ब्रांचिंग क्वांटिफायर: Difference between revisions

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[[तर्क]] में एक शाखा परिमाणक,<ref name="PetersWesterståhl2006">{{cite book|author1=[[Stanley Peters]]|author2=Dag Westerståhl|title=भाषा और तर्क में परिमाणक|year=2006|publisher=Clarendon Press|isbn=978-0-19-929125-0|pages=66–72}}</ref> इसे हेनकिन क्वांटिफायर भी कहा जाता है, परिमित आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया क्वांटिफायर या यहां तक ​​कि नॉनलाइनियर क्वांटिफायर, एक आंशिक ऑर्डरिंग है रेफरी नाम = Badia2009 >{{cite book|author=Antonio Badia|title=कार्रवाई में परिमाणक: क्वेरी, तार्किक और प्राकृतिक भाषाओं में सामान्यीकृत परिमाणीकरण|url=https://books.google.com/books?id=WC4pkt3m5b0C&pg=PA74|year=2009|publisher=Springer|isbn=978-0-387-09563-9|page=74&ndash;76}}</ref>
तर्कशास्त्र में, '''ब्रांचिंग क्वांटिफायर,''' जिसे हेंकिन क्वांटिफायर, सीमित आंशिक क्रमबद्ध क्वांटिफायर या गैर-रैखिक क्वांटिफायर भी कहा जाता है<ref name="PetersWesterståhl2006">{{cite book|author1=[[Stanley Peters]]|author2=Dag Westerståhl|title=भाषा और तर्क में परिमाणक|year=2006|publisher=Clarendon Press|isbn=978-0-19-929125-0|pages=66–72}}</ref>, एक आंशिक क्रमबद्धता है। इसका उपयोग करके वाक्यांशों को व्यक्त किया जाता है जिनमें किसी भी सामान्य क्वांटिफायर के साथ व्यक्त नहीं किया जा सकता है।<ref name="Badia2009">{{cite book|author=Antonio Badia|title=Quantifiers in Action: Generalized Quantification in Query, Logical and Natural Languages|url=https://books.google.com/books?id=WC4pkt3m5b0C&pg=PA74|year=2009|publisher=Springer|isbn=978-0-387-09563-9|page=74&ndash;76}}</ref>


:<math>\langle Qx_1\dots Qx_n\rangle</math>
:<math>\langle Qx_1\dots Qx_n\rangle</math>
Q ∈ {∀,∃} के लिए [[परिमाणक (तर्क)]]तर्क) का। यह [[सामान्यीकृत परिमाणक]] का एक विशेष मामला है। [[शास्त्रीय तर्क]] में, क्वांटिफायर उपसर्गों को रैखिक रूप से इस तरह क्रमबद्ध किया जाता है कि एक चर का मान y हो<sub>m</sub>एक परिमाणक Q से बंधा हुआ<sub>m</sub>चरों के मान पर निर्भर करता है


: हाँ<sub>1</sub>, ..., और<sub>''m''−1</sub>
परिमाणकों से बंधा हुआ


: क्यू<sub>1</sub>, ..., क्यू<sub>''m''−1</sub>
पूर्ववर्ती प्र<sub>m</sub>. (परिमित) आंशिक रूप से क्रमबद्ध परिमाणीकरण वाले तर्क में यह सामान्य रूप से मामला नहीं है।


ब्रांचिंग परिमाणीकरण पहली बार 1959 में [[एह रिफंड पर]] के सम्मेलन पत्र में दिखाई दिया।<ref>Henkin, L. "Some Remarks on Infinitely Long Formulas". ''Infinitistic Methods: Proceedings of the Symposium on Foundations of Mathematics, Warsaw, 2–9 September 1959'', Panstwowe Wydawnictwo Naukowe and Pergamon Press, Warsaw, 1961, pp. 167–183. {{OCLC|2277863}}</ref> आंशिक रूप से क्रमबद्ध परिमाणीकरण की प्रणालियाँ पहले-क्रम तर्क और दूसरे-क्रम तर्क के बीच की ताकत में मध्यवर्ती हैं। इन्हें जाक्को हिंटिका|हिंटिका और गेब्रियल सैंडू के [[स्वतंत्रता-अनुकूल तर्क]] के आधार के रूप में उपयोग किया जा रहा है।
क्वांटिफायर Q ∈ {∀, ∃} के बारे में, यह एक विशेष स्थिति है जो जनरलाइज़्ड क्वांटिफायर का एक रूप है। शास्त्रीय तर्क में,
 
क्वांटिफायर प्रत्यय पूर्वावस्था एक सरल अनुक्रम में होते हैं जिसमें चर ''y<sub>m</sub>'', क्वांटिफायर ''Q<sub>m</sub>'' द्वारा बाधित होता है, और चरों के मूल्य  का निर्धारण करता है। इसका अर्थ है कि एक क्वांटिफायर के संदर्भ में बाधित चर की मान्यता पर दूसरे क्वांटिफायर के संदर्भ में बाधित चर की मान्यता प्रभावित होती है।
 
: ''y''<sub>1</sub>, ..., ''y<sub>m</sub>''<sub>−1</sub>
क्वांटिफायर्स द्वारा बाधित
 
: ''Qy''<sub>1</sub>, ..., ''Qy<sub>m</sub>''<sub>−1</sub>
पूर्ववर्ती ''Q<sub>m</sub>'' आंशिक रूप से क्रमबद्ध क्वांटिफायर वाले तर्क में यह सामान्य स्थिति नहीं है।<ref>Henkin, L. "Some Remarks on Infinitely Long Formulas". ''Infinitistic Methods: Proceedings of the Symposium on Foundations of Mathematics, Warsaw, 2–9 September 1959'', Panstwowe Wydawnictwo Naukowe and Pergamon Press, Warsaw, 1961, pp. 167–183. {{OCLC|2277863}}</ref>
 
ब्रांचिंग क्वांटिफायर पहली बार 1959 में [[एह रिफंड पर|लियॉन हेंकिन]] के सम्मेलन पत्र में दिखाई दियाआंशिक रूप से क्रमबद्ध परिमाणीकरण की प्रणालियाँ पहले-क्रम तर्क और दूसरे-क्रम तर्क के मध्य की ताकत में मध्यवर्ती हैं। इन्हें हिंटिका और गेब्रियल सैंडू के [[स्वतंत्रता-अनुकूल तर्क]] के आधार के रूप में उपयोग किया जा रहा है।


==परिभाषा और गुण==
==परिभाषा और गुण==


सबसे सरल हेनकिन परिमाणक <math>Q_H</math> है
सबसे सरल हेनकिन क्वांटिफायर <math>Q_H</math> है


:<math>(Q_Hx_1,x_2,y_1,y_2)\varphi(x_1,x_2,y_1,y_2)\equiv\begin{pmatrix}\forall x_1 \, \exists y_1\\ \forall x_2 \, \exists y_2\end{pmatrix}\varphi(x_1,x_2,y_1,y_2).</math>
:<math>(Q_Hx_1,x_2,y_1,y_2)\varphi(x_1,x_2,y_1,y_2)\equiv\begin{pmatrix}\forall x_1 \, \exists y_1\\ \forall x_2 \, \exists y_2\end{pmatrix}\varphi(x_1,x_2,y_1,y_2).</math>
यह (वास्तव में हेनकिन उपसर्ग वाला प्रत्येक सूत्र, न कि केवल सबसे सरल सूत्र) इसके दूसरे क्रम के [[शोलेमाइजेशन]] के बराबर है, अर्थात।
यह (वास्तव में हेनकिन उपसर्ग वाला प्रत्येक सूत्र, न कि केवल सबसे सरल सूत्र) इसके दूसरे क्रम के [[शोलेमाइजेशन|स्कोलेमाइज़ेशन]] के बराबर है, अर्थात


: <math>\exists f \, \exists g \, \forall x_1 \forall x_2 \, \varphi (x_1, x_2, f(x_1), g(x_2)). </math>
: <math>\exists f \, \exists g \, \forall x_1 \forall x_2 \, \varphi (x_1, x_2, f(x_1), g(x_2)). </math>
यह परिमाणक को परिभाषित करने के लिए भी पर्याप्त शक्तिशाली है <math>Q_{\geq\mathbb{N}}</math> (अर्थात् अपरिमित रूप से अनेक हैं) के रूप में परिभाषित किया गया है
यह क्वांटिफायर को परिभाषित करने के लिए भी पर्याप्त प्रभावशाली <math>Q_{\geq\mathbb{N}}</math> के रूप में परिभाषित किया गया है:


:<math>(Q_{\geq\mathbb{N}}x)\varphi (x)\equiv(\exists a)(Q_Hx_1,x_2,y_1,y_2)[\varphi(a)\land (x_1=x_2 \leftrightarrow y_1=y_2) \land (\varphi (x_1)\rightarrow (\varphi (y_1)\land y_1\neq a))].</math>
:<math>(Q_{\geq\mathbb{N}}x)\varphi (x)\equiv(\exists a)(Q_Hx_1,x_2,y_1,y_2)[\varphi(a)\land (x_1=x_2 \leftrightarrow y_1=y_2) \land (\varphi (x_1)\rightarrow (\varphi (y_1)\land y_1\neq a))].</math>
इससे कई बातें सामने आती हैं, जिनमें प्रथम-क्रम तर्क की गैर-अक्सिओमेटिज़ेबिलिटी भी शामिल है <math>Q_H</math> (पहली बार [[नमी का सम्मान करें]] द्वारा देखा गया), और इसकी समकक्षता <math>\Sigma_1^1</math>-दूसरे क्रम के तर्क का टुकड़ा ([[अस्तित्वगत दूसरे क्रम का तर्क]]) - बाद वाला परिणाम 1970 में [[हर्बर्ट एंडर्टन]] द्वारा स्वतंत्र रूप से प्रकाशित हुआ<ref>Jaakko Hintikka and Gabriel Sandu, "Game-theoretical semantics", in ''Handbook of logic and language'', ed. J. van Benthem and [[Alice ter Meulen|A. ter Meulen]], Elsevier 2011 (2nd ed.) citing Enderton, H.B., 1970. Finite {{Sic|hide=y|partially|-}}ordered quantifiers. Z. Math. Logik Grundlag. Math. 16, 393–397 {{doi|10.1002/malq.19700160802}}.</ref> और डब्ल्यू वॉको।<ref>{{Cite journal | last1 = Blass | first1 = A. | last2 = Gurevich | first2 = Y. | doi = 10.1016/0168-0072(86)90040-0 | title = हेनकिन क्वांटिफायर और संपूर्ण समस्याएं| journal = Annals of Pure and Applied Logic | volume = 32 | pages = 1–16 | year = 1986 | url = http://research.microsoft.com/en-us/um/people/gurevich/Opera/66.pdf| hdl = 2027.42/26312 | hdl-access = free }} citing W. Walkoe, Finite {{Sic|hide=y|partially|-}}ordered quantification, Journal of Symbolic Logic 35 (1970) 535–555. {{JSTOR|2271440}}</ref>
इससे कई बातें सामने आती हैं, जिनमें से एक है प्रथम क्रम तर्क के साथ <math>Q_H</math> की गैर-अधिविधिकता (गैर-अक्सिओमेटिज़ेबिलिटी)  जिसका पहली बार एहरनफ्यूच्ट द्वारा देखा गया था। <ref>{{Cite journal | last1 = Blass | first1 = A. | last2 = Gurevich | first2 = Y. | doi = 10.1016/0168-0072(86)90040-0 | title = हेनकिन क्वांटिफायर और संपूर्ण समस्याएं| journal = Annals of Pure and Applied Logic | volume = 32 | pages = 1–16 | year = 1986 | url = http://research.microsoft.com/en-us/um/people/gurevich/Opera/66.pdf| hdl = 2027.42/26312 | hdl-access = free }} citing W. Walkoe, Finite {{Sic|hide=y|partially|-}}ordered quantification, Journal of Symbolic Logic 35 (1970) 535–555. {{JSTOR|2271440}}</ref> और द्वितीय क्रम तर्क के विशेषज्ञिका-१ <math>\Sigma_1^1</math>-भाग के समकालिक होने के साथ जोड़ा जा सकता है<ref>Jaakko Hintikka and Gabriel Sandu, "Game-theoretical semantics", in ''Handbook of logic and language'', ed. J. van Benthem and [[Alice ter Meulen|A. ter Meulen]], Elsevier 2011 (2nd ed.) citing Enderton, H.B., 1970. Finite {{Sic|hide=y|partially|-}}ordered quantifiers. Z. Math. Logik Grundlag. Math. 16, 393–397 {{doi|10.1002/malq.19700160802}}.</ref> जिसे पहले 1970 में हरबर्ट एंडरटन और डब्लू. वॉको ने अलग-अलग प्रकाशित किया था।<ref name="Badia2009" />  
निम्नलिखित परिमाणक भी इसके द्वारा परिभाषित किये जा सकते हैं <math>Q_H</math>.<ref name="Badia2009"/>


* रिसचर: φs की संख्या ψs की संख्या से कम या उसके बराबर है
Q_{H} के द्वारा निम्नलिखित क्वांटिफायर्स को परिभाषित किया जा सकता है: :
 
* राइकर्ट: "φs की संख्या ψs की संख्या से कम या उसके बराबर है"


::<math>(Q_Lx)(\varphi x,\psi x)\equiv \operatorname{Card}(\{ x \colon\varphi x\} )\leq \operatorname{Card}(\{ x \colon\psi x\} ) \equiv (Q_Hx_1x_2y_1y_2)[(x_1=x_2 \leftrightarrow y_1=y_2) \land (\varphi x_1 \rightarrow \psi y_1)]</math>
::<math>(Q_Lx)(\varphi x,\psi x)\equiv \operatorname{Card}(\{ x \colon\varphi x\} )\leq \operatorname{Card}(\{ x \colon\psi x\} ) \equiv (Q_Hx_1x_2y_1y_2)[(x_1=x_2 \leftrightarrow y_1=y_2) \land (\varphi x_1 \rightarrow \psi y_1)]</math>
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::<math>(Q_Ix)(\varphi x,\psi x)\equiv (Q_Lx)(\varphi x,\psi x) \land (Q_Lx)(\psi x,\varphi x)</math>
::<math>(Q_Ix)(\varphi x,\psi x)\equiv (Q_Lx)(\varphi x,\psi x) \land (Q_Lx)(\psi x,\varphi x)</math>
* चांग: मॉडल के डोमेन के साथ φs की संख्या समतुल्य है
* चांग: "φs की संख्या प्रारूप के क्षेत्र से समानांतर है


::<math>(Q_Cx)(\varphi x)\equiv (Q_Lx)(x=x,\varphi x)</math>
::<math>(Q_Cx)(\varphi x)\equiv (Q_Lx)(x=x,\varphi x)</math>
हेनकिन परिमाणक <math>Q_H</math> स्वयं को एक प्रकार (4) लिंडस्ट्रॉम क्वांटिफायर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।<ref name="Badia2009"/>
"हेंकिन क्वांटिफायर <math>Q_H</math> स्वयं को एक प्रकार (4) लिंडस्ट्रम क्वांटिफायर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है"<ref name="Badia2009" />
==प्राकृतिक भाषाओं से संबंध==
1973 में हिंटिक्का ने अपने पेपर में यह संभावना प्रस्तुत की थी कि कुछ प्राकृतिक भाषाओं में कुछ वाक्य को ब्रांचिंग क्वांटिफायर्स के तर्क में सर्वोत्तम रूप से समझा जा सकता है।<ref name="Amsterdam">{{Cite journal | last1 = Gierasimczuk | first1 = N. | last2 = Szymanik | first2 = J. | doi = 10.1093/jos/ffp008 | title = शाखा परिमाणीकरण बनाम दोतरफा परिमाणीकरण| journal = Journal of Semantics | volume = 26 | issue = 4 | pages = 367 | year = 2009 | url = http://www.jakubszymanik.com/papers/HTR.pdf}}</ref>, उदाहरण के लिए: "प्रत्येक ग्रामीण के कुछ रिश्तेदार और प्रत्येक शहरवासी के कुछ रिश्तेदार एक दूसरे से घृणा करते हैं", हिंटिका के अनुसार, इसकी व्याख्या इस प्रकार की जानी चाहिए:<ref>{{Cite journal | last1 = Sher | first1 = G. | title = परिमाणकों को शाखाबद्ध करने के तरीके| doi = 10.1007/BF00630749 | journal = Linguistics and Philosophy | volume = 13 | issue = 4 | pages = 393–422 | year = 1990 | s2cid = 61362436 | url = https://escholarship.org/content/qt41g2927h/qt41g2927h.pdf?t=nww5sf }}</ref><ref>{{Cite journal | last1 = Hintikka | first1 = J. | title = परिमाणक बनाम परिमाणीकरण सिद्धांत| doi = 10.1111/j.1746-8361.1973.tb00624.x | journal = Dialectica | volume = 27 | issue = 3–4 | pages = 329–358 | year = 1973 }}</ref>
: <math>\begin{pmatrix}\forall x_1 \, \exists y_1\\ \forall x_2 \, \exists y_2\end{pmatrix} [(V(x_1) \wedge T(x_2)) \rightarrow (R(x_1,y_1) \wedge R(x_2,y_2) \wedge H(y_1, y_2) \wedge H(y_2, y_1))]. </math>
यह ज्ञात है कि इसका कोई प्रथम-क्रम तर्क समतुल्य नहीं है<ref name="Amsterdam"/>


1979 में [[जॉन बारवाइज]] ने एक पेपर में संभाव्य भाषा के वाक्यों के लिए ब्रांचिंग की विभिन्न अवधारणाएँ प्रस्तावित कीं। उन्होंने हिंटिक्का के वाक्यों के अभिविकल्प प्रस्तावित किए, जिनमें आंतरिक क्वांटिफायर्स भी उन्हीं क्वांटिफायर्स के विभिन्न रूपों का प्रयोग करते हैं।<ref>{{Cite journal | last1 = Barwise | first1 = J. | title = अंग्रेजी में ब्रांचिंग क्वांटिफायर पर| doi = 10.1007/BF00258419 | journal = Journal of Philosophical Logic | volume = 8 | year = 1979 | pages = 47–80| s2cid = 31950692 }}</ref><ref name="Amsterdam"/>


==प्राकृतिक भाषाओं से संबंध==
बार्वाइस ने ध्यान देकर देखा कि <math>\Sigma_1^1</math> प्रतिवाद के अंतर्गत बंद नहीं होता है। इसे देखते हुए उन्होंने एक व्यावहारिक परीक्षण भी प्रस्तावित किया कि क्या प्राकृतिक भाषा के वाक्यांश वास्तव में ब्रांचिंग क्वांटिफायर्स को सम्मिलित करते हैं, इस परीक्षण के अंतर्गत उन्होंने वाक्यों के प्राकृतिक-भाषा नकारात्मक का जांच किया, जो एक समुच्चय चर के उपर सर्वसम्भवित क्वांटिफायर का सम्मिलित करता हो<ref>{{cite journal | first1 = Michael | last1 = Hand | title = Reviewed work: On Branching Quantifiers in English, Jon Barwise; Branching Generalized Quantifiers and Natural Language. Generalized Quantifiers, Linguistic and Logical Approaches, Dag Westerståhl, Peter Gärdenfors; Ways of Branching Quantifiers, Gila Sher | journal = The Journal of Symbolic Logic | volume = 63 | issue = 4 | year = 1998 | jstor = 2586678 | pages = 1611–1614 | doi = 10.2307/2586678 | s2cid = 117833401 }}</ref>
1973 के एक पेपर में हिन्तिक्का<ref>{{Cite journal | last1 = Hintikka | first1 = J. | title = परिमाणक बनाम परिमाणीकरण सिद्धांत| doi = 10.1111/j.1746-8361.1973.tb00624.x | journal = Dialectica | volume = 27 | issue = 3–4 | pages = 329–358 | year = 1973 }}</ref> इस परिकल्पना को आगे बढ़ाया कि प्राकृतिक भाषाओं में कुछ वाक्यों को शाखा परिमाणकों के संदर्भ में सबसे अच्छी तरह से समझा जाता है, उदाहरण के लिए: प्रत्येक ग्रामीण के कुछ रिश्तेदार और प्रत्येक शहरवासी के कुछ रिश्तेदार एक-दूसरे से नफरत करते हैं, हिंटिका के अनुसार, इसकी व्याख्या इस प्रकार की जानी चाहिए:<ref name="Amsterdam">{{Cite journal | last1 = Gierasimczuk | first1 = N. | last2 = Szymanik | first2 = J. | doi = 10.1093/jos/ffp008 | title = शाखा परिमाणीकरण बनाम दोतरफा परिमाणीकरण| journal = Journal of Semantics | volume = 26 | issue = 4 | pages = 367 | year = 2009 | url = http://www.jakubszymanik.com/papers/HTR.pdf}}</ref><ref>{{Cite journal | last1 = Sher | first1 = G. | title = परिमाणकों को शाखाबद्ध करने के तरीके| doi = 10.1007/BF00630749 | journal = Linguistics and Philosophy | volume = 13 | issue = 4 | pages = 393–422 | year = 1990 | s2cid = 61362436 | url = https://escholarship.org/content/qt41g2927h/qt41g2927h.pdf?t=nww5sf }}</ref>
: <math>\begin{pmatrix}\forall x_1 \, \exists y_1\\ \forall x_2 \, \exists y_2\end{pmatrix} [(V(x_1) \wedge T(x_2)) \rightarrow (R(x_1,y_1) \wedge R(x_2,y_2) \wedge H(y_1, y_2) \wedge H(y_2, y_1))]. </math>
यह ज्ञात है कि इसका कोई प्रथम-क्रम तर्क समतुल्य नहीं है।<ref name="Amsterdam"/>


शाखाओं में बँटने का विचार आवश्यक रूप से शास्त्रीय परिमाणकों को पत्तियों के रूप में उपयोग करने तक ही सीमित नहीं है। 1979 के एक पेपर में,<ref>{{Cite journal | last1 = Barwise | first1 = J. | title = अंग्रेजी में ब्रांचिंग क्वांटिफायर पर| doi = 10.1007/BF00258419 | journal = Journal of Philosophical Logic | volume = 8 | year = 1979 | pages = 47–80| s2cid = 31950692 }}</ref> [[जॉन बारवाइज]] ने हिंटिका वाक्यों की विविधताएं प्रस्तावित कीं (जैसा कि ऊपर कभी-कभी कहा जाता है) जिसमें आंतरिक परिमाणक स्वयं [[सामान्यीकृत परिमाणक]] होते हैं, उदाहरण के लिए: अधिकांश ग्रामीण और अधिकांश शहरवासी एक-दूसरे से नफरत करते हैं।<ref name="Amsterdam"/>उसका अवलोकन कर रहे हैं <math>\Sigma_1^1</math> निषेध के तहत बंद नहीं किया गया है, बारवाइज़ ने यह निर्धारित करने के लिए एक व्यावहारिक परीक्षण का भी प्रस्ताव रखा है कि क्या प्राकृतिक भाषा के वाक्यों में वास्तव में शाखा परिमाणक शामिल हैं, अर्थात् यह परीक्षण करने के लिए कि क्या उनके प्राकृतिक-भाषा निषेध में एक निर्धारित चर पर सार्वभौमिक परिमाणीकरण शामिल है (ए) <math>\Pi_1^1</math> वाक्य)।<ref>{{cite journal | first1 = Michael | last1 = Hand | title = Reviewed work: On Branching Quantifiers in English, Jon Barwise; Branching Generalized Quantifiers and Natural Language. Generalized Quantifiers, Linguistic and Logical Approaches, Dag Westerståhl, Peter Gärdenfors; Ways of Branching Quantifiers, Gila Sher | journal = The Journal of Symbolic Logic | volume = 63 | issue = 4 | year = 1998 | jstor = 2586678 | pages = 1611–1614 | doi = 10.2307/2586678 | s2cid = 117833401 }}</ref>
हिंटिका के प्रस्ताव को कई तर्कशास्त्रियों ने संदेह के साथ स्वीकार किया क्योंकि नीचे दिए गए जैसे कुछ प्रथम-क्रम वाक्य प्राकृतिक भाषा हिंटिका वाक्यांश को पर्याप्त रूप से प्रस्तुत करने लगे हैं।
हिंटिका के प्रस्ताव को कई तर्कशास्त्रियों ने संदेह के साथ स्वीकार किया क्योंकि नीचे दिए गए जैसे कुछ प्रथम-क्रम वाक्य प्राकृतिक भाषा हिंटिका वाक्य को अच्छी तरह से पकड़ते प्रतीत होते हैं।


: <math>[\forall x_1 \, \exists y_1 \, \forall x_2 \, \exists y_2\, \varphi (x_1, x_2, y_1, y_2)] \wedge [\forall x_2 \, \exists y_2 \, \forall x_1 \, \exists y_1\, \varphi (x_1, x_2, y_1, y_2)]</math>
: <math>[\forall x_1 \, \exists y_1 \, \forall x_2 \, \exists y_2\, \varphi (x_1, x_2, y_1, y_2)] \wedge [\forall x_2 \, \exists y_2 \, \forall x_1 \, \exists y_1\, \varphi (x_1, x_2, y_1, y_2)]</math>
कहाँ
जहाँ


: <math>\varphi (x_1, x_2, y_1, y_2) </math>
: <math>\varphi (x_1, x_2, y_1, y_2) </math>
Line 53: Line 60:


: <math> (V(x_1) \wedge T(x_2)) \rightarrow (R(x_1,y_1) \wedge R(x_2,y_2) \wedge H(y_1, y_2) \wedge H(y_2, y_1))</math>
: <math> (V(x_1) \wedge T(x_2)) \rightarrow (R(x_1,y_1) \wedge R(x_2,y_2) \wedge H(y_1, y_2) \wedge H(y_2, y_1))</math>
हालाँकि बहुत अधिक सैद्धांतिक बहस हुई, लेकिन 2009 तक ऐसा नहीं हुआ कि तर्क में प्रशिक्षित छात्रों के साथ कुछ अनुभवजन्य परीक्षणों में पाया गया कि वे कई प्राकृतिक-भाषा निर्माणों के लिए ब्रांचिंग-क्वांटिफायर वाक्य के बजाय द्विदिश प्रथम-क्रम वाक्य से मेल खाने वाले मॉडल निर्दिष्ट करने की अधिक संभावना रखते हैं। हिंटिका वाक्य से लिया गया है। उदाहरण के लिए, छात्रों को अप्रत्यक्ष [[द्विदलीय ग्राफ]]़ दिखाए गए - जिसमें वर्ग और वृत्त शीर्ष के रूप में थे - और यह बताने के लिए कहा गया कि क्या 3 से अधिक वृत्त और 3 से अधिक वर्ग रेखाओं से जुड़े हुए हैं, जैसे वाक्य आरेखों का सही वर्णन कर रहे हैं।<ref name="Amsterdam"/>
पूरी तरह से सिद्धांतिक विवाद के पश्चात, 2009 में तर्कशास्त्र में, में प्रशिक्षित छात्रों के साथ कुछ अनुभवशील परीक्षण किए गए, जिनसे पाया गया कि वे कई प्राकृतिक भाषा के भिन्न संरचनाओं को देखकर "द्विदिशीय" प्रथम-क्रम वाक्य से अधिक "ब्रांचिंग -क्वांटिफायर्स" वाक्यों को विकल्पित करने से अधिक प्रवृत होते हैं, जो हिंटिक्का वाक्य से प्राप्त होते हैं। उदाहरण के लिए, छात्रों को निर्देशित द्विपक्षीय अविमुखी आरेख दिखाए गए - और पूछा गया कि क्या 3 से अधिक वृत्त और 3 से अधिक वर्ग रेखाओं से जुड़े हुए हैं, वाक्य आरेख को सही ढंग से वर्णन कर रहे थे।<ref name="Amsterdam"/>




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* [[खेल शब्दार्थ]]
* [[खेल शब्दार्थ]]
* [[निर्भरता तर्क]]
* [[निर्भरता तर्क]]
* स्वतंत्रता-अनुकूल तर्क (आईएफ तर्क)
* स्वतंत्रता-अनुकूल तर्क  
* [[मोस्टोव्स्की क्वांटिफ़ायर]]
* [[मोस्टोव्स्की क्वांटिफ़ायर]]
* लिंडस्ट्रॉम क्वांटिफ़ायर
* लिंडस्ट्रॉम क्वांटिफ़ायर
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==बाहरी संबंध==
==बाहरी संबंध==
* [https://web.archive.org/web/20070930235518/http://planetmath.org/encyclopedia/Branching.html Game-theoretical quantifier] at PlanetMath.
* [https://web.archive.org/web/20070930235518/http://planetmath.org/encyclopedia/Branching.html Game-theoretical quantifier] at PlanetMath.
[[Category: परिमाणक (तर्क)]]


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[[Category:Created On 07/07/2023]]
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[[Category:परिमाणक (तर्क)]]

Latest revision as of 14:06, 28 July 2023

तर्कशास्त्र में, ब्रांचिंग क्वांटिफायर, जिसे हेंकिन क्वांटिफायर, सीमित आंशिक क्रमबद्ध क्वांटिफायर या गैर-रैखिक क्वांटिफायर भी कहा जाता है[1], एक आंशिक क्रमबद्धता है। इसका उपयोग करके वाक्यांशों को व्यक्त किया जाता है जिनमें किसी भी सामान्य क्वांटिफायर के साथ व्यक्त नहीं किया जा सकता है।[2]


क्वांटिफायर Q ∈ {∀, ∃} के बारे में, यह एक विशेष स्थिति है जो जनरलाइज़्ड क्वांटिफायर का एक रूप है। शास्त्रीय तर्क में,

क्वांटिफायर प्रत्यय पूर्वावस्था एक सरल अनुक्रम में होते हैं जिसमें चर ym, क्वांटिफायर Qm द्वारा बाधित होता है, और चरों के मूल्य का निर्धारण करता है। इसका अर्थ है कि एक क्वांटिफायर के संदर्भ में बाधित चर की मान्यता पर दूसरे क्वांटिफायर के संदर्भ में बाधित चर की मान्यता प्रभावित होती है।

y1, ..., ym−1

क्वांटिफायर्स द्वारा बाधित

Qy1, ..., Qym−1

पूर्ववर्ती Qm आंशिक रूप से क्रमबद्ध क्वांटिफायर वाले तर्क में यह सामान्य स्थिति नहीं है।[3]

ब्रांचिंग क्वांटिफायर पहली बार 1959 में लियॉन हेंकिन के सम्मेलन पत्र में दिखाई दियाआंशिक रूप से क्रमबद्ध परिमाणीकरण की प्रणालियाँ पहले-क्रम तर्क और दूसरे-क्रम तर्क के मध्य की ताकत में मध्यवर्ती हैं। इन्हें हिंटिका और गेब्रियल सैंडू के स्वतंत्रता-अनुकूल तर्क के आधार के रूप में उपयोग किया जा रहा है।

परिभाषा और गुण

सबसे सरल हेनकिन क्वांटिफायर है

यह (वास्तव में हेनकिन उपसर्ग वाला प्रत्येक सूत्र, न कि केवल सबसे सरल सूत्र) इसके दूसरे क्रम के स्कोलेमाइज़ेशन के बराबर है, अर्थात

यह क्वांटिफायर को परिभाषित करने के लिए भी पर्याप्त प्रभावशाली के रूप में परिभाषित किया गया है:

इससे कई बातें सामने आती हैं, जिनमें से एक है प्रथम क्रम तर्क के साथ की गैर-अधिविधिकता (गैर-अक्सिओमेटिज़ेबिलिटी) जिसका पहली बार एहरनफ्यूच्ट द्वारा देखा गया था। [4] और द्वितीय क्रम तर्क के विशेषज्ञिका-१ -भाग के समकालिक होने के साथ जोड़ा जा सकता है[5] जिसे पहले 1970 में हरबर्ट एंडरटन और डब्लू. वॉको ने अलग-अलग प्रकाशित किया था।[2]

Q_{H} के द्वारा निम्नलिखित क्वांटिफायर्स को परिभाषित किया जा सकता है: :

  • राइकर्ट: "φs की संख्या ψs की संख्या से कम या उसके बराबर है"
  • हार्टिग: φs, ψs के साथ समसंख्यक हैं
  • चांग: "φs की संख्या प्रारूप के क्षेत्र से समानांतर है

"हेंकिन क्वांटिफायर स्वयं को एक प्रकार (4) लिंडस्ट्रम क्वांटिफायर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है"[2]

प्राकृतिक भाषाओं से संबंध

1973 में हिंटिक्का ने अपने पेपर में यह संभावना प्रस्तुत की थी कि कुछ प्राकृतिक भाषाओं में कुछ वाक्य को ब्रांचिंग क्वांटिफायर्स के तर्क में सर्वोत्तम रूप से समझा जा सकता है।[6], उदाहरण के लिए: "प्रत्येक ग्रामीण के कुछ रिश्तेदार और प्रत्येक शहरवासी के कुछ रिश्तेदार एक दूसरे से घृणा करते हैं", हिंटिका के अनुसार, इसकी व्याख्या इस प्रकार की जानी चाहिए:[7][8]

यह ज्ञात है कि इसका कोई प्रथम-क्रम तर्क समतुल्य नहीं है[6]

1979 में जॉन बारवाइज ने एक पेपर में संभाव्य भाषा के वाक्यों के लिए ब्रांचिंग की विभिन्न अवधारणाएँ प्रस्तावित कीं। उन्होंने हिंटिक्का के वाक्यों के अभिविकल्प प्रस्तावित किए, जिनमें आंतरिक क्वांटिफायर्स भी उन्हीं क्वांटिफायर्स के विभिन्न रूपों का प्रयोग करते हैं।[9][6]

बार्वाइस ने ध्यान देकर देखा कि प्रतिवाद के अंतर्गत बंद नहीं होता है। इसे देखते हुए उन्होंने एक व्यावहारिक परीक्षण भी प्रस्तावित किया कि क्या प्राकृतिक भाषा के वाक्यांश वास्तव में ब्रांचिंग क्वांटिफायर्स को सम्मिलित करते हैं, इस परीक्षण के अंतर्गत उन्होंने वाक्यों के प्राकृतिक-भाषा नकारात्मक का जांच किया, जो एक समुच्चय चर के उपर सर्वसम्भवित क्वांटिफायर का सम्मिलित करता हो[10]

हिंटिका के प्रस्ताव को कई तर्कशास्त्रियों ने संदेह के साथ स्वीकार किया क्योंकि नीचे दिए गए जैसे कुछ प्रथम-क्रम वाक्य प्राकृतिक भाषा हिंटिका वाक्यांश को पर्याप्त रूप से प्रस्तुत करने लगे हैं।

जहाँ

अर्थ है

पूरी तरह से सिद्धांतिक विवाद के पश्चात, 2009 में तर्कशास्त्र में, में प्रशिक्षित छात्रों के साथ कुछ अनुभवशील परीक्षण किए गए, जिनसे पाया गया कि वे कई प्राकृतिक भाषा के भिन्न संरचनाओं को देखकर "द्विदिशीय" प्रथम-क्रम वाक्य से अधिक "ब्रांचिंग -क्वांटिफायर्स" वाक्यों को विकल्पित करने से अधिक प्रवृत होते हैं, जो हिंटिक्का वाक्य से प्राप्त होते हैं। उदाहरण के लिए, छात्रों को निर्देशित द्विपक्षीय अविमुखी आरेख दिखाए गए - और पूछा गया कि क्या 3 से अधिक वृत्त और 3 से अधिक वर्ग रेखाओं से जुड़े हुए हैं, वाक्य आरेख को सही ढंग से वर्णन कर रहे थे।[6]


यह भी देखें

संदर्भ

  1. ↑ Stanley Peters; Dag Westerståhl (2006). भाषा और तर्क में परिमाणक. Clarendon Press. pp. 66–72. ISBN 978-0-19-929125-0.
  2. ↑ 2.0 2.1 2.2 Antonio Badia (2009). Quantifiers in Action: Generalized Quantification in Query, Logical and Natural Languages. Springer. p. 74–76. ISBN 978-0-387-09563-9.
  3. ↑ Henkin, L. "Some Remarks on Infinitely Long Formulas". Infinitistic Methods: Proceedings of the Symposium on Foundations of Mathematics, Warsaw, 2–9 September 1959, Panstwowe Wydawnictwo Naukowe and Pergamon Press, Warsaw, 1961, pp. 167–183. OCLC 2277863
  4. ↑ Blass, A.; Gurevich, Y. (1986). "हेनकिन क्वांटिफायर और संपूर्ण समस्याएं" (PDF). Annals of Pure and Applied Logic. 32: 1–16. doi:10.1016/0168-0072(86)90040-0. hdl:2027.42/26312. citing W. Walkoe, Finite partially-ordered quantification, Journal of Symbolic Logic 35 (1970) 535–555. JSTOR 2271440
  5. ↑ Jaakko Hintikka and Gabriel Sandu, "Game-theoretical semantics", in Handbook of logic and language, ed. J. van Benthem and A. ter Meulen, Elsevier 2011 (2nd ed.) citing Enderton, H.B., 1970. Finite partially-ordered quantifiers. Z. Math. Logik Grundlag. Math. 16, 393–397 doi:10.1002/malq.19700160802.
  6. ↑ 6.0 6.1 6.2 6.3 Gierasimczuk, N.; Szymanik, J. (2009). "शाखा परिमाणीकरण बनाम दोतरफा परिमाणीकरण" (PDF). Journal of Semantics. 26 (4): 367. doi:10.1093/jos/ffp008.
  7. ↑ Sher, G. (1990). "परिमाणकों को शाखाबद्ध करने के तरीके" (PDF). Linguistics and Philosophy. 13 (4): 393–422. doi:10.1007/BF00630749. S2CID 61362436.
  8. ↑ Hintikka, J. (1973). "परिमाणक बनाम परिमाणीकरण सिद्धांत". Dialectica. 27 (3–4): 329–358. doi:10.1111/j.1746-8361.1973.tb00624.x.
  9. ↑ Barwise, J. (1979). "अंग्रेजी में ब्रांचिंग क्वांटिफायर पर". Journal of Philosophical Logic. 8: 47–80. doi:10.1007/BF00258419. S2CID 31950692.
  10. ↑ Hand, Michael (1998). "Reviewed work: On Branching Quantifiers in English, Jon Barwise; Branching Generalized Quantifiers and Natural Language. Generalized Quantifiers, Linguistic and Logical Approaches, Dag Westerståhl, Peter Gärdenfors; Ways of Branching Quantifiers, Gila Sher". The Journal of Symbolic Logic. 63 (4): 1611–1614. doi:10.2307/2586678. JSTOR 2586678. S2CID 117833401.


बाहरी संबंध

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