उपव्युत्पन्न: Difference between revisions

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होने देना <math>f:I \to \mathbb{R}</math> वास्तविक रेखा के खुले अंतराल पर परिभाषित एक [[वास्तविक संख्या]]-मूल्यवान उत्तल फ़ंक्शन बनें। ऐसे फ़ंक्शन को सभी बिंदुओं पर भिन्न होने की आवश्यकता नहीं है: उदाहरण के लिए, निरपेक्ष मान फ़ंक्शन <math>f(x)=|x|</math> जब यह गैर-विभेदित होता है <math>x=0</math>. हालाँकि, जैसा कि दाईं ओर के ग्राफ़ में देखा गया है (जहाँ <math>f(x)</math> नीले रंग में निरपेक्ष मान फ़ंक्शन के समान गैर-विभेदित किंक हैं), किसी के लिए <math>x_0</math> फ़ंक्शन के डोमेन में कोई एक रेखा खींच सकता है जो बिंदु से होकर जाती है <math>(x_0,f(x_0))</math> और जो हर जगह या तो एफ के ग्राफ को छू रहा है या नीचे है। ऐसी रेखा की [[ढलान]] को उप-व्युत्पन्न कहा जाता है।
होने देना <math>f:I \to \mathbb{R}</math> वास्तविक रेखा के खुले अंतराल पर परिभाषित [[वास्तविक संख्या]]-मूल्यवान उत्तल फ़ंक्शन बनें। ऐसे फ़ंक्शन को सभी बिंदुओं पर भिन्न होने की आवश्यकता नहीं है: उदाहरण के लिए, निरपेक्ष मान फ़ंक्शन <math>f(x)=|x|</math> जब यह गैर-विभेदित होता है <math>x=0</math>. हालाँकि, जैसा कि दाईं ओर के ग्राफ़ में देखा गया है (जहाँ <math>f(x)</math> नीले रंग में निरपेक्ष मान फ़ंक्शन के समान गैर-विभेदित किंक हैं), किसी के लिए <math>x_0</math> फ़ंक्शन के डोमेन में कोई रेखा खींच सकता है जो बिंदु से होकर जाती है <math>(x_0,f(x_0))</math> और जो हर जगह या तो एफ के ग्राफ को छू रहा है या नीचे है। ऐसी रेखा की [[ढलान]] को उप-व्युत्पन्न कहा जाता है।


== परिभाषा ==
== परिभाषा ==
कठोरता से, उत्तल फलन का एक उपव्युत्पन्न <math>f:I \to \mathbb{R}</math> एक बिंदु पर <math>x_0</math> खुले अंतराल में <math>I</math> एक वास्तविक संख्या है <math>c</math> ऐसा है कि
कठोरता से, उत्तल फलन का उपव्युत्पन्न <math>f:I \to \mathbb{R}</math> बिंदु पर <math>x_0</math> खुले अंतराल में <math>I</math> वास्तविक संख्या है <math>c</math> ऐसा है कि
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सभी के लिए <math>x\in I</math>. [[माध्य मान प्रमेय]] के व्युत्क्रम द्वारा, उपअवकलजों का समुच्चय (गणित)। <math>x_0</math> उत्तल फ़ंक्शन के लिए एक [[खाली सेट]] [[बंद अंतराल]] है <math>[a,b]</math>, कहाँ <math>a</math> और <math>b</math> [[एकतरफ़ा सीमा]]एँ हैं
सभी के लिए <math>x\in I</math>. [[माध्य मान प्रमेय]] के व्युत्क्रम द्वारा, उपअवकलजों का समुच्चय (गणित)। <math>x_0</math> उत्तल फ़ंक्शन के लिए [[खाली सेट]] [[बंद अंतराल]] है <math>[a,b]</math>, कहाँ <math>a</math> और <math>b</math> [[एकतरफ़ा सीमा]]एँ हैं
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सेट <math>[a,b]</math> सभी उपअवकलन को फलन का उपविभेदक कहा जाता है <math>f</math> पर <math>x_0</math>, द्वारा चिह्नित <math>\partial f(x_0)</math>. अगर <math>f</math> उत्तल है, तो किसी भी बिंदु पर इसका उपविभेदक गैर-रिक्त है। इसके अलावा, यदि यह उपविभेदक है <math>x_0</math> तो, इसमें बिल्कुल एक उप-व्युत्पन्न शामिल है <math>\partial f(x_0)=\{f'(x_0)\}</math> और <math>f</math> पर भिन्न है <math>x_0</math>.<ref>{{cite book |first=R. T. |last=Rockafellar |author-link=R. T. Rockafellar |title=उत्तल विश्लेषण|publisher=Princeton University Press |year=1970 |isbn=0-691-08069-0 |page=242 [Theorem 25.1] }}</ref>
सेट <math>[a,b]</math> सभी उपअवकलन को फलन का उपविभेदक कहा जाता है <math>f</math> पर <math>x_0</math>, द्वारा चिह्नित <math>\partial f(x_0)</math>. अगर <math>f</math> उत्तल है, तो किसी भी बिंदु पर इसका उपविभेदक गैर-रिक्त है। इसके अलावा, यदि यह उपविभेदक है <math>x_0</math> तो, इसमें बिल्कुल उप-व्युत्पन्न शामिल है <math>\partial f(x_0)=\{f'(x_0)\}</math> और <math>f</math> पर भिन्न है <math>x_0</math>.<ref>{{cite book |first=R. T. |last=Rockafellar |author-link=R. T. Rockafellar |title=उत्तल विश्लेषण|publisher=Princeton University Press |year=1970 |isbn=0-691-08069-0 |page=242 [Theorem 25.1] }}</ref>




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== गुण ==
== गुण ==


* एक उत्तल कार्य <math>f:I\to\mathbb{R}</math> पर भिन्न है <math>x_0</math> यदि और केवल यदि उपविभेदक एक सिंगलटन सेट है, जो है <math>\{f'(x_0)\}</math>.
* एक उत्तल कार्य <math>f:I\to\mathbb{R}</math> पर भिन्न है <math>x_0</math> यदि और केवल यदि उपविभेदक सिंगलटन सेट है, जो है <math>\{f'(x_0)\}</math>.
* एक बिंदु <math>x_0</math> उत्तल फलन का [[वैश्विक न्यूनतम]] है <math>f</math> यदि और केवल यदि शून्य उपविभेदक में निहित है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त चित्र में, कोई ग्राफ़ के लिए एक क्षैतिज उपस्पर्शरेखा रेखा खींच सकता है <math>f</math> पर <math>(x_0,f(x_0))</math>. यह अंतिम गुण इस तथ्य का सामान्यीकरण है कि स्थानीय न्यूनतम पर अवकलनीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य है।
* एक बिंदु <math>x_0</math> उत्तल फलन का [[वैश्विक न्यूनतम]] है <math>f</math> यदि और केवल यदि शून्य उपविभेदक में निहित है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त चित्र में, कोई ग्राफ़ के लिए क्षैतिज उपस्पर्शरेखा रेखा खींच सकता है <math>f</math> पर <math>(x_0,f(x_0))</math>. यह अंतिम गुण इस तथ्य का सामान्यीकरण है कि स्थानीय न्यूनतम पर अवकलनीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य है।
* अगर <math>f</math> और <math>g</math> उपविभेदकों के साथ उत्तल फलन हैं <math>\partial f(x)</math> और <math>\partial g(x)</math> साथ <math>x</math> कार्यों में से किसी एक का आंतरिक बिंदु होने के नाते, फिर उपविभेदक <math>f + g</math> है <math>\partial(f + g)(x) = \partial f(x) + \partial g(x)</math> (जहां अतिरिक्त ऑपरेटर मिन्कोव्स्की योग को दर्शाता है)। इसे इस प्रकार पढ़ा जाता है कि किसी योग का उपअंतर, उपविभेदकों का योग होता है।<ref>{{cite book|last1=Lemaréchal|first1=Claude|last2=Hiriart-Urruty|first2=Jean-Baptiste|title=उत्तल विश्लेषण के मूल सिद्धांत|url=https://archive.org/details/fundamentalsconv00hiri|url-access=limited|date=2001|publisher=Springer-Verlag Berlin Heidelberg|isbn=978-3-642-56468-0|page=[https://archive.org/details/fundamentalsconv00hiri/page/n193 183]}}</ref>
* अगर <math>f</math> और <math>g</math> उपविभेदकों के साथ उत्तल फलन हैं <math>\partial f(x)</math> और <math>\partial g(x)</math> साथ <math>x</math> कार्यों में से किसी का आंतरिक बिंदु होने के नाते, फिर उपविभेदक <math>f + g</math> है <math>\partial(f + g)(x) = \partial f(x) + \partial g(x)</math> (जहां अतिरिक्त ऑपरेटर मिन्कोव्स्की योग को दर्शाता है)। इसे इस प्रकार पढ़ा जाता है कि किसी योग का उपअंतर, उपविभेदकों का योग होता है।<ref>{{cite book|last1=Lemaréchal|first1=Claude|last2=Hiriart-Urruty|first2=Jean-Baptiste|title=उत्तल विश्लेषण के मूल सिद्धांत|url=https://archive.org/details/fundamentalsconv00hiri|url-access=limited|date=2001|publisher=Springer-Verlag Berlin Heidelberg|isbn=978-3-642-56468-0|page=[https://archive.org/details/fundamentalsconv00hiri/page/n193 183]}}</ref>




== उपग्रेडिएंट ==
== उपग्रेडिएंट ==
उप-व्युत्पन्न और उप-अंतर की अवधारणाओं को कई चर के कार्यों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। अगर <math>f:U\to\mathbb{R}</math> [[ यूक्लिडियन स्थान ]] में [[उत्तल सेट]] [[ खुला सेट ]] पर परिभाषित एक वास्तविक-मूल्यवान उत्तल फ़ंक्शन है <math>\mathbb{R}^n</math>, एक वेक्टर <math> v</math> उस स्थान को उपग्रेडिएंट कहा जाता है <math>x_0\in U</math> यदि किसी के लिए <math>x\in U</math> एक के पास वह है
उप-व्युत्पन्न और उप-अंतर की अवधारणाओं को कई चर के कार्यों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। अगर <math>f:U\to\mathbb{R}</math> [[ यूक्लिडियन स्थान |यूक्लिडियन स्थान]] में [[उत्तल सेट]] [[ खुला सेट |खुला सेट]] पर परिभाषित वास्तविक-मूल्यवान उत्तल फ़ंक्शन है <math>\mathbb{R}^n</math>, वेक्टर <math> v</math> उस स्थान को उपग्रेडिएंट कहा जाता है <math>x_0\in U</math> यदि किसी के लिए <math>x\in U</math> के पास वह है
:<math>f(x)-f(x_0)\ge v\cdot (x-x_0),</math>
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जहां डॉट [[डॉट उत्पाद]] को दर्शाता है।
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सभी उपग्रेडिएंट्स का सेट <math>x_0</math> ''x'' पर उपविभेदक कहा जाता है<sub>0</sub> और दर्शाया गया है <math>\partial f(x_0)</math>. उपविभेदक हमेशा एक गैर-रिक्त उत्तल [[कॉम्पैक्ट सेट]] होता है।
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ये अवधारणाएँ उत्तल कार्यों को और अधिक सामान्यीकृत करती हैं <math>f:U\to\mathbb{R}</math> [[स्थानीय रूप से उत्तल स्थान]] में उत्तल सेट पर <math>V</math>. एक कार्यात्मक <math>v^*</math> दोहरे स्थान में <math>V^*</math> को उपग्रेडिएंट कहा जाता है <math>x_0</math> में <math>U</math> यदि सभी के लिए <math>x\in U</math>,
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सभी उपग्रेडिएंट्स का सेट <math>x_0</math> पर उपविभेदक कहा जाता है <math>x_0</math> और फिर से दर्शाया गया है <math>\partial f(x_0)</math>. उपविभेदक हमेशा एक उत्तल [[बंद सेट]] होता है। यह एक खाली सेट हो सकता है; उदाहरण के लिए एक [[अनबाउंड ऑपरेटर]] पर विचार करें, जो उत्तल है, लेकिन उसका कोई सबग्रेडिएंट नहीं है। अगर <math>f</math> सतत है, उपविभेदक अरिक्त है।
सभी उपग्रेडिएंट्स का सेट <math>x_0</math> पर उपविभेदक कहा जाता है <math>x_0</math> और फिर से दर्शाया गया है <math>\partial f(x_0)</math>. उपविभेदक हमेशा उत्तल [[बंद सेट]] होता है। यह खाली सेट हो सकता है; उदाहरण के लिए [[अनबाउंड ऑपरेटर]] पर विचार करें, जो उत्तल है, लेकिन उसका कोई सबग्रेडिएंट नहीं है। अगर <math>f</math> सतत है, उपविभेदक अरिक्त है।


== इतिहास ==
== इतिहास ==


उत्तल कार्यों पर उपविभेदक की शुरुआत 1960 के दशक की शुरुआत में [[ जीन-जैक्स मोरो ]] और आर. टायरेल रॉकफेलर द्वारा की गई थी। गैर-उत्तल कार्यों के लिए सामान्यीकृत उपविभेदक एफ.एच. क्लार्क और आर.टी. द्वारा पेश किया गया था। 1980 के दशक की शुरुआत में रॉकफेलर।<ref>
उत्तल कार्यों पर उपविभेदक की शुरुआत 1960 के दशक की शुरुआत में [[ जीन-जैक्स मोरो |जीन-जैक्स मोरो]] और आर. टायरेल रॉकफेलर द्वारा की गई थी। गैर-उत्तल कार्यों के लिए सामान्यीकृत उपविभेदक एफ.एच. क्लार्क और आर.टी. द्वारा पेश किया गया था। 1980 के दशक की शुरुआत में रॉकफेलर।<ref>
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<!-- this reference is not recognized by the optimization community
 
<ref>
Georgios Stavroulakis, "Quasidifferentiable optimization" in Christodoulos A. Floudas, P.M. Pardalos, eds., ''Encyclopedia of Optimization'' 2001, {{isbn|0-7923-6932-7}}, [http://books.google.com/books?id=gtoTkL7heS0C&pg=PA452#v=snippet&q=subdifferential%20moreau&f=false p. 452''ff'']</ref>
-->




Revision as of 13:06, 18 July 2023

एक उत्तल फलन (नीला) और उपस्पर्शरेखा रेखाएँ (लाल)।

गणित में, सबयौगिक , सबग्रेडिएंट और सबडिफरेंशियल व्युत्पन्न को उत्तल कार्यों के लिए सामान्यीकृत करते हैं जो आवश्यक रूप से भिन्न कार्य नहीं होते हैं। उत्तल विश्लेषण में उप-व्युत्पन्न उत्पन्न होते हैं, उत्तल कार्यों का अध्ययन, अक्सर उत्तल अनुकूलन के संबंध में।

होने देना वास्तविक रेखा के खुले अंतराल पर परिभाषित वास्तविक संख्या-मूल्यवान उत्तल फ़ंक्शन बनें। ऐसे फ़ंक्शन को सभी बिंदुओं पर भिन्न होने की आवश्यकता नहीं है: उदाहरण के लिए, निरपेक्ष मान फ़ंक्शन जब यह गैर-विभेदित होता है . हालाँकि, जैसा कि दाईं ओर के ग्राफ़ में देखा गया है (जहाँ नीले रंग में निरपेक्ष मान फ़ंक्शन के समान गैर-विभेदित किंक हैं), किसी के लिए फ़ंक्शन के डोमेन में कोई रेखा खींच सकता है जो बिंदु से होकर जाती है और जो हर जगह या तो एफ के ग्राफ को छू रहा है या नीचे है। ऐसी रेखा की ढलान को उप-व्युत्पन्न कहा जाता है।

परिभाषा

कठोरता से, उत्तल फलन का उपव्युत्पन्न बिंदु पर खुले अंतराल में वास्तविक संख्या है ऐसा है कि

सभी के लिए . माध्य मान प्रमेय के व्युत्क्रम द्वारा, उपअवकलजों का समुच्चय (गणित)। उत्तल फ़ंक्शन के लिए खाली सेट बंद अंतराल है , कहाँ और एकतरफ़ा सीमाएँ हैं
सेट सभी उपअवकलन को फलन का उपविभेदक कहा जाता है पर , द्वारा चिह्नित . अगर उत्तल है, तो किसी भी बिंदु पर इसका उपविभेदक गैर-रिक्त है। इसके अलावा, यदि यह उपविभेदक है तो, इसमें बिल्कुल उप-व्युत्पन्न शामिल है और पर भिन्न है .[1]


उदाहरण

फ़ंक्शन पर विचार करें जो उत्तल है. फिर, मूल पर उपविभेदक अंतराल है . किसी भी बिंदु पर उपविभेदक सिंगलटन सेट है , जबकि किसी भी बिंदु पर उपविभेदक सिंगलटन सेट है . यह साइन फ़ंक्शन के समान है, लेकिन एकल-मूल्यवान नहीं है , इसके बजाय सभी संभावित उप-व्युत्पन्न शामिल हैं।

गुण

  • एक उत्तल कार्य पर भिन्न है यदि और केवल यदि उपविभेदक सिंगलटन सेट है, जो है .
  • एक बिंदु उत्तल फलन का वैश्विक न्यूनतम है यदि और केवल यदि शून्य उपविभेदक में निहित है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त चित्र में, कोई ग्राफ़ के लिए क्षैतिज उपस्पर्शरेखा रेखा खींच सकता है पर . यह अंतिम गुण इस तथ्य का सामान्यीकरण है कि स्थानीय न्यूनतम पर अवकलनीय फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य है।
  • अगर और उपविभेदकों के साथ उत्तल फलन हैं और साथ कार्यों में से किसी का आंतरिक बिंदु होने के नाते, फिर उपविभेदक है (जहां अतिरिक्त ऑपरेटर मिन्कोव्स्की योग को दर्शाता है)। इसे इस प्रकार पढ़ा जाता है कि किसी योग का उपअंतर, उपविभेदकों का योग होता है।[2]


उपग्रेडिएंट

उप-व्युत्पन्न और उप-अंतर की अवधारणाओं को कई चर के कार्यों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। अगर यूक्लिडियन स्थान में उत्तल सेट खुला सेट पर परिभाषित वास्तविक-मूल्यवान उत्तल फ़ंक्शन है , वेक्टर उस स्थान को उपग्रेडिएंट कहा जाता है यदि किसी के लिए के पास वह है

जहां डॉट डॉट उत्पाद को दर्शाता है। सभी उपग्रेडिएंट्स का सेट x पर उपविभेदक कहा जाता है0 और दर्शाया गया है . उपविभेदक हमेशा गैर-रिक्त उत्तल कॉम्पैक्ट सेट होता है।

ये अवधारणाएँ उत्तल कार्यों को और अधिक सामान्यीकृत करती हैं स्थानीय रूप से उत्तल स्थान में उत्तल सेट पर . कार्यात्मक दोहरे स्थान में को उपग्रेडिएंट कहा जाता है में यदि सभी के लिए ,

सभी उपग्रेडिएंट्स का सेट पर उपविभेदक कहा जाता है और फिर से दर्शाया गया है . उपविभेदक हमेशा उत्तल बंद सेट होता है। यह खाली सेट हो सकता है; उदाहरण के लिए अनबाउंड ऑपरेटर पर विचार करें, जो उत्तल है, लेकिन उसका कोई सबग्रेडिएंट नहीं है। अगर सतत है, उपविभेदक अरिक्त है।

इतिहास

उत्तल कार्यों पर उपविभेदक की शुरुआत 1960 के दशक की शुरुआत में जीन-जैक्स मोरो और आर. टायरेल रॉकफेलर द्वारा की गई थी। गैर-उत्तल कार्यों के लिए सामान्यीकृत उपविभेदक एफ.एच. क्लार्क और आर.टी. द्वारा पेश किया गया था। 1980 के दशक की शुरुआत में रॉकफेलर।[3]


यह भी देखें

उपग्रेडिएंट विधि विधि

संदर्भ

  1. ↑ Rockafellar, R. T. (1970). उत्तल विश्लेषण. Princeton University Press. p. 242 [Theorem 25.1]. ISBN 0-691-08069-0.
  2. ↑ Lemaréchal, Claude; Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste (2001). उत्तल विश्लेषण के मूल सिद्धांत. Springer-Verlag Berlin Heidelberg. p. 183. ISBN 978-3-642-56468-0.
  3. ↑ Clarke, Frank H. (1983). Optimization and nonsmooth analysis. New York: John Wiley & Sons. pp. xiii+308. ISBN 0-471-87504-X. MR 0709590.
  • Borwein, Jonathan; Lewis, Adrian S. (2010). Convex Analysis and Nonlinear Optimization : Theory and Examples (2nd ed.). New York: Springer. ISBN 978-0-387-31256-9.
  • Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste; Lemaréchal, Claude (2001). Fundamentals of Convex Analysis. Springer. ISBN 3-540-42205-6.
  • Zălinescu, C. (2002). Convex analysis in general vector spaces. World Scientific Publishing  Co., Inc. pp. xx+367. ISBN 981-238-067-1. MR 1921556.


बाहरी संबंध

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