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[[File:Slope Field.png|thumb|right|250px|का ढलान क्षेत्र <math>\frac{dy}{dx}=x^{2}-x-2</math>, नीली, लाल और फ़िरोज़ा रेखाओं के साथ <math>\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}-2x+4</math>, <math>\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}-2x</math>, और <math>\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}-2x-4</math>, क्रमश।]]ढलान वाले क्षेत्र (जिन्हें दिशा क्षेत्र भी कहा जाता है<ref>{{cite book |last1=Boyce |first1=William |title=प्राथमिक अंतर समीकरण और सीमा मूल्य समस्याएं|date=2001 |publisher=Wiley |isbn=9780471319993 |page=3 |edition=7}}</ref>) प्रथम-क्रम विभेदक समीकरण के समाधानों का | [[File:Slope Field.png|thumb|right|250px|का ढलान क्षेत्र <math>\frac{dy}{dx}=x^{2}-x-2</math>, नीली, लाल और फ़िरोज़ा रेखाओं के साथ <math>\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}-2x+4</math>, <math>\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}-2x</math>, और <math>\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}-2x-4</math>, क्रमश।]]ढलान वाले क्षेत्र (जिन्हें दिशा क्षेत्र भी कहा जाता है<ref>{{cite book |last1=Boyce |first1=William |title=प्राथमिक अंतर समीकरण और सीमा मूल्य समस्याएं|date=2001 |publisher=Wiley |isbn=9780471319993 |page=3 |edition=7}}</ref>) प्रथम-क्रम विभेदक समीकरण के समाधानों का चित्रमय प्रतिनिधित्व है<ref>{{cite book|author=Vladimir A. Dobrushkin|title=Applied Differential Equations: The Primary Course|url=https://books.google.com/books?id=d-5MBgAAQBAJ&pg=PA13|year=2014|publisher=CRC Press|isbn=978-1-4987-2835-5|page=13}}</ref> अदिश फलन का. ढलान क्षेत्र के समाधान ठोस वक्रों के रूप में खींचे गए कार्य हैं। ढलान क्षेत्र x-y विमान पर कुछ ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज अंतराल पर अंतर समीकरण की ढलान दिखाता है, और इसका उपयोग वक्र पर बिंदु पर अनुमानित स्पर्शरेखा ढलान को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है, जहां वक्र अंतर समीकरण का कुछ समाधान है। | ||
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जिसकी व्याख्या ज्यामितीय रूप से बिंदु निर्देशांक के | जिसकी व्याख्या ज्यामितीय रूप से बिंदु निर्देशांक के फ़ंक्शन के रूप में प्रत्येक बिंदु (x, y) पर अंतर समीकरण के समाधान ([[अभिन्न वक्र]]) के फ़ंक्शन के ग्राफ़ को [[स्पर्शरेखा]] का [[ढलान]] देने के रूप में की जा सकती है।<ref>{{cite book|author1=Andrei D. Polyanin|author2=Alexander V. Manzhirov|title=इंजीनियरों और वैज्ञानिकों के लिए गणित की पुस्तिका|url=https://books.google.com/books?id=ge6nk9W0BCcC&pg=PA453|year=2006|publisher=CRC Press|isbn=978-1-58488-502-3|page=453}}</ref> | ||
इसे दो वास्तविक चरों के वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन को प्लॉट करने के रचनात्मक तरीके के रूप में देखा जा सकता है <math>f(x,y)</math> | इसे दो वास्तविक चरों के वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन को प्लॉट करने के रचनात्मक तरीके के रूप में देखा जा सकता है <math>f(x,y)</math> समतल चित्र के रूप में। विशेष रूप से, किसी दिए गए जोड़े के लिए <math>x,y</math>, घटकों के साथ वेक्टर <math>[1, f(x,y)]</math> बिंदु पर खींचा गया है <math>x,y</math> पर <math>x,y</math>-विमान। कभी-कभी, वेक्टर <math>[1, f(x,y)]</math> मानवीय आँख की तलाश में कथानक को बेहतर बनाने के लिए इसे सामान्यीकृत किया गया है। जोड़ियों का सेट <math>x,y</math> आयताकार ग्रिड बनाने का उपयोग आम तौर पर ड्राइंग के लिए किया जाता है। | ||
एक [[आइसोक्लाइन]] (समान ढलान वाली रेखाओं की | एक [[आइसोक्लाइन]] (समान ढलान वाली रेखाओं की श्रृंखला) का उपयोग अक्सर ढलान क्षेत्र को पूरक करने के लिए किया जाता है। प्रपत्र के समीकरण में <math>y'=f(x,y)</math>, आइसोक्लाइन रेखा है <math>x,y</math>-प्लेन सेटिंग द्वारा प्राप्त किया गया <math>f(x,y)</math> स्थिरांक के बराबर. | ||
===विभेदक समीकरणों की प्रणाली का सामान्य मामला=== | ===विभेदक समीकरणों की प्रणाली का सामान्य मामला=== | ||
विभेदक समीकरणों की | विभेदक समीकरणों की प्रणाली को देखते हुए, | ||
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\frac{dx_1}{dt}&=f_1(t, x_1, x_2, \ldots, x_n) \\ | \frac{dx_1}{dt}&=f_1(t, x_1, x_2, \ldots, x_n) \\ | ||
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ढलान फ़ील्ड [[चरण स्थान]] में ढलान चिह्नों की | ढलान फ़ील्ड [[चरण स्थान]] में ढलान चिह्नों की सरणी है (प्रासंगिक चर की संख्या के आधार पर किसी भी संख्या में आयामों में; उदाहरण के लिए, प्रथम-क्रम रैखिक [[साधारण अंतर समीकरण]] के मामले में दो, जैसा कि दाईं ओर देखा गया है)। प्रत्येक ढलान चिह्न बिंदु पर केन्द्रित होता है <math>(t,x_1,x_2,\ldots,x_n)</math> और वेक्टर के समानांतर है | ||
:<math>\begin{pmatrix} 1 \\ f_1(t,x_1,x_2,\ldots,x_n) \\ f_2(t,x_1,x_2,\ldots,x_n) \\ \vdots \\ f_n(t,x_1,x_2,\ldots,x_n) \end{pmatrix}.</math> | :<math>\begin{pmatrix} 1 \\ f_1(t,x_1,x_2,\ldots,x_n) \\ f_2(t,x_1,x_2,\ldots,x_n) \\ \vdots \\ f_n(t,x_1,x_2,\ldots,x_n) \end{pmatrix}.</math> | ||
ढलान के निशानों की संख्या, स्थिति और लंबाई मनमानी हो सकती है। पदों को आमतौर पर ऐसे चुना जाता है कि अंक <math>(t,x_1,x_2,\ldots,x_n)</math> | ढलान के निशानों की संख्या, स्थिति और लंबाई मनमानी हो सकती है। पदों को आमतौर पर ऐसे चुना जाता है कि अंक <math>(t,x_1,x_2,\ldots,x_n)</math> समान ग्रिड बनाएं. ऊपर वर्णित मानक मामला दर्शाता है <math>n=1</math>. विभेदक समीकरणों की प्रणालियों के लिए ढलान क्षेत्र के सामान्य मामले की कल्पना करना आसान नहीं है <math>n>2</math>. | ||
==सामान्य आवेदन== | ==सामान्य आवेदन== | ||
कंप्यूटर के साथ, जटिल ढलान वाले क्षेत्रों को बिना किसी परेशानी के जल्दी से बनाया जा सकता है, और इसलिए हाल ही में व्यावहारिक अनुप्रयोग उनका उपयोग केवल यह महसूस करने के लिए करना है कि | कंप्यूटर के साथ, जटिल ढलान वाले क्षेत्रों को बिना किसी परेशानी के जल्दी से बनाया जा सकता है, और इसलिए हाल ही में व्यावहारिक अनुप्रयोग उनका उपयोग केवल यह महसूस करने के लिए करना है कि स्पष्ट सामान्य समाधान की मांग करने से पहले समाधान क्या होना चाहिए। निःसंदेह, कंप्यूटर भी केवल समस्या का समाधान कर सकता है, यदि वह अस्तित्व में है। | ||
यदि कोई स्पष्ट सामान्य समाधान नहीं है, तो कंप्यूटर ग्राफिकल समाधानों को संख्यात्मक रूप से खोजने के लिए ढलान फ़ील्ड (भले ही वे दिखाए नहीं गए हों) का उपयोग कर सकते हैं। ऐसी दिनचर्या के उदाहरण यूलर की विधि, या बेहतर, रनगे-कुट्टा विधियां हैं। | यदि कोई स्पष्ट सामान्य समाधान नहीं है, तो कंप्यूटर ग्राफिकल समाधानों को संख्यात्मक रूप से खोजने के लिए ढलान फ़ील्ड (भले ही वे दिखाए नहीं गए हों) का उपयोग कर सकते हैं। ऐसी दिनचर्या के उदाहरण यूलर की विधि, या बेहतर, रनगे-कुट्टा विधियां हैं। | ||
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/* y'=xy के लिए फ़ील्ड (एक अभिन्न वक्र प्राप्त करने के लिए | /* y'=xy के लिए फ़ील्ड (एक अभिन्न वक्र प्राप्त करने के लिए बिंदु पर क्लिक करें)। प्लॉटडीएफ को एक्समैक्सिमा की आवश्यकता है */ | ||
प्लॉटडीएफ(x*y, [x,-2,2], [y,-2,2]); | प्लॉटडीएफ(x*y, [x,-2,2], [y,-2,2]); | ||
Revision as of 17:21, 25 July 2023
ढलान वाले क्षेत्र (जिन्हें दिशा क्षेत्र भी कहा जाता है[1]) प्रथम-क्रम विभेदक समीकरण के समाधानों का चित्रमय प्रतिनिधित्व है[2] अदिश फलन का. ढलान क्षेत्र के समाधान ठोस वक्रों के रूप में खींचे गए कार्य हैं। ढलान क्षेत्र x-y विमान पर कुछ ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज अंतराल पर अंतर समीकरण की ढलान दिखाता है, और इसका उपयोग वक्र पर बिंदु पर अनुमानित स्पर्शरेखा ढलान को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है, जहां वक्र अंतर समीकरण का कुछ समाधान है।
परिभाषा
मानक मामला
ढलान क्षेत्र को निम्नलिखित प्रकार के अंतर समीकरणों के लिए परिभाषित किया जा सकता है
जिसकी व्याख्या ज्यामितीय रूप से बिंदु निर्देशांक के फ़ंक्शन के रूप में प्रत्येक बिंदु (x, y) पर अंतर समीकरण के समाधान (अभिन्न वक्र) के फ़ंक्शन के ग्राफ़ को स्पर्शरेखा का ढलान देने के रूप में की जा सकती है।[3] इसे दो वास्तविक चरों के वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन को प्लॉट करने के रचनात्मक तरीके के रूप में देखा जा सकता है समतल चित्र के रूप में। विशेष रूप से, किसी दिए गए जोड़े के लिए , घटकों के साथ वेक्टर बिंदु पर खींचा गया है पर -विमान। कभी-कभी, वेक्टर मानवीय आँख की तलाश में कथानक को बेहतर बनाने के लिए इसे सामान्यीकृत किया गया है। जोड़ियों का सेट आयताकार ग्रिड बनाने का उपयोग आम तौर पर ड्राइंग के लिए किया जाता है।
एक आइसोक्लाइन (समान ढलान वाली रेखाओं की श्रृंखला) का उपयोग अक्सर ढलान क्षेत्र को पूरक करने के लिए किया जाता है। प्रपत्र के समीकरण में , आइसोक्लाइन रेखा है -प्लेन सेटिंग द्वारा प्राप्त किया गया स्थिरांक के बराबर.
विभेदक समीकरणों की प्रणाली का सामान्य मामला
विभेदक समीकरणों की प्रणाली को देखते हुए,
ढलान फ़ील्ड चरण स्थान में ढलान चिह्नों की सरणी है (प्रासंगिक चर की संख्या के आधार पर किसी भी संख्या में आयामों में; उदाहरण के लिए, प्रथम-क्रम रैखिक साधारण अंतर समीकरण के मामले में दो, जैसा कि दाईं ओर देखा गया है)। प्रत्येक ढलान चिह्न बिंदु पर केन्द्रित होता है और वेक्टर के समानांतर है
ढलान के निशानों की संख्या, स्थिति और लंबाई मनमानी हो सकती है। पदों को आमतौर पर ऐसे चुना जाता है कि अंक समान ग्रिड बनाएं. ऊपर वर्णित मानक मामला दर्शाता है . विभेदक समीकरणों की प्रणालियों के लिए ढलान क्षेत्र के सामान्य मामले की कल्पना करना आसान नहीं है .
सामान्य आवेदन
कंप्यूटर के साथ, जटिल ढलान वाले क्षेत्रों को बिना किसी परेशानी के जल्दी से बनाया जा सकता है, और इसलिए हाल ही में व्यावहारिक अनुप्रयोग उनका उपयोग केवल यह महसूस करने के लिए करना है कि स्पष्ट सामान्य समाधान की मांग करने से पहले समाधान क्या होना चाहिए। निःसंदेह, कंप्यूटर भी केवल समस्या का समाधान कर सकता है, यदि वह अस्तित्व में है।
यदि कोई स्पष्ट सामान्य समाधान नहीं है, तो कंप्यूटर ग्राफिकल समाधानों को संख्यात्मक रूप से खोजने के लिए ढलान फ़ील्ड (भले ही वे दिखाए नहीं गए हों) का उपयोग कर सकते हैं। ऐसी दिनचर्या के उदाहरण यूलर की विधि, या बेहतर, रनगे-कुट्टा विधियां हैं।
ढलान क्षेत्रों की साजिश रचने के लिए सॉफ्टवेयर
विभिन्न सॉफ्टवेयर पैकेज ढलान वाले क्षेत्रों को प्लॉट कर सकते हैं।
GNU ऑक्टेव/MATLAB में दिशा फ़ील्ड कोड
funn = @(x, y)y-x; % function f(x, y) = y-x
[x, y] = meshgrid(-5:0.5:5); % intervals for x and y
slopes = funn(x, y); % matrix of slope values
dy = slopes ./ sqrt(1 + slopes.^2); % normalize the line element...
dx = ones(length(dy)) ./ sqrt(1 + slopes.^2); % ...magnitudes for dy and dx
h = quiver(x, y, dx, dy, 0.5); % plot the direction field
set(h, "maxheadsize", 0.1); % alter head size
मैक्सिमा (सॉफ्टवेयर) के लिए उदाहरण कोड
/* y'=xy के लिए फ़ील्ड (एक अभिन्न वक्र प्राप्त करने के लिए बिंदु पर क्लिक करें)। प्लॉटडीएफ को एक्समैक्सिमा की आवश्यकता है */ प्लॉटडीएफ(x*y, [x,-2,2], [y,-2,2]);
गणित के लिए उदाहरण कोड
(* field for y'=xy *)
VectorPlot[{1,x*y-5x},{x,-2,2},{y,-2,2}]
सेजमैथ के लिए उदाहरण कोड[4]
var('x,y')
plot_slope_field(x*y, (x,-2,2), (y,-2,2))
उदाहरण
<गैलरी कैप्शन= y' = x/y > Image:Slope_field_1.svg|ढलान वाला मैदान Image:Slope_field_with_integral_curves_1.svg|अभिन्न वक्र image:Isocline_3.png|आइसोक्लाइन (नीला), ढलान क्षेत्र (काला), और कुछ समाधान वक्र (लाल) </गैलरी>
यह भी देखें
- विभेदक समीकरणों के उदाहरण
- वेक्टर फ़ील्ड
- लाप्लास परिवर्तन विभेदक समीकरणों पर लागू होता है
- गतिशील प्रणालियों और विभेदक समीकरण विषयों की सूची
- अंतर समीकरणों का गुणात्मक सिद्धांत
संदर्भ
- ↑ Boyce, William (2001). प्राथमिक अंतर समीकरण और सीमा मूल्य समस्याएं (7 ed.). Wiley. p. 3. ISBN 9780471319993.
- ↑ Vladimir A. Dobrushkin (2014). Applied Differential Equations: The Primary Course. CRC Press. p. 13. ISBN 978-1-4987-2835-5.
- ↑ Andrei D. Polyanin; Alexander V. Manzhirov (2006). इंजीनियरों और वैज्ञानिकों के लिए गणित की पुस्तिका. CRC Press. p. 453. ISBN 978-1-58488-502-3.
- ↑ "Plotting fields — Sage 9.4 Reference Manual: 2D Graphics".
- Blanchard, Paul; Devaney, Robert L.; and Hall, Glen R. (2002). Differential Equations (2nd ed.). Brooks/Cole: Thompson Learning. ISBN 0-534-38514-1
