पूर्ण वर्ग बनाना: Difference between revisions
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[[प्राथमिक बीजगणित|प्रारम्भिक बीजगणित]] में, वर्ग | [[प्राथमिक बीजगणित|प्रारम्भिक बीजगणित]] में, '''पूर्ण वर्ग बनाना''' [[द्विघात बहुपद]] को रूप में परिवर्तित करने की तकनीक है | ||
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* लाप्लास रूपान्तर का अभिज्ञान करता है। | * लाप्लास रूपान्तर का अभिज्ञान करता है। | ||
गणित में, वर्ग | गणित में, पूर्ण वर्ग बनाना अधिकांशतः किसी भी संगणना में लागू किया जाता है जिसमें द्विघात बहुपद सम्मिलित होते हैं। | ||
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हालाँकि, मूल द्विघात को इस वर्ग और एक स्थिरांक के योग के रूप में लिखना संभव है: | हालाँकि, मूल द्विघात को इस वर्ग और एक स्थिरांक के योग के रूप में लिखना संभव है: | ||
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=== सामान्य विवरण === | === सामान्य विवरण === | ||
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यह वर्ग मूल द्विघात से केवल स्थिरांक के मान में भिन्न है। इसलिए हम लिख सकते हैं | यह वर्ग मूल द्विघात से केवल स्थिरांक के मान में भिन्न है। इसलिए हम लिख सकते हैं | ||
<math display="block">x^2 + bx + c \,=\, \left(x + \tfrac{1}{2}b\right)^2 + k,</math> | <math display="block">x^2 + bx + c \,=\, \left(x + \tfrac{1}{2}b\right)^2 + k,</math> | ||
जहाँ <math>k = c - \frac{b^2}{4}</math>, इस ऑपरेशन को वर्ग को पूरा करने के रूप में जाना जाता है। उदाहरण के लिए: | जहाँ <math>k = c - \frac{b^2}{4}</math>, इस ऑपरेशन को '''वर्ग को पूरा करने''' के रूप में जाना जाता है। उदाहरण के लिए: | ||
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[[विश्लेषणात्मक ज्यामिति]] में, किसी द्विघात फलन के फलन का ग्राफ xy-तल में [[परवलय]] होता है। प्रपत्र के द्विघात बहुपद को देखते हुए | [[विश्लेषणात्मक ज्यामिति]] में, किसी द्विघात फलन के फलन का ग्राफ xy-तल में [[परवलय]] होता है। प्रपत्र के द्विघात बहुपद को देखते हुए | ||
<math display="block">a(x-h)^2 + k</math> | <math display="block">a(x-h)^2 + k</math> | ||
संख्याओं h और k की व्याख्या परवलय के [[वर्टेक्स (वक्र)|शीर्ष (वक्र)]] (या [[स्थिर बिंदु]]) के [[कार्तीय निर्देशांक]] के रूप में की जा सकती है। अर्थात, h सममिति के अक्ष का x-निर्देशांक है (अर्थात सममिति के अक्ष का समीकरण x = h है), और k द्विघात फलन का उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ (या उच्चिष्ठ मान, यदि a < 0) है। | संख्याओं ''h'' और ''k'' की व्याख्या परवलय के [[वर्टेक्स (वक्र)|शीर्ष (वक्र)]] (या [[स्थिर बिंदु]]) के [[कार्तीय निर्देशांक]] के रूप में की जा सकती है। अर्थात, h सममिति के अक्ष का x-निर्देशांक है (अर्थात सममिति के अक्ष का समीकरण ''x = h'' है), और ''k'' द्विघात फलन का उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ (या उच्चिष्ठ मान, यदि ''a < 0'') है। | ||
इसे देखने का एक तरीका यह ध्यान रखना है कि फलन का ग्राफ़ (गणित) {{math|1=''f''(''x'') = ''x''<sup>2</sup>}} परवलय है जिसका शीर्ष मूल बिंदु (0, 0) पर है। इसलिए, फलन का ग्राफ {{math|1=''f''(''x'' − ''h'') = (''x'' − ''h'')<sup>2</sup>}} परवलय है जिसे h द्वारा दाईं ओर स्थानांतरित किया गया है जिसका शीर्ष (h, 0) पर है, जैसा कि शीर्ष आकृति में दिखाया गया है। इसके विपरीत, फलन का ग्राफ {{math|1=''f''(''x'') + ''k'' = ''x''<sup>2</sup> + ''k''}} परवलय है जिसे ऊपर की ओर स्थानांतरित किया गया है {{mvar|k}} जिसका शीर्ष {{math|(0, ''k'')}} पर है, जैसा कि केंद्र चित्र में दिखाया गया है। क्षैतिज और लम्बवत शिफ्ट दोनों को मिलाकर उत्पन्न होती है {{math|1=''f''(''x'' − ''h'') + ''k'' = (''x'' − ''h'')<sup>2</sup> + ''k''}} परवलय है जिसे दाईं ओर {{mvar|h}} स्थानांतरित किया गया है और ऊपर की ओर {{mvar|k}} जिसका शीर्ष पर है {{math|(''h'', ''k'')}}, जैसा कि नीचे की आकृति में दिखाया गया है। | इसे देखने का एक तरीका यह ध्यान रखना है कि फलन का ग्राफ़ (गणित) {{math|1=''f''(''x'') = ''x''<sup>2</sup>}} परवलय है जिसका शीर्ष मूल बिंदु (0, 0) पर है। इसलिए, फलन का ग्राफ {{math|1=''f''(''x'' − ''h'') = (''x'' − ''h'')<sup>2</sup>}} परवलय है जिसे h द्वारा दाईं ओर स्थानांतरित किया गया है जिसका शीर्ष (h, 0) पर है, जैसा कि शीर्ष आकृति में दिखाया गया है। इसके विपरीत, फलन का ग्राफ {{math|1=''f''(''x'') + ''k'' = ''x''<sup>2</sup> + ''k''}} परवलय है जिसे ऊपर की ओर स्थानांतरित किया गया है {{mvar|k}} जिसका शीर्ष {{math|(0, ''k'')}} पर है, जैसा कि केंद्र चित्र में दिखाया गया है। क्षैतिज और लम्बवत शिफ्ट दोनों को मिलाकर उत्पन्न होती है {{math|1=''f''(''x'' − ''h'') + ''k'' = (''x'' − ''h'')<sup>2</sup> + ''k''}} परवलय है जिसे दाईं ओर {{mvar|h}} स्थानांतरित किया गया है और ऊपर की ओर {{mvar|k}} जिसका शीर्ष पर है {{math|(''h'', ''k'')}}, जैसा कि नीचे की आकृति में दिखाया गया है। | ||
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गुणनखंड से जुड़े तरीकों के विपरीत, समीकरण, जो केवल तभी विश्वसनीय होता है, जब मूल परिमेय संख्या हों, वर्ग को पूरा करने पर द्विघात समीकरण की मूल तब भी मिलेंगी, जब वे मूल [[अपरिमेय संख्या]] या [[जटिल संख्या|समिश्र संख्या]] होते हैं। उदाहरण के लिए, समीकरण पर विचार करें | गुणनखंड से जुड़े तरीकों के विपरीत, समीकरण, जो केवल तभी विश्वसनीय होता है, जब मूल परिमेय संख्या हों, वर्ग को पूरा करने पर द्विघात समीकरण की मूल तब भी मिलेंगी, जब वे मूल [[अपरिमेय संख्या]] या [[जटिल संख्या|समिश्र संख्या]] होते हैं। उदाहरण के लिए, समीकरण पर विचार करें | ||
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*Algebra 1, Glencoe, {{ISBN|0-07-825083-8}}, pages 539–544 | *Algebra 1, Glencoe, {{ISBN|0-07-825083-8}}, pages 539–544 | ||
*Algebra 2, Saxon, {{ISBN|0-939798-62-X}}, pages 214–214, 241–242, 256–257, 398–401 | *Algebra 2, Saxon, {{ISBN|0-939798-62-X}}, pages 214–214, 241–242, 256–257, 398–401 | ||
==बाहरी संबंध== | ==बाहरी संबंध== | ||
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Latest revision as of 12:56, 28 August 2023
प्रारम्भिक बीजगणित में, पूर्ण वर्ग बनाना द्विघात बहुपद को रूप में परिवर्तित करने की तकनीक है
दूसरे शब्दों में, वर्ग को पूरा करने से द्विघात व्यंजक के अंदर वर्ग संख्या गुणनखंडन हो जाता है।
वर्ग को पूरा करने में प्रयोग किया जाता है
- द्विघात समीकरण को हल करना,
- द्विघात सूत्र प्राप्त करना,
- रेखांकन द्विघात फलन,
- कैलकुलस में समाकलन का मूल्यांकन करना, जैसे कि घातांक में रेखीय शब्द के साथ गॉसियन समाकलन,
- लाप्लास रूपान्तर का अभिज्ञान करता है।
गणित में, पूर्ण वर्ग बनाना अधिकांशतः किसी भी संगणना में लागू किया जाता है जिसमें द्विघात बहुपद सम्मिलित होते हैं।
इतिहास
वर्ग को पूरा करने की तकनीक पुराने बेबीलोनियन साम्राज्य में जानी जाती थी।[1]
मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी, एक प्रसिद्ध बहुश्रुत जिसने प्रारंभिक बीजगणित ग्रंथ अल-जब्र लिखा था, ने द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए वर्ग को पूरा करने की तकनीक का उपयोग किया था।[2]
सिंहावलोकन
पृष्ठभूमि
द्विपद (बहुपद) के वर्ग (बीजगणित) की गणना के लिए प्राथमिक बीजगणित में सूत्र है:
मूल उदाहरण
निम्नलिखित द्विघात बहुपद पर विचार करें:
सामान्य विवरण
किसी भी मोनिक बहुपद द्विघात को देखते हुए
गुणांक a को गुणनखंड करना संभव है, और फिर परिणामी मोनिक बहुपद के लिए वर्ग को पूरा करें।
उदाहरण:
उदाहरण:
स्केलर मामले
पूर्ण वर्ग का परिणाम सूत्र के रूप में लिखा जा सकता है। सामान्य मामले में, किसी के पास है[3]
यदि के लिए सूत्र सममित नहीं है और इसके लिए सामान्यीकृत किया जाना है:
ग्राफ से संबंध
विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, किसी द्विघात फलन के फलन का ग्राफ xy-तल में परवलय होता है। प्रपत्र के द्विघात बहुपद को देखते हुए
इसे देखने का एक तरीका यह ध्यान रखना है कि फलन का ग्राफ़ (गणित) f(x) = x2 परवलय है जिसका शीर्ष मूल बिंदु (0, 0) पर है। इसलिए, फलन का ग्राफ f(x − h) = (x − h)2 परवलय है जिसे h द्वारा दाईं ओर स्थानांतरित किया गया है जिसका शीर्ष (h, 0) पर है, जैसा कि शीर्ष आकृति में दिखाया गया है। इसके विपरीत, फलन का ग्राफ f(x) + k = x2 + k परवलय है जिसे ऊपर की ओर स्थानांतरित किया गया है k जिसका शीर्ष (0, k) पर है, जैसा कि केंद्र चित्र में दिखाया गया है। क्षैतिज और लम्बवत शिफ्ट दोनों को मिलाकर उत्पन्न होती है f(x − h) + k = (x − h)2 + k परवलय है जिसे दाईं ओर h स्थानांतरित किया गया है और ऊपर की ओर k जिसका शीर्ष पर है (h, k), जैसा कि नीचे की आकृति में दिखाया गया है।
द्विघात समीकरणों को हल करना
पूर्ण वर्ग का उपयोग किसी भी द्विघात समीकरण को हल करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:
अपरिमेय और समिश्र मूल
गुणनखंड से जुड़े तरीकों के विपरीत, समीकरण, जो केवल तभी विश्वसनीय होता है, जब मूल परिमेय संख्या हों, वर्ग को पूरा करने पर द्विघात समीकरण की मूल तब भी मिलेंगी, जब वे मूल अपरिमेय संख्या या समिश्र संख्या होते हैं। उदाहरण के लिए, समीकरण पर विचार करें
गैर-मोनिक मामले
गैर-मोनिक द्विघात वाले समीकरण के लिए, उन्हें हल करने का पहला चरण x2 के गुणांक से विभाजित करना है। उदाहरण के लिए:
अन्य अनुप्रयोग
समाकलन
पूर्ण वर्ग का उपयोग प्रपत्र के किसी भी समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जा सकता है
इम्पोटेंट आव्यूह
आव्यूह (गणित) M एक आदर्श आव्यूह है जब M2 = M है, इम्पोटेंट आव्यूह 0 और 1 के इम्पोटेंट गुणों का सामान्यीकरण करते हैं। समीकरण को संबोधित करने की वर्ग विधि का पूरा होना
आव्यूह प्रदान किया जाएगा जो वर्ग पूरा करने पर बन जाता है
ज्यामितीय परिप्रेक्ष्य
समीकरण के वर्ग को पूरा करने पर विचार करें
x2 को संयोजित करने का सरल प्रयास और bx आयतों को बड़े वर्ग में बदलने से प्रांत अप्राप्त हो जाते हैं। पद (b/2)2 उपरोक्त समीकरण के प्रत्येक पक्ष में जोड़ा गया अप्राप्त प्रांत का क्षेत्र है, जहां से वर्ग को पूरा करने वाली शब्दावली प्राप्त होती है।
तकनीक पर भिन्नता
जैसा कि पारंपरिक रूप से सिखाया जाता है, वर्ग को पूरा करने में तीसरा पद, v2 को जोड़ना सम्मिलित है
उदाहरण: धनात्मक संख्या का योग और उसका व्युत्क्रम
लेखन से
उदाहरण: एक साधारण चतुर्थांश बहुपद का गुणनखण्ड करना
बहुपद के गुणनखंडन की समस्या पर विचार करें
वही तर्क यह दर्शाता है हमेशा गुणनखंडनीय होता है
(जिसे सोफी जर्मेन ऑनर्स इन नंबर थ्योरी भी कहा जाता है।।
संदर्भ
- ↑ Tony Philips, "Completing the Square", American Mathematical Society Feature Column, 2020.
- ↑ Hughes, Barnabas. "वर्ग को पूर्ण करना - योग का प्रयोग कर द्विघात". Math Association of America. Retrieved 2022-10-21.
{{cite web}}
: CS1 maint: url-status (link) - ↑ Narasimhan, Revathi (2008). Precalculus: Building Concepts and Connections. Cengage Learning. pp. 133–134. ISBN 978-0-618-41301-0., Section Formula for the Vertex of a Quadratic Function, page 133–134, figure 2.4.8
- Algebra 1, Glencoe, ISBN 0-07-825083-8, pages 539–544
- Algebra 2, Saxon, ISBN 0-939798-62-X, pages 214–214, 241–242, 256–257, 398–401