डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु: Difference between revisions
From Vigyanwiki
No edit summary |
No edit summary |
||
| Line 1: | Line 1: | ||
{{short description|Orthocenter of a triangle's anticomplementary triangle}} | {{short description|Orthocenter of a triangle's anticomplementary triangle}} | ||
[[File:De Longchamps point.svg|thumb|360px| | [[File:De Longchamps point.svg|thumb|360px|त्रिभुज {{math|△''ABC''}} का डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु {{mvar|L}}, परिकेंद्र {{mvar|O}} के बारे में लंबकेंद्र {{mvar|H}} के प्रतिबिंब के रूप में या प्रतिपूरक त्रिभुज {{math|△''A'B'C' ''}}के लंबकेंद्र के रूप में निर्मित होता है।]][[ज्यामिति]] में, त्रिभुज का डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु एक त्रिभुज केंद्र होता है जिसका नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ [[गैस्टन अल्बर्ट गोहिएरे डी लॉन्गचैम्प्स]] के नाम पर रखा गया था है। यह परिकेंद्र के बारे में त्रिभुज के लंबकेंद्र का [[बिंदु प्रतिबिंब]] होता है।<ref name="etc">{{citation | ||
| last = Kimberling | first = Clark | author-link = Clark Kimberling | | last = Kimberling | first = Clark | author-link = Clark Kimberling | ||
| contribution = X(20) = de Longchamps point | | contribution = X(20) = de Longchamps point | ||
| Line 8: | Line 8: | ||
== परिभाषा == | == परिभाषा == | ||
माना कि दिए गए त्रिभुज में | माना कि दिए गए त्रिभुज में <math>A</math>, <math>B</math>, और <math>C</math> शीर्ष होता हैं जो संबंधित पक्षों <math>a</math>, <math>b</math>, और <math>c</math> के विपरीत होता है जैसा कि त्रिभुज ज्यामिति में मानक संकेतन होता है। 1886 के पेपर में जिसमें उन्होंने इस बिंदु को प्रस्तुत किया था, डी लॉन्गचैम्प्स ने प्रारम्भ में इसे एक वृत्त के केंद्र <math>\Delta</math> के रूप में परिभाषित किया था तीन वृत्तों के लिए ओर्थोगोनल <math>\Delta_a</math>, <math>\Delta_b</math>, और <math>\Delta_c</math>, कहाँ <math>\Delta_a</math> पर केन्द्रित होता है <math>A</math> त्रिज्या के साथ <math>a</math> और अन्य दो वृत्त सममित रूप से परिभाषित होता हैं। इस प्रकार डी लॉन्गचैम्प्स ने तब यह भी दिखाया कि वही बिंदु, जिसे अब डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु के रूप में जाना जाता है, को समान रूप से एंटीकॉम्प्लिमेंटरी त्रिकोण <math>ABC</math> के ऑर्थोकेंद्र के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, और यह कि यह <math>ABC</math> के ऑर्थोकेंद्र का प्रतिबिंब होता है जो परिधि के चारों ओर स्थित होता है।<ref>{{citation|last=de Longchamps|first=G.|title=Sur un nouveau cercle remarquable du plan du triangle|journal=Journal de Mathématiques spéciales|language=French|year=1886|pages=57–60|url=https://archive.org/details/journaldemathma24unkngoog|series=2. Sér.|volume=5}}. See especially section 4, "détermination du centre de Δ", pp. 58–59.</ref> | ||
एक त्रिभुज का स्टीनर वृत्त नौ-बिंदु वृत्त के साथ संकेंद्रित होता है और इसकी त्रिज्या त्रिभुज की परित्रिज्या 3/2 होती है; डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु [[स्टेनर सर्कल]] और परिवृत्त का [[समरूप केंद्र]] | |||
एक त्रिभुज का स्टीनर वृत्त नौ-बिंदु वृत्त के साथ संकेंद्रित होता है और इसकी त्रिज्या त्रिभुज की परित्रिज्या 3/2 होती है; डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु [[स्टेनर सर्कल]] और परिवृत्त का [[समरूप केंद्र]] होताहै।<ref name="vandeghen" /> | |||
== अतिरिक्त गुण == | == अतिरिक्त गुण == | ||
परिधि के चारों ओर | परिधि के चारों ओर ऑर्थोकेंद्र के प्रतिबिंब के रूप में, डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु इन दोनों बिंदुओं के माध्यम से रेखा से संबंधित होता है, जो दिए गए त्रिकोण की यूलर रेखा होती है। इस प्रकार, यह यूलर रेखा पर अन्य सभी त्रिभुज केंद्रों के साथ संरेख होती है, जिसमें ऑर्थोकेंद्र और परिधि के साथ-साथ केंद्रक और नौ-बिंदु वृत्त का केंद्र भी सम्मिलित होता है।<ref name="etc"/><ref name="vandeghen">{{citation | ||
| last = Vandeghen | first = A. | | last = Vandeghen | first = A. | ||
| doi = 10.2307/2311750 | | doi = 10.2307/2311750 | ||
| Line 32: | Line 33: | ||
| year = 1995| doi-access = free | | year = 1995| doi-access = free | ||
}}. See in particular Section 5, "Six notable points on the Euler line", pp. 380–383.</ref> | }}. See in particular Section 5, "Six notable points on the Euler line", pp. 380–383.</ref> | ||
डी लॉन्गचैम्प बिंदु भी एक अलग रेखा के साथ, इसके त्रिभुज के अंतःकेंद्र और गेर्गोन बिंदु के साथ संरेख है।<ref name="etc"/><ref name="4fold">{{citation | |||
डी लॉन्गचैम्प बिंदु भी एक अलग रेखा के साथ, इसके त्रिभुज के अंतःकेंद्र और गेर्गोन बिंदु के साथ संरेख होते है।<ref name="etc" /><ref name="4fold">{{citation | |||
| last = Longuet-Higgins | first = Michael | authorlink = Michael S. Longuet-Higgins | | last = Longuet-Higgins | first = Michael | authorlink = Michael S. Longuet-Higgins | ||
| doi = 10.1007/BF03024448 | | doi = 10.1007/BF03024448 | ||
| Line 41: | Line 43: | ||
| title = A fourfold point of concurrence lying on the Euler line of a triangle | | title = A fourfold point of concurrence lying on the Euler line of a triangle | ||
| volume = 22 | | volume = 22 | ||
| year = 2000| s2cid = 123022896 }}.</ref> तीन वृत्त | | year = 2000| s2cid = 123022896 }}.</ref> तीन वृत्त <math>A</math>, <math>B</math>, और <math>C</math> केन्द्रित होती हैं त्रिज्या के साथ <math>s-a</math>, <math>s-b</math>, और <math>s-c</math> क्रमशः (कहां <math>s</math> अर्धपरिधि है) परस्पर स्पर्शरेखा होती हैं, और उन तीनों के स्पर्शरेखा वाले दो और वृत्त होते हैं, आंतरिक और बाहरी सॉडी वृत्त; इन दोनों वृत्तों के केंद्र भी डी लॉन्गचैम्प बिंदु और अंतःकेन्द्र के साथ एक ही रेखा पर स्थित होते हैं।<ref name="etc" /><ref name="vandeghen" />डी लॉन्गचैम्प बिंदु यूलर रेखा के साथ इस रेखा की सहमति का बिंदु होता है, और तीन अन्य रेखाओं को केंद्र के माध्यम से रेखा के समान विधि से परिभाषित किया जाता है, लेकिन इसके अतिरिक्त त्रिकोण के तीन [[एक्सेंटर|एक्केंद्र]] का उपयोग किया जाता है।<ref name="vandeghen" /><ref name="4fold" /> | ||
[[डार्बौक्स क्यूबिक]] को डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु से बिंदुओं के स्थान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है <math>X</math> ऐसा है कि <math>X</math>, का [[आइसोगोनल संयुग्म]] <math>X</math>, और डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु संरेख हैं। यह त्रिभुज का एकमात्र घन वक्र है जो समकोणीय रूप से स्व-संयुग्मित और केंद्रीय रूप से सममित | [[डार्बौक्स क्यूबिक]] को डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु से बिंदुओं के स्थान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है <math>X</math> ऐसा है कि <math>X</math>, का [[आइसोगोनल संयुग्म]] <math>X</math> होता है, और डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु संरेख होता हैं। यह त्रिभुज का एकमात्र घन वक्र होता है जो समकोणीय रूप से स्व-संयुग्मित और केंद्रीय रूप से सममित होता है; इसकी समरूपता का केंद्र त्रिभुज का परिकेंद्र होता है।<ref>{{citation|title=K004 Darboux cubic = pK(X6,X20)|work=Cubics in the Triangle Plane|first=Bernard|last=Gibert|access-date=2012-09-06|url=http://bernard.gibert.pagesperso-orange.fr/Exemples/k004.html}}.</ref> डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु स्वयं इस वक्र पर स्थित है, जैसा कि इसका प्रतिबिंब ऑर्थोकेंद्र पर होता है।<ref name="etc" /> | ||
== संदर्भ == | == संदर्भ == | ||
Revision as of 01:11, 24 July 2023
ज्यामिति में, त्रिभुज का डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु एक त्रिभुज केंद्र होता है जिसका नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ गैस्टन अल्बर्ट गोहिएरे डी लॉन्गचैम्प्स के नाम पर रखा गया था है। यह परिकेंद्र के बारे में त्रिभुज के लंबकेंद्र का बिंदु प्रतिबिंब होता है।[1]
परिभाषा
माना कि दिए गए त्रिभुज में , , और शीर्ष होता हैं जो संबंधित पक्षों , , और के विपरीत होता है जैसा कि त्रिभुज ज्यामिति में मानक संकेतन होता है। 1886 के पेपर में जिसमें उन्होंने इस बिंदु को प्रस्तुत किया था, डी लॉन्गचैम्प्स ने प्रारम्भ में इसे एक वृत्त के केंद्र के रूप में परिभाषित किया था तीन वृत्तों के लिए ओर्थोगोनल , , और , कहाँ पर केन्द्रित होता है त्रिज्या के साथ और अन्य दो वृत्त सममित रूप से परिभाषित होता हैं। इस प्रकार डी लॉन्गचैम्प्स ने तब यह भी दिखाया कि वही बिंदु, जिसे अब डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु के रूप में जाना जाता है, को समान रूप से एंटीकॉम्प्लिमेंटरी त्रिकोण के ऑर्थोकेंद्र के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, और यह कि यह के ऑर्थोकेंद्र का प्रतिबिंब होता है जो परिधि के चारों ओर स्थित होता है।[2]
एक त्रिभुज का स्टीनर वृत्त नौ-बिंदु वृत्त के साथ संकेंद्रित होता है और इसकी त्रिज्या त्रिभुज की परित्रिज्या 3/2 होती है; डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु स्टेनर सर्कल और परिवृत्त का समरूप केंद्र होताहै।[3]
अतिरिक्त गुण
परिधि के चारों ओर ऑर्थोकेंद्र के प्रतिबिंब के रूप में, डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु इन दोनों बिंदुओं के माध्यम से रेखा से संबंधित होता है, जो दिए गए त्रिकोण की यूलर रेखा होती है। इस प्रकार, यह यूलर रेखा पर अन्य सभी त्रिभुज केंद्रों के साथ संरेख होती है, जिसमें ऑर्थोकेंद्र और परिधि के साथ-साथ केंद्रक और नौ-बिंदु वृत्त का केंद्र भी सम्मिलित होता है।[1][3][4]
डी लॉन्गचैम्प बिंदु भी एक अलग रेखा के साथ, इसके त्रिभुज के अंतःकेंद्र और गेर्गोन बिंदु के साथ संरेख होते है।[1][5] तीन वृत्त , , और केन्द्रित होती हैं त्रिज्या के साथ , , और क्रमशः (कहां अर्धपरिधि है) परस्पर स्पर्शरेखा होती हैं, और उन तीनों के स्पर्शरेखा वाले दो और वृत्त होते हैं, आंतरिक और बाहरी सॉडी वृत्त; इन दोनों वृत्तों के केंद्र भी डी लॉन्गचैम्प बिंदु और अंतःकेन्द्र के साथ एक ही रेखा पर स्थित होते हैं।[1][3]डी लॉन्गचैम्प बिंदु यूलर रेखा के साथ इस रेखा की सहमति का बिंदु होता है, और तीन अन्य रेखाओं को केंद्र के माध्यम से रेखा के समान विधि से परिभाषित किया जाता है, लेकिन इसके अतिरिक्त त्रिकोण के तीन एक्केंद्र का उपयोग किया जाता है।[3][5]
डार्बौक्स क्यूबिक को डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु से बिंदुओं के स्थान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है ऐसा है कि , का आइसोगोनल संयुग्म होता है, और डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु संरेख होता हैं। यह त्रिभुज का एकमात्र घन वक्र होता है जो समकोणीय रूप से स्व-संयुग्मित और केंद्रीय रूप से सममित होता है; इसकी समरूपता का केंद्र त्रिभुज का परिकेंद्र होता है।[6] डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु स्वयं इस वक्र पर स्थित है, जैसा कि इसका प्रतिबिंब ऑर्थोकेंद्र पर होता है।[1]
संदर्भ
- ↑ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 Kimberling, Clark, "X(20) = de Longchamps point", Encyclopedia of Triangle Centers.
- ↑ de Longchamps, G. (1886), "Sur un nouveau cercle remarquable du plan du triangle", Journal de Mathématiques spéciales, 2. Sér. (in French), 5: 57–60
{{citation}}: CS1 maint: unrecognized language (link). See especially section 4, "détermination du centre de Δ", pp. 58–59. - ↑ 3.0 3.1 3.2 3.3 Vandeghen, A. (1964), "Mathematical Notes: Soddy's Circles and the De Longchamps Point of a Triangle", The American Mathematical Monthly, 71 (2): 176–179, doi:10.2307/2311750, JSTOR 2311750, MR 1532529.
- ↑ Coxeter, H. S. M. (1995), "Some applications of trilinear coordinates", Linear Algebra and Its Applications, 226/228: 375–388, doi:10.1016/0024-3795(95)00169-R, MR 1344576. See in particular Section 5, "Six notable points on the Euler line", pp. 380–383.
- ↑ 5.0 5.1 Longuet-Higgins, Michael (2000), "A fourfold point of concurrence lying on the Euler line of a triangle", The Mathematical Intelligencer, 22 (1): 54–59, doi:10.1007/BF03024448, MR 1745563, S2CID 123022896.
- ↑ Gibert, Bernard, "K004 Darboux cubic = pK(X6,X20)", Cubics in the Triangle Plane, retrieved 2012-09-06.
