सिम्प्लेक्स श्रेणी: Difference between revisions
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गणित में, '''सिंप्लेक्स श्रेणी''' (या | गणित में, '''सिंप्लेक्स श्रेणी''' (या सरलीकृत श्रेणी या अरिक्त परिमित क्रमसूचक श्रेणी) अरिक्त परिमित क्रमसूचकों और कोटि-संरक्षण मानचित्रों की [[श्रेणी सिद्धांत]] है। इसका उपयोग सरलीकृत और सहसरलीकृत वस्तुओं को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। | ||
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सिंप्लेक्स श्रेणी को सामान्यतः <math>\Delta</math> द्वारा दर्शाया जाता है। इस श्रेणी के कई समकक्ष विवरण हैं। <math>\Delta</math> को वस्तुओं के रूप में तथा अरिक्त परिमित अध्यादेशों की श्रेणी के रूप में वर्णित किया जा सकता है, जिसे पूरे प्रकार से | सिंप्लेक्स श्रेणी को सामान्यतः <math>\Delta</math> द्वारा दर्शाया जाता है। इस श्रेणी के कई समकक्ष विवरण हैं। <math>\Delta</math> को वस्तुओं के रूप में तथा अरिक्त परिमित अध्यादेशों की श्रेणी के रूप में वर्णित किया जा सकता है, जिसे पूरे प्रकार से कोटि समुच्चय के रूप में माना जाता है, और (गैर-निरंतर से ) कोटि-संरक्षण फलन को [[रूपवाद|आकारिता]] के रूप में माना जाता है। वस्तुओं को सामान्यतः <math> [n] = \{0, 1, \dots, n\} </math> द्वारा दर्शाया जाता है, जिससे की <math> [n] </math> क्रमसूचक <math> n+1 </math> हो, श्रेणी कोफ़ेस और कोडजेनरेसी मानचित्रों द्वारा तैयार की जाती है, जो क्रमीकरण के तत्वों को सम्मिलित करने या हटाने के समतुल्य होती है। (इन मानचित्रों के संबंधों के लिए सरल समुच्चय देख सकते है।) | ||
एक [[सरल वस्तु]] <math>\Delta</math> पर एक प्रीशीफ़ है, जो कि <math>\Delta</math> से दूसरी श्रेणी के लिए एक कॉन्ट्रावैरियंट | एक [[सरल वस्तु|सरलीकृत वस्तु]] <math>\Delta</math> पर एक प्रीशीफ़ है, जो कि <math>\Delta</math> से दूसरी श्रेणी के लिए एक कॉन्ट्रावैरियंट प्रकार्यक है। उदाहरण के लिए, सरलीकृत समुच्चय कॉन्ट्रावैरियंट होते हैं और सहप्रांत श्रेणी समुच्चय की श्रेणी होती है। यहाँ एक सहसंयोजक वस्तु को <math>\Delta</math> से उत्पन्न सहसंयोजक प्रकार्यक के समान परिभाषित किया गया है। | ||
==संवर्धित सिम्प्लेक्स श्रेणी== | ==संवर्धित सिम्प्लेक्स श्रेणी== | ||
संवर्धित सिम्प्लेक्स श्रेणी, जिसे <math>\Delta_+</math> द्वारा दर्शाया गया है, सभी परिमित क्रमसूचक और क्रम-संरक्षण मानचित्रों की श्रेणी है, इस प्रकार <math>\Delta_+=\Delta\cup [-1]</math>, जहां <math>[-1]=\emptyset</math> है। अनुसारतः, इस श्रेणी को फिनऑर्ड द्वारा भी दर्शाया जा सकता है। संवर्धित सिम्प्लेक्स श्रेणी को कभी-कभी बीजगणितज्ञों की सिम्प्लेक्स श्रेणी के रूप में जाना जाता है और उपरोक्त संस्करण को टोपोलॉजिस्ट की सिम्प्लेक्स श्रेणी कहा जाता है। | संवर्धित सिम्प्लेक्स श्रेणी, जिसे <math>\Delta_+</math> द्वारा दर्शाया गया है, सभी परिमित क्रमसूचक और क्रम-संरक्षण मानचित्रों की श्रेणी है, इस प्रकार <math>\Delta_+=\Delta\cup [-1]</math>, जहां <math>[-1]=\emptyset</math> है। अनुसारतः, इस श्रेणी को फिनऑर्ड द्वारा भी दर्शाया जा सकता है। संवर्धित सिम्प्लेक्स श्रेणी को कभी-कभी बीजगणितज्ञों की सिम्प्लेक्स श्रेणी के रूप में जाना जाता है और उपरोक्त संस्करण को टोपोलॉजिस्ट की सिम्प्लेक्स श्रेणी कहा जाता है। | ||
<math>\Delta_+</math> पर परिभाषित एक कॉन्ट्रावेरिएंट फ़ैक्टर को एक संवर्धित | <math>\Delta_+</math> पर परिभाषित एक कॉन्ट्रावेरिएंट फ़ैक्टर को एक संवर्धित सरलीकृत वस्तु कहा जाता है और <math>\Delta_+</math> में से एक सहसंयोजक प्रकार्यक को एक संवर्धित सहसरलीकृत वस्तु कहा जाता है; उदाहरण के लिए, जब सहप्रांत श्रेणी समुच्चयों की श्रेणी होती है, तो इन्हें क्रमशः संवर्धित सरलीकृत समुच्चय और संवर्धित सहसरलीकृत समुच्चय कहा जाता है। | ||
संवर्धित सिंप्लेक्स श्रेणी, इसके अतिरिक्त सिंप्लेक्स श्रेणी के विपरीत, एक प्राकृतिक [[मोनोइडल श्रेणी]] संरचना को स्वीकार करती है। मोनोइडल गुणनफल रैखिक | संवर्धित सिंप्लेक्स श्रेणी, इसके अतिरिक्त सिंप्लेक्स श्रेणी के विपरीत, एक प्राकृतिक [[मोनोइडल श्रेणी]] संरचना को स्वीकार करती है। मोनोइडल गुणनफल रैखिक कोटियों के संयोजन द्वारा दिया जाता है, और इकाई रिक्त क्रमसूचक <math>[-1]</math> है, (एक इकाई की कमी इसे <math>\Delta</math> पर एक मोनोइडल संरचना के रूप में अर्हता प्राप्त करने से रोकती है)। वास्तव में, <math>\Delta_+</math>अद्वितीय संभावित इकाई और गुणन के साथ <math>[0]</math> द्वारा दिए गए एकल [[मोनॉइड ऑब्जेक्ट|मोनॉइड वस्तुओं]] द्वारा स्वतंत्र रूप से उत्पन्न मोनोइडल श्रेणी है। यह विवरण यह समझने के लिए उपयोगी है कि मोनोइडल श्रेणी में कोई भी [[कोमोनॉइड]] वस्तु एक सरलीकृत वस्तु को कैसे उत्पन्न करती है क्योंकि इसे <math>\Delta_+^\text{op}</math> से कोमोनॉइड युक्त मोनोइडल श्रेणी तक एक फ़ैक्टर की छवि के रूप में देखा जा सकता है; संवर्द्धन को भूलकर हम एक सरलीकृत वस्तु प्राप्त करते हैं। इसी प्रकार, यह [[मोनाड (श्रेणी सिद्धांत)|मोनॉइड (श्रेणी सिद्धांत)]] (और इसलिए सहायक प्रकार्यक) से सरलीकृत वस्तुओं के निर्माण पर भी प्रकाश डालता है क्योंकि मोनॉइड को [[एंडोफंक्टर श्रेणियों]] में मोनॉइड वस्तुओं के रूप में देखा जा सकता है। | ||
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Revision as of 12:02, 26 July 2023
गणित में, सिंप्लेक्स श्रेणी (या सरलीकृत श्रेणी या अरिक्त परिमित क्रमसूचक श्रेणी) अरिक्त परिमित क्रमसूचकों और कोटि-संरक्षण मानचित्रों की श्रेणी सिद्धांत है। इसका उपयोग सरलीकृत और सहसरलीकृत वस्तुओं को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।
औपचारिक परिभाषा
सिंप्लेक्स श्रेणी को सामान्यतः द्वारा दर्शाया जाता है। इस श्रेणी के कई समकक्ष विवरण हैं। को वस्तुओं के रूप में तथा अरिक्त परिमित अध्यादेशों की श्रेणी के रूप में वर्णित किया जा सकता है, जिसे पूरे प्रकार से कोटि समुच्चय के रूप में माना जाता है, और (गैर-निरंतर से ) कोटि-संरक्षण फलन को आकारिता के रूप में माना जाता है। वस्तुओं को सामान्यतः द्वारा दर्शाया जाता है, जिससे की क्रमसूचक हो, श्रेणी कोफ़ेस और कोडजेनरेसी मानचित्रों द्वारा तैयार की जाती है, जो क्रमीकरण के तत्वों को सम्मिलित करने या हटाने के समतुल्य होती है। (इन मानचित्रों के संबंधों के लिए सरल समुच्चय देख सकते है।)
एक सरलीकृत वस्तु पर एक प्रीशीफ़ है, जो कि से दूसरी श्रेणी के लिए एक कॉन्ट्रावैरियंट प्रकार्यक है। उदाहरण के लिए, सरलीकृत समुच्चय कॉन्ट्रावैरियंट होते हैं और सहप्रांत श्रेणी समुच्चय की श्रेणी होती है। यहाँ एक सहसंयोजक वस्तु को से उत्पन्न सहसंयोजक प्रकार्यक के समान परिभाषित किया गया है।
संवर्धित सिम्प्लेक्स श्रेणी
संवर्धित सिम्प्लेक्स श्रेणी, जिसे द्वारा दर्शाया गया है, सभी परिमित क्रमसूचक और क्रम-संरक्षण मानचित्रों की श्रेणी है, इस प्रकार , जहां है। अनुसारतः, इस श्रेणी को फिनऑर्ड द्वारा भी दर्शाया जा सकता है। संवर्धित सिम्प्लेक्स श्रेणी को कभी-कभी बीजगणितज्ञों की सिम्प्लेक्स श्रेणी के रूप में जाना जाता है और उपरोक्त संस्करण को टोपोलॉजिस्ट की सिम्प्लेक्स श्रेणी कहा जाता है।
पर परिभाषित एक कॉन्ट्रावेरिएंट फ़ैक्टर को एक संवर्धित सरलीकृत वस्तु कहा जाता है और में से एक सहसंयोजक प्रकार्यक को एक संवर्धित सहसरलीकृत वस्तु कहा जाता है; उदाहरण के लिए, जब सहप्रांत श्रेणी समुच्चयों की श्रेणी होती है, तो इन्हें क्रमशः संवर्धित सरलीकृत समुच्चय और संवर्धित सहसरलीकृत समुच्चय कहा जाता है।
संवर्धित सिंप्लेक्स श्रेणी, इसके अतिरिक्त सिंप्लेक्स श्रेणी के विपरीत, एक प्राकृतिक मोनोइडल श्रेणी संरचना को स्वीकार करती है। मोनोइडल गुणनफल रैखिक कोटियों के संयोजन द्वारा दिया जाता है, और इकाई रिक्त क्रमसूचक है, (एक इकाई की कमी इसे पर एक मोनोइडल संरचना के रूप में अर्हता प्राप्त करने से रोकती है)। वास्तव में, अद्वितीय संभावित इकाई और गुणन के साथ द्वारा दिए गए एकल मोनॉइड वस्तुओं द्वारा स्वतंत्र रूप से उत्पन्न मोनोइडल श्रेणी है। यह विवरण यह समझने के लिए उपयोगी है कि मोनोइडल श्रेणी में कोई भी कोमोनॉइड वस्तु एक सरलीकृत वस्तु को कैसे उत्पन्न करती है क्योंकि इसे से कोमोनॉइड युक्त मोनोइडल श्रेणी तक एक फ़ैक्टर की छवि के रूप में देखा जा सकता है; संवर्द्धन को भूलकर हम एक सरलीकृत वस्तु प्राप्त करते हैं। इसी प्रकार, यह मोनॉइड (श्रेणी सिद्धांत) (और इसलिए सहायक प्रकार्यक) से सरलीकृत वस्तुओं के निर्माण पर भी प्रकाश डालता है क्योंकि मोनॉइड को एंडोफंक्टर श्रेणियों में मोनॉइड वस्तुओं के रूप में देखा जा सकता है।
यह भी देखें
संदर्भ
- Goerss, Paul G.; Jardine, John F. (1999). Simplicial Homotopy Theory. Progress in Mathematics. Vol. 174. Basel–Boston–Berlin: Birkhäuser. doi:10.1007/978-3-0348-8707-6. ISBN 978-3-7643-6064-1. MR 1711612.
बाहरी संबंध
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