पूर्ण वर्ग बनाना

प्रारम्भिक बीजगणित में, पूर्ण वर्ग बनाना द्विघात बहुपद को रूप में परिवर्तित करने की तकनीक है

$$ax^{2}+bx+c$$

रूप के लिए

$$a(x-h)^{2}+k$$

h और k के कुछ मानों के लिए।

दूसरे शब्दों में, वर्ग को पूरा करने से द्विघात व्यंजक के अंदर वर्ग संख्या गुणनखंडन हो जाता है।

वर्ग को पूरा करने में प्रयोग किया जाता है

• द्विघात समीकरण को हल करना,
• द्विघात सूत्र प्राप्त करना,
• रेखांकन द्विघात फलन,
• कैलकुलस में समाकलन का मूल्यांकन करना, जैसे कि घातांक में रेखीय शब्द के साथ गॉसियन समाकलन,
• लाप्लास रूपान्तर का अभिज्ञान करता है।

गणित में, पूर्ण वर्ग बनाना अधिकांशतः किसी भी संगणना में लागू किया जाता है जिसमें द्विघात बहुपद सम्मिलित होते हैं।

इतिहास

Further information: बीजगणित §  इतिहास

वर्ग को पूरा करने की तकनीक पुराने बेबीलोनियन साम्राज्य में जानी जाती थी।

मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी, एक प्रसिद्ध बहुश्रुत जिसने प्रारंभिक बीजगणित ग्रंथ अल-जब्र लिखा था, ने द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए वर्ग को पूरा करने की तकनीक का उपयोग किया था।

सिंहावलोकन

पृष्ठभूमि

द्विपद (बहुपद) के वर्ग (बीजगणित) की गणना के लिए प्राथमिक बीजगणित में सूत्र है:

$$(x+p)^{2}\,=\,x^{2}+2px+p^{2}.$$

उदाहरण के लिए:

$${\begin{alignedat}{2}(x+3)^{2}\,&=\,x^{2}+6x+9&&(p=3)\\[3pt](x-5)^{2}\,&=\,x^{2}-10x+25\qquad &&(p=-5).\end{alignedat}}$$

किसी भी पूर्ण वर्ग में, x का गुणांक संख्या p का दुगुना होता है, और अचर पद p² के बराबर होता है।

मूल उदाहरण

निम्नलिखित द्विघात बहुपद पर विचार करें:

$$x^{2}+10x+28.$$

यह द्विघात पूर्ण वर्ग नहीं है, क्योंकि 28, 5 का वर्ग नहीं है:

$$(x+5)^{2}\,=\,x^{2}+10x+25.$$

हालाँकि, मूल द्विघात को इस वर्ग और एक स्थिरांक के योग के रूप में लिखना संभव है:

$$x^{2}+10x+28\,=\,(x+5)^{2}+3.$$

इसे पूर्ण वर्ग बनाना कहा जाता है।

सामान्य विवरण

किसी भी मोनिक बहुपद द्विघात को देखते हुए

$$x^{2}+bx+c,$$

ऐसा वर्ग बनाना संभव है जिसके पहले दो पद समान हों:

$$\left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}\,=\,x^{2}+bx+{\tfrac {1}{4}}b^{2}.$$

यह वर्ग मूल द्विघात से केवल स्थिरांक के मान में भिन्न है। इसलिए हम लिख सकते हैं

$$x^{2}+bx+c\,=\,\left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}+k,$$

जहाँ $k=c-{\frac {b^{2}}{4}}$, इस ऑपरेशन को वर्ग को पूरा करने के रूप में जाना जाता है। उदाहरण के लिए:

$${\begin{alignedat}{1}x^{2}+6x+11\,&=\,(x+3)^{2}+2\\[3pt]x^{2}+14x+30\,&=\,(x+7)^{2}-19\\[3pt]x^{2}-2x+7\,&=\,(x-1)^{2}+6.\end{alignedat}}$$

गैर-मोनिक मामले प्रपत्र के द्विघात बहुपद को देखते हुए

$$ax^{2}+bx+c$$

गुणांक a को गुणनखंड करना संभव है, और फिर परिणामी मोनिक बहुपद के लिए वर्ग को पूरा करें।

उदाहरण:

$${\begin{aligned}3x^{2}+12x+27&=3[x^{2}+4x+9]\\&{}=3\left[(x+2)^{2}+5\right]\\&{}=3(x+2)^{2}+3(5)\\&{}=3(x+2)^{2}+15\end{aligned}}$$

गुणांक a को गुणनखंडित करने की इस प्रक्रिया को केवल पहले 2 पदों में से गुणनखंड करके और सरल बनाया जा सकता है। बहुपद के अंत में पूर्णांक को सम्मिलित करने की आवश्यकता नहीं है।

उदाहरण:

$${\begin{aligned}3x^{2}+12x+27&=3\left[x^{2}+4x\right]+27\\[1ex]&{}=3\left[(x+2)^{2}-4\right]+27\\[1ex]&{}=3(x+2)^{2}+3(-4)+27\\[1ex]&{}=3(x+2)^{2}-12+27\\[1ex]&{}=3(x+2)^{2}+15\end{aligned}}$$

यह किसी भी द्विघात बहुपद को रूप में लिखने की अनुमति देता है

$$a(x-h)^{2}+k.$$

सूत्र

स्केलर मामले

पूर्ण वर्ग का परिणाम सूत्र के रूप में लिखा जा सकता है। सामान्य मामले में, किसी के पास है

$$ax^{2}+bx+c=a(x-h)^{2}+k,$$

के साथ

$$h=-{\frac {b}{2a}}\quad {\text{and}}\quad k=c-ah^{2}=c-{\frac {b^{2}}{4a}}.$$

विशेष रूप से, जब a = 1, किसी के पास

$$x^{2}+bx+c=(x-h)^{2}+k,$$

के साथ

$$h=-{\frac {b}{2}}\quad {\text{and}}\quad k=c-h^{2}=c-{\frac {b^{2}}{4}}.$$

$a(x-h)^{2}+k=0$ समीकरण को हल करके $x-h,$ के अनुसार, और परिणामी व्यंजक को पुनर्गठित करते हुए, द्विघात समीकरण की मूल के लिए द्विघात सूत्र प्राप्त होता है:

$$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$$

आव्यूह मामले आव्यूह (गणित) का मामला बहुत समान दिखता है:

$$x^{\mathrm {T} }Ax+x^{\mathrm {T} }b+c=(x-h)^{\mathrm {T} }A(x-h)+k$$

जहाँ ${\textstyle h=-{\frac {1}{2}}A^{-1}b}$ और ${\textstyle k=c-{\frac {1}{4}}b^{\mathrm {T} }A^{-1}b}$, ध्यान दें कि $A$ सममित आव्यूह होना चाहिए।

यदि $A$ के लिए सूत्र सममित नहीं है $h$ और $k$ इसके लिए सामान्यीकृत किया जाना है:

$$h=-(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}b\quad {\text{and}}\quad k=c-h^{\mathrm {T} }Ah=c-b^{\mathrm {T} }(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}A(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}b$$

ग्राफ से संबंध

द्विघात फलनों के आलेखों को h = 0, 5, 10, और 15 द्वारा दाईं ओर शिफ्ट किया गया।

द्विघात फलनों के ग्राफ k = 0, 5, 10, और 15 द्वारा ऊपर की ओर शिफ्ट किए गए।

द्विघात फलनों के ग्राफ़ 0, 5, 10, और 15 द्वारा ऊपर की ओर और दाईं ओर खिसक गए।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, किसी द्विघात फलन के फलन का ग्राफ xy-तल में परवलय होता है। प्रपत्र के द्विघात बहुपद को देखते हुए

$$a(x-h)^{2}+k$$

संख्याओं h और k की व्याख्या परवलय के शीर्ष (वक्र) (या स्थिर बिंदु) के कार्तीय निर्देशांक के रूप में की जा सकती है। अर्थात, h सममिति के अक्ष का x-निर्देशांक है (अर्थात सममिति के अक्ष का समीकरण x = h है), और k द्विघात फलन का उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ (या उच्चिष्ठ मान, यदि a < 0) है।

इसे देखने का एक तरीका यह ध्यान रखना है कि फलन का ग्राफ़ (गणित) f(x) = x² परवलय है जिसका शीर्ष मूल बिंदु (0, 0) पर है। इसलिए, फलन का ग्राफ f(x − h) = (x − h)² परवलय है जिसे h द्वारा दाईं ओर स्थानांतरित किया गया है जिसका शीर्ष (h, 0) पर है, जैसा कि शीर्ष आकृति में दिखाया गया है। इसके विपरीत, फलन का ग्राफ f(x) + k = x² + k परवलय है जिसे ऊपर की ओर स्थानांतरित किया गया है k जिसका शीर्ष (0, k) पर है, जैसा कि केंद्र चित्र में दिखाया गया है। क्षैतिज और लम्बवत शिफ्ट दोनों को मिलाकर उत्पन्न होती है f(x − h) + k = (x − h)² + k परवलय है जिसे दाईं ओर h स्थानांतरित किया गया है और ऊपर की ओर k जिसका शीर्ष पर है (h, k), जैसा कि नीचे की आकृति में दिखाया गया है।

द्विघात समीकरणों को हल करना

पूर्ण वर्ग का उपयोग किसी भी द्विघात समीकरण को हल करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:

$$x^{2}+6x+5=0.$$

वर्ग को पूरा करने के लिए पहला कदम है:

$$(x+3)^{2}-4=0.$$

अगला हम वर्गकित पद के लिए हल करते हैं:

$$(x+3)^{2}=4.$$

फिर या तो

$$x+3=-2\quad {\text{or}}\quad x+3=2,$$

और इसलिए

$$x=-5\quad {\text{or}}\quad x=-1.$$

इसे किसी भी द्विघात समीकरण पर लागू किया जा सकता है। जब x² का गुणांक 1 के अतिरिक्त है, पहला चरण इस गुणांक द्वारा समीकरण को विभाजित करना है: उदाहरण के लिए नीचे गैर-मोनिक मामला देखें।

अपरिमेय और समिश्र मूल

गुणनखंड से जुड़े तरीकों के विपरीत, समीकरण, जो केवल तभी विश्वसनीय होता है, जब मूल परिमेय संख्या हों, वर्ग को पूरा करने पर द्विघात समीकरण की मूल तब भी मिलेंगी, जब वे मूल अपरिमेय संख्या या समिश्र संख्या होते हैं। उदाहरण के लिए, समीकरण पर विचार करें

$$x^{2}-10x+18=0.$$

पूर्ण वर्ग बनाना देता है

$$(x-5)^{2}-7=0,$$

इसलिए

$$(x-5)^{2}=7.$$

फिर या तो

$$x-5=-{\sqrt {7}}\quad {\text{or}}\quad x-5={\sqrt {7}}.$$

छोटी भाषा में:

$$x-5=\pm {\sqrt {7}},$$

इसलिए

$$x=5\pm {\sqrt {7}}.$$

समिश्र मूल वाले समीकरणों को उसी तरह से संभाला जा सकता है। उदाहरण के लिए:

$${\begin{aligned}x^{2}+4x+5&=0\\[6pt](x+2)^{2}+1&=0\\[6pt](x+2)^{2}&=-1\\[6pt]x+2&=\pm i\\[6pt]x&=-2\pm i.\end{aligned}}$$

गैर-मोनिक मामले

गैर-मोनिक द्विघात वाले समीकरण के लिए, उन्हें हल करने का पहला चरण x² के गुणांक से विभाजित करना है। उदाहरण के लिए:

$${\begin{array}{c}2x^{2}+7x+6\,=\,0\\[6pt]x^{2}+{\tfrac {7}{2}}x+3\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}-{\tfrac {1}{16}}\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}\,=\,{\tfrac {1}{16}}\\[6pt]x+{\tfrac {7}{4}}={\tfrac {1}{4}}\quad {\text{or}}\quad x+{\tfrac {7}{4}}=-{\tfrac {1}{4}}\\[6pt]x=-{\tfrac {3}{2}}\quad {\text{or}}\quad x=-2.\end{array}}$$

इस प्रक्रिया को द्विघात समीकरण के सामान्य रूप में लागू करने से द्विघात सूत्र की व्युत्पत्ति होती है।

अन्य अनुप्रयोग

समाकलन

पूर्ण वर्ग का उपयोग प्रपत्र के किसी भी समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जा सकता है

$$\int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}$$

बुनियादी समाकलन का उपयोग करना

$$\int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2a}}\ln \left|{\frac {x-a}{x+a}}\right|+C\quad {\text{and}}\quad \int {\frac {dx}{x^{2}+a^{2}}}={\frac {1}{a}}\arctan \left({\frac {x}{a}}\right)+C.$$

उदाहरण के लिए, समाकलन पर विचार करें

$$\int {\frac {dx}{x^{2}+6x+13}}.$$

हर में वर्ग को पूरा करने पर मिलता है:

$$\int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,\int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+2^{2}}}.$$

यह अब प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन का उपयोग करके मूल्यांकन किया जा सकता है u = x + 3, जो देता है

$$\int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,{\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {x+3}{2}}\right)+C.$$

समिश्र संख्या व्यंजक पर विचार करें

$$|z|^{2}-b^{*}z-bz^{*}+c,$$

जहाँ z और b सम्मिश्र संख्याएँ हैं, z^* और b^* क्रमशः z और b के सम्मिश्र संयुग्म हैं, और c वास्तविक संख्या है। पहचान का उपयोग करना |u|² = uu^* हम इसे इस रूप में फिर से लिख सकते हैं

$$|z-b|^{2}-|b|^{2}+c,$$

जो स्पष्ट रूप से वास्तविक मात्रा है। यह है क्योंकि

$${\begin{aligned}|z-b|^{2}&{}=(z-b)(z-b)^{*}\\&{}=(z-b)(z^{*}-b^{*})\\&{}=zz^{*}-zb^{*}-bz^{*}+bb^{*}\\&{}=|z|^{2}-zb^{*}-bz^{*}+|b|^{2}.\end{aligned}}$$

एक अन्य उदाहरण के रूप में, व्यंजक

$$ax^{2}+by^{2}+c,$$

जहाँ a, b, c, x, और y वास्तविक संख्याएँ हैं, a > 0 और b > 0 के साथ, किसी सम्मिश्र संख्या के निरपेक्ष मान के वर्ग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। परिभाषित करना

$$z={\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y.$$

तब

$${\begin{aligned}|z|^{2}&{}=zz^{*}\\[1ex]&{}=\left({\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y\right)\left({\sqrt {a}}\,x-i{\sqrt {b}}\,y\right)\\[1ex]&{}=ax^{2}-i{\sqrt {ab}}\,xy+i{\sqrt {ba}}\,yx-i^{2}by^{2}\\[1ex]&{}=ax^{2}+by^{2},\end{aligned}}$$

इसलिए

$$ax^{2}+by^{2}+c=|z|^{2}+c.$$

इम्पोटेंट आव्यूह

आव्यूह (गणित) M एक आदर्श आव्यूह है जब M² = M है, इम्पोटेंट आव्यूह 0 और 1 के इम्पोटेंट गुणों का सामान्यीकरण करते हैं। समीकरण को संबोधित करने की वर्ग विधि का पूरा होना

$$a^{2}+b^{2}=a,$$

दिखाता है कि कुछ इम्पोटेंट 2×2 मेट्रिसेस (a,b) - तल में वृत्त द्वारा प्राचलीकरण हैं:

आव्यूह ${\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}$ प्रदान किया जाएगा $a^{2}+b^{2}=a,$ जो वर्ग पूरा करने पर बन जाता है

$$(a-{\tfrac {1}{2}})^{2}+b^{2}={\tfrac {1}{4}}.$$

(a,b)-तल में, यह केंद्र (1/2, 0) और त्रिज्या 1/2 वाले वृत्त का समीकरण है।

ज्यामितीय परिप्रेक्ष्य

समीकरण के वर्ग को पूरा करने पर विचार करें

$$x^{2}+bx=a.$$

चूंकि x² लंबाई x की भुजा वाले वर्ग के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है, और bx भुजाओं b और x के साथ आयत के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है, वर्ग को पूरा करने की प्रक्रिया को आयतों के दृश्य परिचालन के रूप में देखा जा सकता है।

x² को संयोजित करने का सरल प्रयास और bx आयतों को बड़े वर्ग में बदलने से प्रांत अप्राप्त हो जाते हैं। पद (b/2)² उपरोक्त समीकरण के प्रत्येक पक्ष में जोड़ा गया अप्राप्त प्रांत का क्षेत्र है, जहां से वर्ग को पूरा करने वाली शब्दावली प्राप्त होती है।

तकनीक पर भिन्नता

जैसा कि पारंपरिक रूप से सिखाया जाता है, वर्ग को पूरा करने में तीसरा पद, v² को जोड़ना सम्मिलित है

$$u^{2}+2uv$$

वर्ग प्राप्त करने के लिए है। ऐसे मामले भी हैं जिनमें मध्य पद जोड़ा जा सकता है, या तो 2uv या −2uv,

$$u^{2}+v^{2}$$

वर्ग प्राप्त करने के लिए है।

उदाहरण: धनात्मक संख्या का योग और उसका व्युत्क्रम

लेखन से

$${\begin{aligned}x+{1 \over x}&{}=\left(x-2+{1 \over x}\right)+2\\&{}=\left({\sqrt {x}}-{1 \over {\sqrt {x}}}\right)^{2}+2\end{aligned}}$$

हम दिखाते हैं कि धनात्मक संख्या x और उसके व्युत्क्रम का योग हमेशा 2 से अधिक या उसके बराबर होता है। वास्तविक व्यंजक का वर्ग हमेशा शून्य से अधिक या उसके बराबर होता है, जो कथित सीमा देता है; और यहाँ हम 2 प्राप्त करते हैं जब x, 1 होता है, जिससे वर्ग अप्राप्त हो जाता है।

उदाहरण: एक साधारण चतुर्थांश बहुपद का गुणनखण्ड करना

बहुपद के गुणनखंडन की समस्या पर विचार करें

$$x^{4}+324.$$

यह है

$$(x^{2})^{2}+(18)^{2},$$

इसलिए मध्य पद 2(x²)(18) = 36x²। इस प्रकार हम प्राप्त करते हैं

$${\begin{aligned}x^{4}+324&{}=(x^{4}+36x^{2}+324)-36x^{2}\\&{}=(x^{2}+18)^{2}-(6x)^{2}={\text{a difference of two squares}}\\&{}=(x^{2}+18+6x)(x^{2}+18-6x)\\&{}=(x^{2}+6x+18)(x^{2}-6x+18)\end{aligned}}$$

(अंतिम पंक्ति केवल शर्तों की घटती डिग्री के पद का पालन करने के लिए जोड़ी जा रही है)।

वही तर्क यह दर्शाता है $x^{4}+4a^{4}$ हमेशा गुणनखंडनीय होता है

$$x^{4}+4a^{4}=\left(x^{2}+2ax+2a^{2}\right)\left(x^{2}-2ax+2a^{2}\right)$$

(जिसे सोफी जर्मेन ऑनर्स इन नंबर थ्योरी भी कहा जाता है।।

संदर्भ

• Algebra 1, Glencoe, ISBN 0-07-825083-8, pages 539–544
• Algebra 2, Saxon, ISBN 0-939798-62-X, pages 214–214, 241–242, 256–257, 398–401

बाहरी संबंध

• Completing the square at PlanetMath.