बर्नौली विभेदक समीकरण

गणित में एक साधारण अवकल समीकरण को बर्नौली अवकल समीकरण कहा जाता है यदि वह इस प्रकार का हो

$y'+P(x)y=Q(x)y^{n},$

जहाँ $n$ एक वास्तविक संख्या है। कुछ लेखक किसी भी वास्तविक n की अनुमति देते हैं, जबकि अन्य चाहते हैं कि $n$ 0 या 1 न हो।. इस समीकरण पर पहली बार 1695 में जैजब बर्नौली के कार्य में चर्चा की गई थी, जिनके नाम पर इसका नाम रखा गया है। चूँकि सबसे पहला समाधान गॉटफ्राइड लीबनिज़ द्वारा प्रस्तुत किया गया था, जिन्होंने उसी वर्ष अपना परिणाम प्रकाशित किया था और जिसकी विधि आज भी उपयोग की जाती है।

बर्नौली समीकरण विशेष हैं क्योंकि वे ज्ञात स्पष्ट समाधानों के साथ गैर-रेखीय अंतर समीकरण हैं। बर्नौली समीकरण का एक उल्लेखनीय विशेष स्थिति लॉजिस्टिक अंतर समीकरण है।

रैखिक अवकल समीकरण में परिवर्तन

जब $n=0$, अवकल समीकरण रैखिक होता है। जब $n=1$, यह वियोज्य है। इन स्थितियों में, उन रूपों के समीकरणों को हल करने के लिए मानक तकनीकों को प्रयुक्त किया जा सकता है। $n\neq 0$ और $n\neq 1$ के लिए, प्रतिस्थापन $u=y^{1-n}$ किसी भी बर्नौली समीकरण को एक रैखिक अंतर समीकरण में कम कर देता है

${\frac {du}{dx}}-(n-1)P(x)u=-(n-1)Q(x).$

उदाहरण के लिए, स्थितियों में $n=2$, प्रतिस्थापन करना $u=y^{-1}$ विभेदक समीकरण में ${\frac {dy}{dx}}+{\frac {1}{x}}y=xy^{2}$ समीकरण उत्पन्न करता है ${\frac {du}{dx}}-{\frac {1}{x}}u=-x$, जो एक रैखिक अवकल समीकरण है

समाधान

माना $x_{0}\in (a,b)$ और

$\left\{{\begin{array}{ll}z:(a,b)\rightarrow (0,\infty )\ ,&{\textrm {if}}\ \alpha \in \mathbb {R} \setminus \{1,2\},\\z:(a,b)\rightarrow \mathbb {R} \setminus \{0\}\ ,&{\textrm {if}}\ \alpha =2,\\\end{array}}\right.$

रैखिक अवकल समीकरण का समाधान बनें है

$z'(x)=(1-\alpha )P(x)z(x)+(1-\alpha )Q(x).$

फिर हमारे पास $y(x):=[z(x)]^{\frac {1}{1-\alpha }}$ का एक समाधान है

$y'(x)=P(x)y(x)+Q(x)y^{\alpha }(x)\ ,\ y(x_{0})=y_{0}:=[z(x_{0})]^{\frac {1}{1-\alpha }}.$

और ऐसे प्रत्येक विभेदक समीकरण के लिए, सभी $\alpha >0$ के लिए हमारे पास $y_{0}=0$ के समाधान के रूप में $y_{0}=0$ है।

उदाहरण

बर्नौली समीकरण पर विचार करें

$y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}$

(इस स्थितियों में, अधिक विशेष रूप से एक रिकाटी समीकरण)। स्थिर फलन $y=0$ एक समाधान है। $y^{2}$ से भाग देने पर परिणाम प्राप्त होते हैं

$y'y^{-2}-{\frac {2}{x}}y^{-1}=-x^{2}$

चर बदलने से समीकरण मिलते हैं

${\begin{aligned}u={\frac {1}{y}}\;&,~u'={\frac {-y'}{y^{2}}}\\-u'-{\frac {2}{x}}u&=-x^{2}\\u'+{\frac {2}{x}}u&=x^{2}\end{aligned}}$

जिसे एकीकृत कारक का उपयोग करके हल किया जा सकता है

$M(x)=e^{2\int {\frac {1}{x}}\,dx}=e^{2\ln x}=x^{2}.$

$M(x)$, से गुणा करना

$u'x^{2}+2xu=x^{4}.$

उत्पाद नियम को व्युत्पन्न कर बाईं ओर को $ux^{2}$ के व्युत्पन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। श्रृंखला नियम को प्रयुक्त करने और $x$ के संबंध में दोनों पक्षों को एकीकृत करने से समीकरण बनते हैं

${\begin{aligned}\int \left(ux^{2}\right)'dx&=\int x^{4}\,dx\\ux^{2}&={\frac {1}{5}}x^{5}+C\\{\frac {1}{y}}x^{2}&={\frac {1}{5}}x^{5}+C\end{aligned}}$

$y$ का समाधान है

$y={\frac {x^{2}}{{\frac {1}{5}}x^{5}+C}}.$

संदर्भ

• Bernoulli, Jacob (1695), "Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis", Acta Eruditorum. Cited in Hairer, Nørsett & Wanner (1993).
• Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56670-0.

बाहरी संबंध

• Index of differential equations