समीकरणों की विभेदक-बीजगणितीय प्रणाली

विद्युत अभियन्त्रण में, समीकरणों की अंतर-बीजीय प्रणाली (डीएई) समीकरणों की प्रणाली है जिसमें या तो अंतर समीकरण और बीजगणितीय समीकरण होते हैं, या ऐसी प्रणाली के बराबर होती है।

गणित में ये विभेदक बीजगणितीय किस्मों के उदाहरण हैं और आदर्शों के अनुरूप हैं विभेदक बहुपद वलयों में (बीजगणितीय सेटअप के लिए विभेदक बीजगणित पर लेख देखें)।

हम इन अंतर समीकरणों को स्वतंत्र चर t में चर x के आश्रित वेक्टर के लिए लिख सकते हैं

$F({\dot {x}}(t),\,x(t),\,t)=0$

इन प्रतीकों को वास्तविक चर के कार्यों के रूप में विचार करते समय (जैसा कि इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग या नियंत्रण सिद्धांत में अनुप्रयोगों में मामला है) हम देखते हैं $x:[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ आश्रित चरों के सदिश के रूप में $x(t)=(x_{1}(t),\dots ,x_{n}(t))$ और सिस्टम में उतने ही समीकरण हैं, जिन्हें हम फ़ंक्शन मानते हैं $F=(F_{1},\dots ,F_{n}):\mathbb {R} ^{2n+1}\to \mathbb {R} ^{n}$.

वे सामान्य अंतर समीकरण (ओडीई) से अलग हैं क्योंकि डीएई फ़ंक्शन एक्स के सभी घटकों के डेरिवेटिव के लिए पूरी तरह से हल करने योग्य नहीं है क्योंकि ये सभी प्रकट नहीं हो सकते हैं (यानी कुछ समीकरण बीजगणितीय हैं); तकनीकी रूप से अंतर्निहित ओडीई प्रणाली [जिसे स्पष्ट किया जा सकता है] और डीएई प्रणाली के बीच अंतर यह है कि जैकोबियन मैट्रिक्स ${\frac {\partial F(u,v,t)}{\partial u}}$ डीएई प्रणाली के लिए एकल मैट्रिक्स है। ओडीई और डीएई के बीच यह अंतर इसलिए किया गया है क्योंकि डीएई की अलग-अलग विशेषताएं हैं और इन्हें हल करना आम तौर पर अधिक कठिन होता है। व्यावहारिक रूप से, डीएई और ओडीई के बीच अंतर अक्सर यह होता है कि डीएई प्रणाली का समाधान इनपुट सिग्नल के डेरिवेटिव पर निर्भर करता है, न कि केवल सिग्नल पर, जैसा कि ओडीई के मामले में होता है; यह समस्या आमतौर पर हिस्टैरिसीस वाले अरेखीय प्रणाली में सामने आती है, जैसे कि श्मिट ट्रिगर। यह अंतर अधिक स्पष्ट रूप से दिखाई देता है यदि सिस्टम को फिर से लिखा जाए ताकि x के बजाय हम जोड़ी पर विचार करें $(x,y)$ आश्रित चरों के सदिशों का और डीएई का रूप है

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=f(x(t),y(t),t),\\0&=g(x(t),y(t),t).\end{aligned}}$

कहाँ $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$, $y(t)\in \mathbb {R} ^{m}$, $f:\mathbb {R} ^{n+m+1}\to \mathbb {R} ^{n}$ और $g:\mathbb {R} ^{n+m+1}\to \mathbb {R} ^{m}.$

इस फॉर्म की डीएई प्रणाली को अर्ध-स्पष्ट कहा जाता है।समीकरण के दूसरे भाग g का प्रत्येक समाधान समीकरण के पहले भाग f के माध्यम से x के लिए अद्वितीय दिशा को परिभाषित करता है, जबकि y के लिए दिशा मनमानी है। लेकिन प्रत्येक बिंदु (x,y,t) g का समाधान नहीं है। x और समीकरणों के पहले भाग f में चरों को विशेषता अंतर मिलता है। y के घटकों और समीकरणों के दूसरे भाग g को सिस्टम के बीजगणितीय चर या समीकरण कहा जाता है। [डीएई के संदर्भ में बीजगणितीय शब्द का अर्थ केवल व्युत्पन्न से मुक्त है और यह (अमूर्त) बीजगणित से संबंधित नहीं है।]

डीएई के समाधान में दो भाग होते हैं, पहला सुसंगत प्रारंभिक मूल्यों की खोज और दूसरा प्रक्षेपवक्र की गणना। सुसंगत प्रारंभिक मूल्यों को खोजने के लिए अक्सर डीएई के कुछ घटक कार्यों के डेरिवेटिव पर विचार करना आवश्यक होता है। इस प्रक्रिया के लिए आवश्यक व्युत्पन्न के उच्चतम क्रम को विभेदन सूचकांक कहा जाता है। सूचकांक और सुसंगत प्रारंभिक मूल्यों की गणना में प्राप्त समीकरण प्रक्षेपवक्र की गणना में भी उपयोगी हो सकते हैं। अर्ध-स्पष्ट डीएई प्रणाली को विभेदन सूचकांक को से कम करके और इसके विपरीत अंतर्निहित में परिवर्तित किया जा सकता है।

डीएई के अन्य रूप

यदि कुछ आश्रित चर उनके डेरिवेटिव के बिना होते हैं तो डीएई से ओडीई का अंतर स्पष्ट हो जाता है। आश्रित चरों के सदिश को युग्म के रूप में लिखा जा सकता है $(x,y)$ और डीएई के विभेदक समीकरणों की प्रणाली फॉर्म में दिखाई देती है

$F\left({\dot {x}},x,y,t\right)=0$

कहाँ

• $x$, में वेक्टर $\mathbb {R} ^{n}$, आश्रित चर हैं जिनके लिए व्युत्पन्न मौजूद हैं (अंतर चर),
• $y$, में वेक्टर $\mathbb {R} ^{m}$, आश्रित चर हैं जिनके लिए कोई व्युत्पन्न मौजूद नहीं है (बीजगणितीय चर),
• $t$, अदिश राशि (आमतौर पर समय) स्वतंत्र चर है।
• $F$ का वेक्टर है $n+m$ ऐसे फ़ंक्शन जिनमें इनके सबसेट शामिल होते हैं $n+m+1$ चर और $n$ व्युत्पन्न।

कुल मिलाकर, डीएई का सेट फ़ंक्शन है

$F:\mathbb {R} ^{(2n+m+1)}\to \mathbb {R} ^{(n+m)}.$

प्रारंभिक स्थितियाँ फॉर्म के समीकरणों की प्रणाली का समाधान होनी चाहिए

$F\left({\dot {x}}(t_{0}),\,x(t_{0}),y(t_{0}),t_{0}\right)=0.$

उदाहरण

कार्टेशियन निर्देशांक (x,y) में केंद्र (0,0) के साथ लंबाई L के लंगर का व्यवहार यूलर-लैग्रेंज समीकरण द्वारा वर्णित है

${\begin{aligned}{\dot {x}}&=u,&{\dot {y}}&=v,\\{\dot {u}}&=\lambda x,&{\dot {v}}&=\lambda y-g,\\x^{2}+y^{2}&=L^{2},\end{aligned}}$

कहाँ $\lambda$ लैग्रेंज गुणक है। संवेग चर u और v को ऊर्जा संरक्षण के नियम द्वारा नियंत्रित किया जाना चाहिए और उनकी दिशा वृत्त के अनुदिश होनी चाहिए। उन समीकरणों में कोई भी स्थिति स्पष्ट नहीं है। अंतिम समीकरण का विभेदन होता है

${\begin{aligned}&&{\dot {x}}\,x+{\dot {y}}\,y&=0\\\Rightarrow &&u\,x+v\,y&=0,\end{aligned}}$

गति की दिशा को वृत्त की स्पर्श रेखा तक सीमित करना। इस समीकरण के अगले व्युत्पन्न का तात्पर्य है

${\begin{aligned}&&{\dot {u}}\,x+{\dot {v}}\,y+u\,{\dot {x}}+v\,{\dot {y}}&=0,\\\Rightarrow &&\lambda (x^{2}+y^{2})-gy+u^{2}+v^{2}&=0,\\\Rightarrow &&L^{2}\,\lambda -gy+u^{2}+v^{2}&=0,\end{aligned}}$

और उस अंतिम पहचान का व्युत्पन्न सरल हो जाता है $L^{2}{\dot {\lambda }}-3gv=0$ जिसका तात्पर्य ऊर्जा के संरक्षण से है क्योंकि एकीकरण के बाद स्थिरांक स्थिर रहता है $E={\tfrac {3}{2}}gy-{\tfrac {1}{2}}L^{2}\lambda ={\frac {1}{2}}(u^{2}+v^{2})+gy$ गतिज और स्थितिज ऊर्जा का योग है।

सभी आश्रित चरों के लिए अद्वितीय व्युत्पन्न मान प्राप्त करने के लिए अंतिम समीकरण को तीन बार विभेदित किया गया था। यह 3 का विभेदन सूचकांक देता है, जो विवश यांत्रिक प्रणालियों के लिए विशिष्ट है।

यदि प्रारंभिक मान $(x_{0},u_{0})$ और y के लिए चिह्न दिया गया है, अन्य चर इसके माध्यम से निर्धारित किए जाते हैं $y=\pm {\sqrt {L^{2}-x^{2}}}$, और अगर $y\neq 0$ तब $v=-ux/y$ और $\lambda =(gy-u^{2}-v^{2})/L^{2}$. अगले बिंदु पर आगे बढ़ने के लिए x और u के व्युत्पन्न प्राप्त करना पर्याप्त है, अर्थात, हल करने की प्रणाली अब है

${\begin{aligned}{\dot {x}}&=u,\\{\dot {u}}&=\lambda x,\\[0.3em]0&=x^{2}+y^{2}-L^{2},\\0&=ux+vy,\\0&=u^{2}-gy+v^{2}+L^{2}\,\lambda .\end{aligned}}$

यह सूचकांक 1 का अर्ध-स्पष्ट डीएई है। इसी तरह के समीकरणों का और सेट शुरू से प्राप्त किया जा सकता है $(y_{0},v_{0})$ और x के लिए चिन्ह.

डीएई स्वाभाविक रूप से गैर-रेखीय उपकरणों के साथ सर्किट के मॉडलिंग में भी होते हैं। डीएई को नियोजित करने वाले संशोधित नोडल विश्लेषण का उपयोग उदाहरण के लिए संख्यात्मक सर्किट सिमुलेटर के सर्वव्यापी मसाला परिवार में किया जाता है। इसी तरह, फ्राउनहोफर सोसाइटी|फ्राउनहोफर के एनालॉग इनसाइड्स मेथेमेटिका पैकेज का उपयोग नेटलिस्ट से डीएई प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है और फिर कुछ मामलों में समीकरणों को सरल बनाया जा सकता है या प्रतीकात्मक रूप से हल भी किया जा सकता है। यह ध्यान देने योग्य है कि डीएई (एक सर्किट के) के सूचकांक को सकारात्मक प्रतिक्रिया के साथ कैपेसिटर परिचालन एम्पलीफायरों के माध्यम से कैस्केडिंग/युग्मन द्वारा मनमाने ढंग से उच्च बनाया जा सकता है।

सूचकांक 1 का अर्ध-स्पष्ट डीएई

फॉर्म का डीएई

::${\begin{aligned}{\dot {x}}&=f(x,y,t),\\0&=g(x,y,t).\end{aligned}}$

अर्ध-स्पष्ट कहलाते हैं। इंडेक्स-1 प्रॉपर्टी के लिए आवश्यक है कि g, y के लिए अंतर्निहित फ़ंक्शन प्रमेय हो। दूसरे शब्दों में, विभेदन सूचकांक 1 है यदि टी के लिए बीजगणितीय समीकरणों के विभेदन से अंतर्निहित ओडीई प्रणाली परिणाम प्राप्त होती है,

${\begin{aligned}{\dot {x}}&=f(x,y,t)\\0&=\partial _{x}g(x,y,t){\dot {x}}+\partial _{y}g(x,y,t){\dot {y}}+\partial _{t}g(x,y,t),\end{aligned}}$

जिसके लिए समाधान संभव है $({\dot {x}},\,{\dot {y}})$ अगर $\det \left(\partial _{y}g(x,y,t)\right)\neq 0.$ प्रत्येक पर्याप्त रूप से सुचारू डीएई लगभग हर जगह इस अर्ध-स्पष्ट सूचकांक-1 फॉर्म में कम करने योग्य है।

डीएई और अनुप्रयोगों का संख्यात्मक उपचार

डीएई को हल करने में दो प्रमुख समस्याएं सूचकांक में कमी और लगातार प्रारंभिक स्थितियां हैं। अधिकांश संख्यात्मक सॉल्वरों को साधारण अंतर समीकरणों और बीजगणितीय समीकरणों की आवश्यकता होती है

${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=f\left(x,y,t\right),\\0&=g\left(x,y,t\right).\end{aligned}}$

शुद्ध ODE सॉल्वरों द्वारा समाधान के लिए मनमाने ढंग से DAE सिस्टम को ODE में परिवर्तित करना गैर-तुच्छ कार्य है। जिन तकनीकों को नियोजित किया जा सकता है उनमें पैन्टेलाइड्स एल्गोरिदम और डमी व्युत्पन्न सूचकांक कटौती विधि शामिल हैं। वैकल्पिक रूप से, असंगत प्रारंभिक स्थितियों के साथ उच्च-सूचकांक डीएई का सीधा समाधान भी संभव है। इस समाधान दृष्टिकोण में परिमित तत्वों पर ऑर्थोगोनल संयोजन या बीजगणितीय अभिव्यक्तियों में प्रत्यक्ष प्रतिलेखन के माध्यम से व्युत्पन्न तत्वों का परिवर्तन शामिल है। यह किसी भी सूचकांक के डीएई को खुले समीकरण रूप में पुनर्व्यवस्थित किए बिना हल करने की अनुमति देता है

${\begin{aligned}0&=f\left({\frac {dx}{dt}},x,y,t\right),\\0&=g\left(x,y,t\right).\end{aligned}}$

एक बार जब मॉडल को बीजगणितीय समीकरण रूप में परिवर्तित कर दिया जाता है, तो इसे बड़े पैमाने पर नॉनलाइनियर प्रोग्रामिंग सॉल्वर (एपीमॉनिटर देखें) द्वारा हल किया जा सकता है।

ट्रैक्टिबिलिटी

संख्यात्मक तरीकों के संदर्भ में डीएई की ट्रैक्टेबिलिटी के कई उपाय विकसित हुए हैं, जैसे विभेदन सूचकांक, गड़बड़ी सूचकांक, ट्रैक्टेबिलिटी इंडेक्स, ज्यामितीय सूचकांक और क्रोनकर इंडेक्स।

डीएई के लिए संरचनात्मक विश्लेषण

हम उपयोग करते हैं $\Sigma$-डीएई का विश्लेषण करने की विधि। हम डीएई के लिए हस्ताक्षर मैट्रिक्स का निर्माण करते हैं $\Sigma =(\sigma _{i,j})$, जहां प्रत्येक पंक्ति प्रत्येक समीकरण से मेल खाती है $f_{i}$ और प्रत्येक स्तंभ प्रत्येक चर से मेल खाता है $x_{j}$. स्थिति में प्रवेश $(i,j)$ है $\sigma _{i,j}$, जो कि व्युत्पन्न के उच्चतम क्रम को दर्शाता है $x_{j}$ में होता है $f_{i}$, या $-\infty$ अगर $x_{j}$ में नहीं होता है $f_{i}$.

उपरोक्त पेंडुलम डीएई के लिए, चर हैं $(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5})=(x,y,u,v,\lambda )$. संबंधित हस्ताक्षर मैट्रिक्स है

$\Sigma ={\begin{bmatrix}1&-&0^{\bullet }&-&-\\-&1^{\bullet }&-&0&-\\0&-&1&-&0^{\bullet }\\-&0&-&1^{\bullet }&0\\0^{\bullet }&0&-&-&-\end{bmatrix}}$

यह भी देखें

• बीजगणितीय अवकल समीकरण, समान नाम के बावजूद अलग अवधारणा
• विलंब अंतर समीकरण
• आंशिक अंतर बीजगणितीय समीकरण
• नमूना भाषा

अग्रिम पठन

पुस्तकें

• Hairer, E.; Wanner, G. (1996). साधारण विभेदक समीकरण II को हल करना: कठोर और विभेदक-बीजगणितीय समस्याएं (2nd revised ed.). Berlin: Springer-Verlag.
• Ascher, Uri M.; Petzold, Linda R. (1998). साधारण विभेदक समीकरणों और विभेदक-बीजगणितीय समीकरणों के लिए कंप्यूटर विधियाँ. Philadelphia: SIAM. ISBN 978-0-89871-412-8.
• Kunkel, Peter; Mehrmann, Volker Ludwig (2006). विभेदक-बीजगणितीय समीकरण: विश्लेषण और संख्यात्मक समाधान. Zürich, Switzerland: European Mathematical Society. ISBN 978-3-03719-017-3.
• Kazuo Murota (2009). सिस्टम विश्लेषण के लिए मैट्रिसेस और मैट्रोइड्स. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-03994-2. (डीएई सूचकांक की गणना के लिए संरचनात्मक दृष्टिकोण को शामिल करता है।)
• Matthias Gerdts (2012). ओडीई और डीएई का इष्टतम नियंत्रण. Walter de Gruyter. ISBN 978-3-11-024999-6.
• Lamour, René; März, Roswitha; Tischendorf, Caren (2013). विभेदक-बीजगणितीय समीकरण: एक प्रोजेक्टर आधारित विश्लेषण. Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-642-27554-8.

विभिन्न कागजात

• G. Fábián; D.A. van Beek; J.E. Rooda (2001). "Index Reduction and Discontinuity Handling using Substitute Equations" (PDF). Mathematical and Computer Modelling of Dynamical Systems. 7 (2): 173–187. CiteSeerX 10.1.1.8.5859. doi:10.1076/mcmd.7.2.173.3646. S2CID 14450374. Archived from the original (PDF) on 2005-04-26.
• Ilie, Silvana; Corless, Robert M.; Reid, Greg (2006). "सूचकांक -1 के विभेदक बीजगणितीय समीकरणों के संख्यात्मक समाधानों की गणना बहुपद समय में की जा सकती है". Numerical Algorithms. 41 (2): 161–171. CiteSeerX 10.1.1.71.7366. doi:10.1007/s11075-005-9007-1. S2CID 14684538.
• Nedialkov, Ned S.; Pryce, John D. (2005). "टेलर श्रृंखला (I) द्वारा विभेदक-बीजगणितीय समीकरणों को हल करना: टेलर गुणांक की गणना करना" (PDF). BIT. 45 (3): 561–591. doi:10.1007/s10543-005-0019-y. S2CID 16451180.
• Nedialkov, Ned S.; Pryce, John D. (2005). "टेलर सीरीज (II) द्वारा विभेदक-बीजगणितीय समीकरणों को हल करना: सिस्टम जैकोबियन की गणना करना" (PDF). BIT. 47: 121–135. CiteSeerX 10.1.1.455.6965. doi:10.1007/s10543-006-0106-8. S2CID 16666782.
• Nedialkov, Ned S.; Pryce, John D. (2007). "टेलर सीरीज (III) द्वारा विभेदक-बीजगणितीय समीकरणों को हल करना: DAETS कोड" (PDF). Journal of Numerical Analysis, Industrial and Applied Mathematics (JNAIAM). 1 (1): 1–30. ISSN 1790-8140.
• Nedialkov, Ned S.; Pryce, John D.; Tan, Guangning (2014). "डीएईएसए - विभेदक-बीजगणितीय समीकरणों के संरचनात्मक विश्लेषण के लिए एक मैटलैब उपकरण: सॉफ्टवेयर" (PDF). ACM Transactions on Mathematical Software. 41 (2): 1–14. doi:10.1145/2700586. S2CID 16655498.
• Pryce, John D.; Nedialkov, Ned S.; Tan, Guangning (2014). "डीएईएसए - विभेदक-बीजगणितीय समीकरणों के संरचनात्मक विश्लेषण के लिए एक मैटलैब उपकरण: एल्गोरिदम" (PDF). ACM Transactions on Mathematical Software. 41 (2): 1–20. doi:10.1145/2689664. S2CID 311443.
• Roubíček, T.; Valášek, M. (2002). "कारणात्मक अंतर बीजगणितीय प्रणालियों का इष्टतम नियंत्रण". J. Math. Anal. Appl. 269 (2): 616–641. doi:10.1016/s0022-247x(02)00040-9.

बाहरी संबंध

• http://www.scholarpedia.org/article/Differential-algebraic_equations