सुपरमैट्रिक्स

This article is about supermatrices in super linear algebra. In other contexts, “supermatrix” is sometimes used as a synonym for block matrix.

गणित और सैद्धांतिक भौतिकी में, सुपरमैट्रिक्स Z₂ है साधारण मैट्रिक्स (गणित) का ग्रेडेड एनालॉग। विशेष रूप से, सुपरमैट्रिक्स 2×2 ब्लॉक मैट्रिक्स है जिसमें सुपरबीजगणित (या सुपर रिंग) में प्रविष्टियाँ होती हैं। सबसे महत्वपूर्ण उदाहरण क्रमविनिमेय सुपरबीजगणित (जैसे कि ग्रासमैन बीजगणित) या साधारण क्षेत्र (गणित) (विशुद्ध रूप से सम क्रमविनिमेय सुपरबीजगणित के रूप में माना जाता है) में प्रविष्टियों वाले हैं।

सुपरमैट्रिस सुपर रैखिक बीजगणित के अध्ययन में उत्पन्न होते हैं जहां वे परिमित-आयामी सुपर वेक्टर स्पेस स्थान या मुक्त सुपरमॉड्यूल के बीच रैखिक परिवर्तनों के समन्वय प्रतिनिधित्व के रूप में दिखाई देते हैं। अतिसममिति के क्षेत्र में इनका महत्वपूर्ण अनुप्रयोग है।

परिभाषाएँ और संकेतन

मान लीजिए कि R निश्चित सुपरबीजगणित है (एकात्मक बीजगणित और साहचर्य माना जाता है)। अक्सर किसी को आर को सुपरकम्यूटेटिव होने की भी आवश्यकता होती है (अनिवार्य रूप से उन्हीं कारणों से जैसे कि अनग्रेडेड मामले में)।

मान लीजिए कि p, q, r, और s अऋणात्मक पूर्णांक हैं। आयाम (r|s)×(p|q) का 'सुपरमैट्रिक्स' R में प्रविष्टियों वाला मैट्रिक्स (गणित) है जिसे 2×2 ब्लॉक मैट्रिक्स में विभाजित किया गया है

$X={\begin{bmatrix}X_{00}&X_{01}\\X_{10}&X_{11}\end{bmatrix}}$

r+s कुल पंक्तियों और p+q कुल स्तंभों के साथ (ताकि सबमैट्रिक्स X₀₀ आयाम r×p और X हैं₁₁ आयाम s×q है)। साधारण (अनग्रेडेड) मैट्रिक्स को सुपरमैट्रिक्स के रूप में सोचा जा सकता है जिसके लिए q और s दोनों शून्य हैं।

एक वर्गाकार सुपरमैट्रिक्स वह है जिसके लिए (r|s) = (p|q). इसका मतलब यह है कि न केवल अविभाजित मैट्रिक्स एक्स वर्ग मैट्रिक्स है, बल्कि विकर्ण ब्लॉक एक्स भी है₀₀ और एक्स₁₁ भी हैं.

एक सम सुपरमैट्रिक्स वह है जिसके लिए विकर्ण ब्लॉक (X₀₀ और एक्स₁₁) पूरी तरह से R के सम तत्वों (अर्थात समता 0 के सजातीय तत्व) और ऑफ-विकर्ण ब्लॉक (X) से मिलकर बना है₀₁ और एक्स₁₀) केवल R के विषम तत्वों से मिलकर बना है।

${\begin{bmatrix}\mathrm {even} &\mathrm {odd} \\\mathrm {odd} &\mathrm {even} \end{bmatrix}}$

एक विषम सुपरमैट्रिक्स वह है जिसके लिए उलटा नियम लागू होता है: विकर्ण ब्लॉक विषम होते हैं और ऑफ-विकर्ण ब्लॉक सम होते हैं।

${\begin{bmatrix}\mathrm {odd} &\mathrm {even} \\\mathrm {even} &\mathrm {odd} \end{bmatrix}}$

यदि अदिश R पूरी तरह से सम हैं, तो कोई गैर-शून्य विषम तत्व नहीं हैं, इसलिए सम सुपरमैटिस ब्लॉक विकर्ण वाले होते हैं और विषम सुपरमैट्रिस ऑफ-विकर्ण वाले होते हैं।

एक सुपरमैट्रिक्स 'सजातीय' होता है यदि यह सम या विषम हो। शून्येतर सजातीय सुपरमैट्रिक्स X की 'समता', |X|, सम या विषम के अनुसार 0 या 1 है। प्रत्येक सुपरमैट्रिक्स को सम सुपरमैट्रिक्स और विषम सुपरमैट्रिक्स के योग के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है।

बीजगणितीय संरचना

संगत आयामों के सुपरमैट्रिसेस को सामान्य मैट्रिसेस की तरह ही जोड़ा या गुणा किया जा सकता है। ये ऑपरेशन बिल्कुल सामान्य ऑपरेशन के समान हैं, इस प्रतिबंध के साथ कि इन्हें केवल तभी परिभाषित किया जाता है जब ब्लॉक में संगत आयाम हों। कोई सुपरमैट्रिस को R के तत्वों (बाएं या दाएं) से गुणा भी कर सकता है, हालांकि, R में विषम तत्वों की उपस्थिति के कारण यह ऑपरेशन अनग्रेडेड केस से भिन्न होता है।

मुझे_r|s×p|q(आर) आयाम (आर|एस)×(पी|क्यू) के साथ आर पर सभी सुपरमैट्रिसेस के सेट को निरूपित करें। यह सेट सुपरमैट्रिक्स जोड़ और स्केलर गुणन के तहत आर पर सुपरमॉड्यूल बनाता है। विशेष रूप से, यदि R किसी फ़ील्ड K पर सुपरबीजगणित है तो M_r|s×p|q(R) K के ऊपर सुपर वेक्टर स्पेस बनाता है।

मुझे_p|q(आर) आयाम (पी|क्यू)×(पी|क्यू) के साथ आर पर सभी वर्ग सुपरमैटिस के सेट को निरूपित करें। यह सेट सुपरमैट्रिक्स जोड़ और गुणा के तहत सुपररिंग बनाता है। इसके अलावा, यदि R क्रमविनिमेय सुपरबीजगणित है, तो सुपरमैट्रिक्स गुणन द्विरेखीय ऑपरेशन है, ताकि M_p|q(R) R के ऊपर सुपरबीजगणित बनाता है।

जोड़

समान आयाम का सुपरमैट्रिक्स प्राप्त करने के लिए आयाम (r|s)×(p|q) के दो सुपरमैट्रिक्स को मैट्रिक्स जोड़ की तरह ही जोड़ा जा सकता है। जोड़ को ब्लॉकवार किया जा सकता है क्योंकि ब्लॉक में संगत आकार होते हैं। यह देखना आसान है कि दो सम सुपरमैट्रिस का योग सम होता है और दो विषम सुपरमैट्रिस का योग विषम होता है।

गुणा

कोई व्यक्ति आयाम (r|s)×(p|q) वाले सुपरमैट्रिक्स को आयाम (p|q)×(k|l) वाले सुपरमैट्रिक्स से गुणा कर सकता है जैसा कि आयाम (r|s) का मैट्रिक्स प्राप्त करने के लिए मैट्रिक्स गुणन में होता है। ×(k|l). गुणन ब्लॉक स्तर पर स्पष्ट तरीके से किया जा सकता है:

${\begin{bmatrix}X_{00}&X_{01}\\X_{10}&X_{11}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}Y_{00}&Y_{01}\\Y_{10}&Y_{11}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}X_{00}Y_{00}+X_{01}Y_{10}&X_{00}Y_{01}+X_{01}Y_{11}\\X_{10}Y_{00}+X_{11}Y_{10}&X_{10}Y_{01}+X_{11}Y_{11}\end{bmatrix}}.$

ध्यान दें कि उत्पाद सुपरमैट्रिक्स Z = XY के ब्लॉक दिए गए हैं

$Z_{ij}=X_{i0}Y_{0j}+X_{i1}Y_{1j}.\,$

यदि X और Y समता के साथ सजातीय हैं |X| और |Y| तो XY समता के साथ सजातीय है |X| + |वाई|. अर्थात्, दो सम या दो विषम सुपरमैट्रिक्स का गुणनफल सम होता है जबकि सम और विषम सुपरमैट्रिक्स का गुणनफल विषम होता है।

अदिश गुणन

आर में विषम तत्वों की उपस्थिति के कारण सुपरमैट्रिसेस के लिए स्केलर गुणन अनग्रेडेड केस से भिन्न है। मान लीजिए कि एक्स सुपरमैट्रिक्स है। α ∈ R द्वारा बाएँ अदिश गुणन को परिभाषित किया गया है

$\alpha \cdot X={\begin{bmatrix}\alpha \,X_{00}&\alpha \,X_{01}\\{\hat {\alpha }}\,X_{10}&{\hat {\alpha }}\,X_{11}\end{bmatrix}}$

जहां आंतरिक अदिश गुणन सामान्य अवर्गीकृत होते हैं और ${\hat {\alpha }}$ आर में ग्रेड इन्वॉल्वमेंट को दर्शाता है। यह सजातीय तत्वों पर दिया गया है

${\hat {\alpha }}=(-1)^{|\alpha |}\alpha .$

α द्वारा दाएँ अदिश गुणन को अनुरूप रूप से परिभाषित किया गया है:

$X\cdot \alpha ={\begin{bmatrix}X_{00}\,\alpha &X_{01}\,{\hat {\alpha }}\\X_{10}\,\alpha &X_{11}\,{\hat {\alpha }}\end{bmatrix}}.$

यदि α तब भी है ${\hat {\alpha }}=\alpha$ और ये दोनों ऑपरेशन अनग्रेडेड संस्करणों के समान हैं। यदि α और X सजातीय हैं तो α·X और X·α दोनों समता के साथ सजातीय हैं |α| + |एक्स| इसके अलावा, यदि R सुपरकम्यूटेटिव है तो किसी के पास है

$\alpha \cdot X=(-1)^{|\alpha ||X|}X\cdot \alpha .$

रैखिक परिवर्तनों के रूप में

साधारण मैट्रिक्स को वेक्टर रिक्त स्थान (या मुक्त मॉड्यूल) के बीच रैखिक मानचित्रों के समन्वय प्रतिनिधित्व के रूप में माना जा सकता है। इसी तरह, सुपरमैट्रिस को सुपर सदिश स्थल (या मुक्त सुपरमॉड्यूल) के बीच रैखिक मानचित्रों के समन्वय प्रतिनिधित्व के रूप में सोचा जा सकता है। हालाँकि, श्रेणीबद्ध मामले में महत्वपूर्ण अंतर है। सुपर वेक्टर स्पेस से दूसरे सुपर वेक्टर स्पेस में समरूपता, परिभाषा के अनुसार, वह है जो ग्रेडिंग को संरक्षित करती है (यानी सम तत्वों को सम तत्वों में और विषम तत्वों को विषम तत्वों में मैप करती है)। ऐसे परिवर्तन का समन्वय प्रतिनिधित्व हमेशा सम सुपरमैट्रिक्स होता है। विषम सुपरमैट्रिस रैखिक परिवर्तनों के अनुरूप हैं जो ग्रेडिंग को उलट देते हैं। सामान्य सुपरमैट्रिस मनमाना अवर्गीकृत रैखिक परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करते हैं। श्रेणीबद्ध मामले में ऐसे परिवर्तन अभी भी महत्वपूर्ण हैं, हालाँकि श्रेणीबद्ध (सम) परिवर्तनों की तुलना में कम हैं।

सुपरबीजगणित R पर मुफ़्त सुपरमॉड्यूल M मुफ़्त है यदि इसका मुफ़्त सजातीय आधार है। यदि ऐसे आधार में p सम तत्व और q विषम तत्व शामिल हैं, तो कहा जाता है कि M की रैंक p|q है। यदि आर सुपरकम्यूटेटिव है, तो रैंक आधार की पसंद से स्वतंत्र है, जैसा कि अनग्रेडेड मामले में होता है।

चलो आर^p|q स्तंभ सुपरवेक्टरों का स्थान हो—आयाम (p|q)×(1|0) के सुपरमैट्रिस। यह स्वाभाविक रूप से सही आर-सुपरमॉड्यूल है, जिसे सही समन्वय स्थान कहा जाता है। आयाम (r|s)×(p|q) के सुपरमैट्रिक्स T को सही R-रैखिक मानचित्र के रूप में माना जा सकता है

$T:R^{p|q}\to R^{r|s}\,$

जहां R पर T की क्रिया^p|q सिर्फ सुपरमैट्रिक्स गुणन है (यह क्रिया आम तौर पर R-रैखिक नहीं छोड़ी जाती है, यही कारण है कि हम R के बारे में सोचते हैं^p|q सही सुपरमॉड्यूल के रूप में)।

मान लीजिए कि M रैंक p|q का फ्री राइट R-सुपरमॉड्यूल है और मान लीजिए कि N रैंक r|s का फ्री राइट R-सुपरमॉड्यूल है। चलो (ई_i) एम के लिए स्वतंत्र आधार हो और चलो (एफ)।_k) एन के लिए स्वतंत्र आधार हो। आधारों की ऐसी पसंद एम से आर तक समरूपता की पसंद के बराबर है^p|qऔर N से R तक^{आर|एस}. कोई भी (अवर्गीकृत) रेखीय मानचित्र

$T:M\to N\,$

चुने हुए आधारों के सापेक्ष (r|s)×(p|q) सुपरमैट्रिक्स के रूप में लिखा जा सकता है। संबंधित सुपरमैट्रिक्स के घटक सूत्र द्वारा निर्धारित किए जाते हैं

$T(e_{i})=\sum _{k=1}^{r+s}f_{k}\,{T^{k}}_{i}.$

सुपरमैट्रिक्स टी का ब्लॉक अपघटन एम और एन के सम और विषम सबमॉड्यूल में अपघटन से मेल खाता है:

$M=M_{0}\oplus M_{1}\qquad N=N_{0}\oplus N_{1}.$

संचालन

साधारण मैट्रिसेस पर कई ऑपरेशनों को सुपरमैट्रिसेस के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, हालांकि सामान्यीकरण हमेशा स्पष्ट या सीधे नहीं होते हैं।

सुपर ट्रांसपोज़

सुपरमैट्रिक्स का सुपर ट्रांसपोज़ Z है₂ खिसकाना का -ग्रेडेड एनालॉग। होने देना

$X={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}$

एक सजातीय (r|s)×(p|q) सुपरमैट्रिक्स बनें। X का सुपरट्रांसपोज़ (p|q)×(r|s) सुपरमैट्रिक्स है

$X^{st}={\begin{bmatrix}A^{t}&(-1)^{|X|}C^{t}\\-(-1)^{|X|}B^{t}&D^{t}\end{bmatrix}}$

जहाँ एक^tए के सामान्य स्थानान्तरण को दर्शाता है। इसे रैखिकता द्वारा मनमाने ढंग से सुपरमैट्रिसेस तक बढ़ाया जा सकता है। सामान्य ट्रांसपोज़ के विपरीत, सुपरट्रांसपोज़ आम तौर पर इनवोल्यूशन (गणित) नहीं होता है, बल्कि इसका क्रम 4 होता है। सुपरट्रांसपोज़ को सुपरमैट्रिक्स एक्स में दो बार लागू करने से प्राप्त होता है

$(X^{st})^{st}={\begin{bmatrix}A&-B\\-C&D\end{bmatrix}}.$

यदि आर सुपरकम्यूटेटिव है, तो सुपरट्रांसपोज़ पहचान को संतुष्ट करता है

$(XY)^{st}=(-1)^{|X||Y|}Y^{st}X^{st}.\,$

समता स्थानान्तरण

सुपरमैट्रिक्स का समता ट्रांसपोज़ बिना किसी अनग्रेडेड एनालॉग के नया ऑपरेशन है। होने देना

$X={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}$

एक (r|s)×(p|q) सुपरमैट्रिक्स बनें। X का समता स्थानान्तरण (s|r)×(q|p) सुपरमैट्रिक्स है

$X^{\pi }={\begin{bmatrix}D&C\\B&A\end{bmatrix}}.$

अर्थात्, ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स का (i,j) ब्लॉक मूल मैट्रिक्स का (1−i,1−j) ब्लॉक है।

समता ट्रांसपोज़ ऑपरेशन पहचान का पालन करता है

• $(X+Y)^{\pi }=X^{\pi }+Y^{\pi }\,$
• $(XY)^{\pi }=X^{\pi }Y^{\pi }\,$
• $(\alpha \cdot X)^{\pi }={\hat {\alpha }}\cdot X^{\pi }$
• $(X\cdot \alpha )^{\pi }=X^{\pi }\cdot {\hat {\alpha }}$

साथ ही

• $\pi ^{2}=id\,$
• $\pi \circ st\circ \pi =(st)^{4}$

जहां st सुपरट्रांसपोज़ ऑपरेशन को दर्शाता है।

सुपरट्रेस

वर्गाकार सुपरमैट्रिक्स का सुपरट्रेस Z है₂-ट्रेस का ग्रेडेड एनालॉग (रैखिक बीजगणित)। इसे सूत्र द्वारा सजातीय सुपरमैट्रिस पर परिभाषित किया गया है

$\mathrm {str} (X)=\mathrm {tr} (X_{00})-(-1)^{|X|}\mathrm {tr} (X_{11})\,$

जहां tr सामान्य ट्रेस को दर्शाता है।

यदि आर सुपरकम्यूटेटिव है, तो सुपरट्रेस पहचान को संतुष्ट करता है

$\mathrm {str} (XY)=(-1)^{|X||Y|}\mathrm {str} (YX)\,$

सजातीय सुपरमैट्रिसेस X और Y के लिए।

बेरेज़िनिया में

एक वर्गाकार सुपरमैट्रिक्स का बेरेज़िनियन (या सुपरनिर्धारक) Z है₂निर्धारक का -ग्रेडेड एनालॉग। बेरेज़िनियन को केवल क्रमविनिमेय सुपरबीजगणित आर पर सम, व्युत्क्रमणीय सुपरमैट्रिस पर अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है। इस मामले में यह सूत्र द्वारा दिया गया है

$\mathrm {Ber} (X)=\det(X_{00}-X_{01}X_{11}^{-1}X_{10})\det(X_{11})^{-1}.$

जहां det क्रमविनिमेय बीजगणित आर में प्रविष्टियों के साथ वर्ग मैट्रिक्स के सामान्य निर्धारक को दर्शाता है₀).

बेरेज़िनियन सामान्य निर्धारक के समान गुणों को संतुष्ट करता है। विशेष रूप से, यह सुपरट्रांसपोज़ के तहत गुणक और अपरिवर्तनीय है। यह सूत्र द्वारा सुपरट्रेस से संबंधित है

$\mathrm {Ber} (e^{X})=e^{\mathrm {str(X)} }.\,$

संदर्भ

• Varadarajan, V. S. (2004). Supersymmetry for Mathematicians: An Introduction. Courant Lecture Notes in Mathematics 11. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3574-2.
• Deligne, Pierre; Morgan, John W. (1999). "Notes on Supersymmetry (following Joseph Bernstein)". Quantum Fields and Strings: A Course for Mathematicians. Vol. 1. American Mathematical Society. pp. 41–97. ISBN 0-8218-2012-5.