सुपरमैट्रिक्स

This article is about सुपर रैखिक बीजगणित में सुपरमैट्रिसेस. अन्य संदर्भों में, "सुपरमैट्रिक्स" का प्रयोग कभी-कभी ब्लॉक आव्यूह के पर्याय के रूप में किया जाता है।.

गणित और सैद्धांतिक भौतिकी में, सुपरमैट्रिक्स Z₂ है साधारण आव्यूह (गणित) का ग्रेडेड एनालॉग विशेष रूप से, सुपरमैट्रिक्स 2×2 ब्लॉक आव्यूह है जिसमें सुपरबीजगणित (या सुपर वलय) में प्रविष्टियाँ होती हैं। सबसे महत्वपूर्ण उदाहरण क्रमविनिमेय सुपरबीजगणित (जैसे कि ग्रासमैन बीजगणित) या साधारण क्षेत्र (गणित) (विशुद्ध रूप से सम क्रमविनिमेय सुपरबीजगणित के रूप में माना जाता है) में प्रविष्टियों वाले हैं।

सुपरमैट्रिस सुपर रैखिक बीजगणित के अध्ययन में उत्पन्न होते हैं जहां वे परिमित-आयामी सुपर सदिश समिष्ट या मुक्त सुपरमॉड्यूल के मध्य रैखिक परिवर्तन के समन्वय प्रतिनिधित्व के रूप में दिखाई देते हैं। अतिसममिति के क्षेत्र में इनका महत्वपूर्ण अनुप्रयोग है।

परिभाषाएँ और संकेतन

मान लीजिए कि R निश्चित सुपरबीजगणित है (एकात्मक बीजगणित और साहचर्य माना जाता है)। अधिकांशतः किसी को R को सुपरकम्यूटेटिव होने की भी आवश्यकता होती है (अनिवार्य रूप से उन्हीं कारणों से जैसे कि अनग्रेडेड स्थिति में)।

मान लीजिए कि p, q, r, और s अऋणात्मक पूर्णांक हैं। आयाम (r|s)×(p|q) का 'सुपरमैट्रिक्स' R में प्रविष्टियों वाला आव्यूह (गणित) है जिसे 2×2 ब्लॉक आव्यूह में विभाजित किया गया है

$X={\begin{bmatrix}X_{00}&X_{01}\\X_{10}&X_{11}\end{bmatrix}}$

r+s कुल पंक्तियों और p+q कुल स्तंभों के साथ (जिससे सबमैट्रिक्स X₀₀ आयाम r×p और X₁₁ आयाम s×q है) हैं। साधारण (अनग्रेडेड) आव्यूह को सुपरमैट्रिक्स के रूप में सोचा जा सकता है जिसके लिए q और s दोनों शून्य हैं।

एक वर्गाकार सुपरमैट्रिक्स वह है जिसके लिए (r|s) = (p|q). इसका कारण यह है कि न केवल अविभाजित आव्यूह X वर्ग आव्यूह है, किन्तु विकर्ण ब्लॉक X₀₀ और X₁₁ भी हैं.

एक सम सुपरमैट्रिक्स वह है जिसके लिए विकर्ण ब्लॉक (X₀₀ और X₁₁) पूरी तरह से R के सम अवयवो (अर्थात समता 0 के सजातीय अवयव) और ऑफ-विकर्ण ब्लॉक (X) से मिलकर बना है₀₁ और X₁₀) केवल R के विषम अवयवो से मिलकर बना है।

${\begin{bmatrix}\mathrm {even} &\mathrm {odd} \\\mathrm {odd} &\mathrm {even} \end{bmatrix}}$

एक विषम सुपरमैट्रिक्स वह है जिसके लिए उलटा नियम प्रयुक्त होता है: विकर्ण ब्लॉक विषम होते हैं और ऑफ-विकर्ण ब्लॉक सम होते हैं।

${\begin{bmatrix}\mathrm {odd} &\mathrm {even} \\\mathrm {even} &\mathrm {odd} \end{bmatrix}}$

यदि अदिश R पूर्ण रूप से सम हैं, तो कोई गैर-शून्य विषम अवयव नहीं हैं, इसलिए सम सुपरमैटिस ब्लॉक विकर्ण वाले होते हैं और विषम सुपरमैट्रिस ऑफ-विकर्ण वाले होते हैं।

एक सुपरमैट्रिक्स 'सजातीय' होता है यदि यह सम या विषम होते है। शून्येतर सजातीय सुपरमैट्रिक्स X की 'समता', |X|, सम या विषम के अनुसार 0 या 1 है। प्रत्येक सुपरमैट्रिक्स को सम सुपरमैट्रिक्स और विषम सुपरमैट्रिक्स के योग के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है।

बीजगणितीय संरचना

संगत आयामों के सुपरमैट्रिसेस को सामान्य मैट्रिसेस की तरह ही जोड़ा या गुणा किया जा सकता है। यह ऑपरेशन बिल्कुल सामान्य ऑपरेशन के समान हैं, इस प्रतिबंध के साथ कि इन्हें केवल तभी परिभाषित किया जाता है जब ब्लॉक में संगत आयाम होंते है। कोई सुपरमैट्रिस को R के अवयवो (बाएं या दाएं) से गुणा भी कर सकता है, चूँकि, R में विषम अवयवो की उपस्थिति के कारण यह ऑपरेशन अनग्रेडेड केस से भिन्न होता है।

M_r|s×p|q(R) के साथ R पर सभी सुपरमैट्रिसेस के समुच्चय को निरूपित करें। यह समुच्चय सुपरमैट्रिक्स जोड़ और अदिश गुणन के अनुसार R पर सुपरमॉड्यूल बनाता है। विशेष रूप से, यदि R किसी क्षेत्र K पर सुपरबीजगणित है तो M_r|s×p|q(R) K के ऊपर सुपर सदिश समिष्ट बनाता है।

M_r|s×p|q(R) के साथ R पर सभी वर्ग सुपरमैटिस के समुच्चय को निरूपित करें। यह समुच्चय सुपरमैट्रिक्स जोड़ और गुणा के अनुसार सुपरवलय बनाता है। इसके अतिरिक्त, यदि R क्रमविनिमेय सुपरबीजगणित है, तो सुपरमैट्रिक्स गुणन द्विरेखीय ऑपरेशन है, जिससे M_p|q(R) R के ऊपर सुपरबीजगणित बनाता है।

जोड़

समान आयाम का सुपरमैट्रिक्स प्राप्त करने के लिए आयाम (r|s)×(p|q) के दो सुपरमैट्रिक्स को आव्यूह जोड़ की तरह ही जोड़ा जा सकता है। इस प्रकार जोड़ को ब्लॉकवार किया जा सकता है क्योंकि ब्लॉक में संगत आकार होते हैं। यह देखना सरल है कि दो सम सुपरमैट्रिस का योग सम होता है और दो विषम सुपरमैट्रिस का योग विषम होता है।

गुणा

कोई व्यक्ति आयाम (r|s)×(p|q) वाले सुपरमैट्रिक्स को आयाम (p|q)×(k|l) वाले सुपरमैट्रिक्स से गुणा कर सकता है जैसा कि आयाम (r|s)×(k|l) का आव्यूह प्राप्त करने के लिए आव्यूह गुणन में होता है। . गुणन ब्लॉक स्तर पर स्पष्ट विधि से किया जा सकता है:

${\begin{bmatrix}X_{00}&X_{01}\\X_{10}&X_{11}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}Y_{00}&Y_{01}\\Y_{10}&Y_{11}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}X_{00}Y_{00}+X_{01}Y_{10}&X_{00}Y_{01}+X_{01}Y_{11}\\X_{10}Y_{00}+X_{11}Y_{10}&X_{10}Y_{01}+X_{11}Y_{11}\end{bmatrix}}.$

ध्यान दें कि उत्पाद सुपरमैट्रिक्स Z = XY के ब्लॉक दिए गए हैं

$Z_{ij}=X_{i0}Y_{0j}+X_{i1}Y_{1j}.\,$

यदि X और Y समता के साथ सजातीय हैं इस प्रकार |X| और |Y| तो XY समता के साथ सजातीय |X| + |y| है अर्थात्, दो सम या दो विषम सुपरमैट्रिक्स का गुणनफल सम होता है जबकि सम और विषम सुपरमैट्रिक्स का गुणनफल विषम होता है।

अदिश गुणन

R में विषम अवयवो की उपस्थिति के कारण सुपरमैट्रिसेस के लिए अदिश गुणन अनग्रेडेड केस से भिन्न है। मान लीजिए कि X सुपरमैट्रिक्स है। α ∈ R द्वारा बाएँ अदिश गुणन को परिभाषित किया गया है

$\alpha \cdot X={\begin{bmatrix}\alpha \,X_{00}&\alpha \,X_{01}\\{\hat {\alpha }}\,X_{10}&{\hat {\alpha }}\,X_{11}\end{bmatrix}}$

जहां आंतरिक अदिश गुणन सामान्य अवर्गीकृत होते हैं और ${\hat {\alpha }}$ R में ग्रेड इन्वॉल्वमेंट को दर्शाता है। यह सजातीय अवयवो पर दिया गया है

${\hat {\alpha }}=(-1)^{|\alpha |}\alpha .$

α द्वारा दाएँ अदिश गुणन को अनुरूप रूप से परिभाषित किया गया है:

$X\cdot \alpha ={\begin{bmatrix}X_{00}\,\alpha &X_{01}\,{\hat {\alpha }}\\X_{10}\,\alpha &X_{11}\,{\hat {\alpha }}\end{bmatrix}}.$

यदि α तब भी है ${\hat {\alpha }}=\alpha$ और ये दोनों ऑपरेशन अनग्रेडेड संस्करणों के समान हैं। यदि α और X सजातीय हैं तो α·X और X·α दोनों समता |α| + |X| के साथ सजातीय हैं इसके अतिरिक्त, यदि R सुपरकम्यूटेटिव है तो किसी के पास है

$\alpha \cdot X=(-1)^{|\alpha ||X|}X\cdot \alpha .$

रैखिक परिवर्तनों के रूप में

साधारण आव्यूह को सदिश रिक्त स्थान (या मुक्त मॉड्यूल) के मध्य रैखिक मानचित्रों के समन्वय प्रतिनिधित्व के रूप में माना जा सकता है। इसी तरह, सुपरमैट्रिस को सुपर सदिश समिष्ट (या मुक्त सुपरमॉड्यूल) के मध्य रैखिक मानचित्रों के समन्वय प्रतिनिधित्व के रूप में विचार किया जा सकता है। चूँकि, श्रेणीबद्ध स्थिति में महत्वपूर्ण अंतर है। सुपर सदिश समिष्ट से दूसरे सुपर सदिश समिष्ट में समरूपता, परिभाषा के अनुसार, वह है जो ग्रेडिंग को संरक्षित करती है (अर्थात सम अवयवो को सम अवयवो में और विषम अवयवो को विषम अवयवो में मानचित्र करती है)। ऐसे परिवर्तन का समन्वय प्रतिनिधित्व सदैव सम सुपरमैट्रिक्स होता है। विषम सुपरमैट्रिस रैखिक परिवर्तनों के अनुरूप हैं जो ग्रेडिंग को विपरीत कर देते हैं। सामान्य सुपरमैट्रिस इच्छानुसार अवर्गीकृत रैखिक परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करते हैं। श्रेणीबद्ध स्थिति में ऐसे परिवर्तन अभी भी महत्वपूर्ण हैं, चूँकि श्रेणीबद्ध (सम) परिवर्तनों की तुलना में कम हैं।

सुपरबीजगणित R पर मुफ़्त सुपरमॉड्यूल M मुफ़्त है यदि इसका मुफ़्त सजातीय आधार है। यदि ऐसे आधार में p सम अवयव और q विषम अवयव सम्मिलित हैं, तो कहा जाता है कि M की रैंक p|q है। यदि R सुपरकम्यूटेटिव है, जिससे रैंक आधार की पसंद से स्वतंत्र है, जैसा कि अनग्रेडेड स्थिति में होता है।

माना R^p|q स्तंभ सुपरसदिशों का स्थान हो आयाम (p|q)×(1|0) के सुपरमैट्रिस यह स्वाभाविक रूप से सही R-सुपरमॉड्यूल है, जिसे सही समन्वय स्थान कहा जाता है। आयाम (r|s)×(p|q) के सुपरमैट्रिक्स T को सही R-रैखिक मानचित्र के रूप में माना जा सकता है

$T:R^{p|q}\to R^{r|s}\,$

जहां R पर T^p|q की क्रिया सिर्फ सुपरमैट्रिक्स गुणन है (यह क्रिया सामान्यतः R-रैखिक नहीं छोड़ी जाती है, यही कारण है कि हम R^p|q के बारे में विचार करते हैं सही सुपरमॉड्यूल के रूप में)।

मान लीजिए कि M रैंक p|q का फ्री राइट R-सुपरमॉड्यूल है और मान लीजिए कि N रैंक r|s का फ्री राइट R-सुपरमॉड्यूल है। मान लीजिए (e_i) m के लिए एक स्वतंत्र आधार है और मान लीजिए (f_k) n के लिए एक स्वतंत्र आधार है। आधारों का ऐसा विकल्प m से आरपी क्यू और n से आरआर|एस तक समरूपता के विकल्प के समान है। कोई भी (अवर्गीकृत) रेखीय मानचित्र

$T:M\to N\,$

आधारों के सापेक्ष (r|s)×(p|q) सुपरमैट्रिक्स के रूप में लिखा जा सकता है। संबंधित सुपरमैट्रिक्स के घटक सूत्र द्वारा निर्धारित किए जाते हैं

$T(e_{i})=\sum _{k=1}^{r+s}f_{k}\,{T^{k}}_{i}.$

सुपरमैट्रिक्स टी का ब्लॉक अपघटन m और n के सम और विषम सबमॉड्यूल में अपघटन से मेल खाता है:

$M=M_{0}\oplus M_{1}\qquad N=N_{0}\oplus N_{1}.$

संचालन

साधारण मैट्रिसेस पर कई ऑपरेशनों को सुपरमैट्रिसेस के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, चूँकि सामान्यीकरण सदैव स्पष्ट या सीधे नहीं होते हैं।

सुपर ट्रांसपोज़

सुपरमैट्रिक्स का सुपरट्रांसपोज़, ट्रांसपोज़ का Z₂-ग्रेडेड एनालॉग है।

माना

$X={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}$

एक सजातीय (r|s)×(p|q) सुपरमैट्रिक्स बनें। X का सुपरट्रांसपोज़ (p|q)×(r|s) सुपरमैट्रिक्स है

$X^{st}={\begin{bmatrix}A^{t}&(-1)^{|X|}C^{t}\\-(-1)^{|X|}B^{t}&D^{t}\end{bmatrix}}$

जहाँ एक a^t के सामान्य स्थानान्तरण को दर्शाता है। इसे रैखिकता द्वारा इच्छानुसार से सुपरमैट्रिसेस तक बढ़ाया जा सकता है। सामान्य ट्रांसपोज़ के विपरीत, सुपरट्रांसपोज़ सामान्यतः इनवोल्यूशन (गणित) नहीं होता है, किन्तु इसका क्रम 4 होता है। सुपरट्रांसपोज़ को सुपरमैट्रिक्स X में दो बार प्रयुक्त करने से प्राप्त होता है

$(X^{st})^{st}={\begin{bmatrix}A&-B\\-C&D\end{bmatrix}}.$

यदि R सुपरकम्यूटेटिव है, तो सुपरट्रांसपोज़ पहचान को संतुष्ट करता है

$(XY)^{st}=(-1)^{|X||Y|}Y^{st}X^{st}.\,$

समता स्थानान्तरण

सुपरमैट्रिक्स का समता ट्रांसपोज़ बिना किसी अनग्रेडेड एनालॉग के नया ऑपरेशन है। माना

$X={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}$

एक (r|s)×(p|q) सुपरमैट्रिक्स बनें। X का समता स्थानान्तरण (s|r)×(q|p) सुपरमैट्रिक्स है

$X^{\pi }={\begin{bmatrix}D&C\\B&A\end{bmatrix}}.$

अर्थात्, ट्रांसपोज़्ड आव्यूह का (i,j) ब्लॉक मूल आव्यूह का (1−i,1−j) ब्लॉक है।

समता ट्रांसपोज़ ऑपरेशन पहचान का पालन करता है

• $(X+Y)^{\pi }=X^{\pi }+Y^{\pi }\,$
• $(XY)^{\pi }=X^{\pi }Y^{\pi }\,$
• $(\alpha \cdot X)^{\pi }={\hat {\alpha }}\cdot X^{\pi }$
• $(X\cdot \alpha )^{\pi }=X^{\pi }\cdot {\hat {\alpha }}$

साथ ही

• $\pi ^{2}=id\,$
• $\pi \circ st\circ \pi =(st)^{4}$

जहां st सुपरट्रांसपोज़ ऑपरेशन को दर्शाता है।

सुपरट्रेस

वर्गाकार सुपरमैट्रिक्स का सुपरट्रेस Z₂ है ट्रेस का ग्रेडेड एनालॉग (रैखिक बीजगणित)। इसे सूत्र द्वारा सजातीय सुपरमैट्रिस पर परिभाषित किया गया है

$\mathrm {str} (X)=\mathrm {tr} (X_{00})-(-1)^{|X|}\mathrm {tr} (X_{11})\,$

जहां tr सामान्य ट्रेस को दर्शाता है।

यदि R सुपरकम्यूटेटिव है, तो सुपरट्रेस पहचान को संतुष्ट करता है

$\mathrm {str} (XY)=(-1)^{|X||Y|}\mathrm {str} (YX)\,$

सजातीय सुपरमैट्रिसेस X और Y के लिए।

बेरेज़िनिया में

एक वर्गाकार सुपरमैट्रिक्स का बेरेज़िनियन (या सुपरनिर्धारक) Z₂ है निर्धारक का -ग्रेडेड एनालॉग बेरेज़िनियन को केवल क्रमविनिमेय सुपरबीजगणित R पर सम, व्युत्क्रमणीय सुपरमैट्रिस पर सही प्रकार से परिभाषित किया गया है। इस स्थिति में यह सूत्र द्वारा दिया गया है

$\mathrm {Ber} (X)=\det(X_{00}-X_{01}X_{11}^{-1}X_{10})\det(X_{11})^{-1}.$

जहां det क्रमविनिमेय बीजगणित R₀ में प्रविष्टियों के साथ वर्ग आव्यूह के सामान्य निर्धारक को दर्शाता है).

बेरेज़िनियन सामान्य निर्धारक के समान गुणों को संतुष्ट करता है। विशेष रूप से, यह सुपरट्रांसपोज़ के अनुसार गुणक और अपरिवर्तनीय है। यह सूत्र द्वारा सुपरट्रेस से संबंधित है

$\mathrm {Ber} (e^{X})=e^{\mathrm {str(X)} }.\,$

संदर्भ

• Varadarajan, V. S. (2004). Supersymmetry for Mathematicians: An Introduction. Courant Lecture Notes in Mathematics 11. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3574-2.
• Deligne, Pierre; Morgan, John W. (1999). "Notes on Supersymmetry (following Joseph Bernstein)". Quantum Fields and Strings: A Course for Mathematicians. Vol. 1. American Mathematical Society. pp. 41–97. ISBN 0-8218-2012-5.