स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल: Difference between revisions

Revision as of 20:26, 31 July 2023

प्रसंभाव्यता प्रक्रियाओं में, स्ट्रैटोनोविच समाकल या फिस्क-स्ट्रैटोनोविच समाकल (रुस्लान स्ट्रैटोनोविच और डोनाल्ड फिस्क द्वारा एक साथ विकसित) एक प्रसंभाव्यता समाकल है, जो इटो समाकल का सबसे साधारण विकल्प है। यद्यपि इटो इंटीग्रल व्यावहारिक गणित में सामान्य विकल्प है, स्ट्रैटोनोविच समाकल का प्रयोग प्रायः भौतिकी में किया जाता है।

कुछ परिस्थितियों में, स्ट्रैटोनोविच परिभाषा में समाकलों में हेरफेर करना आसान होता है। इटो गणना के विपरीत, स्ट्रैटोनोविच समाकलों को इस तरह परिभाषित किया गया है कि साधारण गणना का श्रृंखला नियम लागू होता है।

संभवतः सबसे सामान्य स्थिति जिसमें इनका सामना किया जाता है वह स्ट्रैटोनोविच प्रसंभाव्यता अवकल समीकरण (एसडीई) का हल है। ये ईटो एसडीई (SDEs) के समतुल्य हैं और जब भी एक परिभाषा अधिक सुविधाजनक हो तो दोनों के बीच परिवर्तित करना संभव है।

परिभाषा

स्ट्रैटोनोविच समाकल को रीमैन समाकल के समान तरीके से परिभाषित किया जा सकता है, जो कि रीमैन योग की सीमा के रूप में है। माना कि $W:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R}$ वीनर प्रक्रिया है और $X:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R}$ सेमीमार्टिंगेल है जो वीनर प्रक्रिया के प्राकृतिक निस्पंदन के लिए अनुकूलित है। फिर स्ट्रैटोनोविच समाकल

\int _{0}^{T}X_{t}\circ \mathrm {d} W_{t}

यादृच्छिक चर $:\Omega \to \mathbb {R}$ है जिसे माध्य वर्ग में सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है^[1]

\sum _{i=0}^{k-1}{X_{t_{i+1}}+X_{t_{i}} \over 2}\left(W_{t_{i+1}}-W_{t_{i}}\right)

जैसा कि $[0,T]$ के विभाजन $0=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{k}=T$ का जाल 0 (रीमैन-स्टिल्टजेस समाकल की शैली में) की ओर प्रवृत्त है।

गणना

साधारण गणना की कई समाकलन तकनीकों का उपयोग स्ट्रैटोनोविच समाकल के लिए किया जा सकता है, उदाहरण के लिए- यदि $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ निष्कोण फलन है, तो

\int _{0}^{T}f'(W_{t})\circ \mathrm {d} W_{t}=f(W_{T})-f(W_{0})

और अधिक सामान्यतः, यदि $f:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ निष्कोण फलन है, तो

\int _{0}^{T}{\partial f \over \partial W}(W_{t},t)\circ \mathrm {d} W_{t}+\int _{0}^{T}{\partial f \over \partial t}(W_{t},t)\,\mathrm {d} t=f(W_{T},T)-f(W_{0},0).

यह बाद वाला नियम साधारण गणना के श्रृंखला नियम के समान है।

संख्यात्मक विधियाँ

प्रसंभाव्यता समाकलों को संभवतः ही कभी विश्लेषणात्मक रूप में हल किया जा सकता है, जिससे प्रसंभाव्यता संख्यात्मक समाकलन प्रसंभाव्यता समाकलों के सभी उपयोगों में एक महत्वपूर्ण विषय बन जाता है। विभिन्न संख्यात्मक सन्निकटन स्ट्रैटोनोविच समाकल में परिवर्तित होते हैं, और इनमें से विविधताओं का उपयोग स्ट्रैटोनोविच एसडीई (क्लोएडेन & प्लैटन 1992) को हल करने के लिए किया जाता है। हालाँकि ध्यान दें कि लैंग्विन समीकरणों के संख्यात्मक हल के लिए सबसे व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली यूलर योजना (यूलर-मारुयामा विधि) के लिए समीकरण को इटो रूप में होना आवश्यक है।^[2]

अवकल संकेतन

यदि $X_{t},Y_{t}$ , और $Z_{t}$ प्रसंभाव्यता प्रक्रियाएँ हैं जैसे

X_{T}-X_{0}=\int _{0}^{T}Y_{t}\circ \mathrm {d} W_{t}+\int _{0}^{T}Z_{t}\,\mathrm {d} t

सभी $T>0$ के लिए, हम भी लिखते हैं

\mathrm {d} X=Y\circ \mathrm {d} W+Z\,\mathrm {d} t.

इस संकेतन का उपयोग प्रायः प्रसंभाव्यता अवकल समीकरण (एसडीई) सूत्रबद्‍ध करने के लिए किया जाता है, जो वास्तव में प्रसंभाव्यता समाकलों के बारे में समीकरण हैं। उदाहरण के लिए, यह सामान्य गणना के संकेतन के साथ संगत है

\mathrm {d} (t^{2}\,W^{3})=3t^{2}W^{2}\circ \mathrm {d} W+2tW^{3}\,\mathrm {d} t.

इटो समाकल के साथ तुलना

वीनर प्रक्रिया $W$ के संबंध में प्रक्रिया $X$ का इटो समाकल द्वारा निरूपित किया जाता है

\int _{0}^{T}X_{t}\,\mathrm {d} W_{t}

(बिना वृत्त के)। इसकी परिभाषा के लिए, स्ट्रैटोनोविच समाकल की परिभाषा में ऊपर दी गई समान प्रक्रिया का उपयोग किया जाता है, प्रत्येक उपअंतराल के बाएं हाथ के अंत बिंदु पर प्रक्रिया

X

के मान को चुनने के अलावा, अर्थात,

(X_{t_{i+1}}+X_{t_{i}})/2

के स्थान पर

X_{t_{i}}

यह समाकल सामान्य श्रृंखला नियम का पालन नहीं करता है जैसा कि स्ट्रैटोनोविच समाकल करता है इसके स्थान पर किसी को थोड़ा अधिक जटिल इटो लेम्मा का उपयोग करना होगा।

इटो और स्ट्रैटोनोविच समाकलों के बीच रूपांतरण सूत्र का उपयोग करके किया जा सकता है

\int _{0}^{T}f(W_{t},t)\circ \mathrm {d} W_{t}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}{\partial f \over \partial W}(W_{t},t)\,\mathrm {d} t+\int _{0}^{T}f(W_{t},t)\,\mathrm {d} W_{t},

जहां $f$ दो चरों $W$ और $t$ का कोई सतत अवकलनीय फलन है और अंतिम समाकल एक इटो समाकल (क्लोएडेन & प्लैटन 1992, p. 101) है।

लैंग्विन समीकरण किसी दी गई समस्या में व्याख्या (स्ट्रैटोनोविच या इटो) को निर्दिष्ट करने के महत्व का उदाहरण देते हैं। मान लीजिए कि $X_{t}$ समय-समांगी इटो प्रसार है जिसमें सतत विभेदन प्रसार गुणांक $\sigma$ है, अर्थात यह एसडीई $\mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} W_{t}$ को संतुष्ट करता है। संबंधित स्ट्रैटोनोविच संस्करण प्राप्त करने के लिए, शब्द $\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} W_{t}$ (इटो व्याख्या में) का अनुवाद $\sigma (X_{t})\circ \mathrm {d} W_{t}$ (स्ट्रैटोनोविच व्याख्या में) के रूप में किया जाना चाहिए

\int _{0}^{T}\sigma (X_{t})\circ \mathrm {d} W_{t}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}{\frac {d\sigma }{dx}}(X_{t})\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} t+\int _{0}^{T}\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} W_{t}.

स्पष्ट रुप से, यदि $\sigma$ $X_{t}$ से स्वतंत्र है, तो दो व्याख्याएं लैंग्विन समीकरण के लिए एक ही रूप ले लेंगी। उस स्थिति में, ध्वनि शब्द को "योगात्मक" (चूंकि ध्वनि शब्द $dW_{t}$ को केवल एक निश्चित गुणांक से गुणा किया जाता है) कहा जाता है। अन्यथा, यदि $\sigma =\sigma (X_{t})$ , तो इटो रूप में लैंग्विन समीकरण सामान्य रूप से स्ट्रैटोनोविच रूप में भिन्न हो सकता है, इस स्थिति में ध्वनि शब्द को गुणक (अर्थात, ध्वनि $dW_{t}$ को $X_{t}$ के फलन द्वारा गुणा किया जाता है जो कि $\sigma (X_{t})$ है) कहा जाता है।

अधिक सामान्यतः, किन्हीं दो सेमीमार्टिंगेल्स $X$ और $Y$ के लिए

\int _{0}^{T}X_{s-}\circ \mathrm {d} Y_{s}=\int _{0}^{T}X_{s-}\,\mathrm {d} Y_{s}+{\frac {1}{2}}[X,Y]_{T}^{c},

जहां $[X,Y]_{T}^{c}$ सहविचरण का सतत भाग है।

अनुप्रयोगों में स्ट्रैटोनोविच समाकल

स्ट्रैटोनोविच समाकल में इटो समाकल के महत्वपूर्ण गुण का अभाव है, जो "भविष्य की ओर नहीं देखता"। कई वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों में, जैसे कि स्टॉक की कीमतों का प्रतिरूपण करना, किसी को केवल पिछली घटनाओं के बारे में जानकारी होती है, और इसलिए इटो व्याख्या अधिक स्वाभाविक है। वित्तीय गणित में प्रायः इटो व्याख्या का उपयोग किया जाता है।

हालाँकि, भौतिकी में, प्रसंभाव्यता समाकल लैंग्विन समीकरणों के हल के रूप में होते हैं। लैंग्विन समीकरण अधिक सूक्ष्म मॉडल का अपरिष्कृत कणिक संस्करण है विचाराधीन समस्या के आधार पर, स्ट्रैटोनोविच या इटो व्याख्या या इससे भी अधिक असाधारण व्याख्याएं जैसे समतापी व्याख्या उपयुक्त हैं। स्ट्रेटोनोविच व्याख्या भौतिक विज्ञान में सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली व्याख्या है।

वोंग-ज़काई प्रमेय में कहा गया है कि परिमित ध्वनि सहसंबंध समय $\tau$ की विशेषता वाले अश्वेत ध्वनि स्पेक्ट्रम वाले भौतिक सिस्टम को स्ट्रेटोनोविच व्याख्या में अश्वेत ध्वनि के साथ लैंग्विन समीकरणों द्वारा अनुमानित किया जा सकता है, जहां $\tau$ शून्य हो जाता है।^{[citation needed]}

क्योंकि स्ट्रैटोनोविच गणना सामान्य श्रृंखला नियम को संतुष्ट करती है, स्ट्रैटोनोविच अर्थ में प्रसंभाव्यता अवकल समीकरण (एसडीई) केवल $\mathbb {R} ^{n}$ के स्थान पर अलग-अलग बहुरूपता पर परिभाषित करने के लिए अधिक सरल हैं। इटो गणना के पेचीदा श्रृंखला नियम इसे बहुरूपताओं के लिए अधिक अनुपयुक्त विकल्प बनाते है।

एसडीई की स्ट्रैटोनोविच व्याख्या और अतिसममितीय सिद्धांत

एसडीई के अतिसममितीय सिद्धांत में, कोई एसडीई द्वारा निर्धारित प्रसंभाव्यता प्रवाह द्वारा चरण अंतराल के बाहरी बीजगणित पर प्रेरित पुलबैक के औसत से प्राप्त विकास ऑपरेटर पर विचार करता है। इस संदर्भ में, एसडीई की स्ट्रैटोनोविच व्याख्या का उपयोग करना स्वाभाविक है।

↑ Gardiner (2004), p. 98 and the comment on p. 101
↑ Perez-Carrasco R.; Sancho J.M. (2010). "असंतुलित गुणक श्वेत शोर के लिए स्टोकेस्टिक एल्गोरिदम" (PDF). Phys. Rev. E. 81 (3): 032104. Bibcode:2010PhRvE..81c2104P. doi:10.1103/PhysRevE.81.032104. PMID 20365796.

संदर्भ

Øksendal, Bernt K. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. Springer, Berlin. ISBN 3-540-04758-1.
Gardiner, Crispin W. (2004). Handbook of Stochastic Methods (3 ed.). Springer, Berlin Heidelberg. ISBN 3-540-20882-8.
Jarrow, Robert; Protter, Philip (2004). "A short history of stochastic integration and mathematical finance: The early years, 1880–1970". IMS Lecture Notes Monograph. 45: 1–17. CiteSeerX 10.1.1.114.632.
Kloeden, Peter E.; Platen, Eckhard (1992). Numerical solution of stochastic differential equations. Applications of Mathematics. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-54062-5..

[1] Gardiner (2004), p. 98 and the comment on p. 101

[2] Perez-Carrasco R.; Sancho J.M. (2010). "असंतुलित गुणक श्वेत शोर के लिए स्टोकेस्टिक एल्गोरिदम" (PDF). Phys. Rev. E. 81 (3): 032104. Bibcode:2010PhRvE..81c2104P. doi:10.1103/PhysRevE.81.032104. PMID 20365796.

[1]

[2]

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-स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं में, स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल या फिस्क-स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल ([[रुस्लान स्ट्रैटोनोविच]] और [[ डोनाल्ड मछली ]] द्वारा एक साथ विकसित) एक [[स्टोकेस्टिक इंटीग्रल]] है, जो इटो कैलकुलस|इटो इंटीग्रल का सबसे आम विकल्प है। यद्यपि इटो इंटीग्रल व्यावहारिक गणित में सामान्य पसंद है, स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल का उपयोग अक्सर भौतिकी में किया जाता है।
+प्रसंभाव्यता प्रक्रियाओं में, '''स्ट्रैटोनोविच समाकल''' या '''फिस्क-स्ट्रैटोनोविच समाकल''' ([[रुस्लान स्ट्रैटोनोविच]] और [[ डोनाल्ड मछली |डोनाल्ड फिस्क]] द्वारा एक साथ विकसित) एक [[स्टोकेस्टिक इंटीग्रल|प्रसंभाव्यता समाकल]] है, जो इटो समाकल का सबसे साधारण विकल्प है। यद्यपि इटो इंटीग्रल व्यावहारिक गणित में सामान्य विकल्प है, स्ट्रैटोनोविच समाकल का प्रयोग प्रायः भौतिकी में किया जाता है।
-कुछ परिस्थितियों में, स्ट्रैटोनोविच परिभाषा में अभिन्नों में हेरफेर करना आसान होता है। इटो कैलकुलस के विपरीत, स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल्स को इस तरह परिभाषित किया गया है कि साधारण कैलकुलस का [[श्रृंखला नियम]] लागू होता है।
+कुछ परिस्थितियों में, स्ट्रैटोनोविच परिभाषा में समाकलों में हेरफेर करना आसान होता है। इटो गणना के विपरीत, स्ट्रैटोनोविच समाकलों को इस तरह परिभाषित किया गया है कि साधारण गणना का [[श्रृंखला नियम]] लागू होता है।
-शायद सबसे आम स्थिति जिसमें इनका सामना किया जाता है वह स्ट्रैटोनोविच [[स्टोकेस्टिक विभेदक समीकरण]] (एसडीई) का समाधान है। ये आईटीओ एसडीई के समतुल्य हैं और जब भी एक परिभाषा अधिक सुविधाजनक हो तो दोनों के बीच परिवर्तित करना संभव है।
+संभवतः सबसे सामान्य स्थिति जिसमें इनका सामना किया जाता है वह स्ट्रैटोनोविच [[स्टोकेस्टिक विभेदक समीकरण|प्रसंभाव्यता अवकल समीकरण]] (एसडीई) का हल है। ये ईटो एसडीई (SDEs) के समतुल्य हैं और जब भी एक परिभाषा अधिक सुविधाजनक हो तो दोनों के बीच परिवर्तित करना संभव है।
 ==परिभाषा==
-स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल को [[ रीमैन अभिन्न ]] के समान तरीके से परिभाषित किया जा सकता है, जो कि [[रीमैन योग]] की एक [[सीमा (गणित)]] के रूप में है। लगता है कि <math>W : [0, T] \times \Omega \to \mathbb{R}</math> एक [[वीनर प्रक्रिया]] है और <math>X : [0, T] \times \Omega \to \mathbb{R}</math> वीनर प्रक्रिया के प्राकृतिक [[निस्पंदन (अमूर्त बीजगणित)]] के लिए एक [[ सेमीमार्टिंगेल्स ]] [[अनुकूलित प्रक्रिया]] है। फिर स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल
+स्ट्रैटोनोविच समाकल को [[ रीमैन अभिन्न |रीमैन समाकल]] के समान तरीके से परिभाषित किया जा सकता है, जो कि [[रीमैन योग]] की [[सीमा (गणित)|सीमा]] के रूप में है। माना कि <math>W : [0, T] \times \Omega \to \mathbb{R}</math> [[वीनर प्रक्रिया]] है और <math>X : [0, T] \times \Omega \to \mathbb{R}</math> [[ सेमीमार्टिंगेल्स |सेमीमार्टिंगेल]] है जो वीनर प्रक्रिया के प्राकृतिक [[निस्पंदन (अमूर्त बीजगणित)|निस्पंदन]] के लिए [[अनुकूलित प्रक्रिया|अनुकूलित]] है। फिर '''स्ट्रैटोनोविच समाकल'''
 :<math>\int_0^T X_{t} \circ \mathrm{d} W_t</math>
-एक यादृच्छिक चर है <math>: \Omega \to \mathbb{R}</math> माध्य में अभिसरण#के माध्य में अभिसरण के रूप में परिभाषित किया गया है<ref>Gardiner (2004), p. 98 and the comment on p. 101</ref>
+यादृच्छिक चर <math>: \Omega \to \mathbb{R}</math> है जिसे माध्य वर्ग में सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है<ref>Gardiner (2004), p. 98 and the comment on p. 101</ref>
 :<math>\sum_{i = 0}^{k - 1} {X_{t_{i+1}} + X_{t_i}\over 2} \left( W_{t_{i+1}} - W_{t_i} \right)</math>
-विभाजन के एक अंतराल के विभाजन के रूप में <math>0 = t_{0} < t_{1} < \dots < t_{k} = T</math> का <math>[0, T]</math> 0 की ओर प्रवृत्त होता है (रीमैन-स्टिल्टजेस इंटीग्रल की शैली में)।
+जैसा कि <math>[0, T]</math> के विभाजन <math>0 = t_{0} < t_{1} < \dots < t_{k} = T</math> का जाल 0 (रीमैन-स्टिल्टजेस समाकल की शैली में) की ओर प्रवृत्त है।
 ==गणना==
-साधारण कैलकुलस की कई एकीकरण तकनीकों का उपयोग स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल के लिए किया जा सकता है, उदाहरण के लिए: यदि <math>f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> तो फिर यह एक सुचारु कार्य है
+साधारण गणना की कई समाकलन तकनीकों का उपयोग स्ट्रैटोनोविच समाकल के लिए किया जा सकता है, उदाहरण के लिए- यदि <math>f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> निष्कोण फलन है, तो
 :<math>\int_0^T f'(W_t) \circ \mathrm{d} W_t = f(W_T)-f(W_0)</math>
-और अधिक सामान्यतः, यदि <math>f : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> तो फिर यह एक सुचारु कार्य है
+और अधिक सामान्यतः, यदि <math>f : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> निष्कोण फलन है, तो
 :<math>\int_0^T {\partial f\over\partial W}(W_t,t) \circ \mathrm{d} W_t + \int_0^T {\partial f\over\partial t}(W_t,t)\, \mathrm{d}t = f(W_T,T)-f(W_0,0).</math>
-यह बाद वाला नियम साधारण कैलकुलस के श्रृंखला नियम के समान है।
+यह बाद वाला नियम साधारण गणना के श्रृंखला नियम के समान है।
 ===संख्यात्मक विधियाँ===
-स्टोकेस्टिक इंटीग्रल्स को शायद ही कभी विश्लेषणात्मक रूप में हल किया जा सकता है, जिससे [[स्टोकेस्टिक कैलकुलस]] [[संख्यात्मक एकीकरण]] स्टोकेस्टिक इंटीग्रल्स के सभी उपयोगों में एक महत्वपूर्ण विषय बन जाता है। विभिन्न संख्यात्मक सन्निकटन स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल में परिवर्तित होते हैं, और इनमें से विविधताओं का उपयोग स्ट्रैटोनोविच एसडीई को हल करने के लिए किया जाता है {{harv|Kloeden|Platen|1992}}.
+प्रसंभाव्यता समाकलों को संभवतः ही कभी विश्लेषणात्मक रूप में हल किया जा सकता है, जिससे [[स्टोकेस्टिक कैलकुलस|प्रसंभाव्यता]] [[संख्यात्मक एकीकरण|संख्यात्मक समाकलन]] प्रसंभाव्यता समाकलों के सभी उपयोगों में एक महत्वपूर्ण विषय बन जाता है। विभिन्न संख्यात्मक सन्निकटन स्ट्रैटोनोविच समाकल में परिवर्तित होते हैं, और इनमें से विविधताओं का उपयोग स्ट्रैटोनोविच एसडीई {{harv|क्लोएडेन|प्लैटन|1992}} को हल करने के लिए किया जाता है। हालाँकि ध्यान दें कि [[लैंग्विन समीकरण|लैंग्विन समीकरणों]] के संख्यात्मक हल के लिए सबसे व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली यूलर योजना (यूलर-मारुयामा विधि) के लिए समीकरण को इटो रूप में होना आवश्यक है।<ref>{{cite journal | last1 = Perez-Carrasco R. | last2 = Sancho J.M. | title = असंतुलित गुणक श्वेत शोर के लिए स्टोकेस्टिक एल्गोरिदम| journal = Phys. Rev. E | volume = 81 | issue = 3 | pages = 032104 | year = 2010 | doi=10.1103/PhysRevE.81.032104| pmid = 20365796 | bibcode = 2010PhRvE..81c2104P | url = http://discovery.ucl.ac.uk/10025194/9/PhysRevE.81.032104%20%281%29.pdf }}</ref>
-हालाँकि ध्यान दें कि [[लैंग्विन समीकरण]]ों के संख्यात्मक समाधान के लिए सबसे व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली यूलर योजना (यूलर-मारुयामा विधि) के लिए समीकरण को इटो फॉर्म में होना आवश्यक है।<ref>{{ cite journal | last1 = Perez-Carrasco R. | last2 = Sancho J.M. | title = असंतुलित गुणक श्वेत शोर के लिए स्टोकेस्टिक एल्गोरिदम| journal = Phys. Rev. E | volume = 81 | issue = 3 | pages = 032104 | year = 2010 | doi=10.1103/PhysRevE.81.032104| pmid = 20365796 | bibcode = 2010PhRvE..81c2104P | url = http://discovery.ucl.ac.uk/10025194/9/PhysRevE.81.032104%20%281%29.pdf }}</ref>
+==अवकल संकेतन==
+यदि <math>X_t, Y_t</math>, और <math>Z_t</math> प्रसंभाव्यता प्रक्रियाएँ हैं जैसे
-==विभेदक संकेतन==
-अगर <math>X_t, Y_t</math>, और <math>Z_t</math> ऐसी स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं हैं
 :<math>X_T-X_0=\int_0^T Y_{t} \circ \mathrm{d} W_t + \int_0^T Z_{t} \,\mathrm{d}t</math>
-सभी के लिए <math>T > 0</math>, हम भी लिखते हैं
+सभी <math>T > 0</math> के लिए, हम भी लिखते हैं
 :<math>\mathrm{d}X=Y\circ\mathrm{d}W + Z\,\mathrm{d}t.</math>
-इस नोटेशन का उपयोग अक्सर स्टोकेस्टिक डिफरेंशियल समीकरण (एसडीई) तैयार करने के लिए किया जाता है, जो वास्तव में स्टोकेस्टिक इंटीग्रल्स के बारे में समीकरण हैं। उदाहरण के लिए, यह सामान्य कैलकुलस के अंकन के साथ संगत है
+इस संकेतन का उपयोग प्रायः प्रसंभाव्यता अवकल समीकरण (एसडीई) सूत्रबद्‍ध करने के लिए किया जाता है, जो वास्तव में प्रसंभाव्यता समाकलों के बारे में समीकरण हैं। उदाहरण के लिए, यह सामान्य गणना के संकेतन के साथ संगत है
 :<math>\mathrm{d}(t^2\,W^3)=3 t^2 W^2\circ\mathrm{d}W + 2t W^3\,\mathrm{d}t.</math>
+==इटो समाकल के साथ तुलना==
+{{main|इटो गणना}}
+वीनर प्रक्रिया <math>W</math> के संबंध में प्रक्रिया <math>X</math> का इटो समाकल द्वारा निरूपित किया जाता है<math display="block">\int_0^T X_{t} \,\mathrm{d} W_t</math>(बिना वृत्त के)। इसकी परिभाषा के लिए, स्ट्रैटोनोविच समाकल की परिभाषा में ऊपर दी गई समान प्रक्रिया का उपयोग किया जाता है, प्रत्येक उपअंतराल के बाएं हाथ के अंत बिंदु पर प्रक्रिया <math>X</math> के मान को चुनने के अलावा, अर्थात,
+:<math>(X_{t_{i+1}}+ X_{t_{i}})/ 2</math> के स्थान पर <math>X_{t_{i}}</math>
+यह समाकल सामान्य श्रृंखला नियम का पालन नहीं करता है जैसा कि स्ट्रैटोनोविच समाकल करता है इसके स्थान पर किसी को थोड़ा अधिक जटिल इटो लेम्मा का उपयोग करना होगा।
-==इटो इंटीग्रल के साथ तुलना==
+इटो और स्ट्रैटोनोविच समाकलों के बीच रूपांतरण सूत्र का उपयोग करके किया जा सकता है
-{{main|Itô calculus}}
-इटो कैलकुलस|इटो प्रक्रिया का अभिन्न अंग <math>X</math> वीनर प्रक्रिया के संबंध में <math>W</math> द्वारा निरूपित किया जाता है <math display="block">\int_0^T X_{t} \,\mathrm{d} W_t</math> (सर्कल के बिना). इसकी परिभाषा के लिए, प्रक्रिया के मूल्य को चुनने के अलावा, स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल की परिभाषा में ऊपर दी गई समान प्रक्रिया का उपयोग किया जाता है <math>X</math> प्रत्येक उपअंतराल के बाएँ हाथ के समापन बिंदु पर, अर्थात,
-:<math>X_{t_{i}}</math> की जगह <math>(X_{t_{i+1}}+ X_{t_{i}})/ 2</math>
-यह इंटीग्रल सामान्य श्रृंखला नियम का पालन नहीं करता है जैसा कि स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल करता है; इसके बजाय किसी को थोड़ा अधिक जटिल इटो लेम्मा का उपयोग करना होगा।
-इटो और स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल्स के बीच रूपांतरण सूत्र का उपयोग करके किया जा सकता है
 :<math>\int_{0}^{T} f(W_{t},t) \circ \mathrm{d} W_{t} = \frac{1}{2} \int_{0}^{T} {\partial f\over\partial W}(W_{t},t) \, \mathrm{d} t + \int_{0}^{T} f(W_{t},t) \, \mathrm{d} W_{t},</math>
-कहाँ <math>f</math> दो चरों का कोई निरंतर अवकलनीय फलन है <math>W</math> और <math>t</math> और अंतिम इंटीग्रल एक इटो इंटीग्रल है {{harv|Kloeden|Platen|1992|p=101}}.
+जहां <math>f</math> दो चरों <math>W</math> और <math>t</math> का कोई सतत अवकलनीय फलन है और अंतिम समाकल एक इटो समाकल {{harv|क्लोएडेन|प्लैटन|1992|p=101}} है।
-लैंग्विन समीकरण किसी दी गई समस्या में व्याख्या (स्ट्रैटोनोविच या इटो) को निर्दिष्ट करने के महत्व का उदाहरण देते हैं। कल्पना करना <math>X_t</math> निरंतर भिन्न प्रसार गुणांक के साथ एक समय-सजातीय इटो प्रसार है <math>\sigma</math>, यानी यह स्टोकेस्टिक अंतर समीकरण को संतुष्ट करता है <math>\mathrm{d} X_t = \mu(X_t)\,\mathrm{d} t + \sigma(X_t)\,\mathrm{d} W_t</math>. संबंधित स्ट्रैटोनोविच संस्करण प्राप्त करने के लिए, शब्द <math>\sigma(X_t)\,\mathrm{d} W_t</math> (इसकी व्याख्या में) का अनुवाद करना चाहिए <math> \sigma (X_{t}) \circ \mathrm{d} W_{t}</math> (स्ट्रेटोनोविच व्याख्या में) जैसे
+लैंग्विन समीकरण किसी दी गई समस्या में व्याख्या (स्ट्रैटोनोविच या इटो) को निर्दिष्ट करने के महत्व का उदाहरण देते हैं। मान लीजिए कि <math>X_t</math> समय-समांगी इटो प्रसार है जिसमें सतत विभेदन प्रसार गुणांक <math>\sigma</math> है, अर्थात यह एसडीई <math>\mathrm{d} X_t = \mu(X_t)\,\mathrm{d} t + \sigma(X_t)\,\mathrm{d} W_t</math> को संतुष्ट करता है। संबंधित स्ट्रैटोनोविच संस्करण प्राप्त करने के लिए, शब्द <math>\sigma(X_t)\,\mathrm{d} W_t</math> (इटो व्याख्या में) का अनुवाद <math> \sigma (X_{t}) \circ \mathrm{d} W_{t}</math> (स्ट्रैटोनोविच व्याख्या में) के रूप में किया जाना चाहिए
 :<math>\int_{0}^{T} \sigma (X_{t}) \circ \mathrm{d} W_{t} = \frac{1}{2} \int_{0}^{T} \frac{d \sigma}{dx}(X_{t}) \sigma(X_{t}) \, \mathrm{d} t + \int_{0}^{T} \sigma (X_{t}) \, \mathrm{d} W_{t}.</math>
-जाहिर है, अगर <math> \sigma </math> से स्वतंत्र है <math>X_t </math>, दोनों व्याख्याएं लैंग्विन समीकरण के लिए एक ही रूप की ओर ले जाएंगी। उस स्थिति में, शोर शब्द को एडिटिव कहा जाता है (शोर शब्द के बाद से)। <math> dW_t </math> केवल एक निश्चित गुणांक से गुणा किया जाता है)। अन्यथा, यदि <math> \sigma=\sigma(X_t) </math>, इटो फॉर्म में लैंग्विन समीकरण आम तौर पर स्ट्रैटोनोविच फॉर्म से भिन्न हो सकता है, जिस स्थिति में शोर शब्द को गुणक कहा जाता है (यानी, शोर <math> dW_t </math> के एक फलन से गुणा किया जाता है <math> X_t </math> वह है <math> \sigma(X_t) </math>).
+स्पष्ट रुप से, यदि <math> \sigma </math> <math>X_t </math> से स्वतंत्र है, तो दो व्याख्याएं लैंग्विन समीकरण के लिए एक ही रूप ले लेंगी। उस स्थिति में, ध्वनि शब्द को "योगात्मक" (चूंकि ध्वनि शब्द <math> dW_t </math> को केवल एक निश्चित गुणांक से गुणा किया जाता है) कहा जाता है। अन्यथा, यदि <math> \sigma=\sigma(X_t) </math>, तो इटो रूप में लैंग्विन समीकरण सामान्य रूप से स्ट्रैटोनोविच रूप में भिन्न हो सकता है, इस स्थिति में ध्वनि शब्द को गुणक (अर्थात, ध्वनि <math> dW_t </math> को <math> X_t </math> के फलन द्वारा गुणा किया जाता है जो कि <math> \sigma(X_t) </math> है) कहा जाता है।
-अधिक सामान्यतः, किन्हीं दो सेमीमार्टिंगेल्स के लिए <math>X</math> और <math>Y</math>
+अधिक सामान्यतः, किन्हीं दो सेमीमार्टिंगेल्स <math>X</math> और <math>Y</math> के लिए
 :<math>\int_{0}^{T} X_{s-} \circ \mathrm{d} Y_s = \int_0^T X_{s-}\,\mathrm{d}Y_s+ \frac{1}{2} [X,Y]_T^c,</math>
-कहाँ <math> [X,Y]_T^c</math> [[द्विघात भिन्नता]] का सतत भाग है।
+जहां <math> [X,Y]_T^c</math> [[द्विघात भिन्नता|सहविचरण]] का सतत भाग है।
-==अनुप्रयोगों में स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल्स==
+==अनुप्रयोगों में स्ट्रैटोनोविच समाकल==
-स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल में इटो इंटीग्रल की महत्वपूर्ण संपत्ति का अभाव है, जो भविष्य पर ध्यान नहीं देता है। कई वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों में, जैसे कि स्टॉक की कीमतों को मॉडलिंग करना, किसी को केवल पिछली घटनाओं के बारे में जानकारी होती है, और इसलिए इटो व्याख्या अधिक स्वाभाविक है। वित्तीय गणित में आमतौर पर इटो व्याख्या का उपयोग किया जाता है।
+स्ट्रैटोनोविच समाकल में इटो समाकल के महत्वपूर्ण गुण का अभाव है, जो "भविष्य की ओर नहीं देखता"। कई वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों में, जैसे कि स्टॉक की कीमतों का प्रतिरूपण करना, किसी को केवल पिछली घटनाओं के बारे में जानकारी होती है, और इसलिए इटो व्याख्या अधिक स्वाभाविक है। वित्तीय गणित में प्रायः इटो व्याख्या का उपयोग किया जाता है।
-हालाँकि, भौतिकी में, स्टोकेस्टिक इंटीग्रल लैंग्विन समीकरणों के समाधान के रूप में होते हैं। लैंग्विन समीकरण एक अधिक सूक्ष्म मॉडल का मोटे दाने वाला संस्करण है; विचाराधीन समस्या के आधार पर, स्ट्रैटोनोविच या इटो व्याख्या या इससे भी अधिक विदेशी व्याख्याएं जैसे इज़ोटेर्मल व्याख्या उपयुक्त हैं। स्ट्रेटोनोविच व्याख्या भौतिक विज्ञान में सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली व्याख्या है।
+हालाँकि, भौतिकी में, प्रसंभाव्यता समाकल लैंग्विन समीकरणों के हल के रूप में होते हैं। लैंग्विन समीकरण अधिक सूक्ष्म मॉडल का अपरिष्कृत कणिक संस्करण है विचाराधीन समस्या के आधार पर, स्ट्रैटोनोविच या इटो व्याख्या या इससे भी अधिक असाधारण व्याख्याएं जैसे समतापी व्याख्या उपयुक्त हैं। स्ट्रेटोनोविच व्याख्या भौतिक विज्ञान में सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली व्याख्या है।
-वोंग-ज़काई प्रमेय में कहा गया है कि गैर-सफेद शोर स्पेक्ट्रम वाले भौतिक सिस्टम एक सीमित शोर सहसंबंध समय की विशेषता रखते हैं <math>\tau</math> सीमा में स्ट्रैटनोविच व्याख्या में सफेद शोर के साथ लैंग्विन समीकरणों द्वारा अनुमान लगाया जा सकता है <math>\tau</math> शून्य हो जाता है.{{citation needed|date=September 2016}}
+वोंग-ज़काई प्रमेय में कहा गया है कि परिमित ध्वनि सहसंबंध समय <math>\tau</math> की विशेषता वाले अश्वेत ध्वनि स्पेक्ट्रम वाले भौतिक सिस्टम को स्ट्रेटोनोविच व्याख्या में अश्वेत ध्वनि के साथ लैंग्विन समीकरणों द्वारा अनुमानित किया जा सकता है, जहां <math>\tau</math> शून्य हो जाता है।{{citation needed|date=September 2016}}
-क्योंकि स्ट्रैटोनोविच कैलकुलस सामान्य श्रृंखला नियम को संतुष्ट करता है, स्ट्रैटोनोविच अर्थ में स्टोकेस्टिक डिफरेंशियल समीकरण (एसडीई) केवल विभेदक मैनिफोल्ड्स पर परिभाषित करने के लिए अधिक सरल हैं, न कि केवल <math>\mathbb{R}^n</math>. इटो कैलकुलस का पेचीदा श्रृंखला नियम इसे मैनिफोल्ड्स के लिए अधिक अजीब विकल्प बनाता है।
+क्योंकि स्ट्रैटोनोविच गणना सामान्य श्रृंखला नियम को संतुष्ट करती है, स्ट्रैटोनोविच अर्थ में प्रसंभाव्यता अवकल समीकरण (एसडीई) केवल <math>\mathbb{R}^n</math> के स्थान पर अलग-अलग बहुरूपता पर परिभाषित करने के लिए अधिक सरल हैं। इटो गणना के पेचीदा श्रृंखला नियम इसे बहुरूपताओं के लिए अधिक अनुपयुक्त विकल्प बनाते है।
-==एसडीई की स्ट्रैटोनोविच व्याख्या और सुपरसिमेट्रिक सिद्धांत==
+==एसडीई की स्ट्रैटोनोविच व्याख्या और अतिसममितीय सिद्धांत==
-{{Main|Supersymmetric theory of stochastic dynamics}}
+{{Main|प्रसंभाव्यता गतिकी का अतिसममितीय सिद्धांत}}
-एसडीई के सुपरसिमेट्रिक सिद्धांत में, कोई एसडीई द्वारा निर्धारित स्टोकेस्टिक प्रवाह द्वारा चरण स्थान के [[बाहरी बीजगणित]] पर प्रेरित पुलबैक के औसत से प्राप्त विकास ऑपरेटर पर विचार करता है। इस संदर्भ में, एसडीई की स्ट्रैटोनोविच व्याख्या का उपयोग करना स्वाभाविक है।
+एसडीई के अतिसममितीय सिद्धांत में, कोई एसडीई द्वारा निर्धारित प्रसंभाव्यता प्रवाह द्वारा चरण अंतराल के [[बाहरी बीजगणित]] पर प्रेरित पुलबैक के औसत से प्राप्त विकास ऑपरेटर पर विचार करता है। इस संदर्भ में, एसडीई की स्ट्रैटोनोविच व्याख्या का उपयोग करना स्वाभाविक है।
 ==टिप्पणियाँ==
 {{Reflist}}
 ==संदर्भ==
 * {{cite book | author=Øksendal, Bernt K. | author-link=Bernt Øksendal | title=Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications | publisher=Springer, Berlin | year=2003 | isbn=3-540-04758-1}}

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