लघु (रैखिक बीजगणित): Difference between revisions

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{{About|रैखिक बीजगणित में अवधारणा|ग्राफ़ सिद्धांत में "लघु" की अवधारणा|ग्राफ लघु}}
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रैखिक बीजगणित में, [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] A का लघु, A की अधिक पंक्तियों और स्तंभों को हटाकर A से काटे गए कुछ छोटे [[उलटा मैट्रिक्स|वर्ग आव्यूह]] का निर्धारक होता है। वर्ग आव्यूहों (पहले अवयस्कों) से केवल एक पंक्ति और एक स्तंभ को हटाकर प्राप्त किए गए अवयस्कों की आवश्यकता आव्यूह सहकारकों की गणना के लिए होती है, जो बदले में वर्ग आव्यूहों के निर्धारक और व्युत्क्रम आव्यूह दोनों की गणना के लिए उपयोगी होते हैं। परिभाषा में यह आवश्यकता अक्सर छोड़ दी जाती है कि [[वर्ग मैट्रिक्स|वर्ग आव्यूह]] मूल आव्यूह से छोटा हो।
रैखिक बीजगणित में, [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] '''A''' का '''लघु''', '''A''' की अधिक पंक्तियों और स्तंभों को विस्थापित करके '''A''' से विभक्त किये गए कुछ छोटे [[उलटा मैट्रिक्स|वर्ग आव्यूह]] का सारणिक होता है। वर्ग आव्यूहों (प्रथम लघु) से केवल पंक्ति और स्तंभ को विस्थापित करके प्राप्त किए गए लघु की आवश्यकता आव्यूह सहगुणकों की गणना के लिए होती है, जो विनिमय में वर्ग आव्यूहों के सारणिक और व्युत्क्रम आव्यूह दोनों की गणना के लिए उपयोगी होते हैं। इस प्रकार परिभाषा में यह आवश्यकता अधिकांशतः त्याग दी जाती है कि [[वर्ग मैट्रिक्स|वर्ग आव्यूह]] मूल आव्यूह से छोटा होता है।


==परिभाषा और चित्रण==
==परिभाषा और चित्रण==


===पहले नाबालिग===
===प्रथम लघु===


यदि A एक वर्ग आव्यूह है, तो ''i'' में प्रविष्टि का ''मामूली''वीं पंक्ति और जेवां कॉलम (जिसे (i, j) माइनर या पहला माइनर भी कहा जाता है<ref>Burnside, William Snow & Panton, Arthur William (1886) ''[https://books.google.com/books?id=BhgPAAAAIAAJ&pg=PA239 Theory of Equations: with an Introduction to the Theory of Binary Algebraic Form]''.</ref>) i को हटाकर बनने वाले [[सबमैट्रिक्स|सबआव्यूह]] का निर्धारक हैवीं पंक्ति और जेवाँ स्तंभ. इस संख्या को अक्सर M से दर्शाया जाता है<sub>''i,j''</sub>. (i, j) सहकारक लघु को गुणा करके प्राप्त किया जाता है <math>(-1)^{i+j}</math>.
यदि '''A''' वर्ग आव्यूह है, तो i th पंक्ति और j th स्तंभ में प्रविष्टि का लघु (जिसे (i, j) लघु, या प्रथम लघु भी कहा जाता है<ref>Burnside, William Snow & Panton, Arthur William (1886) ''[https://books.google.com/books?id=BhgPAAAAIAAJ&pg=PA239 Theory of Equations: with an Introduction to the Theory of Binary Algebraic Form]''.</ref>) i th पंक्ति और j th स्तंभ को विस्थापित करके गठित [[सबमैट्रिक्स|अर्धआव्यूह]] का सारणिक है। इस संख्या को अधिकांशतः M<sub>''i,j''</sub> से दर्शाया जाता है। (i, j) सहगुणक लघु <math>(-1)^{i+j}</math> को गुणा करके प्राप्त किया जाता है।


इन परिभाषाओं को स्पष्ट करने के लिए, निम्नलिखित 3 बटा 3 आव्यूह पर विचार करें,
इन परिभाषाओं को स्पष्ट करने के लिए, निम्नलिखित 3 बटा 3 आव्यूह पर विचार करें,
Line 17: Line 17:
-1 & 9 & 11 \\
-1 & 9 & 11 \\
\end{bmatrix}</math>
\end{bmatrix}</math>
लघु एम की गणना करने के लिए<sub>2,3</sub> और सहकारक सी<sub>2,3</sub>, हम पंक्ति 2 और स्तंभ 3 को हटाकर उपरोक्त आव्यूह का निर्धारक पाते हैं।
लघु M<sub>2,3</sub> और सहगुणक C<sub>2,3</sub>, की गणना करने के लिए, हम पंक्ति 2 और स्तंभ 3 को विस्थापित करके उपरोक्त आव्यूह के सारणिक का अन्वेषण करते हैं।


:<math> M_{2,3} = \det \begin{bmatrix}
:<math> M_{2,3} = \det \begin{bmatrix}
Line 27: Line 27:
-1 & 9 \\
-1 & 9 \\
\end{bmatrix} = 9-(-4) = 13</math>
\end{bmatrix} = 9-(-4) = 13</math>
तो (2,3) प्रविष्टि का सहकारक है
तो (2,3) प्रविष्टि का सहगुणक है-


:<math>\ C_{2,3} = (-1)^{2+3}(M_{2,3}) = -13.</math>
:<math>\ C_{2,3} = (-1)^{2+3}(M_{2,3}) = -13.</math>
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'''सामान्य परिभाषा'''
'''सामान्य परिभाषा'''


मान लीजिए A एक ''m'' × ''n'' आव्यूह है और ''k'' 0 < ''k'' ≤ ''m'', और ''k'' ≤ ''n'' के साथ एक [[पूर्णांक]] है '. A ''k'' × ''k'' ''A का लघु'', जिसे A के क्रम k का लघु निर्धारक भी कहा जाता है या, यदि ''m'' = ''n'', (' 'n''−''k'')A का ''वां लघु निर्धारक'' (निर्धारक शब्द अक्सर छोड़ दिया जाता है, और कभी-कभी ऑर्डर के बजाय डिग्री शब्द का उपयोग किया जाता है) ''k'' × का निर्धारक है ''k'' आव्यूह ''m''-''k'' पंक्तियों और ''n''-''k'' कॉलम को हटाकर A से प्राप्त किया गया है। कभी-कभी इस शब्द का उपयोग उपरोक्त A से प्राप्त ''k'' × ''k'' आव्यूह को संदर्भित करने के लिए किया जाता है ('m''−''k'' पंक्तियों और ''n''−'' को हटाकर) k'' कॉलम), लेकिन इस आव्यूह को A के ''(वर्ग) सबआव्यूह'' के रूप में संदर्भित किया जाना चाहिए, इस आव्यूह के निर्धारक को संदर्भित करने के लिए माइनर शब्द को छोड़ दिया जाना चाहिए। उपरोक्त आव्यूह के लिए, कुल हैं <math display="inline">{m \choose k} \cdot {n \choose k}</math> k × k आकार के नाबालिग। क्रम शून्य के लघु को अक्सर 1 के रूप में परिभाषित किया जाता है। एक वर्ग आव्यूह के लिए, शून्यवां लघु केवल आव्यूह का निर्धारक होता है।<ref name="Hohn">Elementary Matrix Algebra (Third edition), Franz E. Hohn, The Macmillan Company, 1973, {{isbn|978-0-02-355950-1}}</ref><ref name="Encyclopedia of Mathematics" />
मान लीजिए '''A''', ''m'' × ''n'' आव्यूह है और ''k,'' 0 < ''k'' ≤ ''m'', और ''k'' ≤ ''n'' के साथ [[पूर्णांक]] है। इस प्रकार '''A''' का k × k लघु, जिसे '''A''' के क्रम k का लघु सारणिक भी कहा जाता है अथवा, यदि ''m'' = ''n'', (''n''−''k'')''th, '''A''''' का लघु सारणिक'' (सारणिक शब्द अधिकांशतः त्याग दिया जाता है, और कभी-कभी क्रम के अतिरिक्त डिग्री शब्द का उपयोग किया जाता है) ''m−k पंक्तियों और n−k स्तंभों को विस्थापित करके '''A''' से प्राप्त k × k आव्यूह का सारणिक है।'' इस प्रकार कभी-कभी इस शब्द का उपयोग उपरोक्त '''A''' से प्राप्त ''k'' × ''k'' आव्यूह को संदर्भित करने के लिए किया जाता है'' (m−k पंक्तियों और n−k स्तंभों को विस्थापित करके), किन्तु इस आव्यूह को '''A''' के (वर्ग) अर्धआव्यूह के रूप में संदर्भित किया जाना चाहिए, इस आव्यूह के सारणिक को संदर्भित करने के लिए लघु शब्द को त्याग देना चाहिए। उपरोक्त आव्यूह '''A''' के लिए, k × k आकार के कुल <math display="inline">{m \choose k} \cdot {n \choose k}</math> लघु हैं। इस प्रकार क्रम शून्य के लघु को अधिकांशतः 1 के रूप में परिभाषित किया जाता है। वर्ग आव्यूह के लिए, शून्यवां लघु केवल आव्यूह का सारणिक होता है।<ref name="Hohn">Elementary Matrix Algebra (Third edition), Franz E. Hohn, The Macmillan Company, 1973, {{isbn|978-0-02-355950-1}}</ref><ref name="Encyclopedia of Mathematics" />


होने देना <math>1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le m</math> और <math>1 \le j_1 < j_2 < \cdots < j_k \le n</math> अनुक्रमित अनुक्रमों का क्रम दिया जाए (प्राकृतिक क्रम में, जैसा कि नाबालिगों के बारे में बात करते समय हमेशा माना जाता है जब तक कि अन्यथा न कहा गया हो), उन्हें क्रमशः I और J कहें। नाबालिग <math display="inline">\det \left( (A_{i_p, j_q})_{p,q = 1, \ldots, k} \right)</math> अनुक्रमणिका के इन विकल्पों के अनुरूप निरूपित किया जाता है <math>\det_{I,J} A</math> या <math>\det A_{I, J}</math> या <math>[A]_{I,J}</math> या <math>M_{I,J}</math> या <math>M_{i_1, i_2, \ldots, i_k, j_1, j_2, \ldots, j_k}</math> या <math>M_{(i),(j)}</math> (जहां <math>(i)</math> स्रोत के आधार पर, सूचकांक I, आदि के अनुक्रम को दर्शाता है। इसके अलावा, साहित्य में उपयोग में आने वाले दो प्रकार के संकेत हैं: सूचकांक I और J के क्रमबद्ध अनुक्रमों से जुड़े छोटे द्वारा, कुछ लेखक<ref>Linear Algebra and Geometry, Igor R. Shafarevich,  Alexey O. Remizov, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013, {{isbn|978-3-642-30993-9}}</ref> आव्यूह के निर्धारक का मतलब है जो उपरोक्त के रूप में बनता है, मूल आव्यूह के तत्वों को उन पंक्तियों से लेकर जिनके सूचकांक I में हैं और जिन स्तंभों के सूचकांक J में हैं, जबकि कुछ अन्य लेखकों का मतलब I और J से जुड़े एक नाबालिग से है I में पंक्तियों और J में स्तंभों को हटाकर मूल आव्यूह से बने आव्यूह का निर्धारक।<ref name="Hohn" />किस नोटेशन का उपयोग किया गया है इसकी जांच हमेशा संबंधित स्रोत से की जानी चाहिए। इस लेख में, हम I की पंक्तियों और J के स्तंभों से तत्वों को चुनने की समावेशी परिभाषा का उपयोग करते हैं। असाधारण मामला ऊपर वर्णित पहले माइनर या (i, j)-माइनर का मामला है; उस मामले में, विशेष अर्थ <math display="inline">M_{i,j} = \det \left( \left( A_{p,q} \right)_{p \neq i, q \neq j} \right)</math> साहित्य में हर जगह मानक है और इस लेख में भी इसका उपयोग किया गया है।
मान लीजिए कि <math>1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le m</math> और <math>1 \le j_1 < j_2 < \cdots < j_k \le n</math> को अनुक्रमित किया गया है (प्राकृतिक क्रम में, जिस प्रकार सदैव लघु के सम्बन्ध विचार करते समय माना जाता है जब तक कि अन्यथा न कहा गया हो), उन्हें क्रमशः I और J कहते हैं। अनुक्रमणिका के इन विकल्पों के अनुरूप लघु <math display="inline">\det \left( (A_{i_p, j_q})_{p,q = 1, \ldots, k} \right)</math>को स्रोत के आधार पर <math>\det_{I,J} A</math> अथवा <math>\det A_{I, J}</math> अथवा <math>[A]_{I,J}</math> अथवा <math>M_{I,J}</math> अथवा <math>M_{i_1, i_2, \ldots, i_k, j_1, j_2, \ldots, j_k}</math> अथवा <math>M_{(i),(j)}</math> (जहां <math>(i)</math> सूचकांक I, आदि के अनुक्रम को दर्शाता है) दर्शाया गया है। इसके अतिरिक्त, साहित्य में उपयोग किये जाने वाले दो प्रकार के संकेत होते हैं: सूचकांक I और J के क्रमबद्ध अनुक्रमों से संयोजित लघु से कुछ लेखकों<ref>Linear Algebra and Geometry, Igor R. Shafarevich,  Alexey O. Remizov, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013, {{isbn|978-3-642-30993-9}}</ref> का तात्पर्य आव्यूह के सारणिक से है जो उपरोक्त के रूप में बनता है, मूल आव्यूह के तत्वों को उन पंक्तियों से लेकर जिनके सूचकांक I में हैं और जिन स्तंभों के सूचकांक J में हैं, यद्यपि कुछ अन्य लेखकों का तात्पर्य I और J से संयोजित लघु से है जो I में पंक्तियों और J में स्तंभों को विस्थापित करके मूल आव्यूह से बने आव्यूह के सारणिक हैं।<ref name="Hohn" /> किस नोटेशन का उपयोग किया गया है इसका परिक्षण सदैव संबंधित स्रोत से किया जाना चाहिए। इस लेख में, हम I की पंक्तियों और J के स्तंभों से तत्वों को चयनित करने की समावेशी परिभाषा का उपयोग करते हैं। असाधारण स्थिति ऊपर वर्णित प्रथम लघु अथवा (i, j)-लघु का स्थिति है; उस स्थिति में, विशिष्ट अर्थ <math display="inline">M_{i,j} = \det \left( \left( A_{p,q} \right)_{p \neq i, q \neq j} \right)</math> साहित्य में प्रत्येक स्थान पर मानक है और इस लेख में भी इसका उपयोग किया गया है।


===पूरक===
===पूरक===


पूरक, बी<sub>ijk...,pqr...</sub>, एक नाबालिग का, एम<sub>ijk...,pqr...</sub>, एक वर्ग आव्यूह का, '', आव्यूह '' के ​​निर्धारक द्वारा बनता है जिसमें से एम से जुड़ी सभी पंक्तियाँ (आईजेके...) और कॉलम (पीक्यूआर...)<sub>ijk...,pqr...</sub>हटा दिया गया है। किसी तत्व के प्रथम अवयस्क का पूरक a<sub>ij</sub>बस वह तत्व है.<ref>Bertha Jeffreys, [https://books.google.com/books?id=Qs-xdYBQ_5wC&pg=PA135 ''Methods of Mathematical Physics''], p.135, Cambridge University Press, 1999 {{isbn|0-521-66402-0}}.</ref>
वर्ग आव्यूह, '''A''' के लघु, ''M<sub>ijk...,pqr...</sub>'' का पूरक, ''B<sub>ijk...,pqr...</sub>'', आव्यूह '''A''' के सारणिक द्वारा बनता है जिसमें से ''M<sub>ijk...,pqr...</sub>'' से संयोजित सभी पंक्तियाँ (''ijk...'') और स्तम्भ (''pqr...'') विस्थापित कर दिए गए हैं। किसी तत्व ''a<sub>ij</sub>'' के प्रथम लघु का पूरक केवल वह तत्व है।<ref>Bertha Jeffreys, [https://books.google.com/books?id=Qs-xdYBQ_5wC&pg=PA135 ''Methods of Mathematical Physics''], p.135, Cambridge University Press, 1999 {{isbn|0-521-66402-0}}.</ref>


== नाबालिगों और सहकारकों के अनुप्रयोग ==
== लघु और सहगुणकों के अनुप्रयोग ==


===निर्धारक का सहकारक विस्तार===
===सारणिक का सहगुणक विस्तार===
{{main|Laplace expansion}}
{{main|लाप्लास विस्तार}}


लाप्लास विस्तार में सहकारकों को प्रमुखता से दर्शाया गया है|निर्धारकों के विस्तार के लिए लाप्लास का सूत्र, जो छोटे निर्धारकों के संदर्भ में बड़े निर्धारकों की गणना करने की एक विधि है। एक दिया गया {{nowrap|''n''&thinsp;×&thinsp;''n''}} आव्यूह <math>A = (a_{ij})</math>, का निर्धारक, जिसे डेट () कहा जाता है, को आव्यूह की किसी भी पंक्ति या स्तंभ के सहकारकों के योग के रूप में लिखा जा सकता है, जो उन्हें उत्पन्न करने वाली प्रविष्टियों से गुणा किया जाता है। दूसरे शब्दों में, परिभाषित करना <math>C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}</math> फिर जे के साथ सहकारक विस्तारवां कॉलम देता है:
सारणिकों के विस्तार के लिए लाप्लास के सूत्र में सहगुणकों को प्रमुखता से दर्शाया गया है, जो छोटे सारणिकों के संदर्भ में बड़े सारणिकों की गणना करने की विधि है। {{nowrap|''n''&thinsp;×&thinsp;''n''}} आव्यूह <math>A = (a_{ij})</math> को देखते हुए, '''A''' का सारणिक, जिसे '''det(''A'')''' कहा जाता है, आव्यूह की किसी भी पंक्ति या स्तंभ के सहगुणकों के योग को उन प्रविष्टियों से गुणा करके अंकित किया जा सकता है जो उन्हें उत्पन्न करते हैं। अन्य शब्दों में, <math>C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}</math> को परिभाषित करते हुए ''j'' th स्तंभ के साथ सहगुणक विस्तार देता है:


:<math>\ \det(\mathbf A) = a_{1j}C_{1j} + a_{2j}C_{2j} + a_{3j}C_{3j} + \cdots + a_{nj}C_{nj} = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} C_{ij} = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}(-1)^{i+j} M_{ij}  </math>
:<math>\ \det(\mathbf A) = a_{1j}C_{1j} + a_{2j}C_{2j} + a_{3j}C_{3j} + \cdots + a_{nj}C_{nj} = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} C_{ij} = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}(-1)^{i+j} M_{ij}  </math>
I के साथ सहकारक विस्तारवीं पंक्ति देती है:
''i'' th पंक्ति के साथ सहगुणक विस्तार देता है:


:<math>\ \det(\mathbf A) = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + a_{i3}C_{i3} + \cdots + a_{in}C_{in} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} C_{ij} =\sum_{j=1}^{n} a_{ij} (-1)^{i+j} M_{ij} </math>
:<math>\ \det(\mathbf A) = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + a_{i3}C_{i3} + \cdots + a_{in}C_{in} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} C_{ij} =\sum_{j=1}^{n} a_{ij} (-1)^{i+j} M_{ij} </math>


'''आव्यूह का व्युत्क्रम'''
'''आव्यूह का व्युत्क्रम'''
{{main|Invertible matrix}}
{{main|व्युत्क्रम आव्यूह}}


क्रैमर के नियम का उपयोग करके इसके सहकारकों की गणना करके कोई व्युत्क्रमणीय आव्यूह का व्युत्क्रम इस प्रकार लिख सकता है। [[उलटा मैट्रिक्स|उलटा आव्यूह]] A के सभी सहकारकों द्वारा निर्मित आव्यूह को सहकारक आव्यूह कहा जाता है (जिसे सहकारकों का आव्यूह भी कहा जाता है या, कभी-कभी, ''कोआव्यूह'' भी कहा जाता है):
क्रैमर के नियम का उपयोग करके तथा इसके सहगुणकों की गणना करके कोई व्युत्क्रमणीय आव्यूह का व्युत्क्रम इस प्रकार अंकित कर सकता है। [[उलटा मैट्रिक्स|व्युत्क्रमणीय आव्यूह]] '''A''' के सभी सहगुणकों द्वारा निर्मित आव्यूह को सहगुणक आव्यूह कहा जाता है (जिसे सहगुणकों का आव्यूह भी कहा जाता है अथवा, कभी-कभी, ''सहआव्यूह'' भी कहा जाता है):


:<math>\mathbf C=\begin{bmatrix}
:<math>\mathbf C=\begin{bmatrix}
Line 64: Line 64:
     C_{n1}  & C_{n2} & \cdots &  C_{nn}
     C_{n1}  & C_{n2} & \cdots &  C_{nn}
\end{bmatrix} </math>
\end{bmatrix} </math>
फिर A का व्युत्क्रम ''A'' के निर्धारक के व्युत्क्रम से गुणा सहकारक आव्यूह का स्थानान्तरण है:
तत्पश्चात '''A''' का व्युत्क्रम '''''A''''' के सारणिक के व्युत्क्रम से गुणा सहगुणक आव्यूह का स्थानान्तरण है:


:<math>\mathbf A^{-1} = \frac{1}{\operatorname{det}(\mathbf A)} \mathbf C^\mathsf{T}.</math>
:<math>\mathbf A^{-1} = \frac{1}{\operatorname{det}(\mathbf A)} \mathbf C^\mathsf{T}.</math>
सहकारक आव्यूह के स्थानान्तरण को '' का सहायक आव्यूह (जिसे शास्त्रीय सहायक भी कहा जाता है) कहा जाता है।
सहगुणक आव्यूह के स्थानान्तरण को '''A''' का सहायक आव्यूह (जिसे शास्त्रीय सहायक भी कहा जाता है) कहा जाता है।


उपरोक्त सूत्र को निम्नानुसार सामान्यीकृत किया जा सकता है: चलो <math>1 \le i_1 < i_2 < \ldots < i_k \le n</math> और <math>1 \le j_1 < j_2 < \ldots < j_k \le n</math> अनुक्रमितों के क्रम (प्राकृतिक क्रम में) दिए जाएं (यहां A एक ''n'' × ''n'' आव्यूह है)। तब<ref name="Prasolov1994">{{cite book|author=Viktor Vasil_evich Prasolov|title=रैखिक बीजगणित में समस्याएँ और प्रमेय|url=https://books.google.com/books?id=b4yKAwAAQBAJ&pg=PR15|date=13 June 1994|publisher=American Mathematical Soc.|isbn=978-0-8218-0236-6|pages=15–}}</ref>
उपरोक्त सूत्र को निम्नानुसार सामान्यीकृत किया जा सकता है: मान लीजिए कि <math>1 \le i_1 < i_2 < \ldots < i_k \le n</math> और <math>1 \le j_1 < j_2 < \ldots < j_k \le n</math> को सूचकांकों का अनुक्रम (प्राकृतिक क्रम में) दिया गया है (जहाँ '''A''', n × n आव्यूह है)। तब<ref name="Prasolov1994">{{cite book|author=Viktor Vasil_evich Prasolov|title=रैखिक बीजगणित में समस्याएँ और प्रमेय|url=https://books.google.com/books?id=b4yKAwAAQBAJ&pg=PR15|date=13 June 1994|publisher=American Mathematical Soc.|isbn=978-0-8218-0236-6|pages=15–}}</ref>
:<math>[\mathbf A^{-1}]_{I,J} = \pm\frac{[\mathbf A]_{J',I'}}{\det \mathbf A},</math>
:<math>[\mathbf A^{-1}]_{I,J} = \pm\frac{[\mathbf A]_{J',I'}}{\det \mathbf A},</math>
जहां I', J', I, J के पूरक सूचकांकों के क्रमबद्ध अनुक्रम को दर्शाते हैं (सूचकांक परिमाण के प्राकृतिक क्रम में हैं, जैसा कि ऊपर है), ताकि प्रत्येक सूचकांक 1, ..., n या तो I या I में बिल्कुल एक बार दिखाई दे। ', लेकिन दोनों में नहीं (समान रूप से जे और जे' के लिए) और <math>[\mathbf A]_{I,J}</math> इंडेक्स सेट ''I'' की पंक्तियों और इंडेक्स सेट ''J'' के कॉलम को चुनकर गठित के सबआव्यूह के निर्धारक को दर्शाता है। भी, <math>[\mathbf A]_{I,J} = \det \left( (A_{i_p, j_q})_{p,q = 1, \ldots, k} \right)</math>. वेज उत्पाद का उपयोग करके एक सरल प्रमाण दिया जा सकता है। वास्तव में,
जहाँ I', J', I, J के पूरक सूचकांकों के क्रमबद्ध अनुक्रम को दर्शाते हैं (सूचकांक परिमाण के प्राकृतिक क्रम में हैं, जिस प्रकार ऊपर दर्शाया गया है), जिससे कि प्रत्येक सूचकांक 1, ..., n या तो I या I' में पूर्णतः दिखाई दे, किन्तु दोनों में नहीं (समान रूप से J और J' के लिए) और <math>[\mathbf A]_{I,J}</math> सूचकांक समुच्चय ''I'' की पंक्तियों और सूचकांक समुच्चय ''J'' के स्तंभों को चयनित करके गठित '''A''' के अर्धआव्यूह के सारणिक को दर्शाता है। <math>[\mathbf A]_{I,J} = \det \left( (A_{i_p, j_q})_{p,q = 1, \ldots, k} \right)</math> के सारणिक को भी दर्शाता है। वेज गुणनफल का उपयोग करके सरल प्रमाण दिया जा सकता है। वास्तव में,


:<math>[\mathbf A^{-1}]_{I,J}(e_1\wedge\ldots \wedge e_n) = \pm(\mathbf A^{-1}e_{j_1})\wedge \ldots \wedge(\mathbf A^{-1}e_{j_k})\wedge e_{i'_1}\wedge\ldots \wedge e_{i'_{n-k}}, </math>
:<math>[\mathbf A^{-1}]_{I,J}(e_1\wedge\ldots \wedge e_n) = \pm(\mathbf A^{-1}e_{j_1})\wedge \ldots \wedge(\mathbf A^{-1}e_{j_k})\wedge e_{i'_1}\wedge\ldots \wedge e_{i'_{n-k}}, </math>
कहाँ <math>e_1, \ldots, e_n</math> आधार सदिश हैं। द्वारा दोनों तरफ से कार्य करने पर एक मिलता है
जहाँ <math>e_1, \ldots, e_n</math> आधार सदिश हैं। '''A''' द्वारा दोनों पक्ष से कार्य करने पर प्राप्त होता है-


:<math>[\mathbf A^{-1}]_{I,J}\det \mathbf A (e_1\wedge\ldots \wedge e_n) = \pm (e_{j_1})\wedge \ldots \wedge(e_{j_k})\wedge (\mathbf A e_{i'_1})\wedge\ldots \wedge (\mathbf A e_{i'_{n-k}})=\pm [\mathbf A]_{J',I'}(e_1\wedge\ldots \wedge e_n). </math>
:<math>[\mathbf A^{-1}]_{I,J}\det \mathbf A (e_1\wedge\ldots \wedge e_n) = \pm (e_{j_1})\wedge \ldots \wedge(e_{j_k})\wedge (\mathbf A e_{i'_1})\wedge\ldots \wedge (\mathbf A e_{i'_{n-k}})=\pm [\mathbf A]_{J',I'}(e_1\wedge\ldots \wedge e_n). </math>
संकेत पर काम किया जा सकता है <math>(-1)^{ \sum_{s=1}^{k} i_s - \sum_{s=1}^{k} j_s}</math>, इसलिए चिह्न I और J में तत्वों के योग से निर्धारित होता है।
चिह्न <math>(-1)^{ \sum_{s=1}^{k} i_s - \sum_{s=1}^{k} j_s}</math> प्राप्त किया जा सकता है, इसलिए चिन्ह I और J में तत्वों के योग से निर्धारित होता है।


===अन्य अनुप्रयोग===
===अन्य अनुप्रयोग===
[[वास्तविक संख्या]] प्रविष्टियों (या किसी अन्य क्षेत्र (गणित) से प्रविष्टियाँ) और [[रैंक (मैट्रिक्स सिद्धांत)|रैंक (आव्यूह सिद्धांत)]] r के साथ एक m × n आव्यूह दिया गया है, तो कम से कम एक गैर-शून्य r × r माइनर मौजूद है, जबकि सभी बड़े माइनर शून्य हैं।
[[वास्तविक संख्या]] प्रविष्टियों (अथवा किसी अन्य क्षेत्र (गणित) से प्रविष्टियाँ) और [[रैंक (मैट्रिक्स सिद्धांत)|कोटि (आव्यूह सिद्धांत)]] r के साथ m × n आव्यूह दिया गया है, तो कम से कम अशून्य r × r लघु उपस्थित है, यद्यपि सभी बड़े लघु शून्य हैं।


हम अवयस्कों के लिए निम्नलिखित नोटेशन का उपयोग करेंगे: यदि '' एक एम × एन आव्यूह है, तो मैं के तत्वों के साथ {1,...,एम} का एक उपसमुच्चय है, और जे, {1,... का एक उपसमुच्चय है। ,n} k तत्वों के साथ, फिर हम लिखते हैं ['A']<sub>''I'',''J''</sub> के लिए {{nowrap|''k''&thinsp;×&thinsp;''k''}} A का माइनर जो ''I'' में इंडेक्स वाली पंक्तियों और ''J'' में इंडेक्स वाले कॉलम से मेल खाता है।
हम लघु के लिए निम्नलिखित संकेतन का उपयोग करेंगे: यदि '''A''', m × n आव्यूह है, तो I, k तत्वों के साथ {1,...,m} का उपसमुच्चय है,, और J, k तत्वों के साथ {1,...,n} का उपसमुच्चय है, तब हम '''A''' के k × k लघु के लिए ['''A''']<sub>''I'',''J''</sub> लिखते हैं जो I में सूचकांक वाली पंक्तियों और J में सूचकांक वाले स्तंभों से युग्मित होता है।
* यदि ''मैं'' = ''जे'', तो [ए]<sub>''I'',''J''</sub> प्रधान अवयस्क कहा जाता है।
* यदि I = J, तो ['''A''']<sub>''I'',''J''</sub> को प्रमुख लघु कहा जाता है।
* यदि आव्यूह जो एक प्रिंसिपल माइनर से मेल खाता है वह एक वर्गाकार ऊपरी-बाएँ आव्यूह है (गणित) # बड़े आव्यूह का सबआव्यूह (यानी, इसमें 1 से k तक पंक्तियों और स्तंभों में आव्यूह तत्व होते हैं, जिसे एक अग्रणी प्रिंसिपल सबआव्यूह के रूप में भी जाना जाता है) ), तो प्रिंसिपल माइनर को लीडिंग प्रिंसिपल माइनर (ऑर्डर k का) या कॉर्नर (प्रिंसिपल) माइनर (ऑर्डर k का) कहा जाता है।<ref name="Encyclopedia of Mathematics">{{cite book |chapter=Minor |title=गणित का विश्वकोश|url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Minor&oldid=30176 }}</ref> n × n वर्ग आव्यूह के लिए, n प्रमुख प्रमुख अवयस्क हैं।
* यदि आव्यूह जो प्रमुख लघु से युग्मित होता है वह बड़े आव्यूह का वर्गाकार ऊपरी-बायाँ अर्धआव्यूह (गणित) है (अर्थात, इसमें 1 से k तक पंक्तियों और स्तंभों में आव्यूह तत्व होते हैं, जिसे अग्रणी प्रमुख अर्धआव्यूह के रूप में भी जाना जाता है), तो प्रमुख लघु को अग्रणी प्रमुख लघु (क्रम k का) अथवा कॉर्नर (प्रमुख) लघु (क्रम k का) कहा जाता है।<ref name="Encyclopedia of Mathematics">{{cite book |chapter=Minor |title=गणित का विश्वकोश|url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Minor&oldid=30176 }}</ref> n × n वर्ग आव्यूह के लिए, n अग्रणी प्रमुख लघु है।
* आव्यूह का एक बुनियादी माइनर एक वर्ग सबआव्यूह का निर्धारक होता है जो गैर-शून्य निर्धारक के साथ अधिकतम आकार का होता है।<ref name="Encyclopedia of Mathematics" />* [[हर्मिटियन मैट्रिक्स|हर्मिटियन आव्यूह]] के लिए, प्रमुख प्रमुख नाबालिगों का उपयोग [[सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स|सकारात्मक-निश्चित आव्यूह]] के परीक्षण के लिए किया जा सकता है और प्रमुख नाबालिगों का उपयोग सकारात्मक-अर्ध-निश्चित आव्यूह के परीक्षण के लिए किया जा सकता है। अधिक विवरण के लिए सिल्वेस्टर का मानदंड देखें।
* आव्यूह का मूल लघु वर्ग अर्धआव्यूह का सारणिक होता है जो अशून्य सारणिक के साथ अधिकतम आकार का होता है।<ref name="Encyclopedia of Mathematics" />
*[[हर्मिटियन मैट्रिक्स|हर्मिटियन आव्यूह]] के लिए, अग्रणी प्रमुख लघु का उपयोग [[सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स|धनात्मक-निश्चित आव्यूह]] के परीक्षण के लिए किया जा सकता है और प्रमुख लघु का उपयोग धनात्मक-अर्ध-निश्चित आव्यूह के परीक्षण के लिए किया जा सकता है। अधिक विवरण के लिए सिल्वेस्टर का मानदंड देखें।


साधारण [[मैट्रिक्स गुणन|आव्यूह गुणन]] के लिए सूत्र और दो आव्यूह के उत्पाद के निर्धारक के लिए कॉची-बिनेट फॉर्मूला दोनों दो आव्यूह के उत्पाद के नाबालिगों के बारे में निम्नलिखित सामान्य कथन के विशेष मामले हैं।
साधारण [[मैट्रिक्स गुणन|आव्यूह गुणन]] के लिए सूत्र और दो आव्यूह के गुणनफल के सारणिक के लिए कॉची-बिनेट सूत्र दोनों दो आव्यूह के गुणनफल के लघु के सम्बन्ध में निम्नलिखित सामान्य कथन के विशेष स्थितियाँ हैं।
मान लीजिए कि A एक ''m'' × ''n'' आव्यूह है, B एक ''n'' × ''p'' आव्यूह है, ''I'' {1,..., का एक उपसमुच्चय है ''m''} ''k'' तत्वों के साथ और ''J'' ''k'' तत्वों के साथ {1,...,''p''} का एक उपसमुच्चय है। तब
 
मान लीजिए कि '''A''', ''m'' × ''n'' आव्यूह है, '''B''', ''n'' × ''p'' आव्यूह है, I, k तत्वों के साथ {1,...,m} का उपसमुच्चय है और J, k तत्वों के साथ {1,...,p} का उपसमुच्चय है। तब,
:<math>[\mathbf{AB}]_{I,J} = \sum_{K} [\mathbf{A}]_{I,K} [\mathbf{B}]_{K,J}\,</math>
:<math>[\mathbf{AB}]_{I,J} = \sum_{K} [\mathbf{A}]_{I,K} [\mathbf{B}]_{K,J}\,</math>
जहां योग k तत्वों के साथ {1,...,n} के सभी उपसमुच्चय K पर विस्तारित होता है। यह सूत्र कॉची-बिनेट सूत्र का सीधा विस्तार है।
जहां योग k तत्वों के साथ {1,...,n} के सभी उपसमुच्चय K पर विस्तारित होता है। यह सूत्र कॉची-बिनेट सूत्र का प्रत्यक्ष विस्तार है।


==[[बहुरेखीय बीजगणित]] दृष्टिकोण==
==[[बहुरेखीय बीजगणित]] दृष्टिकोण==


वेज उत्पाद का उपयोग करते हुए, बहुरेखीय बीजगणित में माइनरों का अधिक व्यवस्थित, बीजगणितीय उपचार दिया जाता है: आव्यूह के k-माइनर, kth बाहरी पावर मैप में प्रविष्टियाँ हैं।
वेज गुणनफल का उपयोग करते हुए, बहुरेखीय बीजगणित में लघु का अधिक व्यवस्थित, बीजगणितीय उपचार दिया जाता है: आव्यूह के k-लघु, kth बाहरी गुणनफल मानचित्र में प्रविष्टियाँ होती हैं।


यदि आव्यूह के कॉलम को एक समय में एक साथ जोड़ा जाता है, तो k × k माइनर परिणामी k-वेक्टर के घटकों के रूप में दिखाई देते हैं। उदाहरण के लिए, आव्यूह के 2 × 2 माइनर्स
यदि आव्यूह के स्तम्भ को समान समय में संयोजित किया जाता है, तो k × k लघु परिणामी k-वेक्टर के घटकों के रूप में दिखाई देते हैं। उदाहरण के लिए, आव्यूह के 2 × 2 लघु
:<math>\begin{pmatrix}
:<math>\begin{pmatrix}
1 & 4 \\
1 & 4 \\
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2 & 1 \\
2 & 1 \\
\end{pmatrix}</math>
\end{pmatrix}</math>
हैं −13 (पहली दो पंक्तियों से), −7 (पहली और आखिरी पंक्ति से), और 5 (अंतिम दो पंक्तियों से)अब वेज उत्पाद पर विचार करें
-13 (प्रथम दो पंक्तियों से), -7 (प्रथम और अंतिम पंक्ति से), और 5 (अंतिम दो पंक्तियों से) हैं। अब वेज गुणनफल पर विचार करें,
:<math>(\mathbf{e}_1 + 3\mathbf{e}_2 +2\mathbf{e}_3)\wedge(4\mathbf{e}_1-\mathbf{e}_2+\mathbf{e}_3)</math>
:<math>(\mathbf{e}_1 + 3\mathbf{e}_2 +2\mathbf{e}_3)\wedge(4\mathbf{e}_1-\mathbf{e}_2+\mathbf{e}_3)</math>
जहां दो अभिव्यक्तियां हमारे आव्यूह के दो स्तंभों से मेल खाती हैं। वेज उत्पाद के गुणों का उपयोग करते हुए, अर्थात् यह [[द्विरेखीय मानचित्र]] और [[वैकल्पिक बहुरेखीय मानचित्र]] है,
जहां दो अभिव्यक्तियां हमारे आव्यूह के दो स्तंभों से युग्मित होती हैं। वेज गुणनफल के गुणों का उपयोग करते हुए, अर्थात् यह [[द्विरेखीय मानचित्र]] और [[वैकल्पिक बहुरेखीय मानचित्र]] है,
:<math>\mathbf{e}_i\wedge \mathbf{e}_i = 0,</math>
:<math>\mathbf{e}_i\wedge \mathbf{e}_i = 0,</math>
और [[प्रतिसंक्रामकता]],
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हम इस अभिव्यक्ति को सरल बना सकते हैं
हम इस अभिव्यक्ति को सरल बना सकते हैं
:<math> -13 \mathbf{e}_1\wedge \mathbf{e}_2 -7 \mathbf{e}_1\wedge \mathbf{e}_3 +5 \mathbf{e}_2\wedge \mathbf{e}_3</math>
:<math> -13 \mathbf{e}_1\wedge \mathbf{e}_2 -7 \mathbf{e}_1\wedge \mathbf{e}_3 +5 \mathbf{e}_2\wedge \mathbf{e}_3</math>
जहां गुणांक पहले गणना किए गए नाबालिगों से सहमत हैं।
जहां गुणांक पूर्व गणना किए गए लघु से सहमत हैं।


==विभिन्न संकेतन के बारे में एक टिप्पणी==
==विभिन्न संकेतन के सम्बन्ध में टिप्पणी==
कुछ पुस्तकों में सहकारक के स्थान पर सहायक शब्द का प्रयोग किया जाता है।<ref>[[Felix Gantmacher]], ''Theory of matrices'' (1st ed., original language is Russian), Moscow: State Publishing House of technical and theoretical literature, 1953, p.491,</ref> इसके अलावा, इसे ए के रूप में दर्शाया गया है<sub>''ij''</sub> और सहकारक के समान ही परिभाषित किया गया है:
कुछ पुस्तकों में सहगुणक के स्थान पर सहायक शब्द का प्रयोग किया जाता है।<ref>[[Felix Gantmacher]], ''Theory of matrices'' (1st ed., original language is Russian), Moscow: State Publishing House of technical and theoretical literature, 1953, p.491,</ref> इसके अतिरिक्त, इसे '''A'''<sub>''ij''</sub> के रूप में दर्शाया गया है और सहगुणक के समान ही परिभाषित किया गया है:
::<math>\mathbf{A}_{ij} = (-1)^{i+j} \mathbf{M}_{ij}</math>
::<math>\mathbf{A}_{ij} = (-1)^{i+j} \mathbf{M}_{ij}</math>
इस नोटेशन का उपयोग करके व्युत्क्रम आव्यूह को इस प्रकार लिखा जाता है:
इस संकेतन का उपयोग करके व्युत्क्रम आव्यूह को इस प्रकार अंकित किया जाता है:
:<math>\mathbf{M}^{-1} = \frac{1}{\det(M)}\begin{bmatrix}
:<math>\mathbf{M}^{-1} = \frac{1}{\det(M)}\begin{bmatrix}
     A_{11}  & A_{21} & \cdots &  A_{n1}  \\
     A_{11}  & A_{21} & \cdots &  A_{n1}  \\
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     A_{1n}  & A_{2n} & \cdots &  A_{nn}
     A_{1n}  & A_{2n} & \cdots &  A_{nn}
\end{bmatrix} </math>
\end{bmatrix} </math>
ध्यान रखें कि सहायक सहायक या सहायक नहीं है। आधुनिक शब्दावली में, आव्यूह का [[ उप ]] अक्सर संबंधित [[ सहायक संचालिका ]] को संदर्भित करता है।
ध्यान रखें कि एडजॉइंट एडजंक्ट अथवा सहखंडज नहीं है। आधुनिक शब्दावली में, आव्यूह का [[ उप |एडजॉइंट]] अधिकांशतः संबंधित [[ सहायक संचालिका |एडजॉइंट]][[ सहायक संचालिका | संकारक]] को संदर्भित करता है।


==यह भी देखें==
==यह भी देखें==
* सबआव्यूह
* अर्धआव्यूह


==संदर्भ==
==संदर्भ==
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Latest revision as of 15:11, 2 August 2023

रैखिक बीजगणित में, आव्यूह (गणित) A का लघु, A की अधिक पंक्तियों और स्तंभों को विस्थापित करके A से विभक्त किये गए कुछ छोटे वर्ग आव्यूह का सारणिक होता है। वर्ग आव्यूहों (प्रथम लघु) से केवल पंक्ति और स्तंभ को विस्थापित करके प्राप्त किए गए लघु की आवश्यकता आव्यूह सहगुणकों की गणना के लिए होती है, जो विनिमय में वर्ग आव्यूहों के सारणिक और व्युत्क्रम आव्यूह दोनों की गणना के लिए उपयोगी होते हैं। इस प्रकार परिभाषा में यह आवश्यकता अधिकांशतः त्याग दी जाती है कि वर्ग आव्यूह मूल आव्यूह से छोटा होता है।

परिभाषा और चित्रण

प्रथम लघु

यदि A वर्ग आव्यूह है, तो i th पंक्ति और j th स्तंभ में प्रविष्टि का लघु (जिसे (i, j) लघु, या प्रथम लघु भी कहा जाता है[1]) i th पंक्ति और j th स्तंभ को विस्थापित करके गठित अर्धआव्यूह का सारणिक है। इस संख्या को अधिकांशतः Mi,j से दर्शाया जाता है। (i, j) सहगुणक लघु को गुणा करके प्राप्त किया जाता है।

इन परिभाषाओं को स्पष्ट करने के लिए, निम्नलिखित 3 बटा 3 आव्यूह पर विचार करें,

लघु M2,3 और सहगुणक C2,3, की गणना करने के लिए, हम पंक्ति 2 और स्तंभ 3 को विस्थापित करके उपरोक्त आव्यूह के सारणिक का अन्वेषण करते हैं।

तो (2,3) प्रविष्टि का सहगुणक है-

सामान्य परिभाषा

मान लीजिए A, m × n आव्यूह है और k, 0 < km, और kn के साथ पूर्णांक है। इस प्रकार A का k × k लघु, जिसे A के क्रम k का लघु सारणिक भी कहा जाता है अथवा, यदि m = n, (nk)th, A का लघु सारणिक (सारणिक शब्द अधिकांशतः त्याग दिया जाता है, और कभी-कभी क्रम के अतिरिक्त डिग्री शब्द का उपयोग किया जाता है) m−k पंक्तियों और n−k स्तंभों को विस्थापित करके A से प्राप्त k × k आव्यूह का सारणिक है। इस प्रकार कभी-कभी इस शब्द का उपयोग उपरोक्त A से प्राप्त k × k आव्यूह को संदर्भित करने के लिए किया जाता है (m−k पंक्तियों और n−k स्तंभों को विस्थापित करके), किन्तु इस आव्यूह को A के (वर्ग) अर्धआव्यूह के रूप में संदर्भित किया जाना चाहिए, इस आव्यूह के सारणिक को संदर्भित करने के लिए लघु शब्द को त्याग देना चाहिए। उपरोक्त आव्यूह A के लिए, k × k आकार के कुल लघु हैं। इस प्रकार क्रम शून्य के लघु को अधिकांशतः 1 के रूप में परिभाषित किया जाता है। वर्ग आव्यूह के लिए, शून्यवां लघु केवल आव्यूह का सारणिक होता है।[2][3]

मान लीजिए कि और को अनुक्रमित किया गया है (प्राकृतिक क्रम में, जिस प्रकार सदैव लघु के सम्बन्ध विचार करते समय माना जाता है जब तक कि अन्यथा न कहा गया हो), उन्हें क्रमशः I और J कहते हैं। अनुक्रमणिका के इन विकल्पों के अनुरूप लघु को स्रोत के आधार पर अथवा अथवा अथवा अथवा अथवा (जहां सूचकांक I, आदि के अनुक्रम को दर्शाता है) दर्शाया गया है। इसके अतिरिक्त, साहित्य में उपयोग किये जाने वाले दो प्रकार के संकेत होते हैं: सूचकांक I और J के क्रमबद्ध अनुक्रमों से संयोजित लघु से कुछ लेखकों[4] का तात्पर्य आव्यूह के सारणिक से है जो उपरोक्त के रूप में बनता है, मूल आव्यूह के तत्वों को उन पंक्तियों से लेकर जिनके सूचकांक I में हैं और जिन स्तंभों के सूचकांक J में हैं, यद्यपि कुछ अन्य लेखकों का तात्पर्य I और J से संयोजित लघु से है जो I में पंक्तियों और J में स्तंभों को विस्थापित करके मूल आव्यूह से बने आव्यूह के सारणिक हैं।[2] किस नोटेशन का उपयोग किया गया है इसका परिक्षण सदैव संबंधित स्रोत से किया जाना चाहिए। इस लेख में, हम I की पंक्तियों और J के स्तंभों से तत्वों को चयनित करने की समावेशी परिभाषा का उपयोग करते हैं। असाधारण स्थिति ऊपर वर्णित प्रथम लघु अथवा (i, j)-लघु का स्थिति है; उस स्थिति में, विशिष्ट अर्थ साहित्य में प्रत्येक स्थान पर मानक है और इस लेख में भी इसका उपयोग किया गया है।

पूरक

वर्ग आव्यूह, A के लघु, Mijk...,pqr... का पूरक, Bijk...,pqr..., आव्यूह A के सारणिक द्वारा बनता है जिसमें से Mijk...,pqr... से संयोजित सभी पंक्तियाँ (ijk...) और स्तम्भ (pqr...) विस्थापित कर दिए गए हैं। किसी तत्व aij के प्रथम लघु का पूरक केवल वह तत्व है।[5]

लघु और सहगुणकों के अनुप्रयोग

सारणिक का सहगुणक विस्तार

सारणिकों के विस्तार के लिए लाप्लास के सूत्र में सहगुणकों को प्रमुखता से दर्शाया गया है, जो छोटे सारणिकों के संदर्भ में बड़े सारणिकों की गणना करने की विधि है। n × n आव्यूह को देखते हुए, A का सारणिक, जिसे det(A) कहा जाता है, आव्यूह की किसी भी पंक्ति या स्तंभ के सहगुणकों के योग को उन प्रविष्टियों से गुणा करके अंकित किया जा सकता है जो उन्हें उत्पन्न करते हैं। अन्य शब्दों में, को परिभाषित करते हुए j th स्तंभ के साथ सहगुणक विस्तार देता है:

i th पंक्ति के साथ सहगुणक विस्तार देता है:

आव्यूह का व्युत्क्रम

क्रैमर के नियम का उपयोग करके तथा इसके सहगुणकों की गणना करके कोई व्युत्क्रमणीय आव्यूह का व्युत्क्रम इस प्रकार अंकित कर सकता है। व्युत्क्रमणीय आव्यूह A के सभी सहगुणकों द्वारा निर्मित आव्यूह को सहगुणक आव्यूह कहा जाता है (जिसे सहगुणकों का आव्यूह भी कहा जाता है अथवा, कभी-कभी, सहआव्यूह भी कहा जाता है):

तत्पश्चात A का व्युत्क्रम A के सारणिक के व्युत्क्रम से गुणा सहगुणक आव्यूह का स्थानान्तरण है:

सहगुणक आव्यूह के स्थानान्तरण को A का सहायक आव्यूह (जिसे शास्त्रीय सहायक भी कहा जाता है) कहा जाता है।

उपरोक्त सूत्र को निम्नानुसार सामान्यीकृत किया जा सकता है: मान लीजिए कि और को सूचकांकों का अनुक्रम (प्राकृतिक क्रम में) दिया गया है (जहाँ A, n × n आव्यूह है)। तब[6]

जहाँ I', J', I, J के पूरक सूचकांकों के क्रमबद्ध अनुक्रम को दर्शाते हैं (सूचकांक परिमाण के प्राकृतिक क्रम में हैं, जिस प्रकार ऊपर दर्शाया गया है), जिससे कि प्रत्येक सूचकांक 1, ..., n या तो I या I' में पूर्णतः दिखाई दे, किन्तु दोनों में नहीं (समान रूप से J और J' के लिए) और सूचकांक समुच्चय I की पंक्तियों और सूचकांक समुच्चय J के स्तंभों को चयनित करके गठित A के अर्धआव्यूह के सारणिक को दर्शाता है। के सारणिक को भी दर्शाता है। वेज गुणनफल का उपयोग करके सरल प्रमाण दिया जा सकता है। वास्तव में,

जहाँ आधार सदिश हैं। A द्वारा दोनों पक्ष से कार्य करने पर प्राप्त होता है-

चिह्न प्राप्त किया जा सकता है, इसलिए चिन्ह I और J में तत्वों के योग से निर्धारित होता है।

अन्य अनुप्रयोग

वास्तविक संख्या प्रविष्टियों (अथवा किसी अन्य क्षेत्र (गणित) से प्रविष्टियाँ) और कोटि (आव्यूह सिद्धांत) r के साथ m × n आव्यूह दिया गया है, तो कम से कम अशून्य r × r लघु उपस्थित है, यद्यपि सभी बड़े लघु शून्य हैं।

हम लघु के लिए निम्नलिखित संकेतन का उपयोग करेंगे: यदि A, m × n आव्यूह है, तो I, k तत्वों के साथ {1,...,m} का उपसमुच्चय है,, और J, k तत्वों के साथ {1,...,n} का उपसमुच्चय है, तब हम A के k × k लघु के लिए [A]I,J लिखते हैं जो I में सूचकांक वाली पंक्तियों और J में सूचकांक वाले स्तंभों से युग्मित होता है।

  • यदि I = J, तो [A]I,J को प्रमुख लघु कहा जाता है।
  • यदि आव्यूह जो प्रमुख लघु से युग्मित होता है वह बड़े आव्यूह का वर्गाकार ऊपरी-बायाँ अर्धआव्यूह (गणित) है (अर्थात, इसमें 1 से k तक पंक्तियों और स्तंभों में आव्यूह तत्व होते हैं, जिसे अग्रणी प्रमुख अर्धआव्यूह के रूप में भी जाना जाता है), तो प्रमुख लघु को अग्रणी प्रमुख लघु (क्रम k का) अथवा कॉर्नर (प्रमुख) लघु (क्रम k का) कहा जाता है।[3] n × n वर्ग आव्यूह के लिए, n अग्रणी प्रमुख लघु है।
  • आव्यूह का मूल लघु वर्ग अर्धआव्यूह का सारणिक होता है जो अशून्य सारणिक के साथ अधिकतम आकार का होता है।[3]
  • हर्मिटियन आव्यूह के लिए, अग्रणी प्रमुख लघु का उपयोग धनात्मक-निश्चित आव्यूह के परीक्षण के लिए किया जा सकता है और प्रमुख लघु का उपयोग धनात्मक-अर्ध-निश्चित आव्यूह के परीक्षण के लिए किया जा सकता है। अधिक विवरण के लिए सिल्वेस्टर का मानदंड देखें।

साधारण आव्यूह गुणन के लिए सूत्र और दो आव्यूह के गुणनफल के सारणिक के लिए कॉची-बिनेट सूत्र दोनों दो आव्यूह के गुणनफल के लघु के सम्बन्ध में निम्नलिखित सामान्य कथन के विशेष स्थितियाँ हैं।

मान लीजिए कि A, m × n आव्यूह है, B, n × p आव्यूह है, I, k तत्वों के साथ {1,...,m} का उपसमुच्चय है और J, k तत्वों के साथ {1,...,p} का उपसमुच्चय है। तब,

जहां योग k तत्वों के साथ {1,...,n} के सभी उपसमुच्चय K पर विस्तारित होता है। यह सूत्र कॉची-बिनेट सूत्र का प्रत्यक्ष विस्तार है।

बहुरेखीय बीजगणित दृष्टिकोण

वेज गुणनफल का उपयोग करते हुए, बहुरेखीय बीजगणित में लघु का अधिक व्यवस्थित, बीजगणितीय उपचार दिया जाता है: आव्यूह के k-लघु, kth बाहरी गुणनफल मानचित्र में प्रविष्टियाँ होती हैं।

यदि आव्यूह के स्तम्भ को समान समय में संयोजित किया जाता है, तो k × k लघु परिणामी k-वेक्टर के घटकों के रूप में दिखाई देते हैं। उदाहरण के लिए, आव्यूह के 2 × 2 लघु

-13 (प्रथम दो पंक्तियों से), -7 (प्रथम और अंतिम पंक्ति से), और 5 (अंतिम दो पंक्तियों से) हैं। अब वेज गुणनफल पर विचार करें,

जहां दो अभिव्यक्तियां हमारे आव्यूह के दो स्तंभों से युग्मित होती हैं। वेज गुणनफल के गुणों का उपयोग करते हुए, अर्थात् यह द्विरेखीय मानचित्र और वैकल्पिक बहुरेखीय मानचित्र है,

और प्रतिसंक्रामकता,

हम इस अभिव्यक्ति को सरल बना सकते हैं

जहां गुणांक पूर्व गणना किए गए लघु से सहमत हैं।

विभिन्न संकेतन के सम्बन्ध में टिप्पणी

कुछ पुस्तकों में सहगुणक के स्थान पर सहायक शब्द का प्रयोग किया जाता है।[7] इसके अतिरिक्त, इसे Aij के रूप में दर्शाया गया है और सहगुणक के समान ही परिभाषित किया गया है:

इस संकेतन का उपयोग करके व्युत्क्रम आव्यूह को इस प्रकार अंकित किया जाता है:

ध्यान रखें कि एडजॉइंट एडजंक्ट अथवा सहखंडज नहीं है। आधुनिक शब्दावली में, आव्यूह का एडजॉइंट अधिकांशतः संबंधित एडजॉइंट संकारक को संदर्भित करता है।

यह भी देखें

  • अर्धआव्यूह

संदर्भ

  1. Burnside, William Snow & Panton, Arthur William (1886) Theory of Equations: with an Introduction to the Theory of Binary Algebraic Form.
  2. 2.0 2.1 Elementary Matrix Algebra (Third edition), Franz E. Hohn, The Macmillan Company, 1973, ISBN 978-0-02-355950-1
  3. 3.0 3.1 3.2 "Minor". गणित का विश्वकोश.
  4. Linear Algebra and Geometry, Igor R. Shafarevich, Alexey O. Remizov, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013, ISBN 978-3-642-30993-9
  5. Bertha Jeffreys, Methods of Mathematical Physics, p.135, Cambridge University Press, 1999 ISBN 0-521-66402-0.
  6. Viktor Vasil_evich Prasolov (13 June 1994). रैखिक बीजगणित में समस्याएँ और प्रमेय. American Mathematical Soc. pp. 15–. ISBN 978-0-8218-0236-6.
  7. Felix Gantmacher, Theory of matrices (1st ed., original language is Russian), Moscow: State Publishing House of technical and theoretical literature, 1953, p.491,


बाहरी संबंध