आंशिक आइसोमेट्री

फंक्शनल विश्लेषण में, आंशिक आइसोमेट्री एक हिलबर्ट अंतर्वालों के बीच एक रैखिक चित्रण है, जिसके अंतर्गत यह अपने कर्नेल के ऑर्थोगोनल पूरक के विशेषता पर एक आइसोमेट्री बनता है।

इसके कर्ण के उपरांतर्गीय पूरक को प्रारंभिक उपस्थान कहा जाता है और इसकी चेतना (रेंज) को अंतिम उपस्थान कहा जाता है।

आंशिक सममिति ध्रुवीय अपघटन में प्रकट होती है।

सामान्य

आंशिक आइसोमेट्री का अवधारणा अन्य समतुल्य तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है। यदि U एक समापक चित्रण है जो हिलबर्ट अंतर्वाल H के एक बंद उपसमुच्चय H1 पर परिभाषित है, तो हम एक विस्तार W को U का संबंधित कर सकते हैं जो शर्त पूरी करता है कि W वहां पर शून्य हो जाए जहां H1 का उपरांतर्गीय पूरक हो। इस प्रकार, कभी-कभी आंशिक आइसोमेट्री को एक बंद आंशिक समापक समाप्ति चित्रण के रूप में भी परिभाषित किया जाता है।

आंशिक आइसोमेट्री (और प्रोजेक्शन) को और अधिक अभिसंविदान सेटिंग में भी परिभाषित किया जा सकता है, जिसमें प्रतिष्ठानुक्रम साथ में अभिलेख होती है। इस परिभाषा का संवाद यहां परिभाषित संवाद के साथ मेल खाता है।

परिमित-आयामी सदिश स्थानों में, एक मैट्रिक्स $A$ एक आंशिक आइसोमेट्री है यदि और केवल यदि $A^{*}A$ इसके समर्थन पर प्रक्षेपण है। समान रूप से, किसी भी परिमित-आयामी आंशिक आइसोमेट्री को, आधार के कुछ विकल्प में, फॉर्म $A={\begin{pmatrix}V&0\end{pmatrix}}$ के मैट्रिक्स के रूप में दर्शाया जा सकता है, अर्थात, एक मैट्रिक्स के रूप में जिसका पहला $\operatorname {rank} (A)$ कॉलम एक आइसोमेट्री बनाता है, जबकि अन्य सभी कॉलम समान रूप से 0 हैं।

परिमित-आयामी आंशिक आइसोमेट्री को चिह्नित करने का एक और सामान्य तरीका यह देखना है कि आंशिक आइसोमेट्री आइसोमेट्री के हर्मिटियन संयुग्मों के साथ मेल खाती है, जिसका अर्थ है कि दिया गया $P$ आंशिक आइसोमेट्री है यदि और केवल यदि $P^{*}$ एक आइसोमेट्री है। अधिक सटीक रूप से, यदि $P$ एक आंशिक आइसोमेट्री है, तो $P^{*}$, $P$ की रेंज का समर्थन करने वाली एक आइसोमेट्री है, और यदि $V$ कुछ आइसोमेट्री है, तो $V^{*}$, $V$की रेंज का समर्थन करने वाला एक आंशिक आइसोमेट्री है।

संचालिका बीजगणित

ऑपरेटर बीजगणित के लिए, प्रारंभिक और अंतिम उप-स्थान प्रस्तुत किए जाते हैं।

${\mathcal {I}}W:={\mathcal {R}}W^{*}W,\,{\mathcal {F}}W:={\mathcal {R}}WW^{*}$

सी*-बीजगणित

C*-बीजगणित के लिए C*-संपत्ति के कारण समतुल्यता की श्रृंखला होती है:

$(W^{*}W)^{2}=W^{*}W\iff WW^{*}W=W\iff W^{*}WW^{*}=W^{*}\iff (WW^{*})^{2}=WW^{*}$

हालांकि, पार्श्विक आइसोमेट्री को उपरोक्त विभिन्न परिभाषाओं में परिभाषित किया जाता है और प्रारंभिक और अंतिम प्रक्षेपण को प्रत्युत्तरीक रूप से WW और WW घोषित किया जाता है।

प्रक्षेपणों की एक जोड़ी को तुल्यता संबंध द्वारा विभाजित किया जाता है:

$P=W^{*}W,\,Q=WW^{*}$

यह C*-बीजगणित के लिए K-सिद्धांत और वॉन न्यूमैन बीजगणित में अनुमानों के मुर्रे-वॉन न्यूमैन सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

विशेष कक्षाएँ

अनुमान

कोई भी ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण सामान्य प्रारंभिक और अंतिम उप-स्थान वाला होता है:

$P:{\mathcal {H}}\rightarrow {\mathcal {H}}:\quad {\mathcal {I}}P={\mathcal {F}}P$

एंबेडिंग

कोई भी आइसोमेट्रिक एम्बेडिंग पूर्ण प्रारंभिक उप-स्थान के साथ एक है:

$J:{\mathcal {H}}\hookrightarrow {\mathcal {K}}:\quad {\mathcal {I}}J={\mathcal {H}}$

इकाईयाँ

कोई भी एकात्मक ऑपरेटर पूर्ण प्रारंभिक और अंतिम उप-स्थान वाला होता है:

$U:{\mathcal {H}}\leftrightarrow {\mathcal {K}}:\quad {\mathcal {I}}U={\mathcal {H}},\,{\mathcal {F}}U={\mathcal {K}}$

(इनके अतिरिक्त कहीं अधिक आंशिक आइसोमेट्रीज़ हैं।)

उदाहरण

निलपोटेंट्स

द्वि-आयामी कॉम्प्लेक्स हिल्बर्ट स्पेस पर मैट्रिक्स

${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$

प्रारंभिक उपस्थान के साथ एक आंशिक आइसोमेट्री है

$\{0\}\oplus \mathbb {C}$

और अंतिम उपस्थान

$\mathbb {C} \oplus \{0\}.$

सामान्य परिमित-आयामी उदाहरण

सीमित आयामों में अन्य संभावित उदाहरण हैं

$$A\equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\0&0&0\end{pmatrix}}.$$

यह स्पष्ट रूप से एक आइसोमेट्री नहीं है, क्योंकि कॉलम लम्बवत् सामान्य नहीं हैं। हालाँकि, इसका समर्थन $\mathbf {e} _{1}\equiv (1,0,0)$ और $\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\equiv (0,1,1)$ का विस्तार है, और इस स्थान पर $A$ की कार्रवाई को प्रतिबंधित करते हुए, यह एक आइसोमेट्री (और विशेष रूप से एकात्मक) बन जाता है। कोई इसी प्रकार यह सत्यापित कर सकता है कि $A^{*}A=\Pi _{\operatorname {supp} (A)}$, यानी $A^{*}A$ इसके समर्थन पर प्रक्षेपण है।

आंशिक आइसोमेट्री को वर्ग आव्यूह के अनुरूप होने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए विचार करें,

$$A\equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}.$$

यह मैट्रिक्स $\mathbf {e} _{1}\equiv (1,0,0,0)$ और $\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{4}\equiv (0,1,0,1)$ के स्पैन का समर्थन करता है, और इस स्थान पर एक आइसोमेट्री (और विशेष रूप से, पहचान के रूप में) के रूप में कार्य करता है।

एक और उदाहरण, जिसमें इस बार $A$ अपने समर्थन पर एक गैर-तुच्छ आइसोमेट्री की तरह कार्य करता है

$$A={\begin{pmatrix}0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.$$

कोई भी इसे आसानी से सत्यापित कर सकता है कि $A\mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{2}$, और $A\left({\frac {\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}}{\sqrt {2}}}\right)=\mathbf {e} _{1}$, इसके समर्थन $\operatorname {span} (\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\})$ और इसकी सीमा $\operatorname {span} (\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\})$ के बीच $A$ का सममितीय व्यवहार दिखा रहा है।

लेफ्ट शिफ्ट और राइट शिफ्ट

वर्गाकार योगयोग्य अनुक्रमों पर ऑपरेटर

$R:\ell ^{2}(\mathbb {N} )\to \ell ^{2}(\mathbb {N} ):(x_{1},x_{2},\ldots )\mapsto (0,x_{1},x_{2},\ldots )$

$L:\ell ^{2}(\mathbb {N} )\to \ell ^{2}(\mathbb {N} ):(x_{1},x_{2},\ldots )\mapsto (x_{2},x_{3},\ldots )$

जो कि संबंधित हैं

$R^{*}=L$

प्रारंभिक उपस्थान के साथ आंशिक सममिति हैं

$LR(x_{1},x_{2},\ldots )=(x_{1},x_{2},\ldots )$

और अंतिम उपस्थान:

$RL(x_{1},x_{2},\ldots )=(0,x_{2},\ldots )$.

संदर्भ

• John B. Conway (1999). "A course in operator theory", AMS Bookstore, ISBN 0-8218-2065-6
• Carey, R. W.; Pincus, J. D. (May 1974). "An Invariant for Certain Operator Algebras". Proceedings of the National Academy of Sciences. 71 (5): 1952–1956. Bibcode:1974PNAS...71.1952C. doi:10.1073/pnas.71.5.1952. PMC 388361. PMID 16592156.
• Alan L. T. Paterson (1999). "Groupoids, inverse semigroups, and their operator algebras", Springer, ISBN 0-8176-4051-7
• Mark V. Lawson (1998). "Inverse semigroups: the theory of partial symmetries". World Scientific ISBN 981-02-3316-7
• Stephan Ramon Garcia; Matthew Okubo Patterson; Ross, William T. (2019). "Partially isometric matrices: A brief and selective survey". arXiv:1903.11648 [math.FA].

बाहरी संबंध

• Important properties and proofs
• Alternative proofs