एकरमैन सेट सिद्धांत: Difference between revisions

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गणित और [[तर्क]]शास्त्र में, एकरमैन सेट सिद्धांत (एएसटी) 1956 में [[विल्हेम एकरमैन]] द्वारा प्रस्तावित एक स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत है।<ref>{{cite journal |last1=Ackermann |first1=Wilhelm |author-link=Wilhelm Ackermann |date=August 1956 |title=समुच्चय सिद्धांत की स्वयंसिद्धि पर|url=https://link.springer.com/article/10.1007/BF01350103 |journal=Mathematische Annalen |volume=131 |issue=4 |pages=336–345 |doi=10.1007/BF01350103 |s2cid=120876778 |access-date=9 September 2022}}</ref>
गणित और [[तर्क]]शास्त्र में, रमैन सेट सिद्धांत (एएसटी) 1956 में [[विल्हेम एकरमैन|विल्हेम रमैन]] द्वारा प्रस्तावित स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत है।<ref>{{cite journal |last1=Ackermann |first1=Wilhelm |author-link=Wilhelm Ackermann |date=August 1956 |title=समुच्चय सिद्धांत की स्वयंसिद्धि पर|url=https://link.springer.com/article/10.1007/BF01350103 |journal=Mathematische Annalen |volume=131 |issue=4 |pages=336–345 |doi=10.1007/BF01350103 |s2cid=120876778 |access-date=9 September 2022}}</ref>


 
== भाषा ==
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एएसटी [[प्रथम-क्रम तर्क]] में तैयार किया गया है। [[औपचारिक भाषा]] <math>L_{\{\in,V\}}</math> एएसटी में [[द्विआधारी संबंध]] शामिल है <math>\in</math> सेट सदस्यता और स्थिरांक को निरूपित करना (गणित) <math>V</math> वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड को दर्शाते हुए (रमैन ने विधेय का उपयोग किया <math>M</math> बजाय)।
एएसटी [[प्रथम-क्रम तर्क]] में तैयार किया गया है। [[औपचारिक भाषा]] <math>L_{\{\in,V\}}</math> एएसटी में एक [[द्विआधारी संबंध]] शामिल है <math>\in</math> सेट सदस्यता और एक स्थिरांक को निरूपित करना (गणित) <math>V</math> वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड को दर्शाते हुए (एकरमैन ने एक विधेय का उपयोग किया <math>M</math> बजाय)।


== अभिगृहीत==
== अभिगृहीत==
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#[[आनुवंशिकता का सिद्धांत]]: <math>(x \in y \lor x \subseteq y) \land y \in V \to x \in V</math>
#[[आनुवंशिकता का सिद्धांत]]: <math>(x \in y \lor x \subseteq y) \land y \in V \to x \in V</math>
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#[[समझ का सिद्धांत]] <math>V</math>: किसी भी सूत्र के लिए <math>\phi</math> कहाँ <math>x</math> [[मुक्त चर]] नहीं है, <math>\exists x \forall y (y \in x \leftrightarrow y \in V \land \phi)</math>
# एकरमैन की स्कीमा: किसी भी सूत्र के लिए <math>\phi</math> निःशुल्क चर के साथ <math>a_1, \ldots, a_n, x</math> और कोई घटना नहीं <math>V</math>, <math>a_1, \ldots, a_n \in V \land \forall x (\phi \to x \in V) \to \exists y {\in} V \forall x (x \in y \leftrightarrow \phi)</math>
# रमैन की स्कीमा: किसी भी सूत्र के लिए <math>\phi</math> निःशुल्क चर के साथ <math>a_1, \ldots, a_n, x</math> और कोई घटना नहीं <math>V</math>, <math>a_1, \ldots, a_n \in V \land \forall x (\phi \to x \in V) \to \exists y {\in} V \forall x (x \in y \leftrightarrow \phi)</math>
एक वैकल्पिक स्वयंसिद्धीकरण निम्नलिखित स्वयंसिद्धों का उपयोग करता है:<ref>{{cite book |last=Schindler |first=Ralf |date=23 May 2014 |title=Set Theory: Exploring Independence and Truth |url=https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-319-06725-4_2 |publisher=Springer, Cham |pages=20–21 |isbn=978-3-319-06724-7 |chapter=Chapter 2: Axiomatic Set Theory|doi=10.1007/978-3-319-06725-4_2 }}</ref>
वैकल्पिक स्वयंसिद्धीकरण निम्नलिखित स्वयंसिद्धों का उपयोग करता है:<ref>{{cite book |last=Schindler |first=Ralf |date=23 May 2014 |title=Set Theory: Exploring Independence and Truth |url=https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-319-06725-4_2 |publisher=Springer, Cham |pages=20–21 |isbn=978-3-319-06724-7 |chapter=Chapter 2: Axiomatic Set Theory|doi=10.1007/978-3-319-06725-4_2 }}</ref>
#विस्तारता
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होने देना <math>L_{\{\in\}}</math> उन सूत्रों की भाषा बनें जिनका उल्लेख नहीं है <math>V</math>.
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1959 में, [[अज्रिएल लेवी]] ने यह साबित कर दिया कि यदि <math>\phi</math> का एक सूत्र है <math>L_{\{\in\}}</math> और एएसटी सिद्ध होता है <math>\phi^V</math>, तो ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत साबित होता है <math>\phi</math>.<ref>{{cite journal |last1=Lévy |first1=Azriel |author-link=Azriel Lévy |date=June 1959 |title=एकरमैन के सेट सिद्धांत पर|url=https://www.jstor.org/stable/2964757 |journal=The Journal of Symbolic Logic |volume=24 |issue=2 |pages=154–166 |doi=10.2307/2964757 |jstor=2964757 |s2cid=31382168 |access-date=9 September 2022}}</ref>
1959 में, [[अज्रिएल लेवी]] ने यह साबित कर दिया कि यदि <math>\phi</math> का सूत्र है <math>L_{\{\in\}}</math> और एएसटी सिद्ध होता है <math>\phi^V</math>, तो ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत साबित होता है <math>\phi</math>.<ref>{{cite journal |last1=Lévy |first1=Azriel |author-link=Azriel Lévy |date=June 1959 |title=एकरमैन के सेट सिद्धांत पर|url=https://www.jstor.org/stable/2964757 |journal=The Journal of Symbolic Logic |volume=24 |issue=2 |pages=154–166 |doi=10.2307/2964757 |jstor=2964757 |s2cid=31382168 |access-date=9 September 2022}}</ref>
1970 में, विलियम एन. रेनहार्ड्ट ने यह सिद्ध कर दिया कि यदि <math>\phi</math> का एक सूत्र है <math>L_{\{\in\}}</math> और ZF साबित करता है <math>\phi</math>, तो एएसटी सिद्ध होता है <math>\phi^V</math>.<ref>{{cite journal |last1=Reinhardt |first1=William N. |date=October 1970 |title=एकरमैन का समुच्चय सिद्धांत ZF के बराबर है|journal=Annals of Mathematical Logic |volume=2 |issue=2 |pages=189–249 |doi=10.1016/0003-4843(70)90011-2 |doi-access=free }}</ref>
1970 में, विलियम एन. रेनहार्ड्ट ने यह सिद्ध कर दिया कि यदि <math>\phi</math> का सूत्र है <math>L_{\{\in\}}</math> और ZF साबित करता है <math>\phi</math>, तो एएसटी सिद्ध होता है <math>\phi^V</math>.<ref>{{cite journal |last1=Reinhardt |first1=William N. |date=October 1970 |title=एकरमैन का समुच्चय सिद्धांत ZF के बराबर है|journal=Annals of Mathematical Logic |volume=2 |issue=2 |pages=189–249 |doi=10.1016/0003-4843(70)90011-2 |doi-access=free }}</ref>
इसलिए, एएसटी और जेडएफ एक दूसरे के [[रूढ़िवादी विस्तार]] में परस्पर व्याख्यात्मक हैं। इस प्रकार वे [[समसंगत]] हैं।
इसलिए, एएसटी और जेडएफ दूसरे के [[रूढ़िवादी विस्तार]] में परस्पर व्याख्यात्मक हैं। इस प्रकार वे [[समसंगत]] हैं।
 
एएसटी की एक उल्लेखनीय विशेषता यह है कि, वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल सेट सिद्धांत और इसके वेरिएंट के विपरीत, एक [[उचित वर्ग]] दूसरे उचित वर्ग का एक तत्व हो सकता है।<ref name="Fraenkel"/>


एएसटी की  उल्लेखनीय विशेषता यह है कि, वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल सेट सिद्धांत और इसके वेरिएंट के विपरीत,  [[उचित वर्ग]] दूसरे उचित वर्ग का  तत्व हो सकता है।<ref name="Fraenkel"/>


== एएसटी और [[श्रेणी सिद्धांत]] ==
== एएसटी और [[श्रेणी सिद्धांत]] ==
एएसटी का एक विस्तार जिसे एआरसी कहा जाता है, एफ.ए. मुलर द्वारा विकसित किया गया था, जिन्होंने कहा था कि एआरसी कैंटोरियन सेट-सिद्धांत के साथ-साथ श्रेणी-सिद्धांत को भी स्थापित करता है और इसलिए इसे संपूर्ण गणित के संस्थापक सिद्धांत के रूप में पारित किया जा सकता है।<ref>{{cite journal |last1=Muller |first1=F. A. |date=Sep 2001 |title=सेट, वर्ग और श्रेणियाँ|url=https://www.jstor.org/stable/3541928 |journal=The British Journal for the Philosophy of Science |volume=52 |issue=3 |pages=539–573 |doi=10.1093/bjps/52.3.539 |jstor=3541928 |access-date=9 September 2022}}</ref>
एएसटी का विस्तार जिसे एआरसी कहा जाता है, एफ.ए. मुलर द्वारा विकसित किया गया था, जिन्होंने कहा था कि एआरसी कैंटोरियन सेट-सिद्धांत के साथ-साथ श्रेणी-सिद्धांत को भी स्थापित करता है और इसलिए इसे संपूर्ण गणित के संस्थापक सिद्धांत के रूप में पारित किया जा सकता है।<ref>{{cite journal |last1=Muller |first1=F. A. |date=Sep 2001 |title=सेट, वर्ग और श्रेणियाँ|url=https://www.jstor.org/stable/3541928 |journal=The British Journal for the Philosophy of Science |volume=52 |issue=3 |pages=539–573 |doi=10.1093/bjps/52.3.539 |jstor=3541928 |access-date=9 September 2022}}</ref>
 


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==

Revision as of 15:02, 23 July 2023

This article is about the mathematical theory of sets. For other uses, see Ackermann (disambiguation).

गणित और तर्कशास्त्र में, रमैन सेट सिद्धांत (एएसटी) 1956 में विल्हेम रमैन द्वारा प्रस्तावित स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत है।[1]

भाषा

एएसटी प्रथम-क्रम तर्क में तैयार किया गया है। औपचारिक भाषा एएसटी में द्विआधारी संबंध शामिल है सेट सदस्यता और स्थिरांक को निरूपित करना (गणित) वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड को दर्शाते हुए (रमैन ने विधेय का उपयोग किया बजाय)।

अभिगृहीत

एएसटी के अभिगृहीत निम्नलिखित हैं:[2][3][4]

  1. विस्तारता का सिद्धांत
  2. आनुवंशिकता का सिद्धांत:
  3. समझ का सिद्धांत : किसी भी सूत्र के लिए कहाँ मुक्त चर नहीं है,
  4. रमैन की स्कीमा: किसी भी सूत्र के लिए निःशुल्क चर के साथ और कोई घटना नहीं ,

वैकल्पिक स्वयंसिद्धीकरण निम्नलिखित स्वयंसिद्धों का उपयोग करता है:[5]

  1. विस्तारता
  2. वंशागति
  3. समझ
  4. प्रतिबिंब सिद्धांत: किसी भी सूत्र के लिए निःशुल्क चर के साथ ,
  5. नियमितता का सिद्धांत

के सापेक्षीकरण को दर्शाता है को , जो सभी परिमाणक (तर्क)तर्क) को प्रतिस्थापित करता है रूप का और द्वारा और , क्रमश।

जर्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत से संबंध

होने देना उन सूत्रों की भाषा बनें जिनका उल्लेख नहीं है .

1959 में, अज्रिएल लेवी ने यह साबित कर दिया कि यदि का सूत्र है और एएसटी सिद्ध होता है , तो ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत साबित होता है .[6] 1970 में, विलियम एन. रेनहार्ड्ट ने यह सिद्ध कर दिया कि यदि का सूत्र है और ZF साबित करता है , तो एएसटी सिद्ध होता है .[7] इसलिए, एएसटी और जेडएफ दूसरे के रूढ़िवादी विस्तार में परस्पर व्याख्यात्मक हैं। इस प्रकार वे समसंगत हैं।

एएसटी की उल्लेखनीय विशेषता यह है कि, वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल सेट सिद्धांत और इसके वेरिएंट के विपरीत, उचित वर्ग दूसरे उचित वर्ग का तत्व हो सकता है।[4]

एएसटी और श्रेणी सिद्धांत

एएसटी का विस्तार जिसे एआरसी कहा जाता है, एफ.ए. मुलर द्वारा विकसित किया गया था, जिन्होंने कहा था कि एआरसी कैंटोरियन सेट-सिद्धांत के साथ-साथ श्रेणी-सिद्धांत को भी स्थापित करता है और इसलिए इसे संपूर्ण गणित के संस्थापक सिद्धांत के रूप में पारित किया जा सकता है।[8]

यह भी देखें

संदर्भ

  1. ↑ Ackermann, Wilhelm (August 1956). "समुच्चय सिद्धांत की स्वयंसिद्धि पर". Mathematische Annalen. 131 (4): 336–345. doi:10.1007/BF01350103. S2CID 120876778. Retrieved 9 September 2022.
  2. ↑ Kanamori, Akihiro (July 2006). "लेवी और सेट सिद्धांत". Annals of Pure and Applied Logic. 140 (1): 233–252. doi:10.1016/j.apal.2005.09.009.
  3. ↑ Holmes, M. Randall (Sep 21, 2021). "वैकल्पिक स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत". Stanford Encyclopedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab, Stanford University. Retrieved 8 September 2022.
  4. ↑ 4.0 4.1 Fraenkel, Abraham A.; Bar-Hillel, Yehoshua; Levy, Azriel (December 1, 1973). "7.7. The System of Ackermann". सेट थ्योरी की नींव. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. Vol. 67. pp. 148–153. ISBN 9780080887050.
  5. ↑ Schindler, Ralf (23 May 2014). "Chapter 2: Axiomatic Set Theory". Set Theory: Exploring Independence and Truth. Springer, Cham. pp. 20–21. doi:10.1007/978-3-319-06725-4_2. ISBN 978-3-319-06724-7.
  6. ↑ Lévy, Azriel (June 1959). "एकरमैन के सेट सिद्धांत पर". The Journal of Symbolic Logic. 24 (2): 154–166. doi:10.2307/2964757. JSTOR 2964757. S2CID 31382168. Retrieved 9 September 2022.
  7. ↑ Reinhardt, William N. (October 1970). "एकरमैन का समुच्चय सिद्धांत ZF के बराबर है". Annals of Mathematical Logic. 2 (2): 189–249. doi:10.1016/0003-4843(70)90011-2.
  8. ↑ Muller, F. A. (Sep 2001). "सेट, वर्ग और श्रेणियाँ". The British Journal for the Philosophy of Science. 52 (3): 539–573. doi:10.1093/bjps/52.3.539. JSTOR 3541928. Retrieved 9 September 2022.
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