बीटा वितरण

Not to be confused with बीटा फलन.

Beta

Probability density function
Cumulative distribution function
Notation	Beta(α, β)
Parameters	α > 0 shape (real) β > 0 shape (real)
Support	$x\in [0,1]\!$ or $x\in (0,1)\!$
PDF	${\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\!$ where $\mathrm {B} (\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}$ and $\Gamma$ is the Gamma function.
CDF	$I_{x}(\alpha ,\beta )\!$ (the regularized incomplete beta function)
Mean	$\operatorname {E} [X]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\!$ $\operatorname {E} [\ln X]=\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )\!$ $\operatorname {E} [X\,\ln X]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\,\left[\psi (\alpha +1)-\psi (\alpha +\beta +1)\right]\!$ (see section: Geometric mean) where $\psi$ is the digamma function
Median	${\begin{matrix}I_{\frac {1}{2}}^{[-1]}(\alpha ,\beta ){\text{ (in general) }}\\[0.5em]\approx {\frac {\alpha -{\tfrac {1}{3}}}{\alpha +\beta -{\tfrac {2}{3}}}}{\text{ for }}\alpha ,\beta >1\end{matrix}}$
Mode	${\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}\!$ for α, β > 1 any value in $(0,1)$ for α, β = 1 {0, 1} (bimodal) for α, β < 1 0 for α ≤ 1, β > 1 1 for α > 1, β ≤ 1
Variance	$\operatorname {var} [X]={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}\!$ $\operatorname {var} [\ln X]=\psi _{1}(\alpha )-\psi _{1}(\alpha +\beta )\!$ (see trigamma function and see section: Geometric variance)
Skewness	${\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}$
Ex. kurtosis	${\frac {6[(\alpha -\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)-\alpha \beta (\alpha +\beta +2)]}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}$
Entropy	${\begin{matrix}\ln \mathrm {B} (\alpha ,\beta )-(\alpha -1)\psi (\alpha )-(\beta -1)\psi (\beta )\\[0.5em]+(\alpha +\beta -2)\psi (\alpha +\beta )\end{matrix}}$
MGF	$1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}$
CF	${}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)\!$ (see Confluent hypergeometric function)
Fisher information	${\begin{bmatrix}\operatorname {var} [\ln X]&\operatorname {cov} [\ln X,\ln(1-X)]\\\operatorname {cov} [\ln X,\ln(1-X)]&\operatorname {var} [\ln(1-X)]\end{bmatrix}}$ see section: Fisher information matrix
Method of Moments	$\alpha =\left({\frac {E[X](1-E[X])}{V[X]}}-1\right)E[X]$ $\beta =\left({\frac {E[X](1-E[X])}{V[X]}}-1\right)(1-E[X])$

संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में, बीटा वितरण के दो धनात्मक सांख्यिकीय मापदंड होते है इसके संदर्भ में अंतराल [0,1] पर परिभाषित निरंतर संभाव्यता वितरण का परिवार है, जिसे 'अल्फा' (α) और बीटा (β) द्वारा दर्शाया गया है। जो वेरिएबल के घातांक और क्रमशः 1 के पूरक के रूप में दिखाई देते हैं, और वितरण के आकार मापदंड को नियंत्रित करते हैं।

विभिन्न प्रकार के विषयों में परिमित लंबाई के अंतराल तक सीमित यादृच्छिक वेरिएबल है जिन्हें उनके व्यवहार को मॉडल करने के लिए बीटा वितरण के रूप में प्रयुक्त किया गया है। बीटा वितरण प्रतिशत और अनुपात के यादृच्छिक व्यवहार के लिए उपयुक्त मॉडल है।

बायेसियन अनुमान में, बीटा वितरण बर्नौली वितरण, द्विपद वितरण, ऋणात्मक द्विपद वितरण और ज्यामितीय वितरण वितरण के लिए संयुग्मित पूर्व वितरण है।

यहां चर्चा किए गए बीटा वितरण के सूत्रीकरण को पहली तरह के बीटा वितरण के रूप में भी जाना जाता है, जबकि दूसरी तरह का बीटा वितरण बीटा प्राइम वितरण का वैकल्पिक नाम है। अनेक वेरिएबलों के सामान्यीकरण को डिरिचलेट वितरण कहा जाता है।

परिभाषाएँ

संभाव्यता घनत्व फलन

इसके मापदंडों के विभिन्न मूल्यों के लिए बीटा वितरण का एनीमेशन।

प्रायिकता घनत्व फलन (पीडीएफ) बीटा वितरण के लिए 0 ≤ x ≤ 1, और आकार मापदंड α, β > 0, वेरिएबल x और उसके प्रतिबिंब सूत्र का (1 − x) शक्ति कार्य है निम्नलिखित नुसार:

${\begin{aligned}f(x;\alpha ,\beta )&=\mathrm {constant} \cdot x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\\[3pt]&={\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\displaystyle \int _{0}^{1}u^{\alpha -1}(1-u)^{\beta -1}\,du}}\\[6pt]&={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\,x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\\[6pt]&={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\end{aligned}}$

जहां Γ(z) गामा फलन है। बीटा फलन , $\mathrm {B}$, यह सुनिश्चित करने के लिए सामान्यीकरण स्थिरांक है कि कुल संभाव्यता 1 है। उपरोक्त समीकरणों में x यादृच्छिक वेरिएबल X का अहसास (संभावना) है—एक प्रेक्षित मान जो वास्तव में हुआ है।

इस परिभाषा में दोनों छोर सम्मिलित हैं x = 0 और x = 1, जो संभाव्यता वितरण की अन्य सूची के लिए परिभाषाओं के अनुरूप है, जो बीटा वितरण के विशेष स्तिथियाँ हैं, उदाहरण के लिए आर्क्सिन वितरण, और अनेक लेखकों के साथ संगत है, जैसे |एन। एल. जॉनसन और एस. कोटज़। चूंकि, x = 0 और x = 1 का समावेश α, β < 1 के लिए काम नहीं करता है ; तदनुसार, विलियम फेलर सहित अनेक अन्य लेखक | डब्ल्यू। , x = 0 और x = 1, फलेर सिरों को बाहर करना चुनें (जिससे दो छोर वास्तव में घनत्व फलन के डोमेन का भाग न हों) और इसके अतिरिक्त 0 < x < 1 पर विचार करें .

नॉर्मन लॉयड जॉनसन सहित अनेक लेखक एन. एल. जॉनसन और सैमुअल कोट्ज़ (एस. कोटज़), बीटा वितरण के आकार मापदंडों के लिए प्रतीकों p और q (α और β के अतिरिक्त) का उपयोग करें,तथा यह पारंपरिक रूप से बर्नौली वितरण के मापदंडों के लिए उपयोग किए जाने वाले प्रतीकों की याद दिलाते हैं, क्योंकि बीटा वितरण सीमा में बर्नौली वितरण तक पहुंचता है जब दोनों आकार मापदंड α और β शून्य के मान तक पहुंचते हैं।

निम्नलिखित में, मापदंड α और β के साथ यादृच्छिक वेरिएबल X बीटा-वितरित द्वारा निरूपित किया जाएगा:

$X\sim \operatorname {Beta} (\alpha ,\beta )$

सांख्यिकीय साहित्य में प्रयुक्त बीटा-वितरित यादृच्छिक वेरिएबल के लिए अन्य अंकन $X\sim {\mathcal {B}}e(\alpha ,\beta )$ और $X\sim \beta _{\alpha ,\beta }$ हैं.

संचयी वितरण फलन

संचयी वितरण फलन है

$F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\mathrm {B} {}(x;\alpha ,\beta )}{\mathrm {B} {}(\alpha ,\beta )}}=I_{x}(\alpha ,\beta )$

जहाँ $\mathrm {B} (x;\alpha ,\beta )$ बीटा फलन है और $I_{x}(\alpha ,\beta )$ अधूरा बीटा फलन नियमित अधूरा बीटा फलन है।

माध्य और प्रतिरूप आकार

बीटा वितरण को इसके औसत μ(0 < μ < 1) और दो आकार के मापदंडों का योग ν = α + β > 0( पी 83). के संदर्भ में भी पुनर्मूल्यांकित किया जा सकता है α पोस्टीरियर और β पोस्टीरियर द्वारा पोस्टीरियर बीटा डिस्ट्रीब्यूशन के शेप मापदंड्स को अस्वीकार करना , जिसके परिणाम स्वरूप बेयस प्रमेय को द्विपदीय संभावना फलन और पूर्व संभावना पर प्रयुक्त किया जाता है, प्रतिरूप आकार होने के लिए दोनों आकार मापदंडों के जोड़ की व्याख्या = ν = α·पोस्टीरियर + β· हाल्डेन पूर्व संभाव्यता बीटा (0,0) के लिए केवल पश्च भाग ही सही है। विशेष रूप से, बेयस (यूनिफ़ॉर्म) पूर्व बीटा (1,1) के लिए सही व्याख्या प्रतिरूप आकार = α·पोस्टीरियर + β पोस्टीरियर - 2, या ν = (प्रतिरूप आकार) + 2 होगी। 2 से बहुत बड़े सैंपल आकार के लिए, इन दो पूर्वों के मध्य का अंतर नगण्य हो जाता है। (अधिक विवरण के लिए अनुभाग या बायेसियन अनुमान देखें।) ν = α + β को बीटा वितरण के प्रतिरूप आकार के रूप में संदर्भित किया जाता है, किन्तु किसी को यह याद रखना चाहिए कि यह सख्ती से बोलना,जरुरी है तथा द्विपदीय संभावना फलन का प्रतिरूप आकार केवल उपयोग करते समय बेज़ प्रमेय से पहले हाल्डेन बीटा (0,0) होता है ।

यह पैरामीट्रिजेशन बायेसियन मापदंड आकलन में उपयोगी हो सकता है। उदाहरण के लिए, कोई व्यक्ति अनेक व्यक्तियों को परीक्षण दे सकता है। यदि यह मान लिया जाए कि प्रत्येक व्यक्ति का स्कोर (0 ≤ θ ≤ 1) संख्या -स्तर बीटा वितरण से लिया गया है, तब महत्वपूर्ण आँकड़ा इस संख्या -स्तर वितरण का माध्य है। माध्य और प्रतिरूप आकार मापदंड आकार मापदंड α और β के माध्यम से संबंधित हैं

α = μν, β = (1 - μ)ν

इस सांख्यिकीय मापदंड के अनुसार है , जिसको प्रतिरूप आकार के लिए धनात्मक वास्तविकताओं पर माध्य पर अनौपचारिक पूर्व संभावना, और अस्पष्ट पूर्व संभावना (जैसे घातीय या गामा वितरण) रख सकते हैं, यदि वे स्वतंत्र हैं, और पूर्व डेटा या विश्वासियें है तो इसे सही ठहराते हैं।

मोड और एकाग्रता

अवतल कार्य बीटा वितरण जिनके $\alpha ,\beta >1$ पास है मोड और एकाग्रता के संदर्भ में पैरामीट्रिज्ड किया जा सकता है। साधन, $\omega ={\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}$, और एकाग्रता, $\kappa =\alpha +\beta$, का उपयोग सामान्य आकार के मापदंडों को निम्नानुसार परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है:

${\begin{aligned}\alpha &=\omega (\kappa -2)+1\\\beta &=(1-\omega )(\kappa -2)+1\end{aligned}}$

मोड के लिए, $0<\omega <1$, अच्छी तरह से परिभाषित होने के लिए, हमें $\alpha ,\beta >1$, या समकक्ष $\kappa >2$. की आवश्यकता है यदि इसके अतिरिक्त हम एकाग्रता को $c=\alpha +\beta -2$ के रूप में परिभाषित करते हैं तो स्थिति $c>0$ सरल हो जाती है और $\alpha =1+c\omega$ और $\beta =1+c(1-\omega )$ पर बीटा घनत्व पर इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$f(x;\omega ,c)={\frac {x^{c\omega }(1-x)^{c(1-\omega )}}{\mathrm {B} {\bigl (}1+c\omega ,1+c(1-\omega ){\bigr )}}}$

जहाँ $c$ सीधे पर्याप्त आँकड़ों $\log(x)$और $\log(1-x)$. को मापता है, यह भी ध्यान दें कि सीमा में, $c\to 0$, वितरण सपाट हो जाता है।

माध्य और विचरण

उपरोक्त वर्गों में दिए गए (युग्मित) समीकरणों की प्रणाली को माध्य के समीकरणों के रूप में हल करना और मूल मापदंडों α और β के संदर्भ में बीटा वितरण का विचरण , माध्य के संदर्भ में α और β मापदंडों को व्यक्त कर सकता है ( μ) और विचरण (var):

${\begin{aligned}\nu &=\alpha +\beta ={\frac {\mu (1-\mu )}{\mathrm {var} }}-1,{\text{ where }}\nu =(\alpha +\beta )>0,{\text{ therefore: }}{\text{var}}<\mu (1-\mu )\\\alpha &=\mu \nu =\mu \left({\frac {\mu (1-\mu )}{\text{var}}}-1\right),{\text{ if }}{\text{var}}<\mu (1-\mu )\\\beta &=(1-\mu )\nu =(1-\mu )\left({\frac {\mu (1-\mu )}{\text{var}}}-1\right),{\text{ if }}{\text{var}}<\mu (1-\mu ).\end{aligned}}$

बीटा वितरण का यह सांख्यिकीय मापदंड मूल मापदंड α और β के आधार पर से अधिक सहज ज्ञान युक्त समझ उत्पन्न कर सकता है। उदाहरण के लिए, माध्य और विचरण के संदर्भ में मोड, विषमता, अतिरिक्त कुर्टोसिस और अंतर एन्ट्रापी को व्यक्त करके:

चार मापदंड्स

दो आकार मापदंड α और β के साथ बीटा वितरण श्रेणी [0,1] या (0,1) पर समर्थित है। न्यूनतम, a, और अधिकतम c(c> a), वितरण के मूल्यों का प्रतिनिधित्व करने वाले दो और मापदंड प्रस्तुत करके वितरण के स्थान और पैमाने को बदलना संभव है, गैर-आयामी वेरिएबल को प्रतिस्थापित करने वाले रैखिक परिवर्तन द्वारा x नए वेरिएबल y के संदर्भ में (समर्थन [a, c] या (a, c) के साथ) और मापदंड a और c होंगे  :

$y=x(c-a)+a,{\text{ therefore }}x={\frac {y-a}{c-a}}.$

चार मापदंड बीटा वितरण का प्रायिकता घनत्व फलन दो मापदंड वितरण के सामान्तर है, जिसे रेंज (c-a) द्वारा स्केल किया गया है, (जिससेघनत्व वक्र के अंतर्गत कुल क्षेत्रफल की संभावना के सामान्तर हो), और y वेरिएबल के साथ शिफ्ट हो गया और निम्नानुसार स्केल किया गया:

$f(y;\alpha ,\beta ,a,c)={\frac {f(x;\alpha ,\beta )}{c-a}}={\frac {\left({\frac {y-a}{c-a}}\right)^{\alpha -1}\left({\frac {c-y}{c-a}}\right)^{\beta -1}}{(c-a)B(\alpha ,\beta )}}={\frac {(y-a)^{\alpha -1}(c-y)^{\beta -1}}{(c-a)^{\alpha +\beta -1}B(\alpha ,\beta )}}.$

यह कि यादृच्छिक वेरिएबल Y को चार मापदंड α, β, a, और c हैं बीटा-वितरित है जिसे निम्न द्वारा दर्शाया गया है |

$Y\sim \operatorname {Beta} (\alpha ,\beta ,a,c).$

केंद्रीय स्थान के कुछ उपायों को स्केल किया गया है (द्वारा (सी-ए)) और स्थानांतरित (ए द्वारा), निम्नानुसार है:

${\begin{aligned}\mu _{Y}&=\mu _{X}(c-a)+a=\left({\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\right)(c-a)+a={\frac {\alpha c+\beta a}{\alpha +\beta }}\\{\text{mode}}(Y)&={\text{mode}}(X)(c-a)+a=\left({\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}\right)(c-a)+a={\frac {(\alpha -1)c+(\beta -1)a}{\alpha +\beta -2}}\ ,\qquad {\text{ if }}\alpha ,\beta >1\\{\text{median}}(Y)&={\text{median}}(X)(c-a)+a=\left(I_{\frac {1}{2}}^{[-1]}(\alpha ,\beta )\right)(c-a)+a\\\end{aligned}}$

नोट: ज्यामितीय माध्य और हार्मोनिक माध्य को रेखीय परिवर्तन द्वारा रूपांतरित नहीं किया जा सकता है, जिस तरह से माध्य, माध्यिका और मोड कर सकते हैं।

Y के आकार के मापदंडों को इसके माध्य और विचरण के रूप में लिखा जा सकता है

${\begin{aligned}\alpha &={\frac {(a-\mu _{Y})(a\,c-a\,\mu _{Y}-c\,\mu _{Y}+\mu _{Y}^{2}+\sigma _{Y}^{2})}{\sigma _{Y}^{2}(c-a)}}\\\beta &=-{\frac {(c-\mu _{Y})(a\,c-a\,\mu _{Y}-c\,\mu _{Y}+\mu _{Y}^{2}+\sigma _{Y}^{2})}{\sigma _{Y}^{2}(c-a)}}\\\end{aligned}}$

सांख्यिकीय फैलाव उपायों को बढ़ाया जाता है (उन्हें स्थानांतरित करने की आवश्यकता नहीं है क्योंकि वे पहले से ही माध्य पर केंद्रित हैं) सीमा (सी-ए) द्वारा, औसत विचलन के लिए रैखिक रूप से और भिन्नता के लिए गैर-रैखिक रूप से:

${\text{(mean deviation around mean)}}(Y)=$

$({\text{(mean deviation around mean)}}(X))(c-a)={\frac {2\alpha ^{\alpha }\beta ^{\beta }}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )(\alpha +\beta )^{\alpha +\beta +1}}}(c-a)$

${\text{var}}(Y)={\text{var}}(X)(c-a)^{2}={\frac {\alpha \beta (c-a)^{2}}{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}.$

चूँकि विषमता और अतिरिक्त कर्टोसिस गैर-आयामी मात्राएँ हैं (जैसा कि क्षण (गणित) माध्य पर केंद्रित है और मानक विचलन द्वारा सामान्यीकृत है), वे मापदंड a और c से स्वतंत्र हैं, और इसलिए ऊपर दिए गए भावों के सामान्तर हैं x (समर्थन के साथ [0,1] या (0,1)):

${\text{skewness}}(Y)={\text{skewness}}(X)={\frac {2(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}.$

${\text{kurtosis excess}}(Y)={\text{kurtosis excess}}(X)={\frac {6[(\alpha -\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)-\alpha \beta (\alpha +\beta +2)]}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}$

गुण

केंद्रीय प्रवृत्ति के उपाय

मोड

α, β> 1 के साथ बीटा वितरित रैंडम वेरिएबल X का मोड (सांख्यिकी) वितरण का सबसे संभावित मान है (PDF में शिखर के अनुरूप), और निम्नलिखित अभिव्यक्ति द्वारा दिया गया है:

${\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}.$

जब दोनों मापदंड (α, β <1) से कम होते हैं, तब यह एंटी-मोड होता है: प्रायिकता घनत्व वक्र का निम्नतम बिंदु।

Α = β देने पर, मोड के लिए अभिव्यक्ति 1/2 तक सरल हो जाती है, यह दिखाते हुए कि α = β> 1 के लिए मोड (प्रतिक्रिया विरोधी मोड जब α, β < 1), वितरण के केंद्र में है: यह उन स्थितियों में सममित है। α और β के इच्छानुसार मानों के लिए मोड स्थितियों की पूरी सूची के लिए इस आलेख में बीटा वितरण या आकार अनुभाग देखें, । इनमें से अनेक स्थितियों के लिए, घनत्व फलन का अधिकतम मान या दोनों सिरों पर होता है। कुछ स्थितियों में अंत में होने वाले घनत्व फलन का (अधिकतम) मान परिमित होता है। उदाहरण के लिए, α = 2, β = 1 (या α = 1, β = 2) के स्तिथियों में, घनत्व फलन त्रिकोणीय बंटन बन जाता है। समकोण-त्रिकोण वितरण जो दोनों सिरों पर परिमित है। अनेक अन्य स्थितियों में छोर पर गणितीय विलक्षणता होती है, जहां घनत्व फलन का मान अनंत तक पहुंचता है। उदाहरण के लिए, स्तिथियों में α = β = 1/2, बीटा वितरण आर्सेन वितरण बनने के लिए सरल हो जाता है। इनमें से कुछ स्थितियों को लेकर गणितज्ञों के मध्य बहस है और क्या छोरों (x = 0, और x = 1) को बहुलक कहा जा सकता है या नहीं।

1 ≤ α ≤ 5 और 1 ≤ β ≤ 5 के लिए बीटा वितरण के लिए मोड

क्या सिरे घनत्व फलन के फलन के डोमेन का भाग हैं

• क्या गणितीय विलक्षणता को कभी भी विधा कहा जा सकता है
• क्या दो मैक्सिमा वाले स्थितियों को बिमॉडल कहा जाना चाहिए

मध्य

0 ≤ α ≤ 5 और 0 ≤ β ≤ 5 के लिए बीटा वितरण के लिए माध्यिका

(मीन-माध्यिका) बीटा वितरण बनाम 0 से 2 तक अल्फा और बीटा के लिए

इसमें बीटा वितरण का माध्य अद्वितीय वास्तविक संख्या $x=I_{\frac {1}{2}}^{[-1]}(\alpha ,\beta )$ है जिसके लिए नियमित अधूरा बीटा फलन $I_{x}(\alpha ,\beta )={\tfrac {1}{2}}$. α और β के इच्छानुसार मूल्यों के लिए बीटा वितरण के माध्यिका के लिए कोई सामान्य विवृत -रूप अभिव्यक्ति नहीं है। मापदंडों α और β के विशेष मूल्यों के लिए विवृत -रूप अभिव्यक्ति का पालन करें:

• सममित स्थितियों के लिए α = β, माध्यिका = 1/2।
• α = 1 और β > 0 के लिए माध्यिका $=1-2^{-{\frac {1}{\beta }}}$ (यह केस दर्पण छवि है | पावर फलन [0,1] डिस्ट्रीब्यूशन की मिरर-इमेज)
• α > 0 और β = 1 के लिए माध्यिका = $2^{-{\frac {1}{\alpha }}}$ (यह स्तिथि पावर फलन [0,1] वितरण है
• α = 3 और β = 2 के लिए माध्यिका = 0.6142724318676105..., चतुर्थक फलन 1 − 8x³ + 6x⁴ = 0 का वास्तविक समाधान , जो [0,1] में है।
• α = 2 और β = 3 के लिए, माध्य = 0.38572756813238945... = 1−माध्यिका (बीटा (3, 2))

एक मापदंड परिमित (गैर-शून्य) के साथ निम्नलिखित सीमाएँ हैं और दूसरी इन सीमाओं तक पहुँच रही हैं:

${\begin{aligned}\lim _{\beta \to 0}{\text{median}}=\lim _{\alpha \to \infty }{\text{median}}=1,\\\lim _{\alpha \to 0}{\text{median}}=\lim _{\beta \to \infty }{\text{median}}=0.\end{aligned}}$

α और β दोनों के लिए से अधिक या सामान्तर, बीटा वितरण के माध्यिका के मूल्य का उचित सन्निकटन सूत्र द्वारा दिया गया है

${\text{median}}\approx {\frac {\alpha -{\tfrac {1}{3}}}{\alpha +\beta -{\tfrac {2}{3}}}}{\text{ for }}\alpha ,\beta \geq 1.$

जब α, β ≥ 1, इस सन्निकटन में सापेक्ष त्रुटि (माध्यिका द्वारा विभाजित सन्निकटन त्रुटि) 4% से कम है और α ≥ 2 और β ≥ 2 दोनों के लिए यह 1% से कम है। माध्य और मोड के मध्य के अंतर से विभाजित सन्निकटन त्रुटि समान रूप से छोटी है:

मीन ===

बीटा वितरण के लिए कारण0 ≤ α ≤ 5 और 0 ≤ β ≤ 5

दो मापदंड α और β के साथ बीटा वितरण यादृच्छिक वेरिएबल X का अपेक्षित मान (माध्य) (μ) इन मापदंडों के केवल β/α का फलन है:

${\begin{aligned}\mu =\operatorname {E} [X]&=\int _{0}^{1}xf(x;\alpha ,\beta )\,dx\\&=\int _{0}^{1}x\,{\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,dx\\&={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\\&={\frac {1}{1+{\frac {\beta }{\alpha }}}}\end{aligned}}$

उपरोक्त अभिव्यक्ति में α = β देने पर μ = 1/2 प्राप्त करता है α = β माध्य वितरण के केंद्र में है: यह सममित है। साथ ही, उपरोक्त अभिव्यक्ति से निम्नलिखित सीमाएँ प्राप्त की जा सकती हैं:

${\begin{aligned}\lim _{{\frac {\beta }{\alpha }}\to 0}\mu =1\\\lim _{{\frac {\beta }{\alpha }}\to \infty }\mu =0\end{aligned}}$

इसलिए, β/α → 0 , या α/β → ∞ के लिए, माध्य दाहिने छोर पर स्थित है, x = 1. इन सीमा अनुपातबं के लिए, बीटा वितरण डिराक डेल्टा फलन के साथ एक-बिंदु पतित वितरण बन जाता है, दाहिने छोर पर स्पाइक, x = 1, प्रायिकता 1 के साथ, और हर स्थान पर शून्य प्रायिकता पाई जाती है । 100% संभावना (पूर्ण निश्चितता) x = 1 सही छोर पर केंद्रित है| .

:${\begin{aligned}\lim _{\beta \to 0}\mu =\lim _{\alpha \to \infty }\mu =1\\\lim _{\alpha \to 0}\mu =\lim _{\beta \to \infty }\mu =0\end{aligned}}$

जबकि ठेठ एकरूप वितरण के लिए (केंद्रीय रूप से स्थित मोड के साथ, मोड के दोनों किनारों पर नतिकरण बिंदु, और लंबी टेल ) (बीटा (α, β) के साथ जैसे कि α, β > 2) यह ज्ञात है कि प्रतिरूप माध्य (स्थान के अनुमान के रूप में) प्रतिरूप माध्यिका के रूप में शक्तिशाली आँकड़े नहीं है, इसके विपरीत वर्दी या यू-आकार के बिमोडल वितरण (बीटा (α, β) के साथ) के स्तिथियों में है α, β ≤ 1), वितरण के अंत में स्थित मोड के साथ। मोस्टेलर और टुकी टिप्पणी के रूप में ( पी। 207) दो वेरिएबल म अवलोकनों का औसत सभी प्रतिरूप जानकारी का उपयोग करता है। यह दर्शाता है कि कैसे लघु-टेल वितरण के लिए, वेरिएबल म प्रेक्षणों को अधिक भार मिलना चाहिए। इसके विपरीत, यह वितरण के किनारे पर मोड के साथ यू-आकार के बिमोडल वितरण का माध्यिका है (बीटा (α, β) के साथ जैसे कि α, β ≤ 1) शक्तिशाली नहीं है, क्योंकि प्रतिरूप माध्यिका अत्यधिक प्रतिरूप टिप्पणियों को विचार से हटा देती है। इसका व्यावहारिक अनुप्रयोग उदाहरण के लिए यादृच्छिक चाल के लिए होता है, क्योंकि रैंडम वॉक में मूल स्थान पर अंतिम विज़िट के समय की संभावना आर्क्सिन वितरण बीटा (1/2, 1/2) के रूप में वितरित की जाती है:एक यादृच्छिक चलने की अनेक प्राप्ति (संभावना) का कारणऔसत से अधिक शक्तिशाली अनुमानक है (जो इस स्तिथियों में अनुचित प्रतिरूप माप अनुमान है)।

ज्यामितीय माध्य

(मीन - जियोमेट्रिक मीन) बीटा वितरण बनाम α और 0 से 2 के लिए, ज्यामितीय माध्य के लिए α और β के मध्य विषमता दिखा रहा है

यादृच्छिक वेरिएबल X के साथ वितरण का ज्यामितीय माध्य G_X का लघुगणक ln(X) का अंकगणितीय माध्य है, या, समतुल्य, इसका अपेक्षित मान है

$\ln G_{X}=\operatorname {E} [\ln X]$

बीटा वितरण के लिए, अपेक्षित मान अभिन्न देता है:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [\ln X]&=\int _{0}^{1}\ln x\,f(x;\alpha ,\beta )\,dx\\[4pt]&=\int _{0}^{1}\ln x\,{\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,dx\\[4pt]&={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,\int _{0}^{1}{\frac {\partial x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\partial \alpha }}\,dx\\[4pt]&={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}{\frac {\pa$

जहां ψ डिगामा फलन है।

इसलिए, इसका आकार मापदंड α और β के साथ बीटा वितरण का ज्यामितीय माध्य α और β के डिगामा कार्यों का घातांक निम्नानुसार है:

$G_{X}=e^{\operatorname {E} [\ln X]}=e^{\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )}$

जबकि समान आकार के मापदंड α = β के साथ बीटा वितरण के लिए, यह इस प्रकार है कि विषमता = 0 और मोड = माध्य = औसत = 1/2, ज्यामितीय माध्य 1/2 से कम है: 0 < G_X < 1/2. इसका कारण यह है कि लॉगरिदमिक परिवर्तन X के मूल्यों को शून्य के समीप दृढ़ता से भारित करता है, क्योंकि ln(X) दृढ़ता से ऋणात्मक अनन्तता की ओर जाता है क्योंकि X शून्य तक पहुंचता है, जबकि ln(X) X → 1 शून्य की ओर चपटा होता है .

एक पंक्ति के साथ α = β, निम्नलिखित सीमाएँ प्रयुक्त होती हैं:

${\begin{aligned}&\lim _{\alpha =\beta \to 0}G_{X}=0\\&\lim _{\alpha =\beta \to \infty }G_{X}={\tfrac {1}{2}}\end{aligned}}$

निम्नलिखित मापदंड परिमित (गैर-शून्य) के साथ सीमाएँ हैं और अन्य इन सीमाओं के समीप हैं:

${\begin{aligned}\lim _{\beta \to 0}G_{X}=\lim _{\alpha \to \infty }G_{X}=1\\\lim _{\alpha \to 0}G_{X}=\lim _{\beta \to \infty }G_{X}=0\end{aligned}}$

संलग्न आलेख शून्य से 2 तक आकृति मापदंड α और β उपयोग किये जाते है जिनके लिए माध्य और ज्यामितीय माध्य के मध्य अंतर दिखाता है। इस तथ्य के अतिरिक्त कि उनके मध्य का अंतर शून्य तक पहुंच जाता है क्योंकि α और β अनंत तक पहुंचते हैं और यह अंतर α के मानों के लिए बड़ा हो जाता है और β शून्य के समीप पहुंचने वाला होता है, आकार मापदंड α और β के संबंध में ज्यामितीय माध्य की स्पष्ट विषमता देखी जा सकती है। जब कि β और α के परिमाणों का आदान-प्रदान करने की तुलना में β के संबंध में α के छोटे मानों के लिए ज्यामितीय माध्य और माध्य के मध्य का अंतर बड़ा है।

नॉर्मन लॉयड जॉनसन|(एन. एल.जॉनसन) और सैमुअल कोटज़(एस. कोटज़) डिगामा फलन ψ(α) ≈ ln(α − 1/2) के लिए लघुगणक सन्निकटन का सुझाव देते है , जिसके परिणामस्वरूप ज्यामितीय माध्य के लिए निम्नलिखित सन्निकटन होता है:

$G_{X}\approx {\frac {\alpha \,-{\frac {1}{2}}}{\alpha +\beta -{\frac {1}{2}}}}{\text{ if }}\alpha ,\beta >1.$

इस सन्निकटन में सापेक्ष त्रुटि के लिए संख्यात्मक मान अनुसरण करते हैं: [(α = β = 1): 9.39%]; [(α = β = 2): 1.29%]; [(α = 2, β = 3): 1.51%]; [(α = 3, β = 2): 0.44%]; [(α = β = 3): 0.51%]; [(α = β = 4): 0.26%]; [(α = 3, β = 4): 0.55%]; [(α = 4, β = 3): 0.24%]।

इसी तरह, ज्यामितीय माध्य के सामान्तर 1/2 के लिए आवश्यक आकार मापदंडों के मान की गणना कर सकते हैं। मापदंड β के मान को देखते हुए, 1/2 के सामान्तर ज्यामितीय माध्य के लिए आवश्यक अन्य मापदंड α का मान क्या होगा?. उत्तर यह है कि (β > 1 के लिए), आवश्यक α का मान β → ∞ के रूप में β + 1/2 की ओर बढ़ता है। उदाहरण के लिए, इन सभी जोड़ों का 1/2 का समान ज्यामितीय माध्य है: [β = 1, α = 1.4427], [β = 2, α = 2.46958], [β = 3, α = 3.47943], [β = 4, α = 4.48449], [β = 5, α = 5.48756], [β = 10, α = 10.4938], [β = 100, α = 100.499]।

ज्यामितीय माध्य का मौलिक गुण है जो किसी अन्य माध्य के लिए असत्य सिद्ध हो सकता है,

$G\left({\frac {X_{i}}{Y_{i}}}\right)={\frac {G(X_{i})}{G(Y_{i})}}$

यह ज्यामितीय माध्य को एकमात्र सही माध्य बनाता है जब सामान्यीकृत परिणामों का औसत निकाला जाता है, अर्थात वे परिणाम जो संदर्भ मूल्यों के अनुपात के रूप में प्रस्तुत किए जाते हैं। यह प्रासंगिक है क्योंकि बीटा वितरण प्रतिशत के यादृच्छिक व्यवहार के लिए उपयुक्त मॉडल है और यह अनुपात के सांख्यिकीय मॉडलिंग के लिए विशेष रूप से उपयुक्त है। ज्यामितीय माध्य अधिकतम संभावना अनुमान में केंद्रीय भूमिका निभाता है,जिससे कि खंड मापदंड के अनुमान, तथा अधिकतम संभावना देखें जा सके। दरअसल, अधिकतम संभावना का अनुमान लगाते समय, यादृच्छिक वेरिएबल X के आधार पर ज्यामितीय माध्य G_X के अतिरिक्त , और ज्यामितीय माध्य भी स्वाभाविक रूप से प्रकट होता है: रैखिक परिवर्तन के आधार पर ज्यामितीय माध्य--(1 − X), X की दर्पण छवि, जिसे G_(1−X) द्वारा निरूपित किया जाता है:

$G_{(1-X)}=e^{\operatorname {E} [\ln(1-X)]}=e^{\psi (\beta )-\psi (\alpha +\beta )}$

एक पंक्ति के साथ α = β, निम्नलिखित सीमाएँ प्रयुक्त होती हैं:

${\begin{aligned}&\lim _{\alpha =\beta \to 0}G_{(1-X)}=0\\&\lim _{\alpha =\beta \to \infty }G_{(1-X)}={\tfrac {1}{2}}\end{aligned}}$

निम्नलिखित मापदंड परिमित (गैर-शून्य) के साथ सीमाएँ हैं और अन्य इन सीमाओं के समीप हैं:

${\begin{aligned}\lim _{\beta \to 0}G_{(1-X)}=\lim _{\alpha \to \infty }G_{(1-X)}=0\\\lim _{\alpha \to 0}G_{(1-X)}=\lim _{\beta \to \infty }G_{(1-X)}=1\end{aligned}}$

इसका निम्नलिखित अनुमानित मूल्य है:

$G_{(1-X)}\approx {\frac {\beta -{\frac {1}{2}}}{\alpha +\beta -{\frac {1}{2}}}}{\text{ if }}\alpha ,\beta >1.$

चूंकि दोनों G_X और G_(1−X) असममित हैं, इस स्तिथियों में इनकी दोनों की आकार मापदंड समान α = β हैं , ज्यामितीय साधन सामान्तर हैं: G_X = G_(1−X). यह समानता दोनों ज्यामितीय साधनों के मध्य प्रदर्शित निम्नलिखित समरूपता से होती है:

:

$G_{X}(\mathrm {B} (\alpha ,\beta ))=G_{(1-X)}(\mathrm {B} (\beta ,\alpha )).$

हार्मोनिक कारण

0 < α < 5 और 0 < β < 5 के लिए बीटा वितरण के लिए सुरीले माध्य

0 से 2 तक बीटा वितरण बनाम α और β के लिए हार्मोनिक माध्य

यादृच्छिक वेरिएबल X के साथ वितरण का हार्मोनिक माध्य H_X का व्युत्क्रम 1/X का अंकगणितीय माध्य है या, समतुल्य, इसका अपेक्षित मान है। इसलिए, आकार मापदंड α और β के साथ बीटा वितरण का है:

${\begin{aligned}H_{X}&={\frac {1}{\operatorname {E} \left[{\frac {1}{X}}\right]}}\\&={\frac {1}{\int _{0}^{1}{\frac {f(x;\alpha ,\beta )}{x}}\,dx}}\\&={\frac {1}{\int _{0}^{1}{\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{x\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,dx}}\\&={\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -1}}{\text{ if }}\alpha >1{\text{ and }}\beta >0\\\end{aligned}}$

α <1 के साथ बीटा वितरण का हार्मोनिक माध्य (H_X) अपरिभाषित है, क्योंकि इसकी परिभाषित अभिव्यक्ति एकता से कम आकार मापदंड α के लिए [0, 1] में सीमित नहीं है।

उपरोक्त व्यंजक में α = β देने से प्राप्त होता है

$H_{X}={\frac {\alpha -1}{2\alpha -1}},$

दिखा रहा है कि α = β के लिए हार्मोनिक माध्य 0 से है, α = β = 1 के लिए, 1/2 के लिए, α = β → ∞ के लिए।

निम्नलिखित मापदंड परिमित (गैर-शून्य) के साथ सीमाएँ हैं और अन्य इन सीमाओं के समीप हैं:

${\begin{aligned}&\lim _{\alpha \to 0}H_{X}{\text{ is undefined}}\\&\lim _{\alpha \to 1}H_{X}=\lim _{\beta \to \infty }H_{X}=0\\&\lim _{\beta \to 0}H_{X}=\lim _{\alpha \to \infty }H_{X}=1\end{aligned}}$

ज्यामितीय माध्य के अतिरिक्त, हार्मोनिक माध्य चार मापदंड स्तिथियों के लिए अधिकतम संभावना अनुमान में भूमिका निभाता है। दरअसल, हार्मोनिक माध्य H_X के अतिरिक्त, चार मापदंड स्तिथियों के लिए अधिकतम संभावना अनुमान लगाते समययादृच्छिक वेरिएबल X के आधार पर, अन्य हार्मोनिक माध्य भी स्वाभाविक रूप से प्रकट होता है: रैखिक परिवर्तन (1 − X) पर आधारित हार्मोनिक माध्य, X की दर्पण-छवि, H द्वारा निरूपित_1 − X:

$H_{1-X}={\frac {1}{\operatorname {E} \left[{\frac {1}{1-X}}\right]}}={\frac {\beta -1}{\alpha +\beta -1}}{\text{ if }}\beta >1,{\text{ and }}\alpha >0.$

हार्मोनिक माध्य (एच_(1 − X)β <1 के साथ बीटा वितरण अपरिभाषित है, क्योंकि इसकी परिभाषित अभिव्यक्ति [0, 1] में एकता से कम आकार मापदंड β के लिए बाध्य नहीं है।

उपरोक्त व्यंजक में α = β देने से प्राप्त होता है

$H_{(1-X)}={\frac {\beta -1}{2\beta -1}},$

दिखा रहा है कि α = β के लिए हार्मोनिक माध्य 0 से है, α = β = 1 के लिए, 1/2 के लिए, α = β → ∞ के लिए।

निम्नलिखित मापदंड परिमित (गैर-शून्य) के साथ सीमाएँ हैं और अन्य इन सीमाओं के समीप हैं:

${\begin{aligned}&\lim _{\beta \to 0}H_{1-X}{\text{ is undefined}}\\&\lim _{\beta \to 1}H_{1-X}=\lim _{\alpha \to \infty }H_{1-X}=0\\&\lim _{\alpha \to 0}H_{1-X}=\lim _{\beta \to \infty }H_{1-X}=1\end{aligned}}$

चूंकि दोनों H_X और H_1−X असममित हैं, इस स्तिथियों में α = β कि दोनों आकार मापदंड सामान्तर हैं, H_X = H_1−X. हार्मोनिक साधन सामान्तर हैं: यह समानता दोनों हार्मोनिक साधनों के मध्य प्रदर्शित निम्नलिखित समरूपता से होती है:

$H_{X}(\mathrm {B} (\alpha ,\beta ))=H_{1-X}(\mathrm {B} (\beta ,\alpha )){\text{ if }}\alpha ,\beta >1.$

सांख्यिकीय फैलाव के उपाय

विचरण

मापदंड α और β के साथ बीटा वितरण यादृच्छिक वेरिएबल X का विचरण (माध्य पर केंद्रित दूसरा क्षण) है:

$\operatorname {var} (X)=\operatorname {E} [(X-\mu )^{2}]={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}$

उपरोक्त व्यंजक में α = β देने से प्राप्त होता है

$\operatorname {var} (X)={\frac {1}{4(2\beta +1)}},$

दिखा रहा है कि α = β के लिए जैसे जैसे α = β बढ़ती है। वैसे वैसे विचरण नीरस रूप से घटता है समुच्चयिंग α = β = 0 इस व्यंजक में, अधिकतम प्रसरण var(X) = 1/4 मिलता हैजो केवल α = β = 0. पर सीमा के निकट होता है,

बीटा वितरण को इसके माध्य μ (0 < μ < 1) और प्रतिरूप आकार ν = α + β (ν > 0) के संदर्भ में भी पैरामीट्रिज्ड किया जा सकता है (उपखंड माध्य और प्रतिरूप आकार देखें):

${\begin{aligned}\alpha &=\mu \nu ,{\text{ where }}\nu =(\alpha +\beta )>0\\\beta &=(1-\mu )\nu ,{\text{ where }}\nu =(\alpha +\beta )>0.\end{aligned}}$

इस सांख्यिकीय मापदंड का उपयोग करते हुए, माध्य μ और प्रतिरूप आकार ν के संदर्भ में विचरण को निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:

$\operatorname {var} (X)={\frac {\mu (1-\mu )}{1+\nu }}$

तब से ν = α + β > 0, यह इस प्रकार है कि var(X) < μ(1 − μ).

एक सममित वितरण के लिए, माध्य वितरण के मध्य में है, μ = 1/2, और इसलिए:

$\operatorname {var} (X)={\frac {1}{4(1+\nu )}}{\text{ if }}\mu ={\tfrac {1}{2}}$

साथ ही, उपरोक्त भावों से निम्नलिखित सीमाएँ प्राप्त की जा सकती हैं (केवल विख्यात वेरिएबल सीमा तक पहुँच रहे हैं):

${\begin{aligned}&\lim _{\beta \to 0}\operatorname {var} (X)=\lim _{\alpha \to 0}\operatorname {var} (X)=\lim _{\beta \to \infty }\operatorname {var} (X)=\lim _{\alpha \to \infty }\operatorname {var} (X)=\lim _{\nu \to \infty }\operatorname {var} (X)=\lim _{\mu \to 0}\operatorname {var} (X)=\lim _{\mu \to 1}\operatorname {var} (X)=0\\&\lim _{\nu \to 0}\operatorname {var} (X)=\mu (1-\mu )\end{aligned}}$

ज्यामितीय विचरण और सहप्रसरण

लॉग ज्यामितीय प्रसरण बनाम α और β

लॉग ज्यामितीय प्रसरण बनाम α और β

ज्यामितीय विचरण का लघुगणक, ln(var_GX), यादृच्छिक वेरिएबल X के साथ वितरण का X के लघुगणक का दूसरा क्षण X के ज्यामितीय माध्य ln(G_X) पर केंद्रित है,

${\begin{aligned}\ln \operatorname {var} _{GX}&=\operatorname {E} \left[(\ln X-\ln G_{X})^{2}\right]\\&=\operatorname {E} [(\ln X-\operatorname {E} \left[\ln X])^{2}\right]\\&=\operatorname {E} \left[(\ln X)^{2}\right]-(\operatorname {E} [\ln X])^{2}\\&=\operatorname {var} [\ln X]\end{aligned}}$

और इसलिए, ज्यामितीय विचरण है:

$\operatorname {var} _{GX}=e^{\operatorname {var} [\ln X]}$

फिशर सूचना आव्युह में, और लॉग संभावना फलन की वक्रता, प्रतिबिंब सूत्र वेरिएबल 1 − X के ज्यामितीय भिन्नता का लघुगणक और X और 1 − X के मध्य ज्यामितीय सहप्रसरण का लघुगणक प्रकट होता है:

बीटा वितरण के लिए, दो गामा वितरणों के अनुपात के रूप में बीटा वितरण के प्रतिनिधित्व का उपयोग करके और अभिन्न के माध्यम से अंतर करके उच्च क्रम लॉगरिदमिक क्षण प्राप्त किए जा सकते हैं। उन्हें उच्च क्रम के पॉली-गामा कार्यों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। अनुभाग देखें § लघुगणकीय रूप से परिवर्तित यादृच्छिक चर के क्षण. लघुगणकीय वेरिएबल का प्रसरण और ln X और ln(1−X) का सहप्रसरण हैं:

$\operatorname {var} [\ln X]=\psi _{1}(\alpha )-\psi _{1}(\alpha +\beta )$

$\operatorname {var} [\ln(1-X)]=\psi _{1}(\beta )-\psi _{1}(\alpha +\beta )$

$\operatorname {cov} [\ln X,\ln(1-X)]=-\psi _{1}(\alpha +\beta )$

जहाँ त्रिगामा फलन, ψ₁(α) निरूपित करता है, तथा बहुग्राम कार्यों का दूसरा फलन है और इसे डिगामा फलन के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है:

$\psi _{1}(\alpha )={\frac {d^{2}\ln \Gamma (\alpha )}{d\alpha ^{2}}}={\frac {d\,\psi (\alpha )}{d\alpha }}.$

इसलिए,

$\ln \operatorname {var} _{GX}=\operatorname {var} [\ln X]=\psi _{1}(\alpha )-\psi _{1}(\alpha +\beta )$

$\ln \operatorname {var} _{G(1-X)}=\operatorname {var} [\ln(1-X)]=\psi _{1}(\beta )-\psi _{1}(\alpha +\beta )$

$\ln \operatorname {cov} _{GX,1-X}=\operatorname {cov} [\ln X,\ln(1-X)]=-\psi _{1}(\alpha +\beta )$

इसके साथ वाले प्लॉट लॉग ज्यामितीय प्रसरण दिखाते हैं और ज्यामितीय सहप्रसरण बनाम आकृति मापदंड α और β लॉग करते हैं। भूखंड दिखाते हैं कि लॉग ज्यामितीय संस्करण और लॉग ज्यामितीय सहप्रसरण आकार मापदंडों α और β 2 से अधिक के लिए शून्य के समीप हैं, और यह कि आकार मापदंड मान α और β एकता से कम के लिए लॉग ज्यामितीय संस्करण तेजी से मूल्य में वृद्धि करते हैं। आकार के मापदंडों के सभी मूल्यों के लिए लॉग ज्यामितीय संस्करण धनात्मक हैं। आकार के मापदंडों के सभी मूल्यों के लिए लॉग ज्यामितीय सहप्रसरण ऋणात्मक है, और यह एकता से कम α और β के लिए बड़े ऋणात्मक मूल्यों तक पहुंचता है।

निम्नलिखित मापदंड परिमित (गैर-शून्य) के साथ सीमाएँ हैं और अन्य इन सीमाओं के समीप हैं:

${\begin{aligned}&\lim _{\alpha \to \infty }(\lim _{\beta \to \infty }\ln \operatorname {var} _{GX})=\lim _{\beta \to \infty }(\lim _{\alpha \to \infty }\ln \operatorname {var} _{G(1-X)})=\lim _{\alpha \to \infty }(\lim _{\beta \to 0}\ln \operatorname {cov} _{GX,(1-X)})=\lim _{\beta \to \infty }(\lim _{\alpha \to 0}\ln \operatorname {cov} _{GX,(1-X)})=0\\&\lim _{\alpha \to \infty }(\lim _{\beta \to 0}\ln \operatorname {var} _{GX})=\lim _{\beta \to \infty }(\lim _{\alpha \to 0}\ln \operatorname {var} _{G(1-X)})=\infty \\&\lim _{\alpha \to 0}(\lim _{\beta \to 0}\ln \operatorname {cov} _{GX,(1-X)})=\lim _{\beta \to 0}(\lim _{\alpha \to 0}\ln \operatorname {cov} _{GX,(1-X)})=-\infty \end{aligned}}$