ब्रांचिंग क्वांटिफायर: Difference between revisions

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तर्कशास्त्र में, '''ब्रांचिंग क्वांटिफायर,''' जिसे हेंकिन क्वांटिफायर, सीमित आंशिक क्रमबद्ध क्वांटिफायर या गैर-रैखिक क्वांटिफायर भी कहा जाता है<ref name="PetersWesterståhl2006">{{cite book|author1=[[Stanley Peters]]|author2=Dag Westerståhl|title=भाषा और तर्क में परिमाणक|year=2006|publisher=Clarendon Press|isbn=978-0-19-929125-0|pages=66–72}}</ref>, एक आंशिक क्रमबद्धता है। इसका उपयोग करके वाक्यांशों को व्यक्त किया जाता है जिनमें किसी भी सामान्य क्वांटिफायर के साथ व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
तर्कशास्त्र में, '''ब्रांचिंग क्वांटिफायर,''' जिसे हेंकिन क्वांटिफायर, सीमित आंशिक क्रमबद्ध क्वांटिफायर या गैर-रैखिक क्वांटिफायर भी कहा जाता है<ref name="PetersWesterståhl2006">{{cite book|author1=[[Stanley Peters]]|author2=Dag Westerståhl|title=भाषा और तर्क में परिमाणक|year=2006|publisher=Clarendon Press|isbn=978-0-19-929125-0|pages=66–72}}</ref>, एक आंशिक क्रमबद्धता है। इसका उपयोग करके वाक्यांशों को व्यक्त किया जाता है जिनमें किसी भी सामान्य क्वांटिफायर के साथ व्यक्त नहीं किया जा सकता है।<ref name="Badia2009">{{cite book|author=Antonio Badia|title=Quantifiers in Action: Generalized Quantification in Query, Logical and Natural Languages|url=https://books.google.com/books?id=WC4pkt3m5b0C&pg=PA74|year=2009|publisher=Springer|isbn=978-0-387-09563-9|page=74&ndash;76}}</ref>


:<math>\langle Qx_1\dots Qx_n\rangle</math>
:<math>\langle Qx_1\dots Qx_n\rangle</math>




क्वांटिफायर Q ∈ {∀, ∃} के बारे में, यह एक विशेष स्थिति है जो जनरलाइज़्ड क्वांटिफायर का एक रूप है। शास्त्रीय तर्क में,  
क्वांटिफायर Q ∈ {∀, ∃} के बारे में, यह एक विशेष स्थिति है जो जनरलाइज़्ड क्वांटिफायर का एक रूप है। शास्त्रीय तर्क में,  


क्वांटिफायर प्रत्यय पूर्वावस्था एक सरल अनुक्रम में होते हैं जिसमें चर ''y<sub>m</sub>'' , क्वांटिफायर ''Q<sub>m</sub>'' द्वारा बाधित होता है, और चरों के मूल्य  का निर्धारण करता है। इसका अर्थ है कि एक क्वांटिफायर के संदर्भ में बाधित चर की मान्यता पर दूसरे क्वांटिफायर के संदर्भ में बाधित चर की मान्यता प्रभावित होती है।
क्वांटिफायर प्रत्यय पूर्वावस्था एक सरल अनुक्रम में होते हैं जिसमें चर ''y<sub>m</sub>'', क्वांटिफायर ''Q<sub>m</sub>'' द्वारा बाधित होता है, और चरों के मूल्य  का निर्धारण करता है। इसका अर्थ है कि एक क्वांटिफायर के संदर्भ में बाधित चर की मान्यता पर दूसरे क्वांटिफायर के संदर्भ में बाधित चर की मान्यता प्रभावित होती है।


: ''y''<sub>1</sub>, ..., ''y<sub>m</sub>''<sub>−1</sub>
: ''y''<sub>1</sub>, ..., ''y<sub>m</sub>''<sub>−1</sub>
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:<math>(Q_Hx_1,x_2,y_1,y_2)\varphi(x_1,x_2,y_1,y_2)\equiv\begin{pmatrix}\forall x_1 \, \exists y_1\\ \forall x_2 \, \exists y_2\end{pmatrix}\varphi(x_1,x_2,y_1,y_2).</math>
:<math>(Q_Hx_1,x_2,y_1,y_2)\varphi(x_1,x_2,y_1,y_2)\equiv\begin{pmatrix}\forall x_1 \, \exists y_1\\ \forall x_2 \, \exists y_2\end{pmatrix}\varphi(x_1,x_2,y_1,y_2).</math>
यह वास्तव में हेनकिन उपसर्ग वाला प्रत्येक सूत्र, न कि केवल सबसे सरल सूत्र इसके दूसरे क्रम के [[शोलेमाइजेशन]] के बराबर है,  
यह (वास्तव में हेनकिन उपसर्ग वाला प्रत्येक सूत्र, न कि केवल सबसे सरल सूत्र) इसके दूसरे क्रम के [[शोलेमाइजेशन|स्कोलेमाइज़ेशन]] के बराबर है, अर्थात
 
अर्थात।


: <math>\exists f \, \exists g \, \forall x_1 \forall x_2 \, \varphi (x_1, x_2, f(x_1), g(x_2)). </math>
: <math>\exists f \, \exists g \, \forall x_1 \forall x_2 \, \varphi (x_1, x_2, f(x_1), g(x_2)). </math>
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:<math>(Q_{\geq\mathbb{N}}x)\varphi (x)\equiv(\exists a)(Q_Hx_1,x_2,y_1,y_2)[\varphi(a)\land (x_1=x_2 \leftrightarrow y_1=y_2) \land (\varphi (x_1)\rightarrow (\varphi (y_1)\land y_1\neq a))].</math>
:<math>(Q_{\geq\mathbb{N}}x)\varphi (x)\equiv(\exists a)(Q_Hx_1,x_2,y_1,y_2)[\varphi(a)\land (x_1=x_2 \leftrightarrow y_1=y_2) \land (\varphi (x_1)\rightarrow (\varphi (y_1)\land y_1\neq a))].</math>
इससे कई बातें सामने आती हैं, जिनमें प्रथम-क्रम तर्क की गैर-अभिधानत्वीयता भी सम्मिलित है
इससे कई बातें सामने आती हैं, जिनमें से एक है प्रथम क्रम तर्क के साथ <math>Q_H</math> की गैर-अधिविधिकता (गैर-अक्सिओमेटिज़ेबिलिटी)  जिसका पहली बार एहरनफ्यूच्ट द्वारा देखा गया था। <ref>{{Cite journal | last1 = Blass | first1 = A. | last2 = Gurevich | first2 = Y. | doi = 10.1016/0168-0072(86)90040-0 | title = हेनकिन क्वांटिफायर और संपूर्ण समस्याएं| journal = Annals of Pure and Applied Logic | volume = 32 | pages = 1–16 | year = 1986 | url = http://research.microsoft.com/en-us/um/people/gurevich/Opera/66.pdf| hdl = 2027.42/26312 | hdl-access = free }} citing W. Walkoe, Finite {{Sic|hide=y|partially|-}}ordered quantification, Journal of Symbolic Logic 35 (1970) 535–555. {{JSTOR|2271440}}</ref> और द्वितीय क्रम तर्क के विशेषज्ञिका-१ <math>\Sigma_1^1</math>-भाग के समकालिक होने के साथ जोड़ा जा सकता है<ref>Jaakko Hintikka and Gabriel Sandu, "Game-theoretical semantics", in ''Handbook of logic and language'', ed. J. van Benthem and [[Alice ter Meulen|A. ter Meulen]], Elsevier 2011 (2nd ed.) citing Enderton, H.B., 1970. Finite {{Sic|hide=y|partially|-}}ordered quantifiers. Z. Math. Logik Grundlag. Math. 16, 393–397 {{doi|10.1002/malq.19700160802}}.</ref> जिसे पहले 1970 में हरबर्ट एंडरटन और डब्लू. वॉको ने अलग-अलग प्रकाशित किया था।<ref name="Badia2009" />  
 
इससे कई बातें सामने आती हैं जिनमें पहले ओथर लॉजिक को "<math>Q_H</math>" के साथ नॉनअक्सिओमेटिज़ेबिलिटी नहीं किया जा सकता जिसे पहली बार एहरनफ्यूच्ट द्वारा देखा गया था <ref>{{Cite journal | last1 = Blass | first1 = A. | last2 = Gurevich | first2 = Y. | doi = 10.1016/0168-0072(86)90040-0 | title = हेनकिन क्वांटिफायर और संपूर्ण समस्याएं| journal = Annals of Pure and Applied Logic | volume = 32 | pages = 1–16 | year = 1986 | url = http://research.microsoft.com/en-us/um/people/gurevich/Opera/66.pdf| hdl = 2027.42/26312 | hdl-access = free }} citing W. Walkoe, Finite {{Sic|hide=y|partially|-}}ordered quantification, Journal of Symbolic Logic 35 (1970) 535–555. {{JSTOR|2271440}}</ref>और दूसरे ओथर लॉजिक के समानता को <math>\Sigma_1^1</math>-के साथ समान माना जा सकता है<ref>Jaakko Hintikka and Gabriel Sandu, "Game-theoretical semantics", in ''Handbook of logic and language'', ed. J. van Benthem and [[Alice ter Meulen|A. ter Meulen]], Elsevier 2011 (2nd ed.) citing Enderton, H.B., 1970. Finite {{Sic|hide=y|partially|-}}ordered quantifiers. Z. Math. Logik Grundlag. Math. 16, 393–397 {{doi|10.1002/malq.19700160802}}.</ref> यह दूसरा परिणाम [[हर्बर्ट एंडर्टन]] और डब्ल्यू वॉको ने 1970 में अलग-अलग प्रकाशित किया था।<ref name="Badia2009" />


निम्नलिखित क्वांटिफायर भी <math>Q_H</math> द्वारा परिभाषित किये जा सकते हैं :
Q_{H} के द्वारा निम्नलिखित क्वांटिफायर्स को परिभाषित किया जा सकता है: :  


* राइकर्ट: φs की संख्या ψs की संख्या से कम या उसके बराबर है
* राइकर्ट: "φs की संख्या ψs की संख्या से कम या उसके बराबर है"


::<math>(Q_Lx)(\varphi x,\psi x)\equiv \operatorname{Card}(\{ x \colon\varphi x\} )\leq \operatorname{Card}(\{ x \colon\psi x\} ) \equiv (Q_Hx_1x_2y_1y_2)[(x_1=x_2 \leftrightarrow y_1=y_2) \land (\varphi x_1 \rightarrow \psi y_1)]</math>
::<math>(Q_Lx)(\varphi x,\psi x)\equiv \operatorname{Card}(\{ x \colon\varphi x\} )\leq \operatorname{Card}(\{ x \colon\psi x\} ) \equiv (Q_Hx_1x_2y_1y_2)[(x_1=x_2 \leftrightarrow y_1=y_2) \land (\varphi x_1 \rightarrow \psi y_1)]</math>
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::<math>(Q_Ix)(\varphi x,\psi x)\equiv (Q_Lx)(\varphi x,\psi x) \land (Q_Lx)(\psi x,\varphi x)</math>
::<math>(Q_Ix)(\varphi x,\psi x)\equiv (Q_Lx)(\varphi x,\psi x) \land (Q_Lx)(\psi x,\varphi x)</math>
* चांग: प्रारूप के क्षेत्र के साथ φs की संख्या समतुल्य है
* चांग: "φs की संख्या प्रारूप के क्षेत्र से समानांतर है


::<math>(Q_Cx)(\varphi x)\equiv (Q_Lx)(x=x,\varphi x)</math>
::<math>(Q_Cx)(\varphi x)\equiv (Q_Lx)(x=x,\varphi x)</math>
हेनकिन क्वांटिफायर <math>Q_H</math> स्वयं को एक प्रकार (4) लिंडस्ट्रॉम क्वांटिफायर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।<ref name="Badia2009"/>
"हेंकिन क्वांटिफायर <math>Q_H</math> स्वयं को एक प्रकार (4) लिंडस्ट्रम क्वांटिफायर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है"<ref name="Badia2009" />
 
 
==प्राकृतिक भाषाओं से संबंध==
==प्राकृतिक भाषाओं से संबंध==
हिंटिक्का ने 1973 के एक पेपर में एक सिद्धांत आगे बढ़ाया कि कुछ प्राकृतिक भाषाओं में कुछ वाक्यांश ब्रांचिंग क्वांटिफायर्स के माध्यम से सबसे अच्छी तरीके से समझा जा सकता है<ref name="Amsterdam">{{Cite journal | last1 = Gierasimczuk | first1 = N. | last2 = Szymanik | first2 = J. | doi = 10.1093/jos/ffp008 | title = शाखा परिमाणीकरण बनाम दोतरफा परिमाणीकरण| journal = Journal of Semantics | volume = 26 | issue = 4 | pages = 367 | year = 2009 | url = http://www.jakubszymanik.com/papers/HTR.pdf}}</ref>, उदाहरण के लिए: प्रत्येक ग्रामीण के कुछ रिश्तेदार और प्रत्येक शहरवासी के कुछ रिश्तेदार एक-दूसरे से नफरत करते हैं, हिंटिका के अनुसार, इसकी व्याख्या इस प्रकार की जानी चाहिए:<ref>{{Cite journal | last1 = Sher | first1 = G. | title = परिमाणकों को शाखाबद्ध करने के तरीके| doi = 10.1007/BF00630749 | journal = Linguistics and Philosophy | volume = 13 | issue = 4 | pages = 393–422 | year = 1990 | s2cid = 61362436 | url = https://escholarship.org/content/qt41g2927h/qt41g2927h.pdf?t=nww5sf }}</ref><ref>{{Cite journal | last1 = Hintikka | first1 = J. | title = परिमाणक बनाम परिमाणीकरण सिद्धांत| doi = 10.1111/j.1746-8361.1973.tb00624.x | journal = Dialectica | volume = 27 | issue = 3–4 | pages = 329–358 | year = 1973 }}</ref>
1973 में हिंटिक्का ने अपने पेपर में यह संभावना प्रस्तुत की थी कि कुछ प्राकृतिक भाषाओं में कुछ वाक्य को ब्रांचिंग क्वांटिफायर्स के तर्क में सर्वोत्तम रूप से समझा जा सकता है।<ref name="Amsterdam">{{Cite journal | last1 = Gierasimczuk | first1 = N. | last2 = Szymanik | first2 = J. | doi = 10.1093/jos/ffp008 | title = शाखा परिमाणीकरण बनाम दोतरफा परिमाणीकरण| journal = Journal of Semantics | volume = 26 | issue = 4 | pages = 367 | year = 2009 | url = http://www.jakubszymanik.com/papers/HTR.pdf}}</ref>, उदाहरण के लिए: "प्रत्येक ग्रामीण के कुछ रिश्तेदार और प्रत्येक शहरवासी के कुछ रिश्तेदार एक दूसरे से घृणा करते हैं", हिंटिका के अनुसार, इसकी व्याख्या इस प्रकार की जानी चाहिए:<ref>{{Cite journal | last1 = Sher | first1 = G. | title = परिमाणकों को शाखाबद्ध करने के तरीके| doi = 10.1007/BF00630749 | journal = Linguistics and Philosophy | volume = 13 | issue = 4 | pages = 393–422 | year = 1990 | s2cid = 61362436 | url = https://escholarship.org/content/qt41g2927h/qt41g2927h.pdf?t=nww5sf }}</ref><ref>{{Cite journal | last1 = Hintikka | first1 = J. | title = परिमाणक बनाम परिमाणीकरण सिद्धांत| doi = 10.1111/j.1746-8361.1973.tb00624.x | journal = Dialectica | volume = 27 | issue = 3–4 | pages = 329–358 | year = 1973 }}</ref>
: <math>\begin{pmatrix}\forall x_1 \, \exists y_1\\ \forall x_2 \, \exists y_2\end{pmatrix} [(V(x_1) \wedge T(x_2)) \rightarrow (R(x_1,y_1) \wedge R(x_2,y_2) \wedge H(y_1, y_2) \wedge H(y_2, y_1))]. </math>
: <math>\begin{pmatrix}\forall x_1 \, \exists y_1\\ \forall x_2 \, \exists y_2\end{pmatrix} [(V(x_1) \wedge T(x_2)) \rightarrow (R(x_1,y_1) \wedge R(x_2,y_2) \wedge H(y_1, y_2) \wedge H(y_2, y_1))]. </math>
यह ज्ञात है कि इसका कोई प्रथम-क्रम तर्क समतुल्य नहीं है।<ref name="Amsterdam"/>
यह ज्ञात है कि इसका कोई प्रथम-क्रम तर्क समतुल्य नहीं है<ref name="Amsterdam"/>


शाखाओं में बँटने का विचार आवश्यक रूप से पारंपरिक परिमाणकों को पत्तियों के रूप में उपयोग करने तक ही सीमित नहीं है। 1979 के एक पेपर में,<ref>{{Cite journal | last1 = Barwise | first1 = J. | title = अंग्रेजी में ब्रांचिंग क्वांटिफायर पर| doi = 10.1007/BF00258419 | journal = Journal of Philosophical Logic | volume = 8 | year = 1979 | pages = 47–80| s2cid = 31950692 }}</ref> [[जॉन बारवाइज]] ने हिंटिक्का वाक्यों की विविधताएं प्रस्तावित कीं जिसमें आंतरिक परिमाणक स्वयं [[सामान्यीकृत परिमाणक]] होते हैं, उदाहरण के लिए: अधिकांश ग्रामीण और अधिकांश शहरवासी एक-दूसरे से नफरत करते हैं।<ref name="Amsterdam"/>
1979 में [[जॉन बारवाइज]] ने एक पेपर में संभाव्य भाषा के वाक्यों के लिए ब्रांचिंग की विभिन्न अवधारणाएँ प्रस्तावित कीं। उन्होंने हिंटिक्का के वाक्यों के अभिविकल्प प्रस्तावित किए, जिनमें आंतरिक क्वांटिफायर्स भी उन्हीं क्वांटिफायर्स के विभिन्न रूपों का प्रयोग करते हैं।<ref>{{Cite journal | last1 = Barwise | first1 = J. | title = अंग्रेजी में ब्रांचिंग क्वांटिफायर पर| doi = 10.1007/BF00258419 | journal = Journal of Philosophical Logic | volume = 8 | year = 1979 | pages = 47–80| s2cid = 31950692 }}</ref><ref name="Amsterdam"/>


बार्वाइस ने ध्यान देकर देखा कि <math>\Sigma_1^1</math> निषेध के अंतर्गत बंद नहीं होता है। इसे देखते हुए उन्होंने एक व्यावहारिक परीक्षण भी प्रस्तावित किया कि क्या प्राकृतिक भाषा के वाक्यांश वास्तव में ब्रांचिंग क्वांटिफायर्स को सम्मिलित करते हैं, इसका अर्थ है, उनके प्राकृतिक भाषा के नकारात्मक को यह जाँचने के लिए कि वे सच में एक समूही क्वांटिफायर के ऊपर समानांतर कथन करते हैं (एक Π₁₁ कथन), उसे वे प्राकृतिक भाषा में क्या जांचते हैं।<ref>{{cite journal | first1 = Michael | last1 = Hand | title = Reviewed work: On Branching Quantifiers in English, Jon Barwise; Branching Generalized Quantifiers and Natural Language. Generalized Quantifiers, Linguistic and Logical Approaches, Dag Westerståhl, Peter Gärdenfors; Ways of Branching Quantifiers, Gila Sher | journal = The Journal of Symbolic Logic | volume = 63 | issue = 4 | year = 1998 | jstor = 2586678 | pages = 1611–1614 | doi = 10.2307/2586678 | s2cid = 117833401 }}</ref>
बार्वाइस ने ध्यान देकर देखा कि <math>\Sigma_1^1</math> प्रतिवाद के अंतर्गत बंद नहीं होता है। इसे देखते हुए उन्होंने एक व्यावहारिक परीक्षण भी प्रस्तावित किया कि क्या प्राकृतिक भाषा के वाक्यांश वास्तव में ब्रांचिंग क्वांटिफायर्स को सम्मिलित करते हैं, इस परीक्षण के अंतर्गत उन्होंने वाक्यों के प्राकृतिक-भाषा नकारात्मक का जांच किया, जो एक समुच्चय चर के उपर सर्वसम्भवित क्वांटिफायर का सम्मिलित करता हो<ref>{{cite journal | first1 = Michael | last1 = Hand | title = Reviewed work: On Branching Quantifiers in English, Jon Barwise; Branching Generalized Quantifiers and Natural Language. Generalized Quantifiers, Linguistic and Logical Approaches, Dag Westerståhl, Peter Gärdenfors; Ways of Branching Quantifiers, Gila Sher | journal = The Journal of Symbolic Logic | volume = 63 | issue = 4 | year = 1998 | jstor = 2586678 | pages = 1611–1614 | doi = 10.2307/2586678 | s2cid = 117833401 }}</ref>


हिंटिक्का का प्रस्तावना कुछ तर्कशास्त्रियों ने संदेह के साथ स्वीकार किया क्योंकि कुछ पहले क्रम के वाक्यांश नीचे दिए गए प्राकृतिक भाषा हिंटिक्का वाक्यांश को पर्याप्त रूप से प्रस्तुत करने लगे हैं।
हिंटिका के प्रस्ताव को कई तर्कशास्त्रियों ने संदेह के साथ स्वीकार किया क्योंकि नीचे दिए गए जैसे कुछ प्रथम-क्रम वाक्य प्राकृतिक भाषा हिंटिका वाक्यांश को पर्याप्त रूप से प्रस्तुत करने लगे हैं।


: <math>[\forall x_1 \, \exists y_1 \, \forall x_2 \, \exists y_2\, \varphi (x_1, x_2, y_1, y_2)] \wedge [\forall x_2 \, \exists y_2 \, \forall x_1 \, \exists y_1\, \varphi (x_1, x_2, y_1, y_2)]</math>
: <math>[\forall x_1 \, \exists y_1 \, \forall x_2 \, \exists y_2\, \varphi (x_1, x_2, y_1, y_2)] \wedge [\forall x_2 \, \exists y_2 \, \forall x_1 \, \exists y_1\, \varphi (x_1, x_2, y_1, y_2)]</math>
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: <math> (V(x_1) \wedge T(x_2)) \rightarrow (R(x_1,y_1) \wedge R(x_2,y_2) \wedge H(y_1, y_2) \wedge H(y_2, y_1))</math>
: <math> (V(x_1) \wedge T(x_2)) \rightarrow (R(x_1,y_1) \wedge R(x_2,y_2) \wedge H(y_1, y_2) \wedge H(y_2, y_1))</math>
यद्यपि बहुत अधिक सैद्धांतिक बहस हुई, परंतु  2009 तक ऐसा नहीं हुआ कि तर्क में प्रशिक्षित छात्रों के साथ कुछ अनुभवजन्य परीक्षणों में पाया गया कि वे कई प्राकृतिक-भाषा निर्माणों के लिए ब्रांचिंग-क्वांटिफायर वाक्य के अतिरिक्त द्विदिश प्रथम-क्रम वाक्य से मेल खाने वाले प्रारूप निर्दिष्ट करने की अधिक संभावना रखते हैं। हिंटिका वाक्य से लिया गया है। उदाहरण के लिए, छात्रों को अप्रत्यक्ष [[द्विदलीय ग्राफ|द्विदलीय]] आरेख दिखाए गए - जिसमें वर्ग और वृत्त शीर्ष के रूप में थे - और यह बताने के लिए कहा गया कि क्या 3 से अधिक वृत्त और 3 से अधिक वर्ग रेखाओं से जुड़े हुए हैं, जैसे वाक्य आरेखों का सही वर्णन कर रहे हैं।<ref name="Amsterdam"/>
पूरी तरह से सिद्धांतिक विवाद के पश्चात, 2009 में तर्कशास्त्र में, में प्रशिक्षित छात्रों के साथ कुछ अनुभवशील परीक्षण किए गए, जिनसे पाया गया कि वे कई प्राकृतिक भाषा के भिन्न संरचनाओं को देखकर "द्विदिशीय" प्रथम-क्रम वाक्य से अधिक "ब्रांचिंग -क्वांटिफायर्स" वाक्यों को विकल्पित करने से अधिक प्रवृत होते हैं, जो हिंटिक्का वाक्य से प्राप्त होते हैं। उदाहरण के लिए, छात्रों को निर्देशित द्विपक्षीय अविमुखी आरेख दिखाए गए - और पूछा गया कि क्या 3 से अधिक वृत्त और 3 से अधिक वर्ग रेखाओं से जुड़े हुए हैं, वाक्य आरेख को सही ढंग से वर्णन कर रहे थे।<ref name="Amsterdam"/>




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* [[खेल शब्दार्थ]]
* [[खेल शब्दार्थ]]
* [[निर्भरता तर्क]]
* [[निर्भरता तर्क]]
* स्वतंत्रता-अनुकूल तर्क (आईएफ तर्क)
* स्वतंत्रता-अनुकूल तर्क  
* [[मोस्टोव्स्की क्वांटिफ़ायर]]
* [[मोस्टोव्स्की क्वांटिफ़ायर]]
* लिंडस्ट्रॉम क्वांटिफ़ायर
* लिंडस्ट्रॉम क्वांटिफ़ायर
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==बाहरी संबंध==
==बाहरी संबंध==
* [https://web.archive.org/web/20070930235518/http://planetmath.org/encyclopedia/Branching.html Game-theoretical quantifier] at PlanetMath.
* [https://web.archive.org/web/20070930235518/http://planetmath.org/encyclopedia/Branching.html Game-theoretical quantifier] at PlanetMath.
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Latest revision as of 14:06, 28 July 2023

तर्कशास्त्र में, ब्रांचिंग क्वांटिफायर, जिसे हेंकिन क्वांटिफायर, सीमित आंशिक क्रमबद्ध क्वांटिफायर या गैर-रैखिक क्वांटिफायर भी कहा जाता है[1], एक आंशिक क्रमबद्धता है। इसका उपयोग करके वाक्यांशों को व्यक्त किया जाता है जिनमें किसी भी सामान्य क्वांटिफायर के साथ व्यक्त नहीं किया जा सकता है।[2]


क्वांटिफायर Q ∈ {∀, ∃} के बारे में, यह एक विशेष स्थिति है जो जनरलाइज़्ड क्वांटिफायर का एक रूप है। शास्त्रीय तर्क में,

क्वांटिफायर प्रत्यय पूर्वावस्था एक सरल अनुक्रम में होते हैं जिसमें चर ym, क्वांटिफायर Qm द्वारा बाधित होता है, और चरों के मूल्य का निर्धारण करता है। इसका अर्थ है कि एक क्वांटिफायर के संदर्भ में बाधित चर की मान्यता पर दूसरे क्वांटिफायर के संदर्भ में बाधित चर की मान्यता प्रभावित होती है।

y1, ..., ym−1

क्वांटिफायर्स द्वारा बाधित

Qy1, ..., Qym−1

पूर्ववर्ती Qm आंशिक रूप से क्रमबद्ध क्वांटिफायर वाले तर्क में यह सामान्य स्थिति नहीं है।[3]

ब्रांचिंग क्वांटिफायर पहली बार 1959 में लियॉन हेंकिन के सम्मेलन पत्र में दिखाई दियाआंशिक रूप से क्रमबद्ध परिमाणीकरण की प्रणालियाँ पहले-क्रम तर्क और दूसरे-क्रम तर्क के मध्य की ताकत में मध्यवर्ती हैं। इन्हें हिंटिका और गेब्रियल सैंडू के स्वतंत्रता-अनुकूल तर्क के आधार के रूप में उपयोग किया जा रहा है।

परिभाषा और गुण

सबसे सरल हेनकिन क्वांटिफायर है

यह (वास्तव में हेनकिन उपसर्ग वाला प्रत्येक सूत्र, न कि केवल सबसे सरल सूत्र) इसके दूसरे क्रम के स्कोलेमाइज़ेशन के बराबर है, अर्थात

यह क्वांटिफायर को परिभाषित करने के लिए भी पर्याप्त प्रभावशाली के रूप में परिभाषित किया गया है:

इससे कई बातें सामने आती हैं, जिनमें से एक है प्रथम क्रम तर्क के साथ की गैर-अधिविधिकता (गैर-अक्सिओमेटिज़ेबिलिटी) जिसका पहली बार एहरनफ्यूच्ट द्वारा देखा गया था। [4] और द्वितीय क्रम तर्क के विशेषज्ञिका-१ -भाग के समकालिक होने के साथ जोड़ा जा सकता है[5] जिसे पहले 1970 में हरबर्ट एंडरटन और डब्लू. वॉको ने अलग-अलग प्रकाशित किया था।[2]

Q_{H} के द्वारा निम्नलिखित क्वांटिफायर्स को परिभाषित किया जा सकता है: :

  • राइकर्ट: "φs की संख्या ψs की संख्या से कम या उसके बराबर है"
  • हार्टिग: φs, ψs के साथ समसंख्यक हैं
  • चांग: "φs की संख्या प्रारूप के क्षेत्र से समानांतर है

"हेंकिन क्वांटिफायर स्वयं को एक प्रकार (4) लिंडस्ट्रम क्वांटिफायर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है"[2]

प्राकृतिक भाषाओं से संबंध

1973 में हिंटिक्का ने अपने पेपर में यह संभावना प्रस्तुत की थी कि कुछ प्राकृतिक भाषाओं में कुछ वाक्य को ब्रांचिंग क्वांटिफायर्स के तर्क में सर्वोत्तम रूप से समझा जा सकता है।[6], उदाहरण के लिए: "प्रत्येक ग्रामीण के कुछ रिश्तेदार और प्रत्येक शहरवासी के कुछ रिश्तेदार एक दूसरे से घृणा करते हैं", हिंटिका के अनुसार, इसकी व्याख्या इस प्रकार की जानी चाहिए:[7][8]

यह ज्ञात है कि इसका कोई प्रथम-क्रम तर्क समतुल्य नहीं है[6]

1979 में जॉन बारवाइज ने एक पेपर में संभाव्य भाषा के वाक्यों के लिए ब्रांचिंग की विभिन्न अवधारणाएँ प्रस्तावित कीं। उन्होंने हिंटिक्का के वाक्यों के अभिविकल्प प्रस्तावित किए, जिनमें आंतरिक क्वांटिफायर्स भी उन्हीं क्वांटिफायर्स के विभिन्न रूपों का प्रयोग करते हैं।[9][6]

बार्वाइस ने ध्यान देकर देखा कि प्रतिवाद के अंतर्गत बंद नहीं होता है। इसे देखते हुए उन्होंने एक व्यावहारिक परीक्षण भी प्रस्तावित किया कि क्या प्राकृतिक भाषा के वाक्यांश वास्तव में ब्रांचिंग क्वांटिफायर्स को सम्मिलित करते हैं, इस परीक्षण के अंतर्गत उन्होंने वाक्यों के प्राकृतिक-भाषा नकारात्मक का जांच किया, जो एक समुच्चय चर के उपर सर्वसम्भवित क्वांटिफायर का सम्मिलित करता हो[10]

हिंटिका के प्रस्ताव को कई तर्कशास्त्रियों ने संदेह के साथ स्वीकार किया क्योंकि नीचे दिए गए जैसे कुछ प्रथम-क्रम वाक्य प्राकृतिक भाषा हिंटिका वाक्यांश को पर्याप्त रूप से प्रस्तुत करने लगे हैं।

जहाँ

अर्थ है

पूरी तरह से सिद्धांतिक विवाद के पश्चात, 2009 में तर्कशास्त्र में, में प्रशिक्षित छात्रों के साथ कुछ अनुभवशील परीक्षण किए गए, जिनसे पाया गया कि वे कई प्राकृतिक भाषा के भिन्न संरचनाओं को देखकर "द्विदिशीय" प्रथम-क्रम वाक्य से अधिक "ब्रांचिंग -क्वांटिफायर्स" वाक्यों को विकल्पित करने से अधिक प्रवृत होते हैं, जो हिंटिक्का वाक्य से प्राप्त होते हैं। उदाहरण के लिए, छात्रों को निर्देशित द्विपक्षीय अविमुखी आरेख दिखाए गए - और पूछा गया कि क्या 3 से अधिक वृत्त और 3 से अधिक वर्ग रेखाओं से जुड़े हुए हैं, वाक्य आरेख को सही ढंग से वर्णन कर रहे थे।[6]


यह भी देखें

संदर्भ

  1. ↑ Stanley Peters; Dag Westerståhl (2006). भाषा और तर्क में परिमाणक. Clarendon Press. pp. 66–72. ISBN 978-0-19-929125-0.
  2. ↑ 2.0 2.1 2.2 Antonio Badia (2009). Quantifiers in Action: Generalized Quantification in Query, Logical and Natural Languages. Springer. p. 74–76. ISBN 978-0-387-09563-9.
  3. ↑ Henkin, L. "Some Remarks on Infinitely Long Formulas". Infinitistic Methods: Proceedings of the Symposium on Foundations of Mathematics, Warsaw, 2–9 September 1959, Panstwowe Wydawnictwo Naukowe and Pergamon Press, Warsaw, 1961, pp. 167–183. OCLC 2277863
  4. ↑ Blass, A.; Gurevich, Y. (1986). "हेनकिन क्वांटिफायर और संपूर्ण समस्याएं" (PDF). Annals of Pure and Applied Logic. 32: 1–16. doi:10.1016/0168-0072(86)90040-0. hdl:2027.42/26312. citing W. Walkoe, Finite partially-ordered quantification, Journal of Symbolic Logic 35 (1970) 535–555. JSTOR 2271440
  5. ↑ Jaakko Hintikka and Gabriel Sandu, "Game-theoretical semantics", in Handbook of logic and language, ed. J. van Benthem and A. ter Meulen, Elsevier 2011 (2nd ed.) citing Enderton, H.B., 1970. Finite partially-ordered quantifiers. Z. Math. Logik Grundlag. Math. 16, 393–397 doi:10.1002/malq.19700160802.
  6. ↑ 6.0 6.1 6.2 6.3 Gierasimczuk, N.; Szymanik, J. (2009). "शाखा परिमाणीकरण बनाम दोतरफा परिमाणीकरण" (PDF). Journal of Semantics. 26 (4): 367. doi:10.1093/jos/ffp008.
  7. ↑ Sher, G. (1990). "परिमाणकों को शाखाबद्ध करने के तरीके" (PDF). Linguistics and Philosophy. 13 (4): 393–422. doi:10.1007/BF00630749. S2CID 61362436.
  8. ↑ Hintikka, J. (1973). "परिमाणक बनाम परिमाणीकरण सिद्धांत". Dialectica. 27 (3–4): 329–358. doi:10.1111/j.1746-8361.1973.tb00624.x.
  9. ↑ Barwise, J. (1979). "अंग्रेजी में ब्रांचिंग क्वांटिफायर पर". Journal of Philosophical Logic. 8: 47–80. doi:10.1007/BF00258419. S2CID 31950692.
  10. ↑ Hand, Michael (1998). "Reviewed work: On Branching Quantifiers in English, Jon Barwise; Branching Generalized Quantifiers and Natural Language. Generalized Quantifiers, Linguistic and Logical Approaches, Dag Westerståhl, Peter Gärdenfors; Ways of Branching Quantifiers, Gila Sher". The Journal of Symbolic Logic. 63 (4): 1611–1614. doi:10.2307/2586678. JSTOR 2586678. S2CID 117833401.


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