (1902). सांख्यिकीय यांत्रिकी में प्राथमिक सिद्धांत. New York: Charles Scribner's Sons.

[2] Roccaverde, Andrea (August 2018). "Is breaking of ensemble equivalence monotone in the number of constraints?". Indagationes Mathematicae. 30: 7–25. arXiv:1807.02791. doi:10.1016/j.indag.2018.08.001. ISSN 0019-3577. S2CID 119173928.

[3] Garlaschelli, Diego; den Hollander, Frank; Roccaverde, Andrea (2016-11-25). "मॉड्यूलर संरचना के साथ यादृच्छिक ग्राफ़ में कोई भी समानता न जोड़ें". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 50 (1): 015001. arXiv:1603.08759. doi:10.1088/1751-8113/50/1/015001. ISSN 1751-8113. S2CID 53578783.

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[10] Baxter, Rodney J. (1982). सांख्यिकीय यांत्रिकी में सटीक रूप से हल किए गए मॉडल. Academic Press Inc. ISBN 9780120831807.

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 {{Short description|Ensemble of possible states of a mechanical system at a fixed temperature}}
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-[[सांख्यिकीय यांत्रिकी]] में, एक विहित पहनावा [[सांख्यिकीय पहनावा (गणितीय भौतिकी)]] है जो एक निश्चित तापमान पर ताप स्नान के साथ [[थर्मल संतुलन]] में एक यांत्रिक प्रणाली की संभावित स्थितियों का प्रतिनिधित्व करता है।<ref name="gibbs">{{cite book |last=Gibbs |first=Josiah Willard |author-link=Josiah Willard Gibbs |title=सांख्यिकीय यांत्रिकी में प्राथमिक सिद्धांत|year=1902 |publisher=[[Charles Scribner's Sons]] |location=New York|title-link=सांख्यिकीय यांत्रिकी में प्राथमिक सिद्धांत}}</ref> सिस्टम ऊष्मा स्नान के साथ ऊर्जा का आदान-प्रदान कर सकता है, जिससे सिस्टम की स्थिति कुल ऊर्जा में भिन्न होगी।
+[[सांख्यिकीय यांत्रिकी|सांख्यिकीय यांत्रिक]] में एक '''कैनोनिकल एन्सेम्बल (विहित समुदाय)''' एक सांख्यिकीय समूह है जो एक निश्चित तापमान पर ताप कुण्ड के साथ ऊष्मीय साम्य में एक यांत्रिक तंत्र की संभावित स्थितियों का प्रतिनिधित्व करता है।<ref name="gibbs">{{cite book |last=Gibbs |first=Josiah Willard |author-link=Josiah Willard Gibbs |title=सांख्यिकीय यांत्रिकी में प्राथमिक सिद्धांत|year=1902 |publisher=[[Charles Scribner's Sons]] |location=New York|title-link=सांख्यिकीय यांत्रिकी में प्राथमिक सिद्धांत}}</ref> तंत्र ताप कुण्ड के साथ ऊर्जा का आदान-प्रदान कर सकता है, जिससे तंत्र की स्थिति कुल ऊर्जा में भिन्न होगी।
-राज्यों के संभाव्यता वितरण का निर्धारण करने वाले विहित समूह का प्रमुख थर्मोडायनामिक चर, पूर्ण तापमान है (प्रतीक: {{math|''T''}}). संयोजन आम तौर पर यांत्रिक चर पर भी निर्भर करता है जैसे सिस्टम में कणों की संख्या (प्रतीक: {{math|''N''}}) और सिस्टम का आयतन (प्रतीक: {{math|''V''}}), जिनमें से प्रत्येक सिस्टम की आंतरिक स्थितियों की प्रकृति को प्रभावित करता है। इन तीन मापदंडों वाले समूह को कभी-कभी कहा जाता है{{math|''NVT''}} पहनावा.
+अवस्थाओ के प्रायिकता वितरण को निर्धारित करने वाले कैनोनिकल एन्सेम्बल का प्रमुख ऊष्मागतिक चर, परम ताप (प्रतीक, T) है। समूह सामान्यतः यांत्रिक चर पर भी निर्भर करता है जैसे तंत्र में कणों की संख्या (प्रतीक, {{math|''N''}}) और तंत्र की मात्रा (प्रतीक, {{math|''V''}}), जिनमें से यह प्रत्येक तंत्र की आंतरिक स्थितियों की प्रकृति को प्रभावित करता है। इन तीन मापदंडों वाले समूह को कभी-कभी {{math|''NVT''}} समूह कहा जाता है
-विहित पहनावा एक संभाव्यता निर्दिष्ट करता है {{math|''P''}} प्रत्येक विशिष्ट [[माइक्रोस्टेट (सांख्यिकीय यांत्रिकी)]] को निम्नलिखित घातांक द्वारा दिया गया है:
+कैनोनिकल एन्सेम्बल निम्नलिखित घातांक द्वारा दिए गए प्रत्येक विशिष्ट सूक्ष्म अवस्था को एक प्रायिकता {{math|''P''}} प्रदान करता है,
 :<math>P = e^{(F - E)/(k T)},</math>
-कहाँ {{math|''E''}} माइक्रोस्टेट की कुल ऊर्जा है, और {{math|''k''}} बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है।
+जहाँ {{math|''E''}} सूक्ष्म अवस्था की कुल ऊर्जा है और {{math|''k''}} बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है
-जो नंबर {{math|''F''}} मुक्त ऊर्जा है (विशेष रूप से, [[हेल्महोल्ट्ज़ मुक्त ऊर्जा]]) और समूह के लिए एक स्थिरांक है। हालाँकि, संभावनाएँ और {{math|''F''}यदि अलग-अलग एन, वी, टी का चयन किया जाता है तो } अलग-अलग होगा। मुक्त ऊर्जा {{math|''F''}} दो भूमिकाएँ निभाता है: पहला, यह संभाव्यता वितरण के लिए एक सामान्यीकरण कारक प्रदान करता है (माइक्रोस्टेट्स के पूरे सेट पर संभावनाओं को एक तक जोड़ना होगा); दूसरा, कई महत्वपूर्ण संयोजन औसतों की गणना सीधे फ़ंक्शन से की जा सकती है {{math|''F''(''N'', ''V'', ''T'')}}.
+संख्या {{math|''F''}} मुक्त ऊर्जा है (विशेष रूप से [[हेल्महोल्ट्ज़ मुक्त ऊर्जा]]) और समूह के लिए एक स्थिरांक है। हालाँकि, यदि अलग-अलग N, V, T का चयन किया जाता है तो संभावनाएँ और {{math|''F''}} अलग-अलग होंगे। मुक्त ऊर्जा F दो भूमिकाएँ निभाती है, पहला, यह [[प्रायिकता वितरण]] के लिए एक सामान्यीकरण कारक प्रदान करता है (सूक्ष्म अवस्था के पूरे समूह पर संभावनाओं का योग एक होना चाहिए), दूसरा कई महत्वपूर्ण समूह औसतों की गणना सीधे फलन {{math|''F''(''N'', ''V'', ''T'')}} से की जा सकती है।
-समान अवधारणा के लिए एक वैकल्पिक लेकिन समतुल्य सूत्रीकरण संभाव्यता को इस प्रकार लिखता है
+समान अवधारणा के लिए एक वैकल्पिक समतुल्य सूत्रीकरण, मुक्त ऊर्जा के बजाय विहित विभाजन फलन
-:<math>\textstyle P = \frac{1}{Z} e^{-E/(k T)},</math>
+<math>\textstyle Z = e^{-F/(k T)}</math>
-[[विभाजन फ़ंक्शन (सांख्यिकीय यांत्रिकी)]] का उपयोग करना
-:<math>\textstyle Z = e^{-F/(k T)}</math>
+का उपयोग करते हुए, संभावना को
-मुफ़्त ऊर्जा के बजाय। नीचे दिए गए समीकरणों (मुक्त ऊर्जा के संदर्भ में) को सरल गणितीय जोड़-तोड़ द्वारा विहित विभाजन फ़ंक्शन के संदर्भ में पुनर्स्थापित किया जा सकता है।
-ऐतिहासिक रूप से, विहित पहनावे का वर्णन सबसे पहले [[लुडविग बोल्ट्ज़मान]] (जिन्होंने इसे होलोड कहा था) द्वारा 1884 में एक अपेक्षाकृत अज्ञात पेपर में किया गया था।<ref>{{cite book | last = Cercignani | first = Carlo | author-link = Carlo Cercignani | title = Ludwig Boltzmann: The Man Who Trusted Atoms | publisher = Oxford University Press | year = 1998 | isbn = 9780198501541 | url-access = registration | url = https://archive.org/details/ludwigboltzmannm0000cerc }}</ref> बाद में 1902 में [[जोशिया विलार्ड गिब्स]] द्वारा इसका पुनरुद्धार किया गया और व्यापक जांच की गई।<ref name="gibbs"/>
+:<math>\textstyle P = \frac{1}{Z} e^{-E/(k T)},</math> के रूप में लिखता है
+नीचे दिए गए समीकरणों (मुक्त ऊर्जा के संदर्भ में) को सरल गणितीय परिचालन द्वारा विहित विभाजन फलन के संदर्भ में पुनर्स्थापित किया जा सकता है।
+ऐतिहासिक रूप से कैनोनिकल एन्सेम्बल का वर्णन पहली बार [[लुडविग बोल्ट्ज़मान|बोल्ट्ज़मान]] (जिन्होंने इसे होलोड कहा था) द्वारा 1884 में एक अपेक्षाकृत अज्ञात पेपर में किया गया था। बाद में 1902 में [[जोशिया विलार्ड गिब्स|गिब्स]] द्वारा इसका पुनर्निर्माण किया गया और व्यापक जांच की गई।<ref name="gibbs"/>
+=='''कैनोनिकल एन्सेम्बल की प्रयोज्यता'''==
-==विहित संयोजन की प्रयोज्यता==
+कैनोनिकल एन्सेम्बल वह समूह है जो एक तंत्र की संभावित स्थितियों का वर्णन करता है जो ताप कुण्ड के साथ तापीय संतुलन में है (इस तथ्य की व्युत्पत्ति गिब्स में पाई जा सकती है। <ref name="gibbs"/>
-विहित पहनावा वह पहनावा है जो एक प्रणाली की संभावित स्थितियों का वर्णन करता है जो ताप स्नान के साथ थर्मल संतुलन में है (इस तथ्य की व्युत्पत्ति गिब्स में पाई जा सकती है)<ref name="gibbs"/>).
+कैनोनिकल एन्सेम्बल किसी भी आकार की प्रणालियों पर लागू होता है, जबकि यह मानना आवश्यक है कि ताप कुण्ड बहुत बड़ा है (अर्थात, एक [[स्थूल सीमा]] लें), और तंत्र स्वयं छोटा या बड़ा हो सकता है।
-विहित पहनावा किसी भी आकार की प्रणालियों पर लागू होता है; जबकि यह मानना आवश्यक है कि ताप स्नान बहुत बड़ा है (यानी, एक [[स्थूल सीमा]] लें), सिस्टम स्वयं छोटा या बड़ा हो सकता है।
+यह शर्त कि तंत्र यांत्रिक रूप से पृथक है, यह सुनिश्चित करने के लिए आवश्यक है कि यह ताप कुण्ड के अलावा किसी भी बाहरी वस्तु के साथ ऊर्जा का आदान-प्रदान नहीं करता है।<ref name="gibbs" /> सामान्य तौर पर उन प्रणालियों पर कैनोनिकल एन्सेम्बल लागू करना वांछनीय है जो ताप कुण्ड के सीधे संपर्क में हैं क्योंकि यह वह संपर्क है जो संतुलन सुनिश्चित करता है। व्यावहारिक स्थितियों में कैनोनिकल एन्सेम्बल का उपयोग सामान्यतः या तो उचित है (1 यह मानकर कि संपर्क यांत्रिक रूप से कमजोर है, या 2) जो विश्लेषण के तहत तंत्र में ताप कुण्ड संबन्ध का एक उपयुक्त भाग सम्मिलित करके संबन्ध का यांत्रिक प्रभाव तंत्र के भीतर प्रारूपित कर सकता है।
-यह शर्त कि सिस्टम यांत्रिक रूप से पृथक है, यह सुनिश्चित करने के लिए आवश्यक है कि यह गर्मी स्नान के अलावा किसी भी बाहरी वस्तु के साथ ऊर्जा का आदान-प्रदान नहीं करता है।<ref name="gibbs"/>सामान्य तौर पर, उन प्रणालियों पर विहित पहनावा लागू करना वांछनीय है जो गर्मी स्नान के सीधे संपर्क में हैं, क्योंकि यह वह संपर्क है जो संतुलन सुनिश्चित करता है। व्यावहारिक स्थितियों में, विहित संयोजन का उपयोग आम तौर पर या तो उचित है 1) यह मानकर कि संपर्क यांत्रिक रूप से कमजोर है, या 2) विश्लेषण के तहत सिस्टम में हीट बाथ कनेक्शन का एक उपयुक्त हिस्सा शामिल करके, ताकि कनेक्शन का यांत्रिक प्रभाव हो सिस्टम पर सिस्टम के भीतर मॉडलिंग की जाती है।
-जब कुल ऊर्जा निश्चित होती है लेकिन सिस्टम की आंतरिक स्थिति अन्यथा अज्ञात होती है, तो उचित विवरण विहित पहनावा नहीं बल्कि [[माइक्रोकैनोनिकल पहनावा]] होता है। उन प्रणालियों के लिए जहां कण संख्या परिवर्तनशील है (कण भंडार के संपर्क के कारण), सही विवरण [[भव्य विहित पहनावा]] है। कण प्रणालियों की परस्पर क्रिया के लिए [[सांख्यिकीय भौतिकी]] पाठ्यपुस्तकों में तीन संयोजनों को [[थर्मोडायनामिक सीमा]] माना जाता है: उनके औसत मूल्य के आसपास मैक्रोस्कोपिक मात्रा में उतार-चढ़ाव छोटा हो जाता है और, जैसे-जैसे कणों की संख्या अनंत हो जाती है, वे गायब हो जाते हैं। बाद की सीमा में, जिसे थर्मोडायनामिक सीमा कहा जाता है, औसत बाधाएं प्रभावी रूप से कठिन बाधाएं बन जाती हैं। सांख्यिकीय पहनावा (गणितीय भौतिकी) तुल्यता की धारणा जोशिया विलार्ड गिब्स के समय से चली आ रही है और भौतिक प्रणालियों के कुछ मॉडलों के लिए छोटी दूरी की अंतःक्रियाओं और छोटी संख्या में मैक्रोस्कोपिक बाधाओं के अधीन सत्यापित की गई है। इस तथ्य के बावजूद कि कई पाठ्यपुस्तकें अभी भी यह संदेश देती हैं कि संयोजन तुल्यता सभी भौतिक प्रणालियों के लिए होती है, पिछले दशकों में भौतिक प्रणालियों के विभिन्न उदाहरण पाए गए हैं जिनके लिए संयोजन तुल्यता का टूटना होता है।<ref>{{cite journal|last=Roccaverde|first=Andrea|date=August 2018|title=Is breaking of ensemble equivalence monotone in the number of constraints?|journal=Indagationes Mathematicae|volume=30|pages=7–25|doi=10.1016/j.indag.2018.08.001|issn=0019-3577|arxiv=1807.02791|s2cid=119173928 }}</ref><ref>{{cite journal|last1=Garlaschelli|first1=Diego|last2=den Hollander|first2=Frank|last3=Roccaverde|first3=Andrea|date=2016-11-25|title=मॉड्यूलर संरचना के साथ यादृच्छिक ग्राफ़ में कोई भी समानता न जोड़ें|journal=Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical|volume=50|issue=1|pages=015001|doi=10.1088/1751-8113/50/1/015001|issn=1751-8113|arxiv=1603.08759|s2cid=53578783 }}</ref><ref>{{cite journal|last1=Garlaschelli|first1=Diego|last2=den Hollander|first2=Frank|last3=Roccaverde|first3=Andrea|date=2018-07-13|title=यादृच्छिक ग्राफ़ में समतुल्यता को तोड़ने के पीछे सहप्रसरण संरचना|journal=Journal of Statistical Physics|volume=173|issue=3–4|pages=644–662|doi=10.1007/s10955-018-2114-x|issn=0022-4715|arxiv=1711.04273|bibcode=2018JSP...173..644G|s2cid=52569377 }}</ref><ref>{{cite journal|last1=Hollander|first1=F. den|last2=Mandjes|first2=M.|last3=Roccaverde|first3=A.|last4=Starreveld|first4=N. J.|date=2018|title=घने ग्राफ़ के लिए समतुल्यता समूह|journal=Electronic Journal of Probability|volume=23|doi=10.1214/18-EJP135|issn=1083-6489|arxiv=1703.08058|s2cid=53610196 }}</ref><ref>{{cite journal|last1=Ellis|first1=Richard S.|last2=Haven|first2=Kyle|last3=Turkington|first3=Bruce|date=2002|title=अधिकांश संभावित प्रवाह के लिए कोई भी समतुल्य सांख्यिकीय संतुलन समूह और परिष्कृत स्थिरता प्रमेय नहीं|journal=Nonlinearity|volume=15|issue=2|pages=239|doi=10.1088/0951-7715/15/2/302|issn=0951-7715|arxiv=math-ph/0012022|bibcode=2002Nonli..15..239E |s2cid=18616132 }}</ref><ref>{{cite journal|last1=Barré|first1=Julien|last2=Gonçalves|first2=Bruno|date=December 2007|title=यादृच्छिक ग्राफ़ में असमानताओं को एकत्रित करें|journal=Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications|volume=386|issue=1|pages=212–218|doi=10.1016/j.physa.2007.08.015|issn=0378-4371|arxiv=0705.2385|bibcode=2007PhyA..386..212B |s2cid=15399624 }}</ref>
+जब कुल ऊर्जा निश्चित होती है लेकिन सिस्टम की आंतरिक स्थिति अन्यथा अज्ञात होती है, तो उचित विवरण कैनोनिकल एन्सेम्बल नहीं बल्कि [[माइक्रोकैनोनिकल पहनावा|सूक्ष्म कैनोनिकल एन्सेम्बल]] होता है। उन प्रणालियों के लिए कण संख्या परिवर्तनशील है (कण भंडार के संपर्क के कारण), सही विवरण [[भव्य विहित पहनावा|उच्च कैनोनिकल एन्सेम्बल]] है। कण प्रणालियों की परस्पर क्रिया के लिए [[सांख्यिकीय भौतिकी]] पाठ्यपुस्तकों में तीन समूहों को [[थर्मोडायनामिक सीमा|ऊष्मागतिक]] रूप से समतुल्य माना जाता है, उनके औसत मूल्य के आसपास स्थूल मात्राओं का उतार-चढ़ाव छोटा हो जाता है और, जैसे-जैसे कणों की संख्या अनंत हो जाती है, वे गायब हो जाते हैं। बाद की सीमा में जिसे ऊष्मागतिक सीमा कहा जाता है उसमें औसत बाधाएं प्रभावी रूप से कठिन बाधाएं बन जाती हैं। [[संयोजन]] तुल्यता की धारणा [[गिब्स]] के समय से चली आ रही है और इसे भौतिक प्रणालियों के कुछ प्रारूपों के लिए छोटी दूरी की अंतःक्रियाओं और छोटी संख्या में सूक्ष्म बाधाओं के अधीन सत्यापित किया गया है। इस तथ्य के बाद कि कई पाठ्यपुस्तकें अभी भी यह संदेश देती हैं कि समूह तुल्यता सभी भौतिक प्रणालियों के लिए होती है तथा पिछले दशकों में भौतिक प्रणालियों के विभिन्न उदाहरण पाए गए हैं जिनके लिए समूह तुल्यता का टूटना भी होता है।<ref>{{cite journal|last=Roccaverde|first=Andrea|date=August 2018|title=Is breaking of ensemble equivalence monotone in the number of constraints?|journal=Indagationes Mathematicae|volume=30|pages=7–25|doi=10.1016/j.indag.2018.08.001|issn=0019-3577|arxiv=1807.02791|s2cid=119173928 }}</ref><ref>{{cite journal|last1=Garlaschelli|first1=Diego|last2=den Hollander|first2=Frank|last3=Roccaverde|first3=Andrea|date=2016-11-25|title=मॉड्यूलर संरचना के साथ यादृच्छिक ग्राफ़ में कोई भी समानता न जोड़ें|journal=Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical|volume=50|issue=1|pages=015001|doi=10.1088/1751-8113/50/1/015001|issn=1751-8113|arxiv=1603.08759|s2cid=53578783 }}</ref><ref>{{cite journal|last1=Garlaschelli|first1=Diego|last2=den Hollander|first2=Frank|last3=Roccaverde|first3=Andrea|date=2018-07-13|title=यादृच्छिक ग्राफ़ में समतुल्यता को तोड़ने के पीछे सहप्रसरण संरचना|journal=Journal of Statistical Physics|volume=173|issue=3–4|pages=644–662|doi=10.1007/s10955-018-2114-x|issn=0022-4715|arxiv=1711.04273|bibcode=2018JSP...173..644G|s2cid=52569377 }}</ref><ref>{{cite journal|last1=Hollander|first1=F. den|last2=Mandjes|first2=M.|last3=Roccaverde|first3=A.|last4=Starreveld|first4=N. J.|date=2018|title=घने ग्राफ़ के लिए समतुल्यता समूह|journal=Electronic Journal of Probability|volume=23|doi=10.1214/18-EJP135|issn=1083-6489|arxiv=1703.08058|s2cid=53610196 }}</ref><ref>{{cite journal|last1=Ellis|first1=Richard S.|last2=Haven|first2=Kyle|last3=Turkington|first3=Bruce|date=2002|title=अधिकांश संभावित प्रवाह के लिए कोई भी समतुल्य सांख्यिकीय संतुलन समूह और परिष्कृत स्थिरता प्रमेय नहीं|journal=Nonlinearity|volume=15|issue=2|pages=239|doi=10.1088/0951-7715/15/2/302|issn=0951-7715|arxiv=math-ph/0012022|bibcode=2002Nonli..15..239E |s2cid=18616132 }}</ref><ref>{{cite journal|last1=Barré|first1=Julien|last2=Gonçalves|first2=Bruno|date=December 2007|title=यादृच्छिक ग्राफ़ में असमानताओं को एकत्रित करें|journal=Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications|volume=386|issue=1|pages=212–218|doi=10.1016/j.physa.2007.08.015|issn=0378-4371|arxiv=0705.2385|bibcode=2007PhyA..386..212B |s2cid=15399624 }}</ref>
 ==गुण==
-{{unordered list
+* ''विशिष्टता,'' कैनोनिकल एन्सेम्बल किसी दिए गए भौतिक तंत्र के लिए तथा किसी दिए गए तापमान पर विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है, और समन्वय तंत्र (चिरप्रतिष्ठित यांत्रिकी), या आधार (क्वांटम यांत्रिकी), या ऊर्जा के शून्य के विकल्प जैसे यादृच्छिक विकल्पों पर निर्भर नहीं करता है। कैनोनिकल एन्सेम्बल निरंतर N , V और T के साथ एकमात्र समूह है जो [[मौलिक ऊष्मागतिक संबंध]] को पुन: उत्पन्न करता है ।
-| ''Uniqueness'': The canonical ensemble is uniquely determined for a given physical system at a given temperature, and does not depend on arbitrary choices such as choice of coordinate system (classical mechanics), or basis (quantum mechanics), or of the zero of energy.<ref name="gibbs" /> The canonical ensemble is the only ensemble with constant {{mvar|N}}, {{mvar|V}}, and {{mvar|T}} that reproduces the [[fundamental thermodynamic relation]].<ref name="Gao2022">{{cite journal |last1= Gao |first1= Xiang |date= March 2022 |title= The Mathematics of the Ensemble Theory |journal= Results in Physics|volume= 34|pages= 105230|doi= 10.1016/j.rinp.2022.105230 |bibcode= 2022ResPh..3405230G |s2cid= 221978379 |doi-access= free }}</ref>
+* ''सांख्यिकीय संतुलन'', एक कैनोनिकल एन्सेम्बल समय के साथ विकसित नहीं होता है, इस तथ्य कि अंतर्निहित तंत्र निरंतर गति में है। ऐसा इसलिए है क्योंकि समूह केवल तंत्र ऊर्जा की संरक्षित मात्रा का एक फलन है।
-| ''Statistical equilibrium'' (steady state): A canonical ensemble does not evolve over time, despite the fact that the underlying system is in constant motion. This is because the ensemble is only a function of a conserved quantity of the system (energy).<ref name="gibbs"/>
+* ''अन्य प्रणालियों के साथ तापीय संतुलन'': दो प्रणालियाँ जिनमें से प्रत्येक को समान तापमान के एक कैनोनिकल एन्सेम्बल द्वारा वर्णित किया गया है, तथा इसे तापीय संपर्क में लाया गया है प्रत्येक एक ही समूह को बनाए रखेगा और परिणामी संयुक्त प्रणाली को उसी तापमान के एक कैनोनिकल एन्सेम्बल द्वारा वर्णित किया जाएगा।
-| ''Thermal equilibrium with other systems'': Two systems, each described by a canonical ensemble of equal temperature, brought into thermal contact<ref group=note>Thermal contact means that the systems are made able to exchange energy through an interaction. The interaction must be weak as to not significantly disturb the systems' microstates.{{clarify|date=January 2015}}</ref> will each retain the same ensemble and the resulting combined system is described by a canonical ensemble of the same temperature.<ref name="gibbs"/>
+* ''अधिकतम एन्ट्रापी,'': किसी दिए गए यांत्रिक तंत्र (निश्चित ''N'' , ''V'' ) के लिए कैनोनिकल एन्सेम्बल औसत −⟨log P ⟩ ( [[एन्ट्रापी]] ) समान ⟨''E'' ⟩ के साथ किसी भी समूह के लिए अधिकतम संभव है ।
-|''Maximum entropy'': For a given mechanical system (fixed {{math|''N''}}, {{math|''V''}}), the canonical ensemble average {{math|−⟨log ''P''⟩}} (the [[entropy]]) is the maximum possible of any ensemble with the same {{math|⟨''E''⟩}}.<ref name="gibbs"/>
+* ''न्यूनतम मुक्त ऊर्जा,'' किसी दिए गए यांत्रिक तंत्र (निश्चित ''N'' , V )और ''T''  के दिए गए मान के लिए कैनोनिकल एन्सेम्बल औसत ⟨ E + kT log P ⟩ (हेल्महोल्ट्ज़ मुक्त ऊर्जा) किसी भी समूह की तुलना में में सबसे कम संभव है। इसे आसानी से एन्ट्रापी को अधिकतम करने के बराबर देखा जा सकता है।
-| ''Minimum free energy'': For a given mechanical system (fixed {{math|''N''}}, {{math|''V''}}) and given value of {{math|''T''}}, the canonical ensemble average {{math|⟨''E'' + ''kT'' log ''P''⟩}} (the [[Helmholtz free energy]]) is the lowest possible of any ensemble.<ref name="gibbs"/> This is easily seen to be equivalent to maximizing the entropy.
+=='''मुक्त ऊर्जा, सामुदायिक औसत और सटीक अंतर'''==
-}}
-==मुक्त ऊर्जा, समग्र औसत, और सटीक अंतर==
-* फ़ंक्शन का आंशिक व्युत्पन्न {{math|''F''(''N'', ''V'', ''T'')}} महत्वपूर्ण विहित पहनावा औसत मात्राएँ दें:
+* फलन {{math|''F''(''N'', ''V'', ''T'')}} के आंशिक व्युत्पन्न महत्वपूर्ण विहित संयोजन औसत मात्राएँ देते हैं,
-**औसत दबाव है<ref name="gibbs"/> <math display="block"> \langle p \rangle = -\frac{\partial F} {\partial V}, </math>
+**औसत दबाव <ref name="gibbs"/> <math display="block"> \langle p \rangle = -\frac{\partial F} {\partial V}, </math>है,
-**[[गिब्स एन्ट्रापी]] है<ref name="gibbs"/> <math display="block"> S = -k \langle \log P \rangle = - \frac{\partial F} {\partial T}, </math>
+**[[गिब्स एन्ट्रापी]] <ref name="gibbs"/> <math display="block"> S = -k \langle \log P \rangle = - \frac{\partial F} {\partial T}, </math>है,
-**आंशिक व्युत्पन्न {{math|∂''F''/∂''N''}} लगभग [[रासायनिक क्षमता]] से संबंधित है, हालांकि रासायनिक संतुलन की अवधारणा छोटी प्रणालियों के विहित समूहों पर बिल्कुल लागू नहीं होती है।<ref group=note>Since {{math|''N''}} is an integer, this "derivative" actually refers to a [[finite difference]] expression such as {{math|''F''(''N'') − ''F''(''N'' − 1)}}, or {{math|''F''(''N'' + 1) − ''F''(''N'')}}, or {{math|[''F''(''N'' + 1) − ''F''(''N'' − 1)]/2}}. These finite difference expressions are equivalent only in the thermodynamic limit (very large {{math|''N''}}).</ref>
+**आंशिक व्युत्पन्न {{math|∂''F''/∂''N''}} लगभग [[रासायनिक क्षमता]] से संबंधित है, हालांकि रासायनिक संतुलन की अवधारणा छोटी प्रणालियों के विहित संयोजनों पर बिल्कुल लागू नहीं होती है।  <ref group=note>Since {{math|''N''}} is an integer, this "derivative" actually refers to a [[finite difference]] expression such as {{math|''F''(''N'') − ''F''(''N'' − 1)}}, or {{math|''F''(''N'' + 1) − ''F''(''N'')}}, or {{math|[''F''(''N'' + 1) − ''F''(''N'' − 1)]/2}}. These finite difference expressions are equivalent only in the thermodynamic limit (very large {{math|''N''}}).</ref>
-**और औसत ऊर्जा है<ref name="gibbs"/> <math display="block"> \langle E \rangle = F + ST.</math>
+**और औसत ऊर्जा <math display="block"> \langle E \rangle = F + ST.</math> है।
-* सटीक अंतर: उपरोक्त अभिव्यक्तियों से, यह देखा जा सकता है कि फ़ंक्शन {{math|''F''(''V'', ''T'')}}, किसी प्रदत्त के लिए {{math|''N''}}, [[सटीक अंतर]] है<ref name="gibbs"/> <math display="block"> dF = - S \, dT - \langle p\rangle \, dV .</math>
+* सटीक अंतर, उपरोक्त अभिव्यक्तियों से यह देखा जा सकता है कि दिए गए {{math|''N''}} के लिए फलन {{math|''F''(''V'', ''T'')}}, में सटीक अंतर [[सटीक अंतर]] <ref name="gibbs"/> <math display="block"> dF = - S \, dT - \langle p\rangle \, dV .</math> है।
-* ऊष्मप्रवैगिकी का पहला नियम: उपरोक्त संबंध को प्रतिस्थापित करना {{math|⟨''E''⟩}} के सटीक अंतर में {{math|''F''}}, कुछ मात्राओं पर औसत संकेतों को छोड़कर, थर्मोडायनामिक्स के पहले नियम के समान एक समीकरण पाया जाता है:<ref name="gibbs"/> <math display="block"> d\langle E \rangle = T \, dS - \langle p\rangle \, dV .</math>
+* ऊष्मागतिकी का पहला नियम, {{math|⟨''E''⟩}} के लिए उपरोक्त संबंध को {{math|''F''}} के सटीक अंतर में प्रतिस्थापित करने पर, [[ऊष्मागतिकी के पहले नियम]] के समान, कुछ मात्राओं पर औसत संकेतों को छोड़कर: एक समीकरण मिलता है, <ref name="gibbs"/> <math display="block"> d\langle E \rangle = T \, dS - \langle p\rangle \, dV .</math>
-* थर्मल उतार-चढ़ाव: सिस्टम में ऊर्जा के कैनोनिकल संयोजन में अनिश्चितता है। ऊर्जा का विचरण है<ref name="gibbs"/> <math display="block"> \langle E^2 \rangle - \langle E \rangle^2 = k T^2 \frac{\partial \langle E \rangle}{\partial T}.</math>
+* [[ऊर्जा उच्चावचन]], तंत्र में ऊर्जा के कैनोनिकल एन्सेम्बल में अनिश्चितता है। ऊर्जा का [[विचरण]]<ref name="gibbs"/> <math display="block"> \langle E^2 \rangle - \langle E \rangle^2 = k T^2 \frac{\partial \langle E \rangle}{\partial T}.</math>है।
+=='''उदाहरण समूह''' ==
-==उदाहरण समुच्चय==
+"हम एक ही प्रकृति की बड़ी संख्या में प्रणालियों की कल्पना कर सकते हैं, लेकिन एक निश्चित समय पर उनके विन्यास और वेग में भिन्नता होती है, और न केवल अनन्त रूप से भिन्न, बल्कि यह इस प्रकार हो सकता है कि विन्यास और वेगों के हर कल्पनीय संयोजन को समाविष्ट कर सके..." जे. डब्ल्यू. गिब्स (1903)-<ref>{{Cite book |last=Gibbs |first=J.W. |title=The Collected Works, Vol. 2 |publisher=Longmans |year=1928 |location=Green & Co, London, New York}}</ref>
-<ब्लॉककोट> हम एक ही प्रकृति की बड़ी संख्या में प्रणालियों की कल्पना कर सकते हैं, लेकिन एक निश्चित समय पर उनके विन्यास और वेग में भिन्नता होती है, और न केवल बहुत ही मामूली अंतर होता है, बल्कि यह इतना भिन्न हो सकता है कि प्रत्येक कल्पनीय संयोजन को गले लगा सके। विन्यास और वेग... जे. डब्ल्यू. गिब्स (1903)<ref>{{Cite book |last=Gibbs |first=J.W. |title=The Collected Works, Vol. 2 |publisher=Longmans |year=1928 |location=Green & Co, London, New York}}</ref></ब्लॉककोट>
 === बोल्ट्ज़मैन वितरण (वियोज्य प्रणाली) ===
-यदि एक विहित समूह द्वारा वर्णित प्रणाली को स्वतंत्र भागों में विभाजित किया जा सकता है (ऐसा तब होता है जब विभिन्न भाग परस्पर क्रिया नहीं करते हैं), और उनमें से प्रत्येक भाग की एक निश्चित सामग्री संरचना होती है, तो प्रत्येक भाग को अपने आप में एक प्रणाली के रूप में देखा जा सकता है और है संपूर्ण तापमान के समान तापमान वाले एक विहित समूह द्वारा वर्णित। इसके अलावा, यदि सिस्टम कई समान भागों से बना है, तो प्रत्येक भाग का वितरण अन्य भागों के समान ही होता है।
+यदि एक कैनोनिकल एन्सेम्बल द्वारा वर्णित प्रणाली को स्वतंत्र भागों में विभाजित किया जा सकता है (ऐसा तब होता है जब विभिन्न भाग परस्पर क्रिया नहीं करते हैं), और उनमें से प्रत्येक भाग की एक निश्चित सामग्री संरचना होती है तथा प्रत्येक भाग को अपने आप में एक तंत्र के रूप में देखा जा सकता है और पूरे के समान तापमान वाले एक कैनोनिकल एन्सेम्बल द्वारा वर्णित किया जाता है। इसके अलावा, यदि तंत्र कई समान भागों से बना है, तो प्रत्येक भाग का वितरण अन्य भागों के समान ही होता है।
-इस तरह, कैनोनिकल पहनावा किसी भी संख्या में कणों की प्रणाली के लिए बिल्कुल बोल्ट्ज़मैन वितरण (जिसे मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी के रूप में भी जाना जाता है) प्रदान करता है। इसकी तुलना में, माइक्रोकैनोनिकल एसेम्बल से बोल्ट्ज़मैन वितरण का औचित्य केवल बड़ी संख्या में भागों (अर्थात थर्मोडायनामिक सीमा में) वाले सिस्टम के लिए लागू होता है।
+इस तरह कैनोनिकल एन्सेम्बल किसी भी संख्या में कणों की प्रणाली के लिए बिल्कुल [[बोल्ट्ज़मैन वितरण]] (जिसे [[मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी]] के रूप में भी जाना जाता है) प्रदान करता है। इसकी तुलना में [[सूक्ष्म विहित समूह|सूक्ष्म कैनोनिकल एन्सेम्बल]] से बोल्ट्ज़मैन वितरण का औचित्य केवल बड़ी संख्या में भागों (अर्थात ऊष्मागतिक सीमा में) वाले तंत्र के लिए लागू होता है।
-बोल्ट्ज़मैन वितरण वास्तविक प्रणालियों में सांख्यिकीय यांत्रिकी को लागू करने में सबसे महत्वपूर्ण उपकरणों में से एक है, क्योंकि यह उन प्रणालियों के अध्ययन को व्यापक रूप से सरल बनाता है जिन्हें स्वतंत्र भागों में विभाजित किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, [[मैक्सवेल गति वितरण]], प्लैंक का नियम, पॉलिमर भौतिकी)।
+बोल्ट्ज़मैन वितरण स्वयं सांख्यिकीय यांत्रिकी को वास्तविक प्रणालियों पर लागू करने में सबसे महत्वपूर्ण उपकरणों में से एक है, क्योंकि यह उन प्रणालियों के अध्ययन को व्यापक रूप से सरल बनाता है जिन्हें स्वतंत्र भागों (उदाहरण के लिए, [[गैस में कण, गुहा में विद्युत चुम्बकीय मोड, बहुलक में आणविक बंधन]]) में विभाजित किया जा सकता है।
-=== आइसिंग मॉडल (दृढ़ता से इंटरैक्ट करने वाला सिस्टम) ===
+=== आइसिंग निदर्श (दृढ़ता से अन्योन्यकारी तंत्र) ===
-{{main|Ising model}}
+{{main|आइसिंग निदर्श}}
-एक दूसरे के साथ परस्पर क्रिया करने वाले टुकड़ों से बने सिस्टम में, आमतौर पर सिस्टम को स्वतंत्र उपप्रणालियों में अलग करने का तरीका खोजना संभव नहीं होता है जैसा कि बोल्ट्ज़मैन वितरण में किया गया है। इन प्रणालियों में जब सिस्टम को ताप स्नान के लिए थर्मोस्टैट किया जाता है तो उसके थर्मोडायनामिक्स का वर्णन करने के लिए विहित पहनावा की पूर्ण अभिव्यक्ति का उपयोग करना आवश्यक होता है। विहित पहनावा आम तौर पर सांख्यिकीय यांत्रिकी के अध्ययन के लिए सबसे सीधा ढांचा है और यहां तक कि कुछ इंटरैक्टिंग मॉडल सिस्टम में सटीक समाधान प्राप्त करने की अनुमति भी देता है।<ref>{{cite book | isbn = 9780120831807 | title = सांख्यिकीय यांत्रिकी में सटीक रूप से हल किए गए मॉडल| last1 = Baxter | first1 = Rodney J. | year = 1982 | publisher = Academic Press Inc.  }}</ref>
+एक दूसरे के साथ परस्पर क्रिया करने वाले टुकड़ों से बने तंत्र में, सामान्यतः तंत्र को स्वतंत्र उपप्रणालियों में अलग करने का तरीका खोजना संभव नहीं होता है जैसा कि बोल्ट्ज़मैन वितरण में किया गया है। इन प्रणालियों में जब तंत्र को ताप कुण्ड के लिए तापस्थापी किया जाता है तो उसके ऊष्मागतिकी का वर्णन करने के लिए कैनोनिकल एन्सेम्बल की पूर्ण अभिव्यक्ति का उपयोग करना आवश्यक होता है। कैनोनिकल एन्सेम्बल सामान्यतः सांख्यिकीय यांत्रिकी के अध्ययन के लिए सबसे सीधी संरचना है और यहां तक कि कुछ अन्योन्यकारी प्रारूप तंत्र में सही समाधान प्राप्त करने की अनुमति भी देता है <ref>{{cite book | isbn = 9780120831807 | title = सांख्यिकीय यांत्रिकी में सटीक रूप से हल किए गए मॉडल| last1 = Baxter | first1 = Rodney J. | year = 1982 | publisher = Academic Press Inc.  }}</ref>
-इसका एक उत्कृष्ट उदाहरण [[आइसिंग मॉडल]] है, जो लौहचुम्बकत्व और [[स्व-इकट्ठे मोनोलेयर]] गठन की घटनाओं के लिए एक व्यापक रूप से चर्चित खिलौना मॉडल है, और सबसे सरल मॉडलों में से एक है जो एक [[चरण संक्रमण]] दिखाता है। [[लार्स ऑनसागर]] ने विहित समूह में शून्य चुंबकीय क्षेत्र पर एक अनंत आकार के [[वर्ग-जाली आइसिंग मॉडल]] की बिल्कुल मुक्त ऊर्जा की गणना की।<ref>{{cite journal | last1 = Onsager | first1 = L. | title = क्रिस्टल सांख्यिकी। I. आदेश-विकार संक्रमण के साथ एक द्वि-आयामी मॉडल| doi = 10.1103/PhysRev.65.117 | journal = Physical Review | volume = 65 | issue = 3–4 | pages = 117–149 | year = 1944 |bibcode = 1944PhRv...65..117O }}</ref>
+इसका एक उत्कृष्ट उदाहरण [[आइसिंग मॉडल|एकीकृत प्रारूप]] है जो लौह चुम्बकत्व और [[स्व-इकट्ठे मोनोलेयर|स्वयंजोड़ित एकस्तरी]] गठन की घटनाओं के लिए एक व्यापक रूप से चर्चित प्टॉय रारूप है जो सबसे सरल प्रारूपों में से एक है एक [[चरण संक्रमण|प्रावस्था संक्रमण]] दिखाता है। [[लार्स ऑनसागर]] ने कैनोनिकल एन्सेम्बल में शून्य चुंबकीय क्षेत्र पर एक अनंत आकार के [[वर्ग-जाली आइसिंग मॉडल|वर्ग-जाली आइसिंग प्रारूप]] की मुक्त ऊर्जा की गणना की।<ref>{{cite journal | last1 = Onsager | first1 = L. | title = क्रिस्टल सांख्यिकी। I. आदेश-विकार संक्रमण के साथ एक द्वि-आयामी मॉडल| doi = 10.1103/PhysRev.65.117 | journal = Physical Review | volume = 65 | issue = 3–4 | pages = 117–149 | year = 1944 |bibcode = 1944PhRv...65..117O }}</ref>
+=='''समूह के लिए सटीक व्यंजक''' ==
-==समूह के लिए सटीक अभिव्यक्ति==
+एक सांख्यिकीय समूह के लिए सटीक गणितीय अभिव्यक्ति विचाराधीन यांत्रिकी के प्रकार पर निर्भर करती है - क्वांटम या चिरप्रतिष्ठित- क्योंकि इन दोनों स्थितियों में "सूक्ष्म अवस्था" की धारणा काफी भिन्न है। क्वांटम यांत्रिकी में, कैनोनिकल एन्सेम्बल एक सरल विवरण प्रदान करता है क्योंकि [[मैट्रिक्स विकर्णीकरण|विकर्णीकरण]] विशिष्ट ऊर्जाओं के साथ [[सूक्ष्म अवस्थाओ]] का एक अलग समूह प्रदान करता है। चिरप्रतिष्ठित यांत्रिक स्थिति अधिक जटिल है क्योंकि इसमें विहित [[चरण स्थान|प्रावस्था समष्टि]] पर एक समाकल सम्मिलित है, और प्रावस्था समष्टि में सूक्ष्म अवस्थाओ का आकार कुछ हद तक स्वेच्छतः रूप से चुना जा सकता है।
-एक सांख्यिकीय समूह के लिए सटीक गणितीय अभिव्यक्ति विचाराधीन यांत्रिकी के प्रकार पर निर्भर करती है - क्वांटम या शास्त्रीय - क्योंकि इन दोनों मामलों में माइक्रोस्टेट की धारणा काफी भिन्न है। क्वांटम यांत्रिकी में, विहित पहनावा एक सरल विवरण प्रदान करता है क्योंकि [[मैट्रिक्स विकर्णीकरण]] विशिष्ट ऊर्जाओं के साथ माइक्रोस्टेट (सांख्यिकीय यांत्रिकी) का एक अलग सेट प्रदान करता है। शास्त्रीय यांत्रिक मामला अधिक जटिल है क्योंकि इसमें विहित [[चरण स्थान]] पर एक अभिन्न अंग शामिल है, और चरण स्थान में माइक्रोस्टेट्स का आकार कुछ हद तक मनमाने ढंग से चुना जा सकता है।
+===क्वान्टम यांत्रिकी ===
-===क्वांटम मैकेनिकल ===
 {{multiple image
@@ Line 103: / Line 94: @@
 }}
-{{details|topic=the representation of ensembles in quantum mechanics|Statistical ensemble (mathematical physics)}}
+{{details|topic=क्वांटम यांत्रिकी में समुच्चय का प्रतिनिधित्व|सांख्यिकीय समूह (गणितीय भौतिकी)}}
-क्वांटम यांत्रिकी में एक सांख्यिकीय समूह को [[घनत्व मैट्रिक्स]] द्वारा दर्शाया जाता है, जिसे द्वारा दर्शाया जाता है <math>\hat \rho</math>. आधार-मुक्त संकेतन में, विहित संयोजन घनत्व मैट्रिक्स है{{citation needed|date=October 2013}}
+क्वांटम यांत्रिकी में एक सांख्यिकीय समूह को [[घनत्व मैट्रिक्स|घनत्व आव्यूह]] द्वारा दर्शाया जाता है जिसे <math>\hat \rho</math> द्वारा भी दर्शाया जाता है। आधार मुक्त संकेतन में कैनोनिकल एन्सेम्बल घनत्व आव्यूह {{citation needed|date=October 2013}}
 :<math>\hat \rho = \exp\left(\tfrac{1}{kT}(F - \hat H)\right),</math>
-कहाँ {{math|''Ĥ''}} सिस्टम का कुल ऊर्जा ऑपरेटर ([[हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी)]]) है, और {{math|exp()}} [[ मैट्रिक्स घातांक ]] ऑपरेटर है। मुक्त ऊर्जा {{math|''F''}} संभाव्यता सामान्यीकरण स्थिति द्वारा निर्धारित किया जाता है कि घनत्व मैट्रिक्स में एक का निशान (रैखिक बीजगणित) होता है, <math>\operatorname{Tr} \hat \rho=1</math>:
+है जहां {{math|''Ĥ''}} तंत्र की कुल ऊर्जा संचालक ([[हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी)|हैमिल्टनियन)]] है और {{math|exp()}}[[घनत्व मैट्रिक्स|आव्यूह]] चरघातांकी संकारक है।मुक्त ऊर्जा {{math|''F''}} प्रायिकता सामान्यीकरण स्थिति द्वारा निर्धारित की जाती है जिसमें घनत्व आव्यूह का एक चिन्ह होता है, <math>\operatorname{Tr} \hat \rho=1</math>,
-:<math>e^{-\frac{F}{k T}} = \operatorname{Tr} \exp\left(-\tfrac{1}{kT} \hat H\right).</math>
+:<math>e^{-\frac{F}{k T}} = \operatorname{Tr} \exp\left(-\tfrac{1}{kT} \hat H\right).</math>।
-यदि सिस्टम की स्थिर स्थिति और ऊर्जा eigenvalues ज्ञात हैं, तो कैनोनिकल पहनावा को वैकल्पिक रूप से ब्रा-केट नोटेशन का उपयोग करके सरल रूप में लिखा जा सकता है। ऊर्जा eigenstates का पूरा आधार दिया गया है {{math|{{!}}''ψ''<sub>''i''</sub>⟩}}, द्वारा अनुक्रमित {{math|''i''}}, विहित पहनावा है:
+यदि तंत्र की [[ऊर्जा आइजनअवस्था|ऊर्जा आइजन अवस्था]] और ऊर्जा आइजनमान ज्ञात हैं, तो कैनोनिकल एन्सेम्बल को वैकल्पिक रूप से [[ब्रा-केट संकेतन]] का उपयोग करके सरल रूप में लिखा जा सकता है।
+पूर्ण ऊर्जा [[ऊर्जा आइजनअवस्था|आइजन अवस्थाओ]] {{math|{{!}}''ψ''<sub>''i''</sub>⟩}}i⟩ का एक संपूर्ण आधार दिया गया है, जिसे {{math|''i''}} से चिन्हित किया जाता है, जो कैनोनिकल एन्सेम्बल इस प्रकार है,
 :<math>\hat \rho = \sum_i e^{\frac{F - E_i}{k T}} |\psi_i\rangle \langle \psi_i | </math>
 :<math>e^{-\frac{F}{k T}} = \sum_i e^{\frac{- E_i}{k T}}.</math>
-जहां {{math|''E''<sub>''i''</sub>}} द्वारा निर्धारित ऊर्जा eigenvalues हैं {{math|''Ĥ''{{!}}''ψ''<sub>''i''</sub>⟩ {{=}} ''E''<sub>''i''</sub>{{!}}''ψ''<sub>''i''</sub>⟩}}. दूसरे शब्दों में, क्वांटम यांत्रिकी में माइक्रोस्टेट्स का एक सेट स्थिर राज्यों के एक पूरे सेट द्वारा दिया जाता है। इस आधार पर घनत्व मैट्रिक्स विकर्ण है, विकर्ण प्रविष्टियाँ प्रत्येक सीधे एक संभाव्यता देती हैं।
+जहां {{math|''E''<sub>''i''</sub>}}  {{math|''Ĥ''{{!}}''ψ''<sub>''i''</sub>⟩ {{=}} ''E''<sub>''i''</sub>{{!}}''ψ''<sub>''i''</sub>⟩}} द्वारा निर्धारित ऊर्जा आइजनमान हैं। तथा दूसरे शब्दों में क्वांटम यांत्रिकी में सूक्ष्म अवस्थाओ का एक समूह जो स्थिर अवस्थाओ के एक पूरे समुच्चय द्वारा दिया जाता है। इस आधार पर घनत्व आव्यूह विकर्ण है, जिससे विकर्ण प्रविष्टियाँ प्रत्येक सीधे अंश पर एक प्रायिकता देती हैं।
-===शास्त्रीय यांत्रिक===
+===चिरप्रतिष्ठित यांत्रिक===
 {{multiple image
 <!-- Essential parameters -->
-| align     = right
+| align     = सही
-| direction = horizontal
+| direction = क्षैतिज
 | width     = 220
-| header    = Example of canonical ensemble for a classical system consisting of one particle in a potential well.
+| header    = एक संभावित कुएं में एक कण से युक्त शास्त्रीय प्रणाली के लिए विहित समूह का उदाहरण।
-| footer    = Each panel shows [[phase space]] (upper graph) and energy-position space (lower graph). The particle's Hamiltonian is {{math|''H'' {{=}} ''U''(''x'') + ''p''<sup>2</sup>/2''m''}}, with the potential {{math|''U''(''x'')}} shown as a red curve. The side plot shows the distribution of states in energy.
+| footer    = प्रत्येक पैनल [[प्रावस्था समष्टि]] (ऊपरी ग्राफ़) और ऊर्जा-स्थिति समष्टि (निचला ग्राफ़) दिखाता है। कण का हैमिल्टनियन math{{!}}''H'' {{=}} ''U''(''x'') + ''p''<sup>2</sup>/2''m''<nowiki>}} है,  जिसकी क्षमता </nowiki>{{math|''U''(''x'')}} को लाल वक्र के रूप में दिखाया गया है। साइड प्लॉट ऊर्जा में अवस्थाओ के वितरण को दर्शाता है।
 <!-- Image 1 -->
-| image1    = Ensemble classical 1DOF all states.png
+| image1    = समूह चिरप्रतिष्ठित 1DOF सभी अवस्थाए.png
 | width1    =
 | alt1      =
-| caption1  = Plot of all possible states of this system. The available physical states are evenly distributed in phase space, but with an uneven distribution in energy; the side-plot displays {{math|''dv''/''dE''}}.
+| caption1  = इस प्रणाली की सभी संभावित स्थितियों का प्लॉट उपलब्ध भौतिक अवस्थाएँ चरण स्थान में समान रूप से वितरित हैं, लेकिन ऊर्जा में असमान वितरण के साथ, साइड-प्लॉट प्रदर्शित करता है {{math|''dv''/''dE''}}.
 <!-- Image 2 -->
-| image2    = Ensemble classical 1DOF canonical.png
+| image2    = समूह चिरप्रतिष्ठित 1DOF canonical.png
 | width2    =
 | alt2      =
-| caption2  = A canonical ensemble for this system, for the temperature shown. The states are weighted exponentially in energy.
+| caption2  = दिखाए गए तापमान के लिए, इस प्रणाली के लिए एक विहित समूह। अवस्थाओ को ऊर्जा में तेजी से भारित किया जाता है।
 }}
-{{details|topic=the representation of ensembles in classical mechanics|Statistical ensemble (mathematical physics)}}
+{{details|topic=चिरप्रतिष्ठित यांत्रिकी में समुच्चयों का प्रतिनिधित्व|सांख्यिकीय समूह (गणितीय भौतिकी)}}
-शास्त्रीय यांत्रिकी में, एक सांख्यिकीय समूह को सिस्टम के चरण स्थान में एक [[संयुक्त संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन]] द्वारा दर्शाया जाता है,
+चिरप्रतिष्ठित यांत्रिकी में, एक सांख्यिकीय समूह को तंत्र के प्रावस्था समष्टि
- {{math|''ρ''(''p''<sub>1</sub>, … ''p''<sub>''n''</sub>, ''q''<sub>1</sub>, … ''q''<sub>''n''</sub>)}}, जहां {{math|''p''<sub>1</sub>, … ''p''<sub>''n''</sub>}} और {{math|''q''<sub>1</sub>, … ''q''<sub>''n''</sub>}} सिस्टम की स्वतंत्रता की आंतरिक डिग्री के [[विहित निर्देशांक]] (सामान्यीकृत संवेग और सामान्यीकृत निर्देशांक) हैं।
-कणों की एक प्रणाली में, स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या {{math|''n''}} कणों की संख्या पर निर्भर करता है {{math|''N''}} एक तरह से जो भौतिक स्थिति पर निर्भर करता है। मोनोएटोम्स (अणु नहीं) की त्रि-आयामी गैस के लिए, {{math|''n'' {{=}} 3''N''}}. द्विपरमाणुक गैसों में स्वतंत्रता की घूर्णी और कंपनात्मक डिग्री भी होंगी।
-विहित समूह के लिए संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन है:
+{{math|''ρ''(''p''<sub>1</sub>, … ''p''<sub>''n''</sub>, ''q''<sub>1</sub>, … ''q''<sub>''n''</sub>)}} में एक [[संयुक्त संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन|संयुक्त प्रायिकता घनत्व फलन]] द्वारा दर्शाया जाता है, जहां {{math|''p''<sub>1</sub>, … ''p''<sub>''n''</sub>}} और {{math|''q''<sub>1</sub>, … ''q''<sub>''n''</sub>}} तंत्र की स्वतंत्रता की आंतरिक डिग्री के [[विहित निर्देशांक]] (सामान्यीकृत संवेग और सामान्यीकृत निर्देशांक) हैं।
+कणों की एक प्रणाली में, स्वतंत्रता की डिग्री n कणों की संख्या N पर एक ऐसे तरीके से निर्भर करती है जो भौतिक परिस्थिति पर निर्भर करता है। एक त्रिआयामी गैस के लिए (जिसमें मोलेक्यूलेस नहीं, बल्कि केवल एक परमाणु के कण होते हैं), स्वतंत्रता की संख्या n = 3N होती है।
+द्विपरमाणुक गैसों में स्वतंत्रता की घूर्णी और कंपनात्मक डिग्री भी होंगी।
+कैनोनिकल एन्सेम्बल के लिए संप्रायिकता घनत्व फलन है
 :<math>\rho = \frac{1}{h^n C} e^{\frac{F - E}{k T}},</math>
-कहाँ
+जहॉं
-* {{math|''E''}} सिस्टम की ऊर्जा है, चरण का एक कार्य है {{math|(''p''<sub>1</sub>, … ''q''<sub>''n''</sub>)}},
+* {{math|''E''}} तंत्र की ऊर्जा है तथा चरण का एक फलन {{math|(''p''<sub>1</sub>, … ''q''<sub>''n''</sub>)}} है
-* {{math|''h''}} की इकाइयों के साथ एक मनमाना लेकिन पूर्वनिर्धारित स्थिरांक है {{math|energy×time}}, एक माइक्रोस्टेट की सीमा निर्धारित करना और सही आयाम प्रदान करना {{math|''ρ''}}.<ref group=note>(Historical note) Gibbs' original ensemble effectively set {{math|''h'' {{=}} 1 [energy unit]×[time unit]}}, leading to unit-dependence in the values of some thermodynamic quantities like entropy and chemical potential. Since the advent of quantum mechanics, {{math|''h''}} is often taken to be equal to [[Planck's constant]] in order to obtain a semiclassical correspondence with quantum mechanics.</ref>
+* {{math|''h''}}  ऊर्जा × समय की इकाइयों के साथ एक यादृच्छिक लेकिन पूर्व निर्धारित स्थिरांक है, जो एक सूक्ष्म अवस्था की सीमा निर्धारित करता है और  {{math|''ρ''}} को सही आयाम प्रदान करता है।
-* {{math|''C''}} एक ओवरकाउंटिंग सुधार कारक है, जिसका उपयोग अक्सर कण प्रणालियों के लिए किया जाता है जहां समान कण एक दूसरे के साथ स्थान बदलने में सक्षम होते हैं।<ref group=note>In a system of {{math|''N''}} identical particles, {{math|''C'' {{=}} ''N''!}} ([[factorial]] of {{math|''N''}}). This factor corrects the overcounting in phase space due to identical physical states being found in multiple locations. See the [[Statistical ensemble (mathematical physics)#Correcting overcounting in phase space|statistical ensemble]] article for more information on this overcounting.</ref>
+* {{math|''C''}} एक अधिकर्तन सुधार कारक है जिसका उपयोग सामान्यतः कण प्रणालियों के लिए किया जाता है जहां समान कण एक दूसरे के साथ स्थान बदलने में सक्षम होते हैं।<ref group=note>In a system of {{math|''N''}} identical particles, {{math|''C'' {{=}} ''N''!}} ([[factorial]] of {{math|''N''}}). This factor corrects the overcounting in phase space due to identical physical states being found in multiple locations. See the [[Statistical ensemble (mathematical physics)#Correcting overcounting in phase space|statistical ensemble]] article for more information on this overcounting.</ref>
-* {{math|''F''}} एक सामान्यीकरण कारक प्रदान करता है और यह विशिष्ट अवस्था फ़ंक्शन, मुक्त ऊर्जा भी है।
+* {{math|''F''}} एक सामान्यीकरण कारक प्रदान करता है और यह विशिष्ट अवस्था फलन मुक्त ऊर्जा भी है।
-फिर से, का मूल्य {{math|''F''}}उसकी मांग करके निर्धारित किया जाता है {{math|''ρ''}} एक सामान्यीकृत संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन है:
+फिर से, F का मान यह मांग करके निर्धारित किया जाता है कि {{math|''ρ''}} एक सामान्यीकृत प्रायिकता घनत्व फलन है,
 :<math>e^{-\frac{F}{k T}} = \int \ldots \int \frac{1}{h^n C} e^{\frac{- E}{k T}} \, dp_1 \ldots dq_n </math>
-यह अभिन्न अंग पूरे चरण स्थान पर लिया गया है।
+यह समाकल पूरे [[प्रावस्था समष्टि]] पर लिया गया है
-दूसरे शब्दों में, शास्त्रीय यांत्रिकी में एक माइक्रोस्टेट एक चरण अंतरिक्ष क्षेत्र है, और इस क्षेत्र में आयतन है {{math|''h<sup>n</sup>C''}}. इसका मतलब यह है कि प्रत्येक माइक्रोस्टेट ऊर्जा की एक सीमा तक फैला हुआ है, हालांकि इस सीमा को चुनकर मनमाने ढंग से संकीर्ण बनाया जा सकता है {{math|''h''}} बहुत छोटा होना. चरण स्थान इंटीग्रल को माइक्रोस्टेट्स पर एक योग में परिवर्तित किया जा सकता है, एक बार चरण स्थान को पर्याप्त डिग्री तक बारीक रूप से विभाजित किया गया है।
+दूसरे शब्दों में चिरप्रतिष्ठित यांत्रिकी में एक सूक्ष्म सूक्ष्म प्रावस्था समष्टि है और इस क्षेत्र में आयतन {{math|''h<sup>n</sup>C''}} है। इसका मतलब यह है कि प्रत्येक सूक्ष्म विहित ऊर्जा की एक सीमा तक फैला हुआ है हालांकि {{math|''h''}} को बहुत छोटा चुनकर इस सीमा को स्वेच्छतः से संकीर्ण बनाया जा सकता है। जैसे ही प्रावस्था समष्टि को पर्याप्त डिग्री तक सुक्ष्म विभाजित किया जाता है, वैसे ही प्रावस्था समष्टि समाकल को सूक्ष्म अवस्थाओ पर एक योग में परिवर्तित कर देता है।
 == टिप्पणियाँ ==
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 {{Statistical mechanics topics}}
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+[[Category:Wikipedia metatemplates]]
+[[Category:सांख्यिकीय समुच्चय]]

v t e Statistical mechanics
Theory	Principle of maximum entropy ergodic theory
Statistical thermodynamics	Ensembles partition functions equations of state thermodynamic potential: U H F G Maxwell relations
Models	Ferromagnetism models Ising Potts Heisenberg percolation Particles with force field depletion force Lennard-Jones potential
Mathematical approaches	Boltzmann equation H-theorem Vlasov equation BBGKY hierarchy stochastic process mean-field theory and conformal field theory
Critical phenomena	Phase transition Critical exponents correlation length size scaling
Entropy	Boltzmann Shannon Tsallis Rényi von Neumann
Applications	Statistical field theory elementary particle superfluidity Condensed matter physics Complex system chaos information theory Boltzmann machine

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कैनोनिकल एन्सेम्बल (विहित समुदाय): Difference between revisions

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कैनोनिकल एन्सेम्बल की प्रयोज्यता

गुण

मुक्त ऊर्जा, सामुदायिक औसत और सटीक अंतर