कॉनवे बहुपद (परिमित क्षेत्र): Difference between revisions
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गणित में, | गणित में, [[परिमित क्षेत्र]] F<sub>''p''<sup>''n''</sup></sub> के लिए कॉनवे बहुपद ''C''<sub>''p'',''n''</sub> 'F<sub>''p''</sub>' के ऊपर घात n का एक विशेष अपरिवर्तनीय बहुपद है इसका उपयोग ''C''<sub>''p'',''n''</sub> के विभाजन क्षेत्र के रूप में F<sub>''p''<sup>''n''</sup></sub> के मानक प्रतिनिधित्व को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है सी के [[विभाजन क्षेत्र]] के रूप में C<sub>''p'',''n''</sub>. कॉनवे बहुपदों का नाम रिचर्ड a. पार्कर द्वारा जॉन एच. कॉनवे के नाम पर रखा गया था, जो उन्हें परिभाषित करने और उदाहरणों की गणना करने वाले पहले व्यक्ति थे। कॉनवे बहुपद एक निश्चित अनुकूलता शर्त को पूरा करते हैं जो कॉनवे द्वारा एक क्षेत्र के प्रतिनिधित्व और उसके उपक्षेत्रों के प्रतिनिधित्व के बीच प्रस्तावित की गई थी। वे [[कंप्यूटर बीजगणित]] में महत्वपूर्ण हैं जहां वे विभिन्न गणितीय डेटाबेस और कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों के बीच पोर्टेबिलिटी प्रदान करते हैं। चूंकि कॉनवे बहुपद की गणना करना महंगा है, इसलिए उन्हें व्यवहार में उपयोग करने के लिए संग्रहीत किया जाना चाहिए। कॉनवे बहुपदों के डेटाबेस कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली जीएपी में उपलब्ध हैं,<ref>{{cite book | ||
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==पृष्ठभूमि== | ==पृष्ठभूमि== | ||
F<sub>''p''<sup>''n''</sup></sub> के तत्वों को a<sub>''n''−1</sub>β<sup>n−1</sup> + ... + a<sub>1</sub>β+ a<sub>0</sub> के रूप में दर्शाया जा सकता है जहां 'βF<sub>p</sub>' के ऊपर घात n वाले एक अप्रासंगिक बहुपद का मूल है और a<sub>''j''</sub> F<sub>''p''</sub> के तत्व हैं. इस प्रतिनिधित्व में फ़ील्ड तत्वों का जोड़ केवल वेक्टर जोड़ है। जबकि समरूपता तक क्रम p<sup>n</sup> का एक अद्वितीय परिमित क्षेत्र है, क्षेत्र तत्वों का प्रतिनिधित्व अपरिवर्तनीय बहुपद की पसंद पर निर्भर करता है। कॉनवे बहुपद इस विकल्प को मानकीकृत करने का एक तरीका है। | |||
एक परिमित क्षेत्र के गैर-शून्य तत्व गुणन के तहत एक [[चक्रीय समूह]] बनाते हैं। 'F | एक परिमित क्षेत्र के गैर-शून्य तत्व गुणन के तहत एक [[चक्रीय समूह]] बनाते हैं। 'F<sub>''p''<sup>''n''</sup></sub>' का एक [[आदिम तत्व (परिमित क्षेत्र)]], α, एक ऐसा तत्व है जो इस समूह को उत्पन्न करता है। गैर-शून्य क्षेत्र तत्वों को α की शक्तियों के रूप में प्रस्तुत करने से क्षेत्र में गुणन कुशलतापूर्वक किया जा सकता है। α के लिए [[आदिम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत)]] 'F<sub>''p''</sub>' में गुणांक के साथ सबसे छोटी संभव डिग्री का मोनिक बहुपद है 'F<sub>''p''<sup>''n''</sup></sub>' में मूल के रूप में α है (α के लिए [[न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत)]])। यह आवश्यक रूप से अपरिवर्तनीय है. कॉनवे बहुपद को आदिम होने के लिए चुना गया है, ताकि इसकी प्रत्येक जड़ संबंधित परिमित क्षेत्र के गुणक समूह को उत्पन्न कर सके। | ||
' | 'F<sub>''p''<sup>''n''</sup></sub>' के उपक्षेत्र फ़ील्ड M को विभाजित करने वाले N के साथ क्षेत्र 'F<sub>''p''<sup>''m''</sup></sub>' के अशून्य तत्वों से बना चक्रीय समूह F<sub>''p''<sup>''n''</sup></sub> के चक्रीय समूह का एक उपसमूह है. यदि α उत्तरार्द्ध उत्पन्न करता है, तो α की सबसे छोटी शक्ति जो पूर्व उत्पन्न करती है वह α<sup>r</sup> है जहां r = (p)<sup>n</sup> - 1)/(Pm - 1) है।यदि F<sub>''n''</sub>, जड़ α के साथ F<sub>''p''<sup>''n''</sup></sub> के लिए एक आदिम बहुपद है, और यदि f<sub>''m''</sub> F<sub>''p''<sup>''m''</sup></sub> के लिए एक आदिम बहुपद है, तो कॉनवे की परिभाषा के अनुसार, F<sub>''m''</sub> और F<sub>''n''</sub> संगत हैं यदि ''α''<sup>r</sup>f<sub>''m''</sub> का मूल है. इसके लिए आवश्यक है कि F<sub>''m''</sub>(x) f<sub>''n''</sub>(X<sup>r</sup>) को विभाजित करें। अनुकूलता की इस धारणा को कुछ लेखक 'मानक-संगतता' कहते हैं। एक परिमित क्षेत्र के लिए कॉनवे बहुपद को चुना जाता है ताकि वह इसके प्रत्येक उपक्षेत्र के कॉनवे बहुपद के साथ संगत हो सके। इस तरह से चुनाव करना संभव है, यह वर्नर निकेल ने साबित किया था।<ref>{{citation | ||
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|title = Endliche Körper in dem gruppentheoretischen Programmsystem GAP | |title = Endliche Körper in dem gruppentheoretischen Programmsystem GAP | ||
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|accessdate = 10 February 2011 | |accessdate = 10 February 2011 | ||
}}.</ref> | }}.</ref> | ||
==परिभाषा== | ==परिभाषा== | ||
कॉनवे बहुपद | कॉनवे बहुपद C<sub>''p'',''n''</sub> इसे 'F<sub>''p''</sub>' के ऊपर डिग्री n के शब्दकोषीय रूप से न्यूनतम मोनिक आदिम बहुपद के रूप में परिभाषित किया गया है जो सभी m को विभाजित करने वाले n के लिए यह C<sub>''p'',''m''</sub> के साथ संगत है । यह n पर एक आगमनात्मक परिभाषा है: आधार घटना C<sub>''p'',1</sub>(x) = x − α है जहां α 'F<sub>''p''</sub>' का शब्दकोषीय रूप से न्यूनतम आदिम तत्व है. प्रयुक्त शब्दावली क्रम की धारणा निम्नलिखित है: | ||
* | * F<sub>''p''</sub> के तत्व 0 < 1 < 2 < ... < p - 1 का आदेश दिया गया है। | ||
* ' | * 'F<sub>''p''</sub>[x]' में डिग्री डी का एक बहुपद a<sub>''d''</sub>x<sup>d</sup> - a<sub>''d''−1</sub>x<sup>d−1</sup> + ... + (−1)<sup>d</sup>a<sub>0</sub> लिखा है और फिर शब्द a<sub>''d''</sub>a<sub>''d''−1</sub>... a<sub>0</sub>. के रूप में व्यक्त किया जाता है। घात d वाले दो बहुपदों को उनके संगत शब्दों के शाब्दिक क्रम के अनुसार क्रमबद्ध किया गया है। | ||
चूँकि ऐसा कोई प्राकृतिक गणितीय मानदंड प्रतीत नहीं होता है जो अन्य सभी पर अनुकूलता की शर्तों को पूरा करने वाले एक राक्षसी आदिम बहुपद को अलग कर देगा, कॉनवे बहुपद की परिभाषा में [[शब्दकोषीय क्रम]] लगाने को एक सम्मेलन के रूप में माना जाना चाहिए। | चूँकि ऐसा कोई प्राकृतिक गणितीय मानदंड प्रतीत नहीं होता है जो अन्य सभी पर अनुकूलता की शर्तों को पूरा करने वाले एक राक्षसी आदिम बहुपद को अलग कर देगा, कॉनवे बहुपद की परिभाषा में [[शब्दकोषीय क्रम]] लगाने को एक सम्मेलन के रूप में माना जाना चाहिए। | ||
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कॉनवे बहुपद की गणना के लिए एल्गोरिदम जो जानवर-बल | कॉनवे बहुपद की गणना के लिए एल्गोरिदम जो जानवर-बल शोध से अधिक कुशल हैं, हीथ और लोहर द्वारा विकसित किए गए हैं।<ref>{{cite web | ||
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Latest revision as of 14:09, 3 August 2023
गणित में, परिमित क्षेत्र Fpn के लिए कॉनवे बहुपद Cp,n 'Fp' के ऊपर घात n का एक विशेष अपरिवर्तनीय बहुपद है इसका उपयोग Cp,n के विभाजन क्षेत्र के रूप में Fpn के मानक प्रतिनिधित्व को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है सी के विभाजन क्षेत्र के रूप में Cp,n. कॉनवे बहुपदों का नाम रिचर्ड a. पार्कर द्वारा जॉन एच. कॉनवे के नाम पर रखा गया था, जो उन्हें परिभाषित करने और उदाहरणों की गणना करने वाले पहले व्यक्ति थे। कॉनवे बहुपद एक निश्चित अनुकूलता शर्त को पूरा करते हैं जो कॉनवे द्वारा एक क्षेत्र के प्रतिनिधित्व और उसके उपक्षेत्रों के प्रतिनिधित्व के बीच प्रस्तावित की गई थी। वे कंप्यूटर बीजगणित में महत्वपूर्ण हैं जहां वे विभिन्न गणितीय डेटाबेस और कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों के बीच पोर्टेबिलिटी प्रदान करते हैं। चूंकि कॉनवे बहुपद की गणना करना महंगा है, इसलिए उन्हें व्यवहार में उपयोग करने के लिए संग्रहीत किया जाना चाहिए। कॉनवे बहुपदों के डेटाबेस कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली जीएपी में उपलब्ध हैं,[1] विनोदी,[2] मैग्मा कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली,[3] सेजमैथ,[4] और फ़्रैंक ल्यूबेक की वेब साइट पर उपलब्ध हैं।[5]
पृष्ठभूमि
Fpn के तत्वों को an−1βn−1 + ... + a1β+ a0 के रूप में दर्शाया जा सकता है जहां 'βFp' के ऊपर घात n वाले एक अप्रासंगिक बहुपद का मूल है और aj Fp के तत्व हैं. इस प्रतिनिधित्व में फ़ील्ड तत्वों का जोड़ केवल वेक्टर जोड़ है। जबकि समरूपता तक क्रम pn का एक अद्वितीय परिमित क्षेत्र है, क्षेत्र तत्वों का प्रतिनिधित्व अपरिवर्तनीय बहुपद की पसंद पर निर्भर करता है। कॉनवे बहुपद इस विकल्प को मानकीकृत करने का एक तरीका है।
एक परिमित क्षेत्र के गैर-शून्य तत्व गुणन के तहत एक चक्रीय समूह बनाते हैं। 'Fpn' का एक आदिम तत्व (परिमित क्षेत्र), α, एक ऐसा तत्व है जो इस समूह को उत्पन्न करता है। गैर-शून्य क्षेत्र तत्वों को α की शक्तियों के रूप में प्रस्तुत करने से क्षेत्र में गुणन कुशलतापूर्वक किया जा सकता है। α के लिए आदिम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत) 'Fp' में गुणांक के साथ सबसे छोटी संभव डिग्री का मोनिक बहुपद है 'Fpn' में मूल के रूप में α है (α के लिए न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत))। यह आवश्यक रूप से अपरिवर्तनीय है. कॉनवे बहुपद को आदिम होने के लिए चुना गया है, ताकि इसकी प्रत्येक जड़ संबंधित परिमित क्षेत्र के गुणक समूह को उत्पन्न कर सके।
'Fpn' के उपक्षेत्र फ़ील्ड M को विभाजित करने वाले N के साथ क्षेत्र 'Fpm' के अशून्य तत्वों से बना चक्रीय समूह Fpn के चक्रीय समूह का एक उपसमूह है. यदि α उत्तरार्द्ध उत्पन्न करता है, तो α की सबसे छोटी शक्ति जो पूर्व उत्पन्न करती है वह αr है जहां r = (p)n - 1)/(Pm - 1) है।यदि Fn, जड़ α के साथ Fpn के लिए एक आदिम बहुपद है, और यदि fm Fpm के लिए एक आदिम बहुपद है, तो कॉनवे की परिभाषा के अनुसार, Fm और Fn संगत हैं यदि αrfm का मूल है. इसके लिए आवश्यक है कि Fm(x) fn(Xr) को विभाजित करें। अनुकूलता की इस धारणा को कुछ लेखक 'मानक-संगतता' कहते हैं। एक परिमित क्षेत्र के लिए कॉनवे बहुपद को चुना जाता है ताकि वह इसके प्रत्येक उपक्षेत्र के कॉनवे बहुपद के साथ संगत हो सके। इस तरह से चुनाव करना संभव है, यह वर्नर निकेल ने साबित किया था।[6]
परिभाषा
कॉनवे बहुपद Cp,n इसे 'Fp' के ऊपर डिग्री n के शब्दकोषीय रूप से न्यूनतम मोनिक आदिम बहुपद के रूप में परिभाषित किया गया है जो सभी m को विभाजित करने वाले n के लिए यह Cp,m के साथ संगत है । यह n पर एक आगमनात्मक परिभाषा है: आधार घटना Cp,1(x) = x − α है जहां α 'Fp' का शब्दकोषीय रूप से न्यूनतम आदिम तत्व है. प्रयुक्त शब्दावली क्रम की धारणा निम्नलिखित है:
- Fp के तत्व 0 < 1 < 2 < ... < p - 1 का आदेश दिया गया है।
- 'Fp[x]' में डिग्री डी का एक बहुपद adxd - ad−1xd−1 + ... + (−1)da0 लिखा है और फिर शब्द adad−1... a0. के रूप में व्यक्त किया जाता है। घात d वाले दो बहुपदों को उनके संगत शब्दों के शाब्दिक क्रम के अनुसार क्रमबद्ध किया गया है।
चूँकि ऐसा कोई प्राकृतिक गणितीय मानदंड प्रतीत नहीं होता है जो अन्य सभी पर अनुकूलता की शर्तों को पूरा करने वाले एक राक्षसी आदिम बहुपद को अलग कर देगा, कॉनवे बहुपद की परिभाषा में शब्दकोषीय क्रम लगाने को एक सम्मेलन के रूप में माना जाना चाहिए।
गणना
कॉनवे बहुपद की गणना के लिए एल्गोरिदम जो जानवर-बल शोध से अधिक कुशल हैं, हीथ और लोहर द्वारा विकसित किए गए हैं।[7] लुबेक इंगित करता है[5]कि उनका एल्गोरिदम पार्कर की पद्धति की पुनः शोध है।
टिप्पणियाँ
- ↑ "Chapter 59". GAP 4 Manual. The GAP Group. Retrieved 8 February 2011.
- ↑ Grayson, Daniel R.; Stillman, Michael E. "Macaulay2, a software system for research in algebraic geometry". Archived from the original on 20 July 2011. Retrieved 9 February 2011.
- ↑ Bosma, W.; Steel, A. "Magma handbook: finite fields". Computational Algebra Group, School of Mathematics and Statistics, University of Sydney. Retrieved 8 February 2011.
- ↑ "Frank Luebeck's tables of Conway polynomials over finite fields". The Sage Development Team. Retrieved 18 March 2013.
- ↑ 5.0 5.1 Lübeck, Frank. "Conway polynomials for finite fields". Retrieved 8 February 2011.
- ↑ Nickel, Werner (1988), Endliche Körper in dem gruppentheoretischen Programmsystem GAP, Diploma thesis, RWTH Aachen, retrieved 10 February 2011.
- ↑ Heath, Lenwood S.; Loehr, Nicholas A. (1998). "New algorithms for generating Conway polynomials over finite fields". Virginia Polytechnic Institute and State University. Technical Report ncstrl.vatech_cs//TR-98-14, Computer Science. Retrieved 8 February 2011.
संदर्भ
- होल्ट, डेरेक एफ.; ईक, बेट्टिना; ओ ब्रायन, एमानो ए. (2005), कम्प्यूटेशनल समूह सिद्धांत की पुस्तिका, पृथक गणित और उसके अनुप्रयोग, vol. 24, सीआरसी प्रेस, ISBN 978-1-58488-372-2
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