व्युत्पत्ति (अंतर बीजगणित): Difference between revisions

Latest revision as of 13:37, 28 August 2023

गणित में, व्युत्पत्ति बीजगणित का फलन है जो अवकलज की कुछ विशेषताओं को सामान्यीकृत करता है। विशेष रूप से, वलय (गणित) या क्षेत्र (गणित) K पर बीजगणित A दिया गया है, K-व्युत्पत्ति एक K-रैखिक मानचित्र है D : A → A जो लीबनिज का नियम को आपूर्ति करता है:

D(ab)=aD(b)+D(a)b.

सामान्यतः यदि M एक A-द्विप्रतिरूपक है, तो K-रैखिक मानचित्र D : A → M जो लीबनिज नियम को आपूर्ति करता है उसे व्युत्पत्ति भी कहा जाता है। A के सभी K-व्युत्पत्ति का संग्रह Der_K(A) द्वारा निरूपित किया जाता है। A-मापांक M में A के K-व्युत्पत्ति का संग्रह Der_K(A, M) द्वारा दर्शाया गया है।

गणित के विविध क्षेत्रों में कई अलग-अलग संदर्भों में व्युत्पत्ति होती हैं। एक चर के संबंध में आंशिक व्युत्पत्ति Rⁿ पर वास्तविक- मान अलग-अलग फलन के बीजगणित पर एक R-व्युत्पत्ति । एक सदिश क्षेत्र के संबंध में लाई व्युत्पत्ति अलग-अलग डिफरेंशियल मैनिफोल्ड पर अलग-अलग फलन के बीजगणित पर एक R-व्युत्पत्ति है; सामान्यतः यह कई गुना अधिक के प्रदिश बीजगणित पर व्युत्पत्ति है। यह इस प्रकार है कि लाई बीजगणित का संलग्न प्रतिरूपण उस बीजगणित पर व्युत्पत्ति है। पिंचरले व्युत्पत्ति अमूर्त बीजगणित में व्युत्पत्ति का एक उदाहरण है। यदि बीजगणित A गैर विनिमेय है, तो बीजगणित A के तत्व के संबंध में दिक्परिवर्तक A के रैखिक अंतःरूपता को परिभाषित करता है, जो कि K पर व्युत्पत्ति है।

[FG,N]=[F,N]G+F[G,N]

जहाँ $[\cdot ,N]$ के संबंध में कम्यूटेटर है $N$ । बीजगणित A एक विशिष्ट व्युत्पत्ति से सुसज्जित है जो अवकल बीजगणित बनाता है, और यह स्वयं अंतर गैलोज़ सिद्धांत जैसे क्षेत्रों में अध्ययन का एक महत्वपूर्ण उद्देश्य है।

गुण

यदि A एक K-बीजगणित है, K के लिए एक वलय है, और $D : A \to A$ एक K-व्युत्पत्ति है, फिर

यदि A की इकाई 1 है, तो D(1) = D(1²) = 2D(1), जिससे कि D(1) = 0, इस प्रकार K-रैखिकता द्वारा, D(k) = 0 सभी $k \in K$ के लिए
यदि A क्रमविनिमेय है, तो D(x²) = xD(x) + D(x)x = 2xD(x), और D(xⁿ) = nxⁿ⁻¹D(x), लीबनिज़ नियम द्वारा।
सामान्यतः किसी के लिए $x 1, x 2, \dots, x n \in A$ , यह गणितीय आगमन द्वारा अनुसरण करता है

D(x_{1}x_{2}\cdots x_{n})=\sum _{i}x_{1}\cdots x_{i-1}D(x_{i})x_{i+1}\cdots x_{n}

जो है

{\textstyle \sum _{i}D(x_{i})\prod _{j\neq i}x_{j}}

यदि

i

सभी के लिए,

D (x i)

,

x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i-1}

के साथ अभिगम है

n > 1 के लिए, Dⁿ व्युत्पत्ति नहीं है, इसके बजाय उच्च-क्रम लीबनिज़ नियम को आपूर्ति करता है:

D^{n}(uv)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cdot D^{n-k}(u)\cdot D^{k}(v).

इसके अतिरिक्त, यदि M एक A-द्विप्रतिरूपक है, तो लिखें

\operatorname {Der} _{K}(A,M)

A से M तक K-व्युत्पत्ति के समुच्चय के लिए।

Der_K(A, M), K के ऊपर मापांक (गणित) है।
Der_K(A) दिक्परिवर्तक द्वारा परिभाषित लाई ब्रैकेट के साथ लाई बीजगणित है:

[D_{1},D_{2}]=D_{1}\circ D_{2}-D_{2}\circ D_{1}.

चूंकि यह आसानी से सत्यापित है कि दो व्युत्पत्तियों का दिक्परिवर्तक फिर से एक व्युत्पत्ति है।

A-मापांक $Ω A / K$ है (कह्लर अवकलन कहा जाता है) K-व्युत्पत्ति के साथ $d : A \to Ω A / K$ जिसके माध्यम से कोई व्युत्पत्ति $D : A \to M$ कारक है। यही है, किसी भी व्युत्पत्ति D के लिए A-मापांक मैप $φ$ है

D:A{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\Omega _{A/K}{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}M

समतुल्यता

D\leftrightarrow \varphi

A-मापांक का समरूपता है:

\operatorname {Der} _{K}(A,M)\simeq \operatorname {Hom} _{A}(\Omega _{A/K},M)

यदि $k \subset K$ एक सबरिंग है, तो A को k-बीजगणित संरचना आनुवंसिक है, इसलिए इसमें समावेश है

\operatorname {Der} _{K}(A,M)\subset \operatorname {Der} _{k}(A,M),

चूँकि कोई भी K-व्युत्पत्ति एक फोर्टियरी k-व्युत्पत्ति है।

वर्गीकृत व्युत्पत्ति

वर्गीकृत बीजगणित A और वर्गीकरण के सजातीय रैखिक मानचित्र D को देखते हुए |D| A पर, D सजातीय व्युत्पत्ति है यदि

{D(ab)=D(a)b+\varepsilon ^{|a||D|}aD(b)}

दिक्परिवर्तक कारक के लिए प्रत्येक सजातीय तत्व a और A के प्रत्येक तत्व b के लिए ε = ±1, वर्गीकृत व्युत्पत्ति समान ε वाले सजातीय व्युत्पत्तियों का योग है।

यदि ε = 1, यह परिभाषा सामान्य मामले में कम हो जाती है। यदि ε = −1, तथापि, तब

{D(ab)=D(a)b+(-1)^{|a|}aD(b)}

विषम के लिए |D|, और D को विरोधी-व्युत्पत्ति कहा जाता है।

विरोधी व्युत्पत्तियों के उदाहरणों में बाह्य व्युत्पत्ति और विभेदक रूप पर कार्यकारी करने वाले आंतरिक उत्पाद सम्मिलित हैं।

सुपरएलजेब्रा की श्रेणीबद्ध व्युत्पत्ति (अर्थात Z₂-श्रेणीबद्ध बीजगणित) को अधिकांशतः सुपरडेरिवेशन कहा जाता है।

यह भी देखें

अवकल ज्यामिति व्युत्पत्ति में टेंगेंट स्पेस डेफिनिशन वाया व्युत्पत्ति है
काहलर अवकल
हस्से व्युत्पत्ति
p-व्युत्पत्ति
विर्टिंगर व्युत्पत्ति
घातीय मानचित्र का व्युत्पत्ति

संदर्भ

Bourbaki, Nicolas (1989), Algebra I, Elements of mathematics, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9.
Eisenbud, David (1999), Commutative algebra with a view toward algebraic geometry (3rd. ed.), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94269-8.
Matsumura, Hideyuki (1970), Commutative algebra, Mathematics lecture note series, W. A. Benjamin, ISBN 978-0-8053-7025-6.
Kolař, Ivan; Slovák, Jan; Michor, Peter W. (1993), Natural operations in differential geometry, Springer-Verlag.

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-गणित में, अवकलज [[एक क्षेत्र पर बीजगणित|बीजगणित]] पर फलन है जो अवकलज संकारक की कुछ विशेषताओं को सामान्यीकृत करता है। विशेष रूप से, वलय (गणित) या [[क्षेत्र (गणित)]] ''K'' के ऊपर बीजगणित ''A'' दिया गया है, ''K''-अवकलज एक ''K''-रैखिक मानचित्र है {{nowrap|''D'' : ''A'' → ''A''}} जो लीबनिज का नियम को आपूर्ति करता है|:
+गणित में, '''व्युत्पत्ति''' [[एक क्षेत्र पर बीजगणित|बीजगणित]] का फलन है जो अवकलज की कुछ विशेषताओं को सामान्यीकृत करता है। विशेष रूप से, वलय (गणित) या [[क्षेत्र (गणित)]] ''K'' पर बीजगणित ''A'' दिया गया है, ''K''-व्युत्पत्ति एक ''K''-रैखिक मानचित्र है {{nowrap|''D'' : ''A'' → ''A''}} जो लीबनिज का नियम को आपूर्ति करता है:
 :<math> D(ab) = a D(b) + D(a) b.</math>
-अधिक आम तौर पर, यदि ''M'' एक ''A''-द्विप्रतिरूपक है, तो ''K-''रैखिक मानचित्र {{nowrap|''D'' : ''A'' → ''M''}} जो लीबनिज नियम को आपूर्ति करता है उसे अवकलज भी कहा जाता है। ''A'' के सभी ''K-''अवकलज का संग्रह Der<sub>''K''</sub>(''A'') द्वारा निरूपित किया जाता है। ''A''-मॉड्यूल ''M'' में ''A'' के ''K''-अवकलज का संग्रह {{nowrap|Der<sub>''K''</sub>(''A'', ''M'')}} द्वारा दर्शाया गया है।
+सामान्यतः यदि ''M'' एक ''A''-द्विप्रतिरूपक है, तो ''K-''रैखिक मानचित्र {{nowrap|''D'' : ''A'' → ''M''}} जो लीबनिज नियम को आपूर्ति करता है उसे व्युत्पत्ति भी कहा जाता है। ''A'' के सभी ''K-''व्युत्पत्ति का संग्रह Der<sub>''K''</sub>(''A'') द्वारा निरूपित किया जाता है। ''A''-मापांक ''M'' में ''A'' के ''K''-व्युत्पत्ति का संग्रह {{nowrap|Der<sub>''K''</sub>(''A'', ''M'')}} द्वारा दर्शाया गया है।
-गणित के विविध क्षेत्रों में कई अलग-अलग संदर्भों में अवकलज होती हैं। एक चर के संबंध में [[आंशिक व्युत्पन्न|आंशिक अवकलज]] '''R'''<sup>''n''</sup> पर वास्तविक- मान अलग-अलग फलन के बीजगणित पर एक '''R'''-अवकलज । एक सदिश क्षेत्र के संबंध में [[झूठ व्युत्पन्न|लाई अवकलज]] अलग-अलग [[अलग करने योग्य कई गुना|डिफरेंशियल मैनिफोल्ड]] पर अलग-अलग फलन के बीजगणित पर एक '''R'''-अवकलज है; आम तौर पर यह कई गुना अधिक के [[टेंसर बीजगणित|प्रदिश बीजगणित]] पर अवकलज है। यह इस प्रकार है कि [[झूठ बीजगणित का आसन्न प्रतिनिधित्व|लाई बीजगणित का संलग्न  प्रतिरूपण]] उस बीजगणित पर अवकलज है। पिंचरले अवकलज [[सार बीजगणित|अमूर्त बीजगणित]] में अवकलज का एक उदाहरण है। यदि बीजगणित A गैर विनिमेय है, तो बीजगणित A के तत्व के संबंध में [[कम्यूटेटर]] A के रैखिक [[एंडोमोर्फिज्म|अंतःरूपता]] को परिभाषित करता है, जो कि ''K'' पर अवकलज है।
+गणित के विविध क्षेत्रों में कई अलग-अलग संदर्भों में व्युत्पत्ति होती हैं। एक चर के संबंध में [[आंशिक व्युत्पन्न|आंशिक व्युत्पत्ति]] '''R'''<sup>''n''</sup> पर वास्तविक- मान अलग-अलग फलन के बीजगणित पर एक '''R'''-व्युत्पत्ति । एक सदिश क्षेत्र के संबंध में [[झूठ व्युत्पन्न|लाई व्युत्पत्ति]] अलग-अलग [[अलग करने योग्य कई गुना|डिफरेंशियल मैनिफोल्ड]] पर अलग-अलग फलन के बीजगणित पर एक '''R'''-व्युत्पत्ति है; सामान्यतः यह कई गुना अधिक के [[टेंसर बीजगणित|प्रदिश बीजगणित]] पर व्युत्पत्ति है। यह इस प्रकार है कि [[झूठ बीजगणित का आसन्न प्रतिनिधित्व|लाई बीजगणित का संलग्न  प्रतिरूपण]] उस बीजगणित पर व्युत्पत्ति है। पिंचरले व्युत्पत्ति [[सार बीजगणित|अमूर्त बीजगणित]] में व्युत्पत्ति का एक उदाहरण है। यदि बीजगणित A गैर विनिमेय है, तो बीजगणित A के तत्व के संबंध में [[कम्यूटेटर|दिक्परिवर्तक]] A के रैखिक [[एंडोमोर्फिज्म|अंतःरूपता]] को परिभाषित करता है, जो कि ''K'' पर व्युत्पत्ति है।
 :<math>[FG,N]=[F,N]G+F[G,N]</math>
-जहाँ <math>[\cdot,N]</math> के संबंध में <math>N</math> कम्यूटेटर है। विशिष्ट अवकलज ''d'' से लैस बीजगणित [[अंतर बीजगणित|अवकल बीजगणित]] बनाता है, और यह अपने आप में अवकल गैलोज़ सिद्धांत जैसे क्षेत्रों में अध्ययन का महत्वपूर्ण उद्देश्य है।
+जहाँ <math>[\cdot,N]</math> के संबंध में कम्यूटेटर है<math>N</math>। बीजगणित A एक विशिष्ट व्युत्पत्ति से सुसज्जित है जो [[अंतर बीजगणित|अवकल बीजगणित]] बनाता है, और यह स्वयं अंतर गैलोज़ सिद्धांत जैसे क्षेत्रों में अध्ययन का एक महत्वपूर्ण उद्देश्य है।
 == गुण ==
-यदि A एक के-बीजगणित है, के लिए एक अंगूठी है, और {{math|''D'': ''A'' → ''A''}} एक के-अवकलज है, फिर
+यदि ''A'' एक ''K''-बीजगणित है, ''K'' के लिए एक वलय है, और {{math|''D'': ''A'' → ''A''}} एक ''K''-व्युत्पत्ति है, फिर
-* यदि A की इकाई 1 है, तो D(1) = D(1<sup>2</sup>) = 2D(1), ताकि D(1) = 0. इस प्रकार K-रैखिकता द्वारा, D(k) = 0 सभी के लिए {{math|''k'' ∈ ''K''}}.
+* यदि ''A'' की इकाई 1 है, तो ''D(1) = D(1<sup>2</sup>) = 2D(1)'', जिससे कि ''D(1) = 0,'' इस प्रकार ''K-''रैखिकता द्वारा, ''D(k) = 0'' सभी {{math|''k'' ∈ ''K''}} के लिए
-* यदि A क्रमविनिमेय है, तो D(x<sup>2</sup>) = xD(x) + D(x)x = 2xD(x), और D(x)<sup>n</sup>) = nx<sup>n−1</sup>D(x), लीबनिज़ नियम द्वारा।
+* यदि A क्रमविनिमेय है, तो ''D(x<sup>2</sup>) = xD(x) + D(x)x = 2xD(x)'', और ''D(x<sup>n</sup>) '''=''''' ''nx<sup>n−1</sup>D(x)'', लीबनिज़ नियम द्वारा।
-* अधिक आम तौर पर, किसी के लिए {{math|''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, …, ''x''<sub>''n''</sub> ∈ ''A''}}, यह [[गणितीय प्रेरण]] द्वारा अनुसरण करता है
+* सामान्यतः किसी के लिए {{math|''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, …, ''x''<sub>''n''</sub> ∈ ''A''}}, यह [[गणितीय प्रेरण|गणितीय आगमन]] द्वारा अनुसरण करता है
 ::<math>D(x_1x_2\cdots x_n) = \sum_i x_1\cdots x_{i-1}D(x_i)x_{i+1}\cdots x_n  </math>
-: जो है <math display="inline">\sum_i D(x_i)\prod_{j\neq i}x_j</math> अगर सभी के लिए {{mvar|i}}, {{math|''D''(''x<sub>i</sub>'')}} के साथ यात्रा करता है <math>x_1,x_2,\ldots, x_{i-1}</math>.
+: जो है <math display="inline">\sum_i D(x_i)\prod_{j\neq i}x_j</math> यदि {{mvar|i}} सभी के लिए, {{math|''D''(''x<sub>i</sub>'')}}, <math>x_1,x_2,\ldots, x_{i-1}</math>के साथ अभिगम है
-* एन> 1 के लिए, डी<sup>n</sup> एक अवकलज नहीं है, इसके बजाय एक उच्च-क्रम लीबनिज़ नियम को आपूर्ति करता है:
+* ''n'' > 1 के लिए, ''D<sup>n</sup>'' व्युत्पत्ति नहीं है, इसके बजाय उच्च-क्रम लीबनिज़ नियम को आपूर्ति करता है:
 ::<math>D^n(uv) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cdot D^{n-k}(u)\cdot  D^k(v).</math>
-: इसके अलावा, यदि M एक A-द्विप्रतिरूपक है, तो लिखें
+: इसके अतिरिक्त, यदि ''M'' एक ''A''-द्विप्रतिरूपक है, तो लिखें
 :: <math> \operatorname{Der}_K(A,M)</math>
-: A से M तक K-अवकलज के सेट के लिए।
+: ''A'' से ''M'' तक ''K''-व्युत्पत्ति के समुच्चय के लिए।
-* {{nowrap|Der<sub>''K''</sub>(''A'', ''M'')}} K के ऊपर एक [[मॉड्यूल (गणित)]] है।
+* {{nowrap|Der<sub>''K''</sub>(''A'', ''M'')}}, K के ऊपर [[मॉड्यूल (गणित)|मापांक (गणित)]] है।
-* डेर<sub>''K''</sub>(A) कम्यूटेटर द्वारा परिभाषित लाई ब्रैकेट के साथ एक लेट बीजगणित है:
+* Der<sub>''K''</sub>(''A'') दिक्परिवर्तक द्वारा परिभाषित लाई ब्रैकेट के साथ लाई बीजगणित है:
 ::<math>[D_1,D_2] = D_1\circ D_2 - D_2\circ D_1.</math>
-: चूंकि यह आसानी से सत्यापित है कि दो व्युत्पत्तियों का कम्यूटेटर फिर से एक अवकलज है।
+: चूंकि यह आसानी से सत्यापित है कि दो व्युत्पत्तियों का दिक्परिवर्तक फिर से एक व्युत्पत्ति है।
-* एक A-मॉड्यूल है {{math|Ω<sub>''A''/''K''</sub>}} (कह्लर अवकलन कहा जाता है) K-अवकलज के साथ {{math|''d'': ''A'' → Ω<sub>''A''/''K''</sub>}} जिसके माध्यम से कोई अवकलज {{math|''D'': ''A'' → ''M''}} कारक। यही है, किसी भी अवकलज डी के लिए A-मॉड्यूल नक्शा है {{mvar|φ}} साथ
+* A-मापांक {{math|Ω<sub>''A''/''K''</sub>}} है  (कह्लर अवकलन कहा जाता है) K-व्युत्पत्ति के साथ {{math|''d'': ''A'' → Ω<sub>''A''/''K''</sub>}} जिसके माध्यम से कोई व्युत्पत्ति {{math|''D'': ''A'' → ''M''}} कारक है। यही है, किसी भी व्युत्पत्ति ''D'' के लिए A-मापांक मैप {{mvar|φ}} है
 :: <math> D: A\stackrel{d}{\longrightarrow} \Omega_{A/K}\stackrel{\varphi}{\longrightarrow} M </math>
-: पत्राचार <math> D\leftrightarrow \varphi</math> A-मॉड्यूल का एक समरूपता है:
+: समतुल्यता <math> D\leftrightarrow \varphi</math> A-मापांक का समरूपता है:
 :: <math> \operatorname{Der}_K(A,M)\simeq \operatorname{Hom}_{A}(\Omega_{A/K},M)</math>
-*अगर {{math|''k'' ⊂ ''K''}} एक [[सबरिंग]] है, तो A को k-बीजगणित संरचना विरासत में मिली है, इसलिए इसमें एक समावेश है
+*यदि {{math|''k'' ⊂ ''K''}} एक [[सबरिंग]] है, तो ''A'' को ''k''-बीजगणित संरचना आनुवंसिक है, इसलिए इसमें समावेश है
 ::<math>\operatorname{Der}_K(A,M)\subset \operatorname{Der}_k(A,M) ,</math>
-: चूँकि कोई भी K-अवकलज एक fortiori k-अवकलज है।
+: चूँकि कोई भी ''K''-व्युत्पत्ति एक फोर्टियरी ''k''-व्युत्पत्ति है।
-== वर्गीकृत अवकलज ==
+== वर्गीकृत व्युत्पत्ति ==
-{{Anchor|Homogeneous derivation|Graded derivation}}
+[[वर्गीकृत बीजगणित]] ''A'' और वर्गीकरण के सजातीय रैखिक मानचित्र ''D'' को देखते हुए {{abs|''D''}} ''A'' पर, ''D'' '''सजातीय व्युत्पत्ति''' है यदि
-एक [[वर्गीकृत बीजगणित]] A और ग्रेड के एक सजातीय रैखिक मानचित्र डी को देखते हुए {{abs|''D''}} A पर, डी एक 'सजातीय अवकलज' है अगर
 :<math>{D(ab)=D(a)b+\varepsilon^{|a||D|}aD(b)}</math>
-कम्यूटेटर कारक के लिए प्रत्येक सजातीय तत्व A और A के प्रत्येक तत्व बी के लिए {{nowrap|1=''ε'' = ±1}}. एक श्रेणीबद्ध अवकलज समान ''ε'' वाले सजातीय व्युत्पत्तियों का योग है।
+दिक्परिवर्तक कारक के लिए प्रत्येक सजातीय तत्व ''a'' और ''A'' के प्रत्येक तत्व ''b'' के लिए {{nowrap|1=''ε'' = ±1}}, '''वर्गीकृत व्युत्पत्ति''' समान ''ε'' वाले सजातीय व्युत्पत्तियों का योग है।
-अगर {{nowrap|1=''ε'' = 1}}, यह परिभाषा सामान्य मामले में कम हो जाती है। अगर {{nowrap|1=''ε'' = &minus;1}}, तथापि, तब
+यदि {{nowrap|1=''ε'' = 1}}, यह परिभाषा सामान्य मामले में कम हो जाती है। यदि {{nowrap|1=''ε'' = &minus;1}}, तथापि, तब
-:<math>{D(ab)=D(a)b+(-1)^{|a|}aD(b)}</math> विषम के लिए {{abs|''D''}}, और D को 'एंटी-अवकलज' कहा जाता है।
+:<math>{D(ab)=D(a)b+(-1)^{|a|}aD(b)}</math>
+:विषम के लिए {{abs|''D''}}, और D को '''विरोधी-व्युत्पत्ति''' कहा जाता है।
-विरोधी व्युत्पत्तियों के उदाहरणों में [[बाहरी व्युत्पन्न|बाहरी अवकलज]] और [[विभेदक रूप]]ों पर अभिनय करने वाले [[आंतरिक उत्पाद]] शामिल हैं।
+विरोधी व्युत्पत्तियों के उदाहरणों में [[बाहरी व्युत्पन्न|बाह्य व्युत्पत्ति]] और [[विभेदक रूप]] पर कार्यकारी करने वाले [[आंतरिक उत्पाद]] सम्मिलित हैं।
-[[algebra]] की श्रेणीबद्ध अवकलज (अर्थात 'Z'<sub>2</sub>-श्रेणीबद्ध बीजगणित) को अक्सर सुपरडेरिवेशन कहा जाता है।
+[[algebra|सुपरएलजेब्रा]] की श्रेणीबद्ध व्युत्पत्ति (अर्थात '''Z'''<sub>2</sub>-श्रेणीबद्ध बीजगणित) को अधिकांशतः '''सुपरडेरिवेशन''' कहा जाता है।
 == संबंधित धारणाएं ==
-हस्से-श्मिट अवकलज K-बीजगणित समाकारिता हैं
+हस्से-श्मिट व्युत्पत्ति K-बीजगणित समाकारिता हैं
 :<math>A \to A[[t]].</math>
-मानचित्र के साथ आगे रचना करना जो एक [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला]] भेजता है <math>\sum a_n t^n</math> गुणांक के लिए <math>a_1</math> अवकलज देता है।
+मानचित्र के साथ आगे रचना करना जो [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला]] भेजता है <math>\sum a_n t^n</math> गुणांक के लिए <math>a_1</math> व्युत्पत्ति देता है।
 == यह भी देखें ==
-*[[ अंतर ज्यामिति | अवकल ज्यामिति]]  अवकलज में टेंगेंट स्पेस#डेफिनिशन वाया अवकलज है
+*[[ अंतर ज्यामिति |अवकल ज्यामिति]]  व्युत्पत्ति में टेंगेंट स्पेस डेफिनिशन वाया व्युत्पत्ति है
 * काहलर अवकल
-* [[डेरिवेटिव से नफरत है]]
+* हस्से [[डेरिवेटिव से नफरत है|व्युत्पत्ति]]
-*p-अवकलज|p-अवकलज
+*p-व्युत्पत्ति
-* [[विर्टिंगर डेरिवेटिव]]
+* [[विर्टिंगर डेरिवेटिव|विर्टिंगर व्युत्पत्ति]]
-* [[घातीय मानचित्र का व्युत्पन्न|घातीय मानचित्र का अवकलज]]
+* [[घातीय मानचित्र का व्युत्पन्न|घातीय मानचित्र का व्युत्पत्ति]]
 ==संदर्भ==
@@ Line 68: / Line 67: @@
 * {{citation|first=Hideyuki|last=Matsumura|title=Commutative algebra|publisher=W. A. Benjamin|year=1970|series=Mathematics lecture note series|isbn=978-0-8053-7025-6}}.
 * {{citation|title=Natural operations in differential geometry|first1=Ivan|last1=Kolař|first2=Jan|last2=Slovák|first3=Peter W.|last3=Michor|year=1993|publisher=Springer-Verlag|url=http://www.emis.de/monographs/KSM/index.html}}.
-[[Category: विभेदक बीजगणित]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 29/03/2023]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
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