मोनोइडल श्रेणी

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गणित में, मोनोइडल श्रेणी (या टेन्सर श्रेणी) एक श्रेणी (गणित) $\mathbf {C}$ है जिसमें एक द्विभाजक होता है |

$\otimes :\mathbf {C} \times \mathbf {C} \to \mathbf {C}$

यह प्राकृतिक समरूपता के लिए साहचर्य है, और वस्तु (श्रेणी सिद्धांत) जो ⊗ के लिए बाईं पहचान और सही पहचान दोनों है, फिर से प्राकृतिक समरूपता तक संबंधित प्राकृतिक समरूपता कुछ सुसंगत स्थितियों के अधीन हैं, जो यह सुनिश्चित करती हैं कि सभी प्रासंगिक आरेख (श्रेणी सिद्धांत) क्रमविनिमेय आरेख हैं।

साधारण टेन्सर उत्पाद सदिश स्थान, एबेलियन समूह, मॉड्यूल (गणित) R-मॉड्यूल, या बीजगणित (रिंग सिद्धांत) R-बीजगणित को मोनोइडल श्रेणियों में बनाता है। मोनोइडल श्रेणियों को इन और अन्य उदाहरणों के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। प्रत्येक (छोटी श्रेणी) मोनोइडल श्रेणी को अंतर्निहित मोनोइड के वर्गीकरण के रूप में भी देखा जा सकता है, अर्थात् मोनोइड जिसके तत्व श्रेणी की वस्तुओं के समरूपता वर्ग हैं और जिसका बाइनरी ऑपरेशन श्रेणी के टेंसर उत्पाद द्वारा दिया जाता है।

एक भिन्न अनुप्रयोग, जिसमें से मोनोइडल श्रेणियों को एक अमूर्त माना जा सकता है, एक प्रकार के कंस्ट्रक्टर टाइप के अनुसार बंद किए गए डेटा प्रकार की एक प्रणाली है जो दो प्रकार लेती है और एक समग्र प्रकार का निर्माण करती है; प्रकार वस्तुएं हैं और $\otimes$ कुल निर्माता है। समरूपता तक की संबद्धता तब यह व्यक्त करने की एक विधि है कि एक ही डेटा को एकत्र करने के विभिन्न विधि—जैसे कि $((a,b),c)$ और $(a,(b,c))$ समान जानकारी संग्रहीत करें तथापि समग्र मान समान न हों। कुल प्रकार जोड़ (प्रकार योग) या गुणन (प्रकार उत्पाद) के संचालन के अनुरूप हो सकता है। प्रकार के उत्पाद के लिए, पहचान वस्तु इकाई है, इसलिए प्रकार का केवल एक ही निवासी है, और यही कारण है कि इसके साथ एक उत्पाद सदैव दूसरे ऑपरेंड के लिए आइसोमोर्फिक होता है। प्रकार योग के लिए, पहचान वस्तु शून्य प्रकार है, जो कोई जानकारी संग्रहीत नहीं करता है और एक निवासी को संबोधित करना असंभव है। मोनोइडल श्रेणी की अवधारणा यह नहीं मानती है कि ऐसे कुल प्रकारों के मूल्यों को अलग किया जा सकता है; इसके विपरीत, यह एक ऐसा प्रकार प्रदान करता है जो मौलिक और क्वांटम सूचना सिद्धांत को एकीकृत करता है।

श्रेणी सिद्धांत में, मोनोइडल श्रेणियों का उपयोग मोनॉइड वस्तु की अवधारणा को परिभाषित करने और श्रेणी की वस्तुओं पर संबंधित कार्रवाई के लिए किया जा सकता है। उनका उपयोग समृद्ध श्रेणी की परिभाषा में भी किया जाता है।

मोनोइडल श्रेणियों में उचित श्रेणी सिद्धांत के बाहर कई अनुप्रयोग हैं। वे अंतर्ज्ञानवादी तर्क रैखिक तर्क के गुणात्मक खंड के लिए मॉडल को परिभाषित करने के लिए उपयोग किए जाते हैं। वे संघनित पदार्थ भौतिकी में सामयिक क्रम के लिए गणितीय आधार भी बनाते हैं। लट मोनोइडल श्रेणी में क्वांटम सूचना, क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत और स्ट्रिंग सिद्धांत में अनुप्रयोग हैं।

औपचारिक परिभाषा

एक मोनोइडल श्रेणी एक श्रेणी $\mathbf {C}$ है जो एक मोनोइडल संरचना से सुसज्जित है। एक मोनोइडल संरचना में निम्न सम्मिलित हैं:

• द्विभाजक $\otimes \colon \mathbf {C} \times \mathbf {C} \to \mathbf {C}$ मोनोइडल उत्पाद या टेंसर उत्पाद, कहा जाता है |,
• वस्तु $I$ मोनोइडल इकाई इकाई वस्तु, या पहचान वस्तु, कहा जाता है, |
• तीन प्राकृतिक समरूपताएं कुछ सुसंगत स्थितियों के अधीन हैं जो इस तथ्य को व्यक्त करती हैं कि टेन्सर ऑपरेशन:
  • साहचर्य है: प्राकृतिक (तीन तर्कों में से प्रत्येक में $A$, $B$, $C$) समरूपता $\alpha$, घटकों $\alpha _{A,B,C}\colon A\otimes (B\otimes C)\cong (A\otimes B)\otimes C$ के साथ सहयोगी कहा जाता है |
  • $I$ बाएँ और दाएँ पहचान के रूप में है: दो प्राकृतिक समरूपताएँ हैं $\lambda$ और $\rho$ घटकों के साथ क्रमशः बाएं और दाएं एकक कहा जाता है जिसमें घटक $\lambda _{A}\colon I\otimes A\cong A$ और $\rho _{A}\colon A\otimes I\cong A$.हैं |

ध्यान दें कि $\lambda$ और $\rho$ कैसे याद करने की अच्छी विधि है अधिनियम अनुप्रास द्वारा है; लैम्ब्डा, $\lambda$, बाईं ओर की पहचान को रद्द कर देता है, जबकि Rho, $\rho$, दाईं ओर की पहचान को रद्द करता है।

इन प्राकृतिक परिवर्तनों के लिए सुसंगतता की शर्तें हैं:

• सभी के लिए $A$, $B$, $C$ और $D$ में $\mathbf {C}$, पेंटागन आरेख (श्रेणी सिद्धांत) है |

: क्रमविनिमेय आरेख;

• सभी के लिए $A$ और $B$ में $\mathbf {C}$, त्रिभुज आरेख है |

: आवागमन सख्त मोनोइडल श्रेणी वह है जिसके लिए प्राकृतिक समरूपता α, λ और ρ पहचान हैं। प्रत्येक मोनोइडल श्रेणी सख्त मोनोइडल श्रेणी के लिए श्रेणियों की मोनोइडली तुल्यता है।

उदाहरण

• परिमित उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) के साथ किसी भी श्रेणी को उत्पाद के साथ मोनोइडल उत्पाद और टर्मिनल वस्तु को इकाई के रूप में माना जा सकता है। ऐसी श्रेणी को कभी-कभी कार्तीय मोनोइडल श्रेणी कहा जाता है। उदाहरण के लिए:
  • समुच्चय, कार्टेशियन उत्पाद के साथ समुच्चय की श्रेणी, इकाई के रूप में सेवारत कोई विशेष तत्व समुच्चय है।
  • कैट, उत्पाद श्रेणी के साथ छोटी श्रेणियों की श्रेणी, जहां वस्तु वाली श्रेणी और केवल उसका पहचान मानचित्र इकाई है।
• द्वय रूप से, परिमित सह-उत्पादों वाली कोई भी श्रेणी मोनोइडल उत्पाद के रूप में सह-उत्पाद और इकाई के रूप में प्रारंभिक वस्तु के साथ मोनोइडल है। ऐसी मोनोइडल श्रेणी को कार्टेशियन मोनोइडल श्रेणी जाता है |
• R-मॉड, क्रमविनिमेय रिंग R पर मॉड्यूल की श्रेणी, मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद के साथ मोनोइडल श्रेणी है | ⊗_R इकाई मोनोइडल उत्पाद के रूप में सेवा करने वाले और रिंग R (स्वयं पर मॉड्यूल के रूप में माना जाता है) इकाई के रूप में सेवारत है। विशेष स्थितियों के रूप में किसी के पास है:|
  • K-वेक्ट', क्षेत्र (गणित) के पर सदिश रिक्त स्थान की श्रेणी, इकाई के रूप में कार्यरत एक-आयामी सदिश अंतरिक्ष के साथ है।
  • 'AB', एबेलियन समूहों की श्रेणी, इकाई के रूप में कार्यरत पूर्णांक 'जेड' के समूह के साथ है।
• किसी भी क्रमविनिमेय वलय R के लिए, R-बीजगणित की श्रेणी मोनोइडल है जिसमें बीजगणित का टेन्सर उत्पाद उत्पाद के रूप में और R इकाई के रूप में है।
• पॉइंटेड स्पेस की श्रेणी (उदाहरण के लिए कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न स्पेस तक सीमित) उत्पाद के रूप में सेवारत स्मैश उत्पाद के साथ मोनोइडल है और इकाई के रूप में सेवारत 0-गोले (एक दो-बिंदु असतत स्थान) है।
• श्रेणी 'c' पर सभी एंडोफंक्टर की श्रेणी उत्पाद के रूप में फ़ैक्टरों की संरचना और इकाई के रूप में पहचान फ़ैक्टर के साथ सख्त मोनोइडल श्रेणी है।
• किसी भी श्रेणी 'E' की तरह, उपश्रेणी एंबेडिंग किसी दिए गए ऑब्जेक्ट द्वारा फैली हुई मोनोइड है,| यह स्थिति है कि किसी भी 2-श्रेणी 'E' के लिए, और OB ('E') में कोई ऑब्जेक्ट 'c' , {'c'} द्वारा फैला 'E' की पूर्ण 2-उपश्रेणी मोनोइडल श्रेणी है। इस स्थिति में 'E' = Cat, हमें एंडोफंक्टर का उदाहरण ऊपर मिलता है।
• अर्ध-जाली बाउंड-एव मीट सेमीलैटिस सख्त सममित मोनोइडल श्रेणी हैं तोड़ उत्पाद मीट है और आइडेंटिटी टॉप एलिमेंट है।
• कोई साधारण मोनोइड $(M,\cdot ,1)$ ऑब्जेक्ट समुच्चय के साथ छोटा मोनोइडल $M$ वर्ग है | आकारिकी के लिए केवल तत्समक$\cdot$ टेंसरप्रोडक्ट के रूप में और $1$ इसकी पहचान वस्तु के रूप में इसके विपरीत, मोनोइडल श्रेणी के समरूपता वर्गों (यदि ऐसी कोई बात समझ में आती है) का समुच्चय मोनोइड w.r.t टेंसर उत्पाद है।
• कोई क्रमविनिमेय मोनॉइड $(M,\cdot ,1)$ एकल वस्तु के साथ मोनोइडल श्रेणी के रूप में महसूस किया जा सकता है। याद रखें कि एकल वस्तु वाली श्रेणी साधारण मोनोइड के समान है। एकमैन-हिल्टन तर्क द्वारा, और मोनोइडल उत्पाद जोड़ना $M$ उत्पाद को क्रमविनिमेय होने की आवश्यकता है।

मोनॉयडल प्रीऑर्डर

मोनोइडल प्रीऑर्डर्स, जिन्हें प्रीऑर्डरेड मोनोइड्स के रूप में भी जाना जाता है, मोनोइडल श्रेणियों के विशेष स्थिति हैं। इस प्रकार की संरचना अर्ध-थू प्रणाली के सिद्धांत में आती है, किन्तु यह शुद्ध गणित में भी प्रचुर मात्रा में है। उदाहरण के लिए, समुच्चय $\mathbb {N}$ प्राकृतिक संख्याओं में मोनोइड उदाहरण (+ और 0 का उपयोग करके) और प्रीऑर्डर उदाहरण (≤ का उपयोग करके) दोनों होते हैं, जो मूल रूप से मोनोइडल प्रीऑर्डर बनाते हैं और $m\leq n$ और $m'\leq n'$ का तात्पर्य $m+m'\leq n+n'$.से है अब हम सामान्य स्थिति प्रस्तुत करते हैं।

यह सर्वविदित है कि पूर्व आदेश को श्रेणी सी के रूप में माना जा सकता है, जैसे कि प्रत्येक दो वस्तुओं के लिए $c,c'\in \mathrm {Ob} (\mathbf {C} )$, अधिकतम रूपवाद $c\to c'$ c में उपस्थित है । यदि c से c तक आकारिकी होती है, तो हम लिख $c\leq c'$ सकते हैं , किन्तु वर्तमान खंड में हम इस तथ्य को तीर के रूप में व्यक्त करना अधिक सुविधाजनक $c\to c'$ पाते हैं . क्योंकि कम से कम ऐसी आकृति है, हमें इसे कोई नाम देने की आवश्यकता नहीं है, जैसे कि $f\colon c\to c'$. ऑर्डर के प्रतिवर्त संबंध और सकर्मक संबंध प्रॉपर्टीज को क्रमशः आइडेंटिटी मॉर्फिज्म और सी में कंपोजीशन सूत्र द्वारा हिसाब किया जाता है। हम लिखते हैं $c\cong c'$ आईएफएफ $c\leq c'$ और $c'\leq c$, अर्थात यदि वे सी में आइसोमोर्फिक हैं। ध्यान दें कि आंशिक क्रम में, कोई भी दो आइसोमोर्फिक ऑब्जेक्ट वास्तव में सामान हैं।

आगे बढ़ते हुए, मान लीजिए कि हम प्रीऑर्डर सी में मोनोइडल संरचना जोड़ना चाहते हैं। ऐसा करने का कारण है कि हमें चुनना होगा

• वस्तु $I\in \mathbf {C}$, मोनोइडल इकाई कहा जाता है, |
• फंक्‍टर $\mathbf {C} \times \mathbf {C} \to \mathbf {C}$, जिसे हम केवल डॉट द्वारा निरूपित करेंगे$\;\cdot \;$ मोनोइडल गुणन कहा जाता है।

इस प्रकार किन्हीं दो वस्तुओं के लिए $c_{1},c_{2}$ हमारे पास वस्तु है $c_{1}\cdot c_{2}$. हमें चुनना चाहिए $I$ और $\cdot$ समरूपता तक साहचर्य और एकात्मक होना। इसका कारण है कि हमारे पास होना चाहिए: |

$(c_{1}\cdot c_{2})\cdot c_{3}\cong c_{1}\cdot (c_{2}\cdot c_{3})$ और $I\cdot c\cong c\cong c\cdot I$.

इसके अतिरिक्त, तथ्य यह है कि · को फ़ैक्टर होना आवश्यक है- वर्तमान स्थिति में, जहां निम्नलिखित से अधिक कुछ नहीं c प्रीऑर्डर है-:

यदि $c_{1}\to c_{1}'$ और $c_{2}\to c_{2}'$ तब $(c_{1}\cdot c_{2})\to (c_{1}'\cdot c_{2}')$.

मोनोइडल श्रेणियों के लिए अतिरिक्त समेकन की स्थिति इस स्थिति में खाली है क्योंकि प्रत्येक आरेख प्रीऑर्डर में यात्रा करता है।

ध्यान दें कि यदि C आंशिक क्रम है, तो उपरोक्त विवरण और भी सरल हो जाता है, क्योंकि साहचर्य और इकाई समरूपता समानता बन जाती है। एक और सरलीकरण तब होता है जब हम मानते हैं कि वस्तुओं का समुच्चय जनरेटिंग समुच्चय पर मुक्त मोनोइड $\Sigma$ है . इस स्थिति में हम $\mathrm {Ob} (\mathbf {C} )=\Sigma ^{*}$ लिख सकते हैं , जहां * क्लेन स्टार को दर्शाता है और मोनोइडल इकाई है I खाली स्ट्रिंग के लिए खड़ा है। यदि हम रूपवाद (≤ के बारे में तथ्य) उत्पन्न करने के समुच्चय R के साथ शुरू करते हैं, तो हम अर्ध-थू प्रणाली की सामान्य धारणा को पुनर्प्राप्त करते हैं, जहां R को पुनर्लेखन नियम कहा जाता है।

हमारे उदाहरण पर लौटने के लिए, 'N' को वह श्रेणी मान लें जिसकी वस्तुएँ प्राकृतिक संख्याएँ 0, 1, 2, ... हैं, आकारिकी के साथ $i\to j$ यदि $i\leq j$ सामान्य क्रम में (और i से j अन्यथा कोई आकारिकी नहीं), और 0 द्वारा दी गई मोनोइडल इकाई के साथ मोनोइडल संरचना और सामान्य जोड़ द्वारा दिए गए मोनोइडल गुणन, $i\cdot j:=i+j$. फिर N मोनोइडल प्रीऑर्डर है; वास्तव में यह एक एकल वस्तु 1 द्वारा स्वतंत्र रूप से उत्पन्न होता है, और आकारिकी 0 ≤ 1, जहां फिर से 0 मोनोइडल इकाई है।

गुण और संबंधित धारणाएँ

यह तीन परिभाषित सुसंगतता स्थितियों से अनुसरण करता है कि आरेखों का बड़ा वर्ग (अर्थात आरेख जिनके आकारिकी का उपयोग करके बनाया गया है $\alpha$, $\lambda$, $\rho$, सर्वसमिकाएं और टेन्सर उत्पाद) आवागमन: यह सॉन्डर्स मैक लेन है | मैक लेन की सुसंगतता प्रमेय है। यह कभी-कभी गलत विधि से कहा जाता है कि ऐसे सभी आरेख चलते हैं।

मोनोइडल श्रेणी में मोनोइड वस्तु की सामान्य धारणा है, जो अमूर्त बीजगणित से मोनोइड की सामान्य धारणा को सामान्यीकृत करती है। साधारण मोनोइड्स कार्तीय मोनोइडल श्रेणी 'समुच्चय' में स्पष्ट रूप से मोनोइड ऑब्जेक्ट हैं। इसके अतिरिक्त, किसी भी (छोटी) सख्त मोनोइडल श्रेणी को 'कैट' श्रेणियों की श्रेणी में मोनोइड ऑब्जेक्ट के रूप में देखा जा सकता है (कार्टेशियन उत्पाद द्वारा प्रेरित मोनोइडल संरचना से लैस)।

मोनोइडल फ़ैक्टर मोनोइडल श्रेणियों के बीच फ़ैक्टर हैं जो टेंसर उत्पाद को संरक्षित करते हैं और मोनोइडल प्राकृतिक परिवर्तन प्राकृतिक परिवर्तन हैं, उन फ़ंक्शंस के बीच, जो टेंसर उत्पाद के अनुकूल हैं।

प्रत्येक मोनोइडल श्रेणी को श्रेणी 'B' (∗, ∗) के रूप में देखा जा सकता है, जिसमें केवल वस्तु के साथ 'B' श्रेणी होती है, जिसे ∗ दर्शाया जाता है।

मोनोइडल श्रेणी 'M' में एक श्रेणी 'सी' समृद्ध श्रेणी की अवधारणा 'c' में वस्तुओं के जोड़े के बीच आकारिकी के समुच्चय की धारणा को हर दो वस्तुओं के बीच 'M'-वस्तु के आकारिकी की धारणा c के साथ बदल देती है।

मुक्त सख्त मोनोइडल श्रेणी

प्रत्येक श्रेणी c के लिए, नि: शुल्क श्रेणी सख्त मोनोइडल श्रेणी Σ(सी) का निर्माण निम्नानुसार किया जा सकता है:

• इसकी वस्तुएँ C की वस्तुओं की सूचियाँ (परिमित क्रम) A1, ..., An हैं;
• दो वस्तुओं के बीच तीर हैं A₁, ...,A_m और B₁, ..., B_n केवल यदि m = n, और फिर तीर तीरों की सूचियाँ (परिमित क्रम) हैं f₁: A₁ → B₁, ..., f_n : A → c का b_n; है |
• दो वस्तुओं 'का टेंसर उत्पाद A₁, ..., A_n और B₁, ..., B_m संयोजन A₁, ..., A_n, B₁, ..., B_m दो सूचियों का, है और, इसी तरह, दो आकारिकी का टेन्सर गुणनफल सूचियों के संयोजन द्वारा दिया जाता है। पहचान वस्तु खाली सूची है।

यह ऑपरेशन Σ मैपिंग श्रेणी सी से Σ (सी) को कैट पर सख्त 2-मोनाड (श्रेणी सिद्धांत) तक बढ़ाया जा सकता है।

विशेषज्ञता

• यदि, मोनोइडल श्रेणी में, $A\otimes B$ और $B\otimes A$ स्वाभाविक रूप से आइसोमॉर्फिक हैं जो सुसंगतता की स्थिति के अनुकूल हैं, हम लट मोनोइडल श्रेणी की बात करते हैं। इसके अतिरिक्त, यदि यह प्राकृतिक तुल्याकारिता अपनी ही व्युत्क्रम है, तो हमारे पास सममित मोनोइडल श्रेणी है।
• बंद मोनोइडल श्रेणी एक मोनोइडल श्रेणी है जहाँ प्रकार्यक $X\mapsto X\otimes A$ सहायक कारक है, जिसे आंतरिक होम-फ़ंक्टर $X\mapsto \mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(A,X)$ कहा जाता है . उदाहरणों में कार्टेशियन बंद श्रेणी जैसे समुच्चय, समुच्चय की श्रेणी, और कॉम्पैक्ट बंद श्रेणी है | जैसे एफडीवेक्ट, परिमित-आयामी सदिश रिक्त स्थान की श्रेणी सम्मिलित है।
• स्वायत्त श्रेणी (या कॉम्पैक्ट बंद श्रेणी या कठोर श्रेणी) मोनोइडल श्रेणियां हैं | जिनमें अच्छे गुणों वाले दोहरे उपस्थित हैं; वे एफडीवेक्ट के विचार को अमूर्त करते हैं।
• डैगर सममित मोनोइडल श्रेणी, अतिरिक्त डैगर फंक्टर से सुसज्जित, एफडीहिल्ब, परिमित-आयामी हिल्बर्ट रिक्त स्थान के विचार को अमूर्त करता है। इनमें डैगर कॉम्पैक्ट श्रेणी सम्मिलित है।
• तन्नाकियन श्रेणी क्षेत्र में समृद्ध मोनोइडल श्रेणियां हैं, जो रैखिक बीजगणितीय समूह की प्रतिनिधित्व श्रेणियों के समान हैं।

यह भी देखें

• कंकाल (श्रेणी सिद्धांत)
• गोलाकार श्रेणी
• मोनोइडल श्रेणी की कार्रवाई

संदर्भ

• Joyal, André; Street, Ross (1993). "Braided Tensor Categories" (PDF). Advances in Mathematics. 102 (1): 20–78. doi:10.1006/aima.1993.1055.
• Joyal, André; Street, Ross (1988). "Planar diagrams and tensor algebra" (PDF).
• Kelly, G. Max (1964). "On MacLane's Conditions for Coherence of Natural Associativities, Commutativities, etc". Journal of Algebra. 1 (4): 397–402. doi:10.1016/0021-8693(64)90018-3.
• Kelly, G.M. (1982). Basic Concepts of Enriched Category Theory (PDF). London Mathematical Society Lecture Note Series. Vol. 64. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-28702-9. OCLC 1015056596. Zbl 0478.18005.
• Mac Lane, Saunders (1963). "Natural Associativity and Commutativity". Rice University Studies. 49 (4): 28–46. CiteSeerX 10.1.1.953.2731. hdl:1911/62865.
• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 5 (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001.
• Monoidal category at the nLab

बाहरी संबंध

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