स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल

प्रसंभाव्यता प्रक्रियाओं में, स्ट्रैटोनोविच समाकल या फिस्क-स्ट्रैटोनोविच समाकल (रुस्लान स्ट्रैटोनोविच और डोनाल्ड फिस्क द्वारा एक साथ विकसित) एक प्रसंभाव्यता समाकल है, जो इटो समाकल का सबसे साधारण विकल्प है। यद्यपि इटो इंटीग्रल व्यावहारिक गणित में सामान्य विकल्प है, स्ट्रैटोनोविच समाकल का प्रयोग प्रायः भौतिकी में किया जाता है।

कुछ परिस्थितियों में, स्ट्रैटोनोविच परिभाषा में समाकलों में हेरफेर करना आसान होता है। इटो गणना के विपरीत, स्ट्रैटोनोविच समाकलों को इस तरह परिभाषित किया गया है कि साधारण गणना का श्रृंखला नियम लागू होता है।

संभवतः सबसे सामान्य स्थिति जिसमें इनका सामना किया जाता है वह स्ट्रैटोनोविच प्रसंभाव्यता अवकल समीकरण (एसडीई) का हल है। ये ईटो एसडीई (SDEs) के समतुल्य हैं और जब भी एक परिभाषा अधिक सुविधाजनक हो तो दोनों के बीच परिवर्तित करना संभव है।

परिभाषा

स्ट्रैटोनोविच समाकल को रीमैन समाकल के समान तरीके से परिभाषित किया जा सकता है, जो कि रीमैन योग की सीमा के रूप में है। माना कि $W:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R}$ वीनर प्रक्रिया है और $X:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R}$ सेमीमार्टिंगेल है जो वीनर प्रक्रिया के प्राकृतिक निस्पंदन के लिए अनुकूलित है। फिर स्ट्रैटोनोविच समाकल

$\int _{0}^{T}X_{t}\circ \mathrm {d} W_{t}$

यादृच्छिक चर $:\Omega \to \mathbb {R}$ है जिसे माध्य वर्ग में सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है

$\sum _{i=0}^{k-1}{X_{t_{i+1}}+X_{t_{i}} \over 2}\left(W_{t_{i+1}}-W_{t_{i}}\right)$

जैसा कि $[0,T]$ के विभाजन $0=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{k}=T$ का जाल 0 (रीमैन-स्टिल्टजेस समाकल की शैली में) की ओर प्रवृत्त है।

गणना

साधारण गणना की कई समाकलन तकनीकों का उपयोग स्ट्रैटोनोविच समाकल के लिए किया जा सकता है, उदाहरण के लिए- यदि $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ निष्कोण फलन है, तो

$\int _{0}^{T}f'(W_{t})\circ \mathrm {d} W_{t}=f(W_{T})-f(W_{0})$

और अधिक सामान्यतः, यदि $f:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ निष्कोण फलन है, तो

$\int _{0}^{T}{\partial f \over \partial W}(W_{t},t)\circ \mathrm {d} W_{t}+\int _{0}^{T}{\partial f \over \partial t}(W_{t},t)\,\mathrm {d} t=f(W_{T},T)-f(W_{0},0).$

यह बाद वाला नियम साधारण गणना के श्रृंखला नियम के समान है।

संख्यात्मक विधियाँ

प्रसंभाव्यता समाकलों को संभवतः ही कभी विश्लेषणात्मक रूप में हल किया जा सकता है, जिससे प्रसंभाव्यता संख्यात्मक समाकलन प्रसंभाव्यता समाकलों के सभी उपयोगों में एक महत्वपूर्ण विषय बन जाता है। विभिन्न संख्यात्मक सन्निकटन स्ट्रैटोनोविच समाकल में परिवर्तित होते हैं, और इनमें से विविधताओं का उपयोग स्ट्रैटोनोविच एसडीई (क्लोएडेन & प्लैटन 1992) को हल करने के लिए किया जाता है। हालाँकि ध्यान दें कि लैंग्विन समीकरणों के संख्यात्मक हल के लिए सबसे व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली यूलर योजना (यूलर-मारुयामा विधि) के लिए समीकरण को इटो रूप में होना आवश्यक है।

अवकल संकेतन

यदि $X_{t},Y_{t}$, और $Z_{t}$ प्रसंभाव्यता प्रक्रियाएँ हैं जैसे

$X_{T}-X_{0}=\int _{0}^{T}Y_{t}\circ \mathrm {d} W_{t}+\int _{0}^{T}Z_{t}\,\mathrm {d} t$

सभी $T>0$ के लिए, हम भी लिखते हैं

$\mathrm {d} X=Y\circ \mathrm {d} W+Z\,\mathrm {d} t.$

इस संकेतन का उपयोग प्रायः प्रसंभाव्यता अवकल समीकरण (एसडीई) सूत्रबद्‍ध करने के लिए किया जाता है, जो वास्तव में प्रसंभाव्यता समाकलों के बारे में समीकरण हैं। उदाहरण के लिए, यह सामान्य गणना के संकेतन के साथ संगत है

$\mathrm {d} (t^{2}\,W^{3})=3t^{2}W^{2}\circ \mathrm {d} W+2tW^{3}\,\mathrm {d} t.$

इटो समाकल के साथ तुलना

Main article: इटो गणना

वीनर प्रक्रिया $W$ के संबंध में प्रक्रिया $X$ का इटो समाकल द्वारा निरूपित किया जाता है

$$\int _{0}^{T}X_{t}\,\mathrm {d} W_{t}$$

(बिना वृत्त के)। इसकी परिभाषा के लिए, स्ट्रैटोनोविच समाकल की परिभाषा में ऊपर दी गई समान प्रक्रिया का उपयोग किया जाता है, प्रत्येक उपअंतराल के बाएं हाथ के अंत बिंदु पर प्रक्रिया $X$ के मान को चुनने के अलावा, अर्थात,

$(X_{t_{i+1}}+X_{t_{i}})/2$ के स्थान पर $X_{t_{i}}$

यह समाकल सामान्य श्रृंखला नियम का पालन नहीं करता है जैसा कि स्ट्रैटोनोविच समाकल करता है इसके स्थान पर किसी को थोड़ा अधिक जटिल इटो लेम्मा का उपयोग करना होगा।

इटो और स्ट्रैटोनोविच समाकलों के बीच रूपांतरण सूत्र का उपयोग करके किया जा सकता है

$\int _{0}^{T}f(W_{t},t)\circ \mathrm {d} W_{t}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}{\partial f \over \partial W}(W_{t},t)\,\mathrm {d} t+\int _{0}^{T}f(W_{t},t)\,\mathrm {d} W_{t},$

जहां $f$ दो चरों $W$ और $t$ का कोई सतत अवकलनीय फलन है और अंतिम समाकल एक इटो समाकल (क्लोएडेन & प्लैटन 1992, p. 101) है।

लैंग्विन समीकरण किसी दी गई समस्या में व्याख्या (स्ट्रैटोनोविच या इटो) को निर्दिष्ट करने के महत्व का उदाहरण देते हैं। मान लीजिए कि $X_{t}$ समय-समांगी इटो प्रसार है जिसमें सतत विभेदन प्रसार गुणांक $\sigma$ है, अर्थात यह एसडीई $\mathrm {d} X_{t}=\mu (X_{t})\,\mathrm {d} t+\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} W_{t}$ को संतुष्ट करता है। संबंधित स्ट्रैटोनोविच संस्करण प्राप्त करने के लिए, शब्द $\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} W_{t}$ (इटो व्याख्या में) का अनुवाद $\sigma (X_{t})\circ \mathrm {d} W_{t}$ (स्ट्रैटोनोविच व्याख्या में) के रूप में किया जाना चाहिए

$\int _{0}^{T}\sigma (X_{t})\circ \mathrm {d} W_{t}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}{\frac {d\sigma }{dx}}(X_{t})\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} t+\int _{0}^{T}\sigma (X_{t})\,\mathrm {d} W_{t}.$

स्पष्ट रुप से, यदि $\sigma$ $X_{t}$ से स्वतंत्र है, तो दो व्याख्याएं लैंग्विन समीकरण के लिए एक ही रूप ले लेंगी। उस स्थिति में, ध्वनि शब्द को "योगात्मक" (चूंकि ध्वनि शब्द $dW_{t}$ को केवल एक निश्चित गुणांक से गुणा किया जाता है) कहा जाता है। अन्यथा, यदि $\sigma =\sigma (X_{t})$, तो इटो रूप में लैंग्विन समीकरण सामान्य रूप से स्ट्रैटोनोविच रूप में भिन्न हो सकता है, इस स्थिति में ध्वनि शब्द को गुणक (अर्थात, ध्वनि $dW_{t}$ को $X_{t}$ के फलन द्वारा गुणा किया जाता है जो कि $\sigma (X_{t})$ है) कहा जाता है।

अधिक सामान्यतः, किन्हीं दो सेमीमार्टिंगेल्स $X$ और $Y$ के लिए

$\int _{0}^{T}X_{s-}\circ \mathrm {d} Y_{s}=\int _{0}^{T}X_{s-}\,\mathrm {d} Y_{s}+{\frac {1}{2}}[X,Y]_{T}^{c},$

जहां $[X,Y]_{T}^{c}$ सहविचरण का सतत भाग है।

अनुप्रयोगों में स्ट्रैटोनोविच समाकल

स्ट्रैटोनोविच समाकल में इटो समाकल के महत्वपूर्ण गुण का अभाव है, जो "भविष्य की ओर नहीं देखता"। कई वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों में, जैसे कि स्टॉक की कीमतों का प्रतिरूपण करना, किसी को केवल पिछली घटनाओं के बारे में जानकारी होती है, और इसलिए इटो व्याख्या अधिक स्वाभाविक है। वित्तीय गणित में प्रायः इटो व्याख्या का उपयोग किया जाता है।

हालाँकि, भौतिकी में, प्रसंभाव्यता समाकल लैंग्विन समीकरणों के हल के रूप में होते हैं। लैंग्विन समीकरण अधिक सूक्ष्म मॉडल का अपरिष्कृत कणिक संस्करण है विचाराधीन समस्या के आधार पर, स्ट्रैटोनोविच या इटो व्याख्या या इससे भी अधिक असाधारण व्याख्याएं जैसे समतापी व्याख्या उपयुक्त हैं। स्ट्रेटोनोविच व्याख्या भौतिक विज्ञान में सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली व्याख्या है।

वोंग-ज़काई प्रमेय में कहा गया है कि परिमित ध्वनि सहसंबंध समय $\tau$ की विशेषता वाले अश्वेत ध्वनि स्पेक्ट्रम वाले भौतिक सिस्टम को स्ट्रेटोनोविच व्याख्या में अश्वेत ध्वनि के साथ लैंग्विन समीकरणों द्वारा अनुमानित किया जा सकता है, जहां $\tau$ शून्य हो जाता है।

क्योंकि स्ट्रैटोनोविच गणना सामान्य श्रृंखला नियम को संतुष्ट करती है, स्ट्रैटोनोविच अर्थ में प्रसंभाव्यता अवकल समीकरण (एसडीई) केवल $\mathbb {R} ^{n}$ के स्थान पर अलग-अलग बहुरूपता पर परिभाषित करने के लिए अधिक सरल हैं। इटो गणना के पेचीदा श्रृंखला नियम इसे बहुरूपताओं के लिए अधिक अनुपयुक्त विकल्प बनाते है।

एसडीई की स्ट्रैटोनोविच व्याख्या और अतिसममितीय सिद्धांत

Main article: प्रसंभाव्यता गतिकी का अतिसममितीय सिद्धांत

एसडीई के अतिसममितीय सिद्धांत में, कोई एसडीई द्वारा निर्धारित प्रसंभाव्यता प्रवाह द्वारा चरण अंतराल के बाहरी बीजगणित पर प्रेरित पुलबैक के औसत से प्राप्त विकास ऑपरेटर पर विचार करता है। इस संदर्भ में, एसडीई की स्ट्रैटोनोविच व्याख्या का उपयोग करना स्वाभाविक है।

संदर्भ

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• Gardiner, Crispin W. (2004). Handbook of Stochastic Methods (3 ed.). Springer, Berlin Heidelberg. ISBN 3-540-20882-8.
• Jarrow, Robert; Protter, Philip (2004). "A short history of stochastic integration and mathematical finance: The early years, 1880–1970". IMS Lecture Notes Monograph. 45: 1–17. CiteSeerX 10.1.1.114.632.
• Kloeden, Peter E.; Platen, Eckhard (1992). Numerical solution of stochastic differential equations. Applications of Mathematics. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-54062-5..