ऑर्थोगोनल पूरक

रैखिक बीजगणित और कार्यात्मक विश्लेषण के गणित क्षेत्रों में, एक सदिश स्थान वी के रैखिक उप-स्थान डब्ल्यू का ऑर्थोगोनल पूरक, जो द्विरेखीय रूप बी से सुसज्जित है, सेट डब्ल्यू है^⊥ V में सभी वेक्टर जो W में प्रत्येक वेक्टर के लिए ओर्थोगोनल हैं। अनौपचारिक रूप से, इसे 'perp' कहा जाता है, जो 'लंबवत पूरक' के लिए संक्षिप्त है। यह V का एक उपस्थान है.

उदाहरण

होने देना $V=(\mathbb {R} ^{5},\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ सामान्य डॉट उत्पाद से सुसज्जित वेक्टर स्थान बनें $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ (इस प्रकार यह एक आंतरिक उत्पाद स्थान बन जाता है), और चलो

$$W=\{u\in V:Ax=u,\ x\in \mathbb {R} ^{2}\},$$

साथ

$$A={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\2&6\\3&9\\5&3\\\end{pmatrix}}.$$

फिर इसका ऑर्थोगोनल पूरक

$$W^{\perp }=\{v\in V:\langle u,v\rangle =0,\ \forall u\in W\}$$

के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है

$$W^{\perp }=\{v\in V:{\tilde {A}}y=v,\ y\in \mathbb {R} ^{3}\},$$

प्राणी

$${\tilde {A}}={\begin{pmatrix}-2&-3&-5\\-6&-9&-3\\1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.$$

तथ्य यह है कि प्रत्येक कॉलम वेक्टर में है $A$ प्रत्येक कॉलम वेक्टर के लिए ऑर्थोगोनल है ${\tilde {A}}$ प्रत्यक्ष गणना द्वारा जाँच की जा सकती है। तथ्य यह है कि इन वैक्टरों के स्पैन ऑर्थोगोनल हैं, इसके बाद डॉट उत्पाद की द्विरेखीयता आती है। अंत में, यह तथ्य कि ये स्थान ऑर्थोगोनल पूरक हैं, नीचे दिए गए आयाम संबंधों से पता चलता है।

सामान्य द्विरेखीय रूप

होने देना $V$ एक क्षेत्र के ऊपर एक सदिश समष्टि बनें $F$ द्विरेखीय रूप से सुसज्जित $B.$ हम परिभाषित करते हैं $u$ बाएँ ओर्थोगोनल होना $v$, और $v$ दाएँ ओर्थोगोनल होना $u,$ कब $B(u,v)=0.$ एक उपसमुच्चय के लिए $W$ का $V,$ बाएँ ओर्थोगोनल पूरक को परिभाषित करें $W^{\bot }$ होना

$$W^{\bot }=\left\{x\in V:B(x,y)=0{\text{ for all }}y\in W\right\}.$$

सही ऑर्थोगोनल पूरक की एक समान परिभाषा है। रिफ्लेक्सिव बिलिनियर फॉर्म के लिए, जहां $B(u,v)=0$ तात्पर्य $B(v,u)=0$ सभी के लिए $u$ और $v$ में $V,$ बाएँ और दाएँ पूरक मेल खाते हैं। यही स्थिति होगी यदि $B$ एक सममित द्विरेखीय रूप या एक द्विरेखीय रूप#सममित, तिरछा-सममित और वैकल्पिक रूप है।

परिभाषा एक क्रमविनिमेय वलय पर एक मुक्त मॉड्यूल पर एक बिलिनियर फॉर्म तक फैली हुई है, और संयुग्म तत्व (फील्ड सिद्धांत) के साथ एक कम्यूटेटिव रिंग पर किसी भी मुफ़्त मॉड्यूल को शामिल करने के लिए एक सेसक्विलिनियर फॉर्म तक विस्तारित है।

गुण

• एक ऑर्थोगोनल पूरक एक उप-स्थान है $V$;
• अगर $X\subseteq Y$ तब $X^{\bot }\supseteq Y^{\bot }$;
• द्विघात स्थान का मूलांक $V^{\bot }$ का $V$ प्रत्येक ऑर्थोगोनल पूरक का एक उप-स्थान है;
• $W\subseteq (W^{\bot })^{\bot }$;
• अगर $B$ गैर पतित है और $V$ तो, परिमित-आयामी है $\dim(W)+\dim(W^{\bot })=\dim V.$
• अगर $L_{1},\ldots ,L_{r}$ एक परिमित-आयामी स्थान के उपस्थान हैं $V$ और $L_{*}=L_{1}\cap \cdots \cap L_{r},$ तब $L_{*}^{\bot }=L_{1}^{\bot }+\cdots +L_{r}^{\bot }.$

आंतरिक उत्पाद स्थान

See also: Orthogonal projection

यह अनुभाग आंतरिक उत्पाद स्थान में ऑर्थोगोनल पूरकों पर विचार करता है $H.$ दो वैक्टर $x$ और $y$ कहा जाता है orthogonal अगर $\langle x,y\rangle =0,$ जो घटित होता है यदि और केवल यदि $\|x\|\leq \|x+sy\|$ सभी अदिश राशि वालों के लिए $s.$ अगर $C$ आंतरिक उत्पाद स्थान का कोई उपसमुच्चय है $H$ फिर यह orthogonal complement in $H$ सदिश उपस्थान है

$${\begin{alignedat}{4}C^{\bot }:&=\{x\in H:\langle x,c\rangle =0{\text{ for all }}c\in C\}\\&=\{x\in H:\langle c,x\rangle =0{\text{ for all }}c\in C\}\end{alignedat}}$$

जो हमेशा एक बंद उपसमुच्चय होता है $H$ जो संतुष्ट करता है $C^{\bot }=\left(\operatorname {cl} _{H}\left(\operatorname {span} C\right)\right)^{\bot }$ और भी $C^{\bot }\cap \operatorname {cl} _{H}\left(\operatorname {span} C\right)=\{0\}$ और $\operatorname {cl} _{H}\left(\operatorname {span} C\right)\subseteq \left(C^{\bot }\right)^{\bot }.$ अगर $C$ आंतरिक उत्पाद स्थान का एक सदिश उपस्थान है $H$ तब

$$C^{\bot }=\left\{x\in H:\|x\|\leq \|x+c\|{\text{ for all }}c\in C\right\}.$$
 अगर $C$ हिल्बर्ट स्पेस का एक बंद वेक्टर उपस्पेस है $H$ तब
$$H=C\oplus C^{\bot }\qquad {\text{ and }}\qquad \left(C^{\bot }\right)^{\bot }=C$$

कहाँ $H=C\oplus C^{\bot }$ कहा जाता है orthogonal decomposition का $H$ में $C$ और $C^{\bot }$ और यह इंगित करता है $C$ का एक पूरक उपस्थान है $H$ पूरक के साथ Failed to parse (Conversion error. Server ("cli") reported: "SyntaxError: Expected "-", "[", "\\", "\\begin", "\\begin{", "]", "^", "_", "{", "}", [ \t\n\r], [%$], [().], [,:;?!'], [/|], [0-9], [><~], [\-+*=], or [a-zA-Z] but "स" found.in 1:16"): {\displaystyle सी^{\बॉट}.}

गुण

मीट्रिक टोपोलॉजी में ऑर्थोगोनल पूरक हमेशा बंद रहता है। परिमित-आयामी स्थानों में, यह केवल इस तथ्य का एक उदाहरण है कि एक सदिश स्थान के सभी उप-स्थान बंद हैं। अनंत-आयामी हिल्बर्ट रिक्त स्थान में, कुछ उप-स्थान बंद नहीं होते हैं, लेकिन सभी ऑर्थोगोनल पूरक बंद होते हैं। अगर $W$ एक आंतरिक उत्पाद स्थान का एक वेक्टर उप-स्थान है जो ऑर्थोगोनल पूरक का ऑर्थोगोनल पूरक है $W$ का समापन (टोपोलॉजी) है $W,$ वह है,

$$\left(W^{\bot }\right)^{\bot }={\overline {W}}.$$

कुछ अन्य उपयोगी गुण जो हमेशा कायम रहते हैं वे निम्नलिखित हैं। होने देना $H$ एक हिल्बर्ट स्थान बनें और रहने दें $X$ और $Y$ इसके रैखिक उपस्थान बनें। तब:

• $X^{\bot }={\overline {X}}^{\bot }$;
• अगर $Y\subseteq X$ तब $X^{\bot }\subseteq Y^{\bot }$;
• $X\cap X^{\bot }=\{0\}$;
• $X\subseteq (X^{\bot })^{\bot }$;
• अगर $X$ का एक बंद रैखिक उपस्थान है $H$ तब $(X^{\bot })^{\bot }=X$;
• अगर $X$ का एक बंद रैखिक उपस्थान है $H$ तब $H=X\oplus X^{\bot },$ (आंतरिक) प्रत्यक्ष योग।

ऑर्थोगोनल पूरक एनीहिलेटर (रिंग सिद्धांत) को सामान्यीकृत करता है, और आंतरिक उत्पाद स्थान के सबसेट पर एक गैलोइस कनेक्शन देता है, जिसमें संबंधित बंद करने वाला ऑपरेटर स्पैन का टोपोलॉजिकल क्लोजर होता है।

परिमित आयाम

आयाम के एक परिमित-आयामी आंतरिक उत्पाद स्थान के लिए $n,$ ए का ऑर्थोगोनल पूरक $k$-आयामी उपस्थान एक है $(n-k)$-आयामी उप-स्थान, और डबल ऑर्थोगोनल पूरक मूल उप-स्थान है:

$$\left(W^{\bot }\right)^{\bot }=W.$$

अगर $A$ एक $m\times n$ मैट्रिक्स, कहाँ $\operatorname {Row} A,$ $\operatorname {Col} A,$ और $\operatorname {Null} A$ पंक्ति स्थान, स्तंभ स्थान और शून्य स्थान का संदर्भ लें $A$ (क्रमशः), फिर

$$\left(\operatorname {Row} A\right)^{\bot }=\operatorname {Null} A\qquad {\text{ and }}\qquad \left(\operatorname {Col} A\right)^{\bot }=\operatorname {Null} A^{\operatorname {T} }.$$

बनाच रिक्त स्थान

सामान्य बानाच स्थानों में इस धारणा का एक प्राकृतिक एनालॉग है। इस मामले में कोई डब्ल्यू के ऑर्थोगोनल पूरक को वी के दोहरे स्थान के उप-स्थान के रूप में परिभाषित करता है, जिसे दोहरे स्थान #एनीहिलेटर्स के समान परिभाषित किया गया है।

$$W^{\bot }=\left\{x\in V^{*}:\forall y\in W,x(y)=0\right\}.$$

यह सदैव V का एक बंद उपस्थान होता है^∗. दोहरे पूरक गुण का एक एनालॉग भी है। डब्ल्यू^⊥⊥ अब V का एक उपस्थान है^∗∗ (जो V के समान नहीं है)। हालाँकि, प्रतिवर्ती स्थान में V और V के बीच एक प्राकृतिक परिवर्तन समरूपता है^∗∗. इस मामले में हमारे पास है

$$i{\overline {W}}=W^{\bot \,\bot }.$$

यह हैन-बानाच प्रमेय का एक बिल्कुल सीधा परिणाम है।

अनुप्रयोग

विशेष सापेक्षता में विश्व रेखा को निर्धारित करने के लिए ऑर्थोगोनल पूरक का उपयोग किया जाता है#विश्व रेखा के एक बिंदु पर एक साथ हाइपरप्लेन। मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष में प्रयुक्त द्विरेखीय रूप η घटनाओं के छद्म-यूक्लिडियन स्थान को निर्धारित करता है। प्रकाश शंकु पर उत्पत्ति और सभी घटनाएँ स्व-ऑर्थोगोनल हैं। जब एक समय घटना और एक अंतरिक्ष घटना का मूल्यांकन द्विरेखीय रूप के तहत शून्य पर होता है, तो वे हाइपरबोलिक-ऑर्थोगोनल होते हैं। यह शब्दावली छद्म-यूक्लिडियन विमान में दो संयुग्म हाइपरबोलों के उपयोग से उत्पन्न होती है: इन हाइपरबोलों के संयुग्म व्यास हाइपरबोलिक-ऑर्थोगोनल हैं।

यह भी देखें

• Complemented lattice
• Complemented subspace
• Hilbert projection theorem
• Orthogonal projection

ग्रन्थसूची

• Adkins, William A.; Weintraub, Steven H. (1992), Algebra: An Approach via Module Theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 136, Springer-Verlag, ISBN 3-540-97839-9, Zbl 0768.00003
• Halmos, Paul R. (1974), Finite-dimensional vector spaces, Undergraduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90093-3, Zbl 0288.15002
• Milnor, J.; Husemoller, D. (1973), Symmetric Bilinear Forms, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, vol. 73, Springer-Verlag, ISBN 3-540-06009-X, Zbl 0292.10016
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.

बाहरी संबंध

• Orthogonal complement ; Minute 9.00 in the Youtube Video
• Instructional video describing orthogonal complements (Khan Academy)