ट्रंकेशन त्रुटि (संख्यात्मक एकीकरण): Difference between revisions

Latest revision as of 14:35, 11 August 2023

संख्यात्मक एकीकरण में ट्रंकेशन त्रुटियाँ दो प्रकार की होती हैं:

स्थानीय खंडन त्रुटियाँ - एक पुनरावृत्ति के कारण होने वाली त्रुटि, और
ग्लोबल ट्रंकेशन त्रुटियां - कई पुनरावृत्तियों के कारण होने वाली संचयी त्रुटि।

परिभाषाएँ

मान लीजिए हमारे पास एक सतत अवकल समीकरण है

y'=f(t,y),\qquad y(t_{0})=y_{0},\qquad t\geq t_{0}

और हम अलग-अलग समय चरणों $t_{1},t_{2},\ldots ,t_{N}$ पर वास्तविक समाधान $y(t_{n})$ के एक अनुमान $y_{n}$ की गणना करना चाहते हैं। सरलता के लिए, मान लें कि समय चरण समान दूरी पर हैं:

h=t_{n}-t_{n-1},\qquad n=1,2,\ldots ,N.

मान लीजिए कि हम प्रपत्र की एक-चरणीय विधि से अनुक्रम $y_{n}$ की गणना करते हैं

y_{n}=y_{n-1}+hA(t_{n-1},y_{n-1},h,f).

फलन $A$ को इंक्रीमेंट फलन कहा जाता है, और इसकी व्याख्या स्लोप ${\frac {y(t_{n})-y(t_{n-1})}{h}}$ के अनुमान के रूप में की जा सकती है।

स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि

स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि $\tau _{n}$ यह त्रुटि है कि हमारा वेतन वृद्धि फलन , $A$ , एक ही पुनरावृत्ति के समय कारण, पिछले पुनरावृत्ति में सही समाधान का सही ज्ञान मानता है।

अधिक औपचारिक रूप से, चरण $n$ पर स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि , $\tau _{n}$ की गणना वेतन वृद्धि $y_{n}\approx y_{n-1}+hA(t_{n-1},y_{n-1},h,f)$ के लिए समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्ष के बीच के अंतर से की जाती है।

\tau _{n}=y(t_{n})-y(t_{n-1})-hA(t_{n-1},y(t_{n-1}),h,f).

^[1]^[2]

यदि स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि $o(h)$ है तो संख्यात्मक विधि सुसंगत है (इसका अर्थ है कि प्रत्येक $\varepsilon >0$ के लिए एक $H$ उपस्थित है जैसे कि $|\tau _{n}|<\varepsilon h$ सभी $h<H$ के लिए; देखें लिटिल-ओ संकेतन)। यदि वृद्धि फलन $A$ निरंतर है, तो विधि सुसंगत है यदि, और केवल यदि $A(t,y,0,f)=f(t,y)$ है।^[3]

इसके अतिरिक्त , हम कहते हैं कि संख्यात्मक विधि में ऑर्डर $p$ है यदि प्रारंभिक मूल्य समस्या के किसी भी पर्याप्त रूप से सुचारू समाधान के लिए, स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि $O(h^{p+1})$ है (जिसका अर्थ है कि स्थिरांक $C$ और $H$ उपस्थित हैं जैसे वह $|\tau _{n}|<Ch^{p+1}$ सभी $h<H$ के लिए है ।^[4]

ग्लोबल ट्रंकेशन त्रुटि

ग्लोबल ट्रंकेशन त्रुटि सभी पुनरावृत्तियों पर स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि का संचय है, जो प्रारंभिक समय चरण में सही समाधान का सही ज्ञान मानती है।

अधिक औपचारिक रूप से, ग्लोबल ट्रंकेशन त्रुटि, $e_{n}$ समय $t_{n}$ पर परिभाषित की गई है:

{\begin{aligned}e_{n}&=y(t_{n})-y_{n}\\&=y(t_{n})-{\Big (}y_{0}+hA(t_{0},y_{0},h,f)+hA(t_{1},y_{1},h,f)+\cdots +hA(t_{n-1},y_{n-1},h,f){\Big )}.\end{aligned}}

^[5]

यदि चरण आकार शून्य हो जाता है तो ग्लोबल ट्रंकेशन त्रुटि शून्य हो जाती है तो संख्यात्मक विधि अभिसरण होती है; दूसरे शब्दों में, संख्यात्मक समाधान स्पष्ट समाधान में परिवर्तित हो जाता है: $\lim _{h\to 0}\max _{n}|e_{n}|=0$ .^[6]

स्थानीय और ग्लोबल ट्रंकेशन त्रुटियों के बीच संबंध

कभी-कभी ग्लोबल ट्रंकेशन त्रुटि पर ऊपरी सीमा की गणना करना संभव है, यदि हम पहले से ही स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि जानते हैं। इसके लिए आवश्यक है कि हमारा वेतन वृद्धि कार्य पर्याप्त रूप से अच्छा हो।

ग्लोबल ट्रंकेशन त्रुटि पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करती है:

e_{n+1}=e_{n}+h{\Big (}A(t_{n},y(t_{n}),h,f)-A(t_{n},y_{n},h,f){\Big )}+\tau _{n+1}.

यह परिभाषाओं से तुरंत अनुसरण करता है। अब मान लें कि वेतन वृद्धि फलन दूसरे तर्क में लिप्सचिट्ज़ निरंतर है, अर्थात, एक स्थिरांक $L$ उपस्थित है जैसे कि सभी $t$ और $y_{1}$ और $y_{2}$ के लिए, हमारे पास है:

|A(t,y_{1},h,f)-A(t,y_{2},h,f)|\leq L|y_{1}-y_{2}|.

तब ग्लोबल त्रुटि बाध्यता को संतुष्ट करती है

|e_{n}|\leq {\frac {\max _{j}\tau _{j}}{hL}}\left(\mathrm {e} ^{L(t_{n}-t_{0})}-1\right).

^[7]

ग्लोबल त्रुटि के लिए उपरोक्त सीमा से यह पता चलता है कि यदि अंतर समीकरण में फलन $f$ पहले तर्क में निरंतर है और लिप्सचिट्ज़ दूसरे तर्क में निरंतर है (पिकार्ड-लिंडेलोफ प्रमेय से स्थिति), और वृद्धि फलन $A$ निरंतर है सभी तर्कों में और दूसरे तर्क में लिप्सचिट्ज़ निरंतर, तो ग्लोबल त्रुटि शून्य हो जाती है क्योंकि चरण आकार $h$ शून्य के समीप पहुंचता है (दूसरे शब्दों में, संख्यात्मक विधि स्पष्ट समाधान में परिवर्तित हो जाती है)।^[8]

रैखिक मल्टीस्टेप विधियों का विस्तार

अब सूत्र द्वारा दी गई एक रैखिक मल्टीस्टेप विधि पर विचार करें

{\begin{aligned}&y_{n+s}+a_{s-1}y_{n+s-1}+a_{s-2}y_{n+s-2}+\cdots +a_{0}y_{n}\\&\qquad {}=h{\bigl (}b_{s}f(t_{n+s},y_{n+s})+b_{s-1}f(t_{n+s-1},y_{n+s-1})+\cdots +b_{0}f(t_{n},y_{n}){\bigr )},\end{aligned}}

इस प्रकार, संख्यात्मक समाधान के लिए अगले मान की गणना इसके अनुसार की जाती है

y_{n+s}=-\sum _{k=0}^{s-1}a_{k}y_{n+k}+h\sum _{k=0}^{s}b_{k}f(t_{n+k},y_{n+k}).

एक रैखिक मल्टीस्टेप विधि का अगला पुनरावृत्त पिछले चरण पर निर्भर करता है। इस प्रकार, स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि की परिभाषा में, अब यह माना जाता है कि पिछले सभी पुनरावृत्त स्पष्ट समाधान के अनुरूप हैं:

\tau _{n}=y(t_{n+s})+\sum _{k=0}^{s-1}a_{k}y(t_{n+k})-h\sum _{k=0}^{s}b_{k}f(t_{n+k},y(t_{n+k})).

^[9]

पुनः, यदि $\tau _{n}=o(h)$ तो विधि सुसंगत है और यदि $\tau _{n}=O(h^{p+1})$ है तो इसका क्रम p है। ग्लोबल ट्रंकेशन त्रुटि की परिभाषा भी अपरिवर्तित है।

स्थानीय और ग्लोबल ट्रंकेशन त्रुटियों के बीच का संबंध एक-चरणीय विधियों की सरल सेटिंग से थोड़ा अलग है। रैखिक मल्टीस्टेप विधियों के लिए, स्थानीय और ग्लोबल ट्रंकेशन त्रुटियों के बीच संबंध को समझाने के लिए शून्य-स्थिरता नामक एक अतिरिक्त अवधारणा की आवश्यकता होती है। शून्य-स्थिरता की स्थिति को पूरा करने वाली रैखिक मल्टीस्टेप विधियाँ स्थानीय और ग्लोबल त्रुटियों के बीच एक-चरणीय विधियों के समान संबंध रखती हैं। दूसरे शब्दों में, यदि एक रैखिक मल्टीस्टेप विधि शून्य-स्थिर और सुसंगत है, तो यह अभिसरण करती है। और यदि एक रैखिक मल्टीस्टेप विधि शून्य-स्थिर है और इसमें स्थानीय त्रुटि $\tau _{n}=O(h^{p+1})$ है, तो इसकी ग्लोबल त्रुटि $e_{n}=O(h^{p})$ को संतुष्ट करती है।^[10]

यह भी देखें

↑ Gupta, G. K.; Sacks-Davis, R.; Tischer, P. E. (March 1985). "ODE को हल करने में हाल के विकास की समीक्षा". Computing Surveys. 17 (1): 5–47. CiteSeerX 10.1.1.85.783. doi:10.1145/4078.4079.
↑ Süli & Mayers 2003, p. 317, calls $\tau _{n}/h$ the truncation error.
↑ Süli & Mayers 2003, pp. 321 & 322
↑ Iserles 1996, p. 8; Süli & Mayers 2003, p. 323
↑ Süli & Mayers 2003, p. 317
↑ Iserles 1996, p. 5
↑ Süli & Mayers 2003, p. 318
↑ Süli & Mayers 2003, p. 322
↑ Süli & Mayers 2003, p. 337, uses a different definition, dividing this by essentially by h
↑ Süli & Mayers 2003, p. 340

संदर्भ

Iserles, Arieh (1996), A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55655-2.
Süli, Endre; Mayers, David (2003), An Introduction to Numerical Analysis, Cambridge University Press, ISBN 0521007941.

बाहरी संबंध

[1] Gupta, G. K.; Sacks-Davis, R.; Tischer, P. E. (March 1985). "ODE को हल करने में हाल के विकास की समीक्षा". Computing Surveys. 17 (1): 5–47. CiteSeerX 10.1.1.85.783. doi:10.1145/4078.4079.

[2] Süli & Mayers 2003, p. 317, calls $\tau _{n}/h$ the truncation error.

[3] Süli & Mayers 2003, pp. 321 & 322

[4] Iserles 1996, p. 8; Süli & Mayers 2003, p. 323

[5] Süli & Mayers 2003, p. 317

[6] Iserles 1996, p. 5

[7] Süli & Mayers 2003, p. 318

[8] Süli & Mayers 2003, p. 322

[9] Süli & Mayers 2003, p. 337, uses a different definition, dividing this by essentially by h

[10] Süli & Mayers 2003, p. 340

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 {{Short description|Errors arising in numerical integration}}
-[[संख्यात्मक एकीकरण]] में ट्रंकेशन त्रुटियाँ दो प्रकार की होती हैं:
+[[संख्यात्मक एकीकरण]] में '''ट्रंकेशन त्रुटियाँ''' दो प्रकार की होती हैं:
-* ''स्थानीय काट-छाँट त्रुटियाँ'' - एक पुनरावृत्ति के कारण होने वाली त्रुटि, और
+* ''स्थानीय खंडन त्रुटियाँ'' - एक पुनरावृत्ति के कारण होने वाली त्रुटि, और
-* ''वैश्विक ट्रंकेशन त्रुटियां'' - कई पुनरावृत्तियों के कारण होने वाली संचयी त्रुटि।
+* ''ग्लोबल ट्रंकेशन त्रुटियां'' - कई पुनरावृत्तियों के कारण होने वाली संचयी त्रुटि।
 == परिभाषाएँ ==
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 : <math> y' = f(t,y), \qquad y(t_0) = y_0, \qquad t \geq t_0 </math>
-और हम एक अनुमान की गणना करना चाहते हैं <math> y_n </math> सच्चे समाधान का <math> y(t_n) </math> अलग-अलग समय चरणों में <math> t_1,t_2,\ldots,t_N </math>. सरलता के लिए, मान लें कि समय चरण समान दूरी पर हैं:
+और हम अलग-अलग समय चरणों <math> t_1,t_2,\ldots,t_N </math> पर वास्तविक समाधान <math> y(t_n) </math> के एक अनुमान <math> y_n
+                                                                                                                                                                                                                      </math> की गणना करना चाहते हैं। सरलता के लिए, मान लें कि समय चरण समान दूरी पर हैं:
 : <math> h = t_n - t_{n-1}, \qquad n=1,2,\ldots,N. </math>
-मान लीजिए हम अनुक्रम की गणना करते हैं <math> y_n </math> फॉर्म की एक-चरणीय विधि के साथ
+मान लीजिए कि हम प्रपत्र की एक-चरणीय विधि से अनुक्रम <math> y_n </math> की गणना करते हैं
 : <math> y_n = y_{n-1} + h A(t_{n-1}, y_{n-1}, h, f). </math>
-कार्यक्रम <math> A </math> इसे वृद्धि फ़ंक्शन कहा जाता है, और इसकी व्याख्या ढलान के अनुमान के रूप में की जा सकती है <math> \frac{y(t_n)-y(t_{n-1})}{h} </math>.
+फलन <math> A </math> को इंक्रीमेंट फलन कहा जाता है, और इसकी व्याख्या स्लोप <math> \frac{y(t_n)-y(t_{n-1})}{h} </math> के अनुमान के रूप में की जा सकती है।
 === स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि ===
-स्थानीय काट-छाँट त्रुटि <math> \tau_n</math> यह त्रुटि है कि हमारा वेतन वृद्धि फ़ंक्शन, <math> A </math>, एक ही पुनरावृत्ति के दौरान कारण, पिछले पुनरावृत्ति में सही समाधान का सही ज्ञान मानते हुए।
+स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि <math> \tau_n</math> यह त्रुटि है कि हमारा वेतन वृद्धि फलन , <math> A </math>, एक ही पुनरावृत्ति के समय कारण, पिछले पुनरावृत्ति में सही समाधान का सही ज्ञान मानता है।
-अधिक औपचारिक रूप से, स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि, <math> \tau_n </math>, कदम पर <math> n </math> वेतन वृद्धि के समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्ष के बीच के अंतर से गणना की जाती है <math> y_n \approx y_{n-1} + h A(t_{n-1}, y_{n-1}, h, f) </math>:
+अधिक औपचारिक रूप से, चरण <math> n </math> पर स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि ,<math> \tau_n </math> की गणना वेतन वृद्धि <math> y_n \approx y_{n-1} + h A(t_{n-1}, y_{n-1}, h, f) </math> के लिए समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्ष के बीच के अंतर से की जाती है।
 :<math> \tau_n = y(t_n) - y(t_{n-1}) - h A(t_{n-1}, y(t_{n-1}), h, f). </math><ref>{{cite journal|last=Gupta|first=G. K.|last2=Sacks-Davis |first2=R. |last3=Tischer |first3=P. E. |title=ODE को हल करने में हाल के विकास की समीक्षा|journal=Computing Surveys|date=March 1985|volume=17|issue=1|pages=5–47|citeseerx = 10.1.1.85.783|doi=10.1145/4078.4079}}</ref><ref>{{harvnb|Süli|Mayers|2003|p=317}}, calls <math> \tau_n/h </math> the truncation error.</ref>
-यदि स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि है तो संख्यात्मक विधि सुसंगत है <math> o(h) </math> (इसका मतलब है कि हर किसी के लिए <math> \varepsilon > 0 </math> वहाँ एक मौजूद है <math> H </math> ऐसा है कि <math> |\tau_n| < \varepsilon h </math> सभी के लिए <math> h < H </math>; [[लिटिल-ओ संकेतन]] देखें)। यदि वृद्धि समारोह <math> A </math> सतत है, तो विधि सुसंगत है यदि, और केवल यदि, <math> A(t,y,0,f) = f(t,y) </math>.<ref>{{harvnb|Süli|Mayers|2003|pp=321 & 322}}</ref>
+यदि स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि <math> o(h) </math> है तो संख्यात्मक विधि सुसंगत है (इसका अर्थ है कि प्रत्येक <math> \varepsilon > 0 </math> के लिए एक <math> H </math> उपस्थित है जैसे कि <math> |\tau_n| < \varepsilon h </math> सभी <math> h < H </math> के लिए; देखें लिटिल-ओ संकेतन)। यदि वृद्धि फलन <math> A </math> निरंतर है, तो विधि सुसंगत है यदि, और केवल यदि <math> A(t,y,0,f) = f(t,y) </math> है।<ref>{{harvnb|Süli|Mayers|2003|pp=321 & 322}}</ref>
-इसके अलावा, हम कहते हैं कि संख्यात्मक विधि में क्रम होता है <math> p </math>यदि प्रारंभिक मूल्य समस्या के किसी भी पर्याप्त सुचारू समाधान के लिए, स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि है <math> O(h^{p+1}) </math> (इसका मतलब है कि स्थिरांक मौजूद हैं <math> C </math> और <math> H </math> ऐसा है कि <math> |\tau_n| < Ch^{p+1} </math> सभी के लिए <math> h < H </math>).<ref>{{harvnb|Iserles|1996|p=8}}; {{harvnb|Süli|Mayers|2003|p=323}}</ref>
+इसके अतिरिक्त , हम कहते हैं कि संख्यात्मक विधि में ऑर्डर <math> p </math> है यदि प्रारंभिक मूल्य समस्या के किसी भी पर्याप्त रूप से सुचारू समाधान के लिए, स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि <math> O(h^{p+1}) </math> है (जिसका अर्थ है कि स्थिरांक <math> C </math> और <math> H </math> उपस्थित हैं जैसे वह <math> |\tau_n| < Ch^{p+1} </math> सभी <math> h < H </math> के लिए है ।<ref>{{harvnb|Iserles|1996|p=8}}; {{harvnb|Süli|Mayers|2003|p=323}}</ref>
 === ग्लोबल ट्रंकेशन त्रुटि ===
-वैश्विक ट्रंकेशन त्रुटि सभी पुनरावृत्तियों पर ''स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि'' का संचय है, जो प्रारंभिक समय चरण में सही समाधान का सही ज्ञान मानती है।{{Citation needed|date=April 2013}}
+ग्लोबल ट्रंकेशन त्रुटि सभी पुनरावृत्तियों पर ''स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि'' का संचय है, जो प्रारंभिक समय चरण में सही समाधान का सही ज्ञान मानती है।
-अधिक औपचारिक रूप से, वैश्विक ट्रंकेशन त्रुटि, <math> e_n </math>, समय पर <math> t_n </math> द्वारा परिभाषित किया गया है:
+अधिक औपचारिक रूप से, ग्लोबल ट्रंकेशन त्रुटि,<math> e_n </math> समय <math> t_n </math> पर परिभाषित की गई है:
 : <math>
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 \end{align}
 </math><ref>{{harvnb|Süli|Mayers|2003|p=317}}</ref>
-यदि चरण आकार शून्य हो जाता है तो वैश्विक ट्रंकेशन त्रुटि शून्य हो जाती है तो संख्यात्मक विधि अभिसरण होती है; दूसरे शब्दों में, संख्यात्मक समाधान सटीक समाधान में परिवर्तित हो जाता है: <math> \lim_{h\to0} \max_n |e_n| = 0 </math>.<ref>{{harvnb|Iserles|1996|p=5}}</ref>
+यदि चरण आकार शून्य हो जाता है तो ग्लोबल ट्रंकेशन त्रुटि शून्य हो जाती है तो संख्यात्मक विधि अभिसरण होती है; दूसरे शब्दों में, संख्यात्मक समाधान स्पष्ट समाधान में परिवर्तित हो जाता है: <math> \lim_{h\to0} \max_n |e_n| = 0 </math>.<ref>{{harvnb|Iserles|1996|p=5}}</ref>
-== स्थानीय और वैश्विक ट्रंकेशन त्रुटियों के बीच संबंध ==
+== स्थानीय और ग्लोबल ट्रंकेशन त्रुटियों के बीच संबंध ==
-कभी-कभी वैश्विक ट्रंकेशन त्रुटि पर ऊपरी सीमा की गणना करना संभव है, अगर हम पहले से ही स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि जानते हैं। इसके लिए आवश्यक है कि हमारा वेतन वृद्धि कार्य पर्याप्त रूप से अच्छा हो।
+कभी-कभी ग्लोबल ट्रंकेशन त्रुटि पर ऊपरी सीमा की गणना करना संभव है, यदि हम पहले से ही स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि जानते हैं। इसके लिए आवश्यक है कि हमारा वेतन वृद्धि कार्य पर्याप्त रूप से अच्छा हो।
-वैश्विक ट्रंकेशन त्रुटि पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करती है:
+ग्लोबल ट्रंकेशन त्रुटि पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करती है:
 :<math> e_{n+1} = e_n + h \Big( A(t_n, y(t_n), h, f) - A(t_n, y_n, h, f) \Big) + \tau_{n+1}. </math>
-यह परिभाषाओं से तुरंत अनुसरण करता है। अब मान लें कि वृद्धि फ़ंक्शन दूसरे तर्क में [[लिप्सचिट्ज़ निरंतरता]] है, अर्थात, एक स्थिरांक मौजूद है <math>L</math> ऐसा कि सभी के लिए <math>t</math> और <math>y_1</math> और <math>y_2</math>, अपने पास:
+यह परिभाषाओं से तुरंत अनुसरण करता है। अब मान लें कि वेतन वृद्धि फलन दूसरे तर्क में लिप्सचिट्ज़ निरंतर है, अर्थात, एक स्थिरांक <math>L</math> उपस्थित है जैसे कि सभी <math>t</math> और <math>y_1</math> और <math>y_2</math> के लिए, हमारे पास है:
 :<math> | A(t,y_1,h,f) - A(t,y_2,h,f) | \le L |y_1-y_2|. </math>
-तब वैश्विक त्रुटि बाध्यता को संतुष्ट करती है
+तब ग्लोबल त्रुटि बाध्यता को संतुष्ट करती है
 :<math> | e_n | \le \frac{\max_j \tau_j}{hL} \left( \mathrm{e}^{L(t_n-t_0)} - 1 \right). </math><ref>{{harvnb|Süli|Mayers|2003|p=318}}</ref>
-वैश्विक त्रुटि के लिए उपरोक्त सीमा से यह पता चलता है कि यदि function <math> f </math> अंतर समीकरण में पहले तर्क में निरंतर है और लिप्सचिट्ज़ दूसरे तर्क में निरंतर है (पिकार्ड-लिंडेलोफ़ प्रमेय से स्थिति), और वृद्धि फ़ंक्शन <math> A </math> सभी तर्कों में निरंतर है और लिप्सचिट्ज़ दूसरे तर्क में निरंतर है, तो चरण आकार के रूप में वैश्विक त्रुटि शून्य हो जाती है <math> h </math> शून्य तक पहुंचता है (दूसरे शब्दों में, संख्यात्मक विधि सटीक समाधान में परिवर्तित हो जाती है)।<ref>{{harvnb|Süli|Mayers|2003|p=322}}</ref>
-== [[रैखिक मल्टीस्टेप विधि]]यों का विस्तार ==
+ग्लोबल त्रुटि के लिए उपरोक्त सीमा से यह पता चलता है कि यदि अंतर समीकरण में फलन <math> f </math> पहले तर्क में निरंतर है और लिप्सचिट्ज़ दूसरे तर्क में निरंतर है (पिकार्ड-लिंडेलोफ प्रमेय से स्थिति), और वृद्धि फलन <math> A </math> निरंतर है सभी तर्कों में और दूसरे तर्क में लिप्सचिट्ज़ निरंतर, तो ग्लोबल त्रुटि शून्य हो जाती है क्योंकि चरण आकार <math> h </math> शून्य के समीप पहुंचता है (दूसरे शब्दों में, संख्यात्मक विधि स्पष्ट समाधान में परिवर्तित हो जाती है)।<ref>{{harvnb|Süli|Mayers|2003|p=322}}</ref>
+== [[रैखिक मल्टीस्टेप विधि]]यों का विस्तार                                                                                                                                              ==
 अब सूत्र द्वारा दी गई एक रैखिक मल्टीस्टेप विधि पर विचार करें
 : <math> \begin{align}
@@ Line 61: / Line 61: @@
 इस प्रकार, संख्यात्मक समाधान के लिए अगले मान की गणना इसके अनुसार की जाती है
 : <math> y_{n+s} =  - \sum_{k=0}^{s-1} a_{k} y_{n+k} + h \sum_{k=0}^s b_k f(t_{n+k}, y_{n+k}). </math>
-एक रैखिक मल्टीस्टेप विधि का अगला पुनरावृत्त पिछले चरण पर निर्भर करता है। इस प्रकार, स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि की परिभाषा में, अब यह माना जाता है कि पिछले सभी पुनरावृत्त सटीक समाधान के अनुरूप हैं:
+एक रैखिक मल्टीस्टेप विधि का अगला पुनरावृत्त पिछले चरण पर निर्भर करता है। इस प्रकार, स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि की परिभाषा में, अब यह माना जाता है कि पिछले सभी पुनरावृत्त स्पष्ट समाधान के अनुरूप हैं:
 : <math> \tau_n = y(t_{n+s}) + \sum_{k=0}^{s-1} a_{k} y(t_{n+k}) - h \sum_{k=0}^s b_k f(t_{n+k}, y(t_{n+k})). </math><ref>{{harvnb|Süli|Mayers|2003|p=337}}, uses a different definition, dividing this by essentially by ''h''</ref>
-पुनः, विधि सुसंगत है यदि <math> \tau_n = o(h) </math> और इसमें ऑर्डर पी है यदि <math> \tau_n = O(h^{p+1}) </math>. वैश्विक ट्रंकेशन त्रुटि की परिभाषा भी अपरिवर्तित है।
+पुनः, यदि <math> \tau_n = o(h) </math> तो विधि सुसंगत है और यदि <math> \tau_n = O(h^{p+1}) </math> है तो इसका क्रम p है। ग्लोबल ट्रंकेशन त्रुटि की परिभाषा भी अपरिवर्तित है।
-स्थानीय और वैश्विक ट्रंकेशन त्रुटियों के बीच का संबंध एक-चरणीय विधियों की सरल सेटिंग से थोड़ा अलग है। रैखिक मल्टीस्टेप विधियों के लिए, स्थानीय और वैश्विक ट्रंकेशन त्रुटियों के बीच संबंध को समझाने के लिए [[शून्य-स्थिरता]] नामक एक अतिरिक्त अवधारणा की आवश्यकता होती है। शून्य-स्थिरता की स्थिति को पूरा करने वाली रैखिक मल्टीस्टेप विधियाँ स्थानीय और वैश्विक त्रुटियों के बीच एक-चरणीय विधियों के समान संबंध रखती हैं। दूसरे शब्दों में, यदि एक रैखिक मल्टीस्टेप विधि शून्य-स्थिर और सुसंगत है, तो यह अभिसरण करती है। और यदि एक रैखिक मल्टीस्टेप विधि शून्य-स्थिर है और इसमें स्थानीय त्रुटि है <math> \tau_n = O(h^{p+1}) </math>, तो इसकी वैश्विक त्रुटि संतुष्ट होती है <math> e_n = O(h^p) </math>.<ref>{{harvnb|Süli|Mayers|2003|p=340}}</ref>
+स्थानीय और ग्लोबल ट्रंकेशन त्रुटियों के बीच का संबंध एक-चरणीय विधियों की सरल सेटिंग से थोड़ा अलग है। रैखिक मल्टीस्टेप विधियों के लिए, स्थानीय और ग्लोबल ट्रंकेशन त्रुटियों के बीच संबंध को समझाने के लिए शून्य-स्थिरता नामक एक अतिरिक्त अवधारणा की आवश्यकता होती है। शून्य-स्थिरता की स्थिति को पूरा करने वाली रैखिक मल्टीस्टेप विधियाँ स्थानीय और ग्लोबल त्रुटियों के बीच एक-चरणीय विधियों के समान संबंध रखती हैं। दूसरे शब्दों में, यदि एक रैखिक मल्टीस्टेप विधि शून्य-स्थिर और सुसंगत है, तो यह अभिसरण करती है। और यदि एक रैखिक मल्टीस्टेप विधि शून्य-स्थिर है और इसमें स्थानीय त्रुटि <math> \tau_n = O(h^{p+1}) </math> है, तो इसकी ग्लोबल त्रुटि <math> e_n = O(h^p) </math> को संतुष्ट करती है।<ref>{{harvnb|Süli|Mayers|2003|p=340}}</ref>
-== यह भी देखें ==
+== यह भी देखें                                                                                                                                                                                                       ==
-* [[सटीकता का क्रम]]
+* [[सटीकता का क्रम|स्पष्टता का क्रम]]
 * संख्यात्मक एकीकरण
 *[[संख्यात्मक साधारण अंतर समीकरण]]
-* [[काट-छाँट त्रुटि]]
+* [[काट-छाँट त्रुटि|ट्रंकेशन त्रुटि]]
 == टिप्पणियाँ ==
 {{reflist|2}}
 == संदर्भ ==
 * {{Citation | last1=Iserles | first1=Arieh | author1-link=Arieh Iserles | title=A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations | publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=978-0-521-55655-2 | year=1996}}.
 * {{Citation | last1=Süli | first1=Endre | last2=Mayers | first2=David | title=An Introduction to Numerical Analysis | publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=0521007941 | year=2003}}.
 == बाहरी संबंध ==
 * [http://livetoad.org/Courses/Documents/03e0/Notes/truncation_error.pdf Notes on truncation errors and Runge-Kutta methods]{{dead link|date=March 2022}}
 * [http://www.math.unl.edu/~gledder1/Math447/EulerError Truncation error of Euler's method]{{dead link|date=March 2022}}
-[[Category: संख्यात्मक एकीकरण (चतुर्भुज)]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:All articles with dead external links]]
+[[Category:Articles with dead external links from March 2022]]
 [[Category:Created On 25/07/2023]]
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+[[Category:Machine Translated Page]]
+[[Category:Pages with script errors]]
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परिभाषाएँ

स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि

ग्लोबल ट्रंकेशन त्रुटि

स्थानीय और ग्लोबल ट्रंकेशन त्रुटियों के बीच संबंध

रैखिक मल्टीस्टेप विधियों का विस्तार

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