कॉनवे बहुपद (परिमित क्षेत्र)

गणित में, परिमित क्षेत्र F_pⁿ के लिए कॉनवे बहुपद C_p,n 'F_p' के ऊपर घात n का एक विशेष अपरिवर्तनीय बहुपद है इसका उपयोग C_p,n के विभाजन क्षेत्र के रूप में F_pⁿ के मानक प्रतिनिधित्व को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है सी के विभाजन क्षेत्र के रूप में C_p,n. कॉनवे बहुपदों का नाम रिचर्ड a. पार्कर द्वारा जॉन एच. कॉनवे के नाम पर रखा गया था, जो उन्हें परिभाषित करने और उदाहरणों की गणना करने वाले पहले व्यक्ति थे। कॉनवे बहुपद एक निश्चित अनुकूलता शर्त को पूरा करते हैं जो कॉनवे द्वारा एक क्षेत्र के प्रतिनिधित्व और उसके उपक्षेत्रों के प्रतिनिधित्व के बीच प्रस्तावित की गई थी। वे कंप्यूटर बीजगणित में महत्वपूर्ण हैं जहां वे विभिन्न गणितीय डेटाबेस और कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों के बीच पोर्टेबिलिटी प्रदान करते हैं। चूंकि कॉनवे बहुपद की गणना करना महंगा है, इसलिए उन्हें व्यवहार में उपयोग करने के लिए संग्रहीत किया जाना चाहिए। कॉनवे बहुपदों के डेटाबेस कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली जीएपी में उपलब्ध हैं, विनोदी, मैग्मा कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली, सेजमैथ, और फ़्रैंक ल्यूबेक की वेब साइट पर उपलब्ध हैं।

पृष्ठभूमि

F_pⁿ के तत्वों को a_n−1βⁿ⁻¹ + ... + a₁β+ a₀ के रूप में दर्शाया जा सकता है जहां 'βF_p' के ऊपर घात n वाले एक अप्रासंगिक बहुपद का मूल है और a_j F_p के तत्व हैं. इस प्रतिनिधित्व में फ़ील्ड तत्वों का जोड़ केवल वेक्टर जोड़ है। जबकि समरूपता तक क्रम pⁿ का एक अद्वितीय परिमित क्षेत्र है, क्षेत्र तत्वों का प्रतिनिधित्व अपरिवर्तनीय बहुपद की पसंद पर निर्भर करता है। कॉनवे बहुपद इस विकल्प को मानकीकृत करने का एक तरीका है।

एक परिमित क्षेत्र के गैर-शून्य तत्व गुणन के तहत एक चक्रीय समूह बनाते हैं। 'F_pⁿ' का एक आदिम तत्व (परिमित क्षेत्र), α, एक ऐसा तत्व है जो इस समूह को उत्पन्न करता है। गैर-शून्य क्षेत्र तत्वों को α की शक्तियों के रूप में प्रस्तुत करने से क्षेत्र में गुणन कुशलतापूर्वक किया जा सकता है। α के लिए आदिम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत) 'F_p' में गुणांक के साथ सबसे छोटी संभव डिग्री का मोनिक बहुपद है 'F_pⁿ' में मूल के रूप में α है (α के लिए न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत))। यह आवश्यक रूप से अपरिवर्तनीय है. कॉनवे बहुपद को आदिम होने के लिए चुना गया है, ताकि इसकी प्रत्येक जड़ संबंधित परिमित क्षेत्र के गुणक समूह को उत्पन्न कर सके।

'F_pⁿ' के उपक्षेत्र फ़ील्ड M को विभाजित करने वाले N के साथ क्षेत्र 'F_p^m' के अशून्य तत्वों से बना चक्रीय समूह F_pⁿ के चक्रीय समूह का एक उपसमूह है. यदि α उत्तरार्द्ध उत्पन्न करता है, तो α की सबसे छोटी शक्ति जो पूर्व उत्पन्न करती है वह α^r है जहां r = (p)ⁿ - 1)/(Pm - 1) है।यदि F_n, जड़ α के साथ F_pⁿ के लिए एक आदिम बहुपद है, और यदि f_m F_p^m के लिए एक आदिम बहुपद है, तो कॉनवे की परिभाषा के अनुसार, F_m और F_n संगत हैं यदि α^rf_m का मूल है. इसके लिए आवश्यक है कि F_m(x) f_n(X^r) को विभाजित करें। अनुकूलता की इस धारणा को कुछ लेखक 'मानक-संगतता' कहते हैं। एक परिमित क्षेत्र के लिए कॉनवे बहुपद को चुना जाता है ताकि वह इसके प्रत्येक उपक्षेत्र के कॉनवे बहुपद के साथ संगत हो सके। इस तरह से चुनाव करना संभव है, यह वर्नर निकेल ने साबित किया था।

परिभाषा

कॉनवे बहुपद C_p,n इसे 'F_p' के ऊपर डिग्री n के शब्दकोषीय रूप से न्यूनतम मोनिक आदिम बहुपद के रूप में परिभाषित किया गया है जो सभी m को विभाजित करने वाले n के लिए यह C_p,m के साथ संगत है । यह n पर एक आगमनात्मक परिभाषा है: आधार घटना C_p,1(x) = x − α है जहां α 'F_p' का शब्दकोषीय रूप से न्यूनतम आदिम तत्व है. प्रयुक्त शब्दावली क्रम की धारणा निम्नलिखित है:

• F_p के तत्व 0 < 1 < 2 < ... < p - 1 का आदेश दिया गया है।
• 'F_p[x]' में डिग्री डी का एक बहुपद a_dx^d - a_d−1x^d−1 + ... + (−1)^da₀ लिखा है और फिर शब्द a_da_d−1... a₀. के रूप में व्यक्त किया जाता है। घात d वाले दो बहुपदों को उनके संगत शब्दों के शाब्दिक क्रम के अनुसार क्रमबद्ध किया गया है।

चूँकि ऐसा कोई प्राकृतिक गणितीय मानदंड प्रतीत नहीं होता है जो अन्य सभी पर अनुकूलता की शर्तों को पूरा करने वाले एक राक्षसी आदिम बहुपद को अलग कर देगा, कॉनवे बहुपद की परिभाषा में शब्दकोषीय क्रम लगाने को एक सम्मेलन के रूप में माना जाना चाहिए।

गणना

कॉनवे बहुपद की गणना के लिए एल्गोरिदम जो जानवर-बल शोध से अधिक कुशल हैं, हीथ और लोहर द्वारा विकसित किए गए हैं। लुबेक इंगित करता हैकि उनका एल्गोरिदम पार्कर की पद्धति की पुनः शोध है।

संदर्भ

• होल्ट, डेरेक एफ.; ईक, बेट्टिना; ओ ब्रायन, एमानो ए. (2005), कम्प्यूटेशनल समूह सिद्धांत की पुस्तिका, पृथक गणित और उसके अनुप्रयोग, vol. 24, सीआरसी प्रेस, ISBN 978-1-58488-372-2 {{citation}}: Invalid |url-access=पंजीकरण (help)