अगम्य कार्डिनल: Difference between revisions

Latest revision as of 16:50, 28 August 2023

समुच्चय सिद्धान्त में, एक अगम्य कार्डिनल (इनैक्सेसिबल कार्डिनल) अगणनीय होता है क्योकि इसे कार्डिनल अंकगणित के सामान्य संचालन द्वारा छोटे कार्डिनल से प्राप्त नहीं किया जा सकता है। अधिक परिशुद्ध रूप से एक कार्डिनल κ अत्यधिक अगम्य होता है यदि यह अगणनीय है तब $κ$ और $\alpha <\kappa$ से छोटे $2^{\alpha }<\kappa$ कार्डिनल से कम का योग नहीं हो सकता है।

"अगम्य कार्डिनल" शब्द अस्पष्ट है। लगभग 1950 तक, इसका अर्थ "दुर्बल अगम्य कार्डिनल" था लेकिन तब से इसका अर्थ समान्यतः "प्रबल अगम्य कार्डिनल" है। एक अगणनीय कार्डिनल दुर्बल रूप से अगम्य है यदि यह एक नियमित कार्डिनल दुर्बल सीमा कार्डिनल है। और प्रबल अगम्य है या केवल अगम्य है यदि यह एक नियमित प्रबल सीमा कार्डिनल है तब यह ऊपर दी गई परिभाषा के बराबर होता है। कुछ लेखकों को अगणनीय होने के लिए दुर्बल और प्रबल अगम्य कार्डिनल की आवश्यकता नहीं होती है इस स्थिति में $\aleph _{0}$ अत्यधिक अगम्य होते है। हॉसडॉर्फ़ (1908) द्वारा दुर्बल रूप से अगम्य कार्डिनलों को प्रस्तुत किया गया था सिएरपिन्स्की & टर्स्की (1930) और ज़र्मेलो (1930) द्वारा प्रबल अगम्य कार्डिनल्स प्रस्तुत किए गए थे।

प्रत्येक प्रबल अगम्य कार्डिनल भी दुर्बल रूप से अगम्य होते है क्योंकि प्रत्येक प्रबल सीमा कार्डिनल भी एक दुर्बल सीमा कार्डिनल है। यदि सामान्यीकृत सातत्य परिकल्पना धारण करती है तो एक कार्डिनल प्रबल रूप से अगम्य होता है यदि केवल यह दुर्बल रूप से अगम्य है।

$\aleph _{0}$ एक नियमित प्रबल सीमा कार्डिनल है। यदि चयनित कार्डिनल संख्या प्रत्येक दूसरी अपरिमित कार्डिनल संख्या की नियमित या कार्डिनल संख्या सीमा होती है। हालांकि, केवल एक बड़ी कार्डिनल संख्या दोनों हो सकती है और इस प्रकार दुर्बल रूप से अगम्य भी हो सकती है।

क्रमसूचक संख्या एक दुर्बल अगम्य कार्डिनल है यदि केवल यह एक नियमित क्रमसूचक संख्या है और यह नियमित क्रमसूचक संख्या की एक सीमा है। 0, 1 और ω नियमित क्रमसूचक संख्याए हैं लेकिन नियमित क्रमसूचक संख्याओं की सीमा नहीं है। एक कार्डिनल जो दुर्बल रूप से अगम्य है तब एक प्रबल सीमा कार्डिनल भी प्रबल अगम्य होता है।

एक अत्यधिक अगम्य कार्डिनल के अस्तित्व की धारणा को कभी-कभी इस धारणा के रूप में प्रयुक्त किया जाता है कि कोई ग्रोथेंडिक ब्रह्मांड के अंदर कार्य कर सकता है जिसमे दो अवधारणाएँ घनिष्ठ रूप से संबद्ध होती हैं।

मॉडल और संगतता

ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत (जेडएफसी) का तात्पर्य यह है कि वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड $V_{\kappa }$ का $\kappa$ स्तर जेडएफसी का एक मॉडल सिद्धांत है जब $\kappa$ प्रबल रूप से अगम्य होता है। और जेडएफ का अर्थ है कि गोडेल का रचनात्मक ब्रह्मांड $L_{\kappa }$ जेडएफसी का एक मॉडल है जिसमे $\kappa$ दुर्बल रूप से अगम्य है। इस प्रकार, जेडएफ के साथ मिलकर एक दुर्बल विस्तृत कार्डिनल सम्मिलित है जिसका अर्थ है कि जेडएफसी संगत है। इसलिए अगम्य कार्डिनल एक प्रकार के विस्तृत कार्डिनल होते हैं।

यदि $V$ जेडएफसी का एक मानक मॉडल है और $\kappa$ में $V$ अगम्य है तब $V_{\kappa }$ ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत के अभीष्ट मॉडलों में से एक है और $Def(V_{\kappa })$ वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल समुच्चय सिद्धान्त के मेंडेलसन के संस्करण के इच्छित मॉडल में से एक है जिसमें वैश्विक विस्तृत कार्डिनल सम्मिलित नहीं होते है प्रतिस्थापन और सामान्य चयनित कार्डिनल द्वारा आकार की सीमा को परिवर्तित कर दिया गया है और $V_{\kappa +1}$ मोर्स-केली समुच्चय सिद्धांत के अभीष्ट मॉडलों में से एक है। यहाँ $Def(X)$ का Δ₀ एक समुच्चय है X के निश्चित उपसमुच्चय के लिए रचनात्मक ब्रह्मांड देखें। हालांकि, $\kappa$ को $V$ के लिए जेडएफ का मानक मॉडल होने के लिए अगम्य या यहां तक कि एक कार्डिनल संख्या होने की आवश्यकता नहीं होती है।

माना कि $V$ जेडएफसी का एक मॉडल है या तो $V$ में कोई प्रबल अगम्य कार्डिनल नहीं है या $\kappa$ में सबसे छोटा प्रबल अगम्य $V$ , $V_{\kappa }$ जेडएफसी का एक मानक मॉडल है। जिसमें कोई प्रबल कार्डिनल अगम्य योग्य नहीं है। इस प्रकार, जेडएफसी की संगतता का तात्पर्य जेडएफसी की संगतता से है जिसमे कोई प्रबल अगम्यता नहीं है। इसी प्रकार या $V$ इसमें कोई दुर्बल अगम्य या कार्डिनल सम्मिलित नहीं है $\kappa$ के किसी भी मानक उप-मॉडल के सापेक्ष दुर्बल रूप से अगम्य $V$ है तब $L_{\kappa }$ जेडएफसी का एक मानक मॉडल है जिसमें कोई दुर्बल पहुंच योग्य नहीं है जेडएफसी की संगतता का तात्पर्य जेडएफसी की संगतता से है इसमें कोई अगम्य कार्डिनल नहीं है। इससे यह पता चलता है कि जेडएफसी एक अगम्य कार्डिनल के अस्तित्व को सिद्ध नहीं कर सकता है, इसलिए जेडएफसी किसी भी अगम्य कार्डिनल्स के अस्तित्व के अनुरूप नहीं होता है।

मुख्य कारण यह है कि क्या जेडएफसी अगम्य कार्डिनल के अस्तित्व के अनुरूप और अधिक सूक्ष्म है। पिछले पैराग्राफ में लिखित प्रमाण जेडएफसी की संगतता का अर्थ है जेडएफसी की संगतता "एक अगम्य कार्डिनल नहीं है" को जेडएफसी में औपचारिक रूप दिया जा सकता है। हालाँकि, यह मानते हुए कि जेडएफसी सुसंगत है, कोई प्रमाण नहीं है कि जेडएफसी की संगतता का तात्पर्य जेडएफसी+ अगम्य कार्डिनल की संगतता से है, जिसे जेडएफसी में औपचारिक रूप दिया जा सकता है। यह गोडेल के दूसरे अपूर्णता प्रमेय का अनुसरण करता है, जो दर्शाता है कि यदि जेडएफसी+ एक अगम्य कार्डिनल के सुसंगत है तो यह अपनी स्वयं की संगतता प्रमाणित नहीं कर सकता है। क्योंकि जेडएफसी + "एक अगम्य कार्डिनल है" जो जेडएफसी की संगतता को सिद्ध करता है यदि जेडएफसी ने प्रमाणित कर दिया कि उसकी स्वयं की संगतता जेडएफसी की संगतता का अर्थ "एक अगम्य कार्डिनल है" तो यह बाद वाला सिद्धांत अपनी स्वयं की स्थिरता सिद्ध करने में सक्षम हो सकता है जिसको पूर्ण रूप से सिद्ध करना असंभव है।

अगम्य कार्डिनल्स के अस्तित्व के लिए तर्क हैं जिन्हें जेडएफसी में औपचारिक रूप नहीं दिया जा सकता है। ऐसा ही एक तर्क हरबेक & जेक (1999, p. 279) ने प्रस्तुत किया है कि समुच्चय सिद्धान्त के किसी विशेष मॉडल M के सभी क्रमसूचक संख्याओं का वर्ग स्वयं एक अगम्य कार्डिनल होगा यदि समुच्चय सिद्धान्त का एक विस्तृत मॉडल M का विस्तार करता है और M के तत्वों के घात समुच्चय को संरक्षित करता है।

अगम्य कार्डिनल्स के उपयुक्त वर्ग का अस्तित्व

समुच्चय सिद्धान्त में कई महत्वपूर्ण सिद्धांत हैं जो कार्डिनल्स के एक उपयुक्त वर्ग के अस्तित्व पर महत्व देते हैं जो ब्याज के निर्धारण को पूर्ण करते हैं। अगम्यता की स्थिति में, संबंधित स्वयंसिद्ध कथन है कि प्रत्येक कार्डिनल μ के लिए, एक अगम्य कार्डिनल $κ$ है जो प्रबल रूप से $μ < κ$ मे विस्तृत है इस प्रकार यह स्वयंसिद्ध अगम्य कार्डिनल्स के एक अपरिमित टॉवर के अस्तित्व की दायित्व करता है और कभी-कभी अगम्य कार्डिनल स्वयंसिद्ध के रूप में संदर्भित किया जा सकता है जैसा कि किसी भी अगम्य कार्डिनल के अस्तित्व की स्थिति में होता है, अगम्य कार्डिनल स्वयंसिद्ध जेडएफसी के स्वयंसिद्धों से अगम्य होता है। जेडएफसी को यह मानते हुए कि अगम्य कार्डिनल स्वयंसिद्ध ग्रोथेंडिक और जीन लुइस वेर्डियर के ब्रह्मांड स्वयंसिद्ध के बराबर है और प्रत्येक समुच्चय ग्रोथेंडिक ब्रह्मांड में समाहित है। ब्रह्माण्ड स्वयंसिद्ध या समतुल्य रूप से अगम्य कार्डिनल स्वयंसिद्ध के साथ जेडएफसी के स्वयंसिद्धों को जेडएफसीयू (यूरेलेमेंट्स के साथ जेडएफसी के साथ भ्रमित न हों) के रूप में प्रदर्शित किया गया है। यह स्वयंसिद्ध प्रणाली यह सिद्ध करने के लिए उपयोगी है कि प्रत्येक श्रेणी (गणित) में एक उपयुक्त योनेदा अंत:स्थापन है।

यह एक अपेक्षाकृत दुर्बल विस्तृत स्वयंसिद्ध कार्डिनल है क्योंकि यह कहने के समान है कि ∞ अगले भाग की भाषा में 1-अगम्य है जहां ∞ सबसे कम क्रमसूचक को दर्शाता है न कि V में प्रदर्शित करता है अर्थात यह मॉडल में सभी क्रमसूचक संख्याओं की श्रेणी को प्रदर्शित करता है।

α-अगम्य कार्डिनल्स और अति-अगम्य योग्य कार्डिनल्स

α-अगम्य कार्डिनल्स शब्द अस्पष्ट है और विभिन्न लेखक असमान परिभाषाओं का उपयोग करते हैं। एक परिभाषा यह है कि एक कार्डिनल κ को α-किसी भी क्रमिक α के लिए अगम्य कहा जाता है यदि κ अगम्य है और प्रत्येक क्रमिक β < α के लिए κ से कम β-अगम्य का समुच्चय κ में असीमित है और इस प्रकार कार्डिनल κ के बाद से κ नियमित है। इस स्थिति में 0-अगम्य कार्डिनल समान रूप से अगम्य कार्डिनल के समान होते हैं। एक अन्य संभावित परिभाषा यह है कि एक कार्डिनल $κ$ को α कहा जाता है यदि दुर्बल रूप से अगम्य $κ$ और नियमित है तो प्रत्येक क्रमिक β <α के लिए β-दुर्बल अगम्यता का समुच्चय $κ$ से कम और असीमित है। इस स्थिति में 0-दुर्बल अगम्य योग्य कार्डिनल नियमित कार्डिनल हैं और 1-दुर्बल अगम्य योग्य कार्डिनल दुर्बल अगम्य योग्य कार्डिनल होते हैं।

α-अगम्य कार्डिनल्स को कार्यों के निश्चित बिंदुओं के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है जो निम्न अगम्यों की गणना करते हैं। उदाहरण के लिए, ψ0(λ) द्वारा λवें अगम्य कार्डिनल को निरूपित करते है जो ψ0 के निश्चित बिंदु 1-अगम्य कार्डिनल हैं। ψβ(λ) को λवां β-अगम्य कार्डिनल के लिए ψβ के निश्चित बिंदु (β+1) मे अगम्य कार्डिनल ψβ+1(λ)) हैं। यदि α एक सीमा क्रमसूचक संख्या है तो एक α-अगम्य β < α के लिए प्रत्येक ψβ का एक निश्चित बिंदु है जिसका मान ψα(λ) λवां कार्डिनल है विस्तृत कार्डिनल गुणों की सूची के अध्ययन में क्रमिक रूप से विस्तृत कार्डिनल उत्पन्न करने वाले कार्यों के निश्चित बिंदुओं को लेने की यह प्रक्रिया सामान्यतः समान होती है।

अति-अगम्य शब्द अस्पष्ट है और इसके कम से कम तीन असंगत अर्थ होते हैं। कई लेखक इसका उपयोग अत्यधिक अगम्य कार्डिनल्स (1-अगम्य) की एक नियमित सीमा के अर्थ के लिए करते हैं। अन्य लेखक इसका उपयोग यह अर्थ करने के लिए करते हैं कि κ κ-अगम्य है। यह $κ +1$ -अगम्य कभी नहीं हो सकता है क्योकि ह कभी-कभी कार्डिनल के लिए प्रयोग किया जाता है।

शब्द α-अति-अगम्य भी अस्पष्ट है। कुछ लेखक इसका उपयोग α-अगम्य के अर्थ में करते हैं। अन्य लेखक इस परिभाषा का उपयोग करते हैं किसी भी क्रमिक α के लिए कार्डिनल $κ$ है α अति-अगम्य यदि केवल $κ$ अति-अगम्य है और प्रत्येक क्रमिक β <α के लिए, β-अति-अगम्यता का समुच्चय इससे कम $κ$ में असीमित होता है। अति अगम्य कार्डिनल को इतने पर समान तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है जिससे यह शब्द सदैव की तरह अस्पष्ट है। अगम्य के अतिरिक्त दुर्बल अगम्य का उपयोग करके, "दुर्बल α-अगम्य", "दुर्बल अति-अगम्य" और "दुर्बल α-अति-अगम्य" के लिए समान परिभाषाएं बनाई जा सकती हैं।

महलो कार्डिनल अगम्य, अति-अगम्य, अति-अति-अगम्य, ... और इसी प्रकार विभिन्न परिभाषाएं हैं।

अगम्यता के दो मॉडल-सैद्धांतिक लक्षण

सबसे पहले, एक कार्डिनल κ अगम्य है यदि केवल κ में निम्नलिखित परावर्तन सिद्धांत हैं सभी उपसमुच्चय के लिए $U\subset V_{\kappa }$ , $\alpha <\kappa$ सम्मिलित है जो $(V_{\alpha },\in ,U\cap V_{\alpha })$ का एक प्राथमिक आधार $(V_{\kappa },\in ,U)$ है वास्तव में α का समुच्चय $κ$ विवृत समुच्चय है समान रूप से $\Pi _{n}^{0}$ सभी n ≥ 0 के लिए अवर्णनीय कार्डिनल है।

जेडएफ में यह सिद्ध किया जा सकता है कि ∞ कुछ दुर्बल परावर्तन गुण को संतुष्ट करता है, जहां संरचना $(V_{\alpha },\in ,U\cap V_{\alpha })$ सूत्रों के परिमित समुच्चय के संबंध में केवल 'प्रारंभिक' होना आवश्यक होता है। अंततः इस दुर्बल कार्डिनल का कारण मॉडल-सैद्धांतिक संतुष्टि संबंध $⊧$ है अर्थात नहीं हो सकता है जिसको टार्स्की के सिद्धान्त के कारण परिभाषित किया जा सकता है।

दूसरे, जेडएफसी के अंतर्गत यह प्रदर्शित जा सकता है कि $\kappa$ अगम्य योग्य नहीं है यदि केवल $(V_{\kappa },\in )$ दूसरे क्रम का तर्क जेडएफसी का एक मॉडल है। इस इस स्थिति में, परावर्तन गुण संपत्ति द्वारा, वहाँ $\alpha <\kappa$ सम्मिलित होता है जैसे कि $(V_{\alpha },\in )$ जेडएफसी का एक मानक मॉडल है। इसलिए, जेडएफसी के सकर्मक मॉडल के अस्तित्व की तुलना में अगम्य कार्डिनल का अस्तित्व एक प्रबल कार्डिनल होता है।

यह भी देखें

भौतिक कार्डिनल, एक दुर्बल धारणा
महलो कार्डिनल, एक प्रबल धारणा
विवृत समुच्चय
आंतरिक मॉडल
वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड
रचनात्मक ब्रह्मांड

कार्य उद्धृत

Drake, F. R. (1974), Set Theory: An Introduction to Large Cardinals, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, vol. 76, Elsevier Science, ISBN 0-444-10535-2
Hausdorff, Felix (1908), "Grundzüge einer Theorie der geordneten Mengen", Mathematische Annalen, 65 (4): 435–505, doi:10.1007/BF01451165, hdl:10338.dmlcz/100813, ISSN 0025-5831, S2CID 119648544
Hrbáček, Karel; Jech, Thomas (1999), Introduction to set theory (3rd ed.), New York: Dekker, ISBN 978-0-8247-7915-3
Kanamori, Akihiro (2003), The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings (2nd ed.), Springer, ISBN 3-540-00384-3
Sierpiński, Wacław; Tarski, Alfred (1930), "Sur une propriété caractéristique des nombres inaccessibles" (PDF), Fundamenta Mathematicae, 15: 292–300, doi:10.4064/fm-15-1-292-300, ISSN 0016-2736
Zermelo, Ernst (1930), "Über Grenzzahlen und Mengenbereiche: neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre" (PDF), Fundamenta Mathematicae, 16: 29–47, doi:10.4064/fm-16-1-29-47, ISSN 0016-2736. अंग्रेजी अनुवाद: Ewald, William B. (1996), "On boundary numbers and domains of sets: new investigations in the foundations of set theory", From Immanuel Kant to David Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics, Oxford University Press, pp. 1208–1233, ISBN 978-0-19-853271-2.

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-[[समुच्चय सिद्धान्त]] में, एक [[बेशुमार सेट]] [[बुनियादी संख्या]] दुर्गम है यदि इसे [[कार्डिनल अंकगणित]] के सामान्य संचालन द्वारा छोटे कार्डिनल से प्राप्त नहीं किया जा सकता है। अधिक सटीक, एक कार्डिनल {{mvar|&kappa;}} अत्यधिक दुर्गम है यदि यह बेशुमार है, तो यह इससे कम का योग नहीं है {{mvar|&kappa;}} कार्डिनल से छोटे {{mvar|&kappa;}}, और <math>\alpha < \kappa</math> तात्पर्य <math>2^{\alpha} < \kappa</math>.
+[[समुच्चय सिद्धान्त]] में, एक '''अगम्य कार्डिनल''' (इनैक्सेसिबल कार्डिनल) [[बेशुमार सेट|अगणनीय]] होता है क्योकि इसे [[कार्डिनल अंकगणित]] के सामान्य संचालन द्वारा छोटे कार्डिनल से प्राप्त नहीं किया जा सकता है। अधिक परिशुद्ध रूप से एक कार्डिनल κ अत्यधिक अगम्य होता है यदि यह अगणनीय है तब {{mvar|&kappa;}} और <math>\alpha < \kappa</math> से छोटे <math>2^{\alpha} < \kappa</math> कार्डिनल से कम का योग नहीं हो सकता है।
-दुर्गम कार्डिनल शब्द अस्पष्ट है। लगभग 1950 तक, इसका मतलब कमजोर दुर्गम कार्डिनल था, लेकिन तब से इसका अर्थ आमतौर पर दृढ़ता से दुर्गम कार्डिनल होता है। एक बेशुमार कार्डिनल कमजोर रूप से दुर्गम है यदि यह एक [[नियमित कार्डिनल]] [[कमजोर सीमा कार्डिनल]] है। यह दृढ़ता से दुर्गम है, या केवल दुर्गम है, अगर यह एक नियमित मजबूत सीमा कार्डिनल है (यह ऊपर दी गई परिभाषा के बराबर है)। कुछ लेखकों को बेशुमार होने के लिए कमजोर और दृढ़ता से दुर्गम कार्डिनल की आवश्यकता नहीं होती है (किस मामले में {{tmath|\aleph_0}} अत्यधिक दुर्गम है)। कमजोर दुर्गम कार्डिनल्स द्वारा पेश किए गए थे {{harvtxt|Hausdorff|1908}}, और दृढ़ता से दुर्गम लोगों द्वारा {{harvtxt|Sierpiński|Tarski|1930}} और {{harvtxt|Zermelo|1930}}.
+"अगम्य कार्डिनल" शब्द अस्पष्ट है। लगभग 1950 तक, इसका अर्थ "दुर्बल अगम्य कार्डिनल" था लेकिन तब से इसका अर्थ समान्यतः "प्रबल अगम्य कार्डिनल" है। एक अगणनीय कार्डिनल दुर्बल रूप से अगम्य है यदि यह एक [[नियमित कार्डिनल]] [[कमजोर सीमा कार्डिनल|दुर्बल सीमा कार्डिनल]] है। और प्रबल अगम्य है या केवल अगम्य है यदि यह एक नियमित प्रबल सीमा कार्डिनल है तब यह ऊपर दी गई परिभाषा के बराबर होता है। कुछ लेखकों को अगणनीय होने के लिए दुर्बल और प्रबल अगम्य कार्डिनल की आवश्यकता नहीं होती है इस स्थिति में {{tmath|\aleph_0}} अत्यधिक अगम्य होते है। {{harvtxt|हॉसडॉर्फ़|1908}} द्वारा दुर्बल रूप से अगम्य कार्डिनलों को प्रस्तुत किया गया था {{harvtxt|सिएरपिन्स्की|टर्स्की|1930}} और {{harvtxt|ज़र्मेलो|1930}} द्वारा प्रबल अगम्य कार्डिनल्स प्रस्तुत किए गए थे।
-प्रत्येक प्रबल दुर्गम कार्डिनल भी कमजोर रूप से दुर्गम है, क्योंकि प्रत्येक मजबूत सीमा कार्डिनल भी एक कमजोर सीमा कार्डिनल है। यदि कॉन्टिनम परिकल्पना#सामान्यीकृत कॉन्टिनम परिकल्पना धारण करती है, तो एक कार्डिनल प्रबल रूप से दुर्गम है यदि और केवल यदि यह कमजोर रूप से दुर्गम है।
+प्रत्येक प्रबल अगम्य कार्डिनल भी दुर्बल रूप से अगम्य होते है क्योंकि प्रत्येक प्रबल सीमा कार्डिनल भी एक दुर्बल सीमा कार्डिनल है। यदि सामान्यीकृत सातत्य परिकल्पना धारण करती है तो एक कार्डिनल प्रबल रूप से अगम्य होता है यदि केवल यह दुर्बल रूप से अगम्य है।
-{{tmath|\aleph_0}} ([[aleph number]]|aleph-null) एक नियमित स्ट्रॉन्ग लिमिट कार्डिनल है। पसंद के स्वयंसिद्ध को मानते हुए, हर दूसरी अनंत कार्डिनल संख्या नियमित या (कमजोर) सीमा होती है। हालांकि, केवल एक बड़ी कार्डिनल संख्या दोनों हो सकती है और इस प्रकार दुर्बल रूप से दुर्गम हो सकती है।
+{{tmath|\aleph_0}} एक नियमित प्रबल सीमा कार्डिनल है। यदि चयनित कार्डिनल संख्या प्रत्येक दूसरी अपरिमित कार्डिनल संख्या की नियमित या कार्डिनल संख्या सीमा होती है। हालांकि, केवल एक बड़ी कार्डिनल संख्या दोनों हो सकती है और इस प्रकार दुर्बल रूप से अगम्य भी हो सकती है।
-एक क्रमिक संख्या एक कमजोर दुर्गम कार्डिनल है अगर और केवल अगर यह एक नियमित क्रमसूचक है और यह नियमित अध्यादेशों की एक सीमा है। (शून्य, एक, और {{mvar|&omega;}} नियमित अध्यादेश हैं, लेकिन नियमित अध्यादेशों की सीमा नहीं है।) एक कार्डिनल जो कमजोर रूप से दुर्गम है और एक मजबूत सीमा कार्डिनल भी दृढ़ता से दुर्गम है।
+क्रमसूचक संख्या एक दुर्बल अगम्य कार्डिनल है यदि केवल यह एक नियमित क्रमसूचक संख्या है और यह नियमित क्रमसूचक संख्या की एक सीमा है। 0, 1 और ω नियमित क्रमसूचक संख्याए हैं लेकिन नियमित क्रमसूचक संख्याओं की सीमा नहीं है। एक कार्डिनल जो दुर्बल रूप से अगम्य है तब एक प्रबल सीमा कार्डिनल भी प्रबल अगम्य होता है।
-एक अत्यधिक दुर्गम कार्डिनल के अस्तित्व की धारणा को कभी-कभी इस धारणा के रूप में लागू किया जाता है कि कोई [[ग्रोथेंडिक ब्रह्मांड]] के अंदर काम कर सकता है, दो विचार घनिष्ठ रूप से जुड़े हुए हैं।
+एक अत्यधिक अगम्य कार्डिनल के अस्तित्व की धारणा को कभी-कभी इस धारणा के रूप में प्रयुक्त किया जाता है कि कोई [[ग्रोथेंडिक ब्रह्मांड]] के अंदर कार्य कर सकता है जिसमे दो अवधारणाएँ घनिष्ठ रूप से संबद्ध होती हैं।
-== मॉडल और संगति ==
+== मॉडल और संगतता ==
-ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट थ्योरी विथ चॉइस (ZFC) का तात्पर्य है कि <math>\kappa</math>वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड का वां स्तर <math>V_\kappa</math> जब भी ZFC का एक [[मॉडल सिद्धांत]] है <math>\kappa</math> प्रबल दुर्गम है। और ZF का अर्थ है कि गोडेल का रचनात्मक ब्रह्मांड|गोडेल ब्रह्मांड <math>L_\kappa</math> कभी भी ZFC का एक मॉडल है <math>\kappa</math> कमजोर दुर्गम है। इस प्रकार, ZF के साथ मिलकर एक कमजोर [[बड़ा कार्डिनल]] मौजूद है, जिसका अर्थ है कि ZFC संगत है। इसलिए, दुर्गम कार्डिनल एक प्रकार के बड़े कार्डिनल हैं।
+ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत (जेडएफसी) का तात्पर्य यह है कि वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड <math>V_\kappa</math> का <math>\kappa</math> स्तर जेडएफसी का एक [[मॉडल सिद्धांत]] है जब <math>\kappa</math> प्रबल रूप से अगम्य होता है। और जेडएफ का अर्थ है कि गोडेल का रचनात्मक ब्रह्मांड <math>L_\kappa</math> जेडएफसी का एक मॉडल है जिसमे <math>\kappa</math> दुर्बल रूप से अगम्य है। इस प्रकार, जेडएफ के साथ मिलकर एक दुर्बल [[बड़ा कार्डिनल|विस्तृत कार्डिनल]] सम्मिलित है जिसका अर्थ है कि जेडएफसी संगत है। इसलिए अगम्य कार्डिनल एक प्रकार के विस्तृत कार्डिनल होते हैं।
-अगर <math>V</math> ZFC का एक मानक मॉडल है और <math>\kappa</math> में अप्राप्य है <math>V</math>, तब: <math>V_\kappa</math> ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के अभीष्ट मॉडलों में से एक है; और <math>Def(V_\kappa)</math> वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल सेट थ्योरी के मेंडेलसन के संस्करण के इच्छित मॉडल में से एक है, जिसमें वैश्विक पसंद शामिल नहीं है, प्रतिस्थापन और सामान्य पसंद द्वारा आकार की सीमा को बदल दिया गया है; और <math>V_{\kappa+1}</math> मोर्स-केली सेट सिद्धांत के अभीष्ट मॉडलों में से एक है। यहाँ <math>Def(X)</math> Δ का समुच्चय है<sub>0</sub> एक्स के निश्चित उपसमुच्चय (रचनात्मक ब्रह्मांड देखें)। हालाँकि, <math>\kappa</math> के लिए दुर्गम, या यहां तक कि एक कार्डिनल संख्या होने की आवश्यकता नहीं है {{math|<math>V</math><sub><math>\kappa</math></sub>}} ZF का एक मानक मॉडल होना (देखें दुर्गम कार्डिनल # दुर्गमता के दो मॉडल-सैद्धांतिक लक्षण)।
+यदि <math>V</math> जेडएफसी का एक मानक मॉडल है और <math>\kappa</math> में <math>V</math> अगम्य है तब <math>V_\kappa</math> ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत के अभीष्ट मॉडलों में से एक है और <math>Def(V_\kappa)</math> वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल समुच्चय सिद्धान्त के मेंडेलसन के संस्करण के इच्छित मॉडल में से एक है जिसमें वैश्विक विस्तृत कार्डिनल सम्मिलित नहीं होते है प्रतिस्थापन और सामान्य चयनित कार्डिनल द्वारा आकार की सीमा को परिवर्तित कर दिया गया है और <math>V_{\kappa+1}</math> मोर्स-केली समुच्चय सिद्धांत के अभीष्ट मॉडलों में से एक है। यहाँ <math>Def(X)</math> का Δ<sub>0</sub> एक समुच्चय है ''X'' के निश्चित उपसमुच्चय के लिए रचनात्मक ब्रह्मांड देखें। हालांकि, <math>\kappa</math> को {{math|<math>V</math><sub><math>\kappa</math></sub>}} के लिए जेडएफ का मानक मॉडल होने के लिए अगम्य या यहां तक कि एक कार्डिनल संख्या होने की आवश्यकता नहीं होती है।
-कल्पना करना <math>V</math> ZFC का एक मॉडल है। या तो वी में कोई मजबूत दुर्गम या, लेने वाला नहीं है <math>\kappa</math> में सबसे छोटा मजबूत दुर्गम होना <math>V</math>, <math>V_\kappa</math> ZFC का एक मानक मॉडल है जिसमें कोई मजबूत पहुंच योग्य नहीं है। इस प्रकार, ZFC की संगति का तात्पर्य ZFC+ की संगति से है, कोई मजबूत दुर्गमता नहीं है। इसी तरह, या तो {{mvar|V}} इसमें कोई कमजोर दुर्गम या, लेना शामिल नहीं है <math>\kappa</math> के किसी भी मानक उप-मॉडल के सापेक्ष कमजोर रूप से दुर्गम है <math>V</math>, तब <math>L_\kappa</math> ZFC का एक मानक मॉडल है जिसमें कोई कमजोर पहुंच योग्य नहीं है। तो ZFC की निरंतरता का तात्पर्य ZFC + की निरंतरता से है, इसमें कोई दुर्गम दुर्गमता नहीं है। इससे पता चलता है कि ZFC एक दुर्गम कार्डिनल के अस्तित्व को साबित नहीं कर सकता है, इसलिए ZFC किसी भी दुर्गम कार्डिनल्स के अस्तित्व के अनुरूप नहीं है।
+माना कि <math>V</math> जेडएफसी का एक मॉडल है या तो <math>V</math> में कोई प्रबल अगम्य कार्डिनल नहीं है या <math>\kappa</math> में सबसे छोटा प्रबल अगम्य <math>V</math>, <math>V_\kappa</math> जेडएफसी का एक मानक मॉडल है। जिसमें कोई प्रबल कार्डिनल अगम्य योग्य नहीं है। इस प्रकार, जेडएफसी की संगतता का तात्पर्य जेडएफसी की संगतता से है जिसमे कोई प्रबल अगम्यता नहीं है। इसी प्रकार या {{mvar|V}} इसमें कोई दुर्बल अगम्य या कार्डिनल सम्मिलित नहीं है <math>\kappa</math> के किसी भी मानक उप-मॉडल के सापेक्ष दुर्बल रूप से अगम्य <math>V</math> है तब <math>L_\kappa</math> जेडएफसी का एक मानक मॉडल है जिसमें कोई दुर्बल पहुंच योग्य नहीं है जेडएफसी की संगतता का तात्पर्य जेडएफसी की संगतता से है इसमें कोई अगम्य कार्डिनल नहीं है। इससे यह पता चलता है कि जेडएफसी एक अगम्य कार्डिनल के अस्तित्व को सिद्ध नहीं कर सकता है, इसलिए जेडएफसी किसी भी अगम्य कार्डिनल्स के अस्तित्व के अनुरूप नहीं होता है।
-यह मुद्दा कि क्या ZFC दुर्गम कार्डिनल के अस्तित्व के अनुरूप है, अधिक सूक्ष्म है। पिछले पैराग्राफ में स्केच किया गया प्रमाण कि ZFC की संगति का तात्पर्य ZFC + की संगति से है, ZFC में एक दुर्गम कार्डिनल नहीं है जिसे औपचारिक रूप दिया जा सकता है। हालाँकि, यह मानते हुए कि ZFC सुसंगत है, कोई प्रमाण नहीं है कि ZFC की संगति का तात्पर्य ZFC + की संगति से है, ZFC में एक दुर्गम कार्डिनल को औपचारिक रूप दिया जा सकता है। यह गोडेल की दूसरी अपूर्णता प्रमेय से अनुसरण करता है, जो दर्शाता है कि यदि ZFC + एक दुर्गम कार्डिनल सुसंगत है, तो यह अपनी स्वयं की संगति साबित नहीं कर सकता है। क्योंकि ZFC + एक दुर्गम कार्डिनल है जो ZFC की संगति को साबित करता है, अगर ZFC ने साबित कर दिया कि उसकी खुद की संगति ZFC की संगति का अर्थ है + एक दुर्गम कार्डिनल है तो यह बाद वाला सिद्धांत अपनी खुद की स्थिरता साबित करने में सक्षम होगा, जो असंभव है अगर यह सुसंगत है।
+मुख्य कारण यह है कि क्या जेडएफसी अगम्य कार्डिनल के अस्तित्व के अनुरूप और अधिक सूक्ष्म है। पिछले पैराग्राफ में लिखित प्रमाण जेडएफसी की संगतता का अर्थ है जेडएफसी की संगतता "एक अगम्य कार्डिनल नहीं है" को जेडएफसी में औपचारिक रूप दिया जा सकता है। हालाँकि, यह मानते हुए कि जेडएफसी सुसंगत है, कोई प्रमाण नहीं है कि जेडएफसी की संगतता का तात्पर्य जेडएफसी+ अगम्य कार्डिनल की संगतता से है, जिसे जेडएफसी में औपचारिक रूप दिया जा सकता है। यह गोडेल के दूसरे अपूर्णता प्रमेय का अनुसरण करता है, जो दर्शाता है कि यदि जेडएफसी+ एक अगम्य कार्डिनल के सुसंगत है तो यह अपनी स्वयं की संगतता प्रमाणित नहीं कर सकता है। क्योंकि जेडएफसी + "एक अगम्य कार्डिनल है" जो जेडएफसी की संगतता को सिद्ध करता है यदि जेडएफसी ने प्रमाणित कर दिया कि उसकी स्वयं की संगतता जेडएफसी की संगतता का अर्थ "एक अगम्य कार्डिनल है" तो यह बाद वाला सिद्धांत अपनी स्वयं की स्थिरता सिद्ध करने में सक्षम हो सकता है जिसको पूर्ण रूप से सिद्ध करना असंभव है।
-दुर्गम कार्डिनल्स के अस्तित्व के लिए तर्क हैं जिन्हें ZFC में औपचारिक रूप नहीं दिया जा सकता है। ऐसा ही एक तर्क प्रस्तुत किया {{harvtxt|Hrbáček|Jech|1999|p=279}}, यह है कि सेट थ्योरी के किसी विशेष मॉडल एम के सभी अध्यादेशों का वर्ग स्वयं एक दुर्गम कार्डिनल होगा यदि सेट थ्योरी का एक बड़ा मॉडल एम का विस्तार करता है और एम के तत्वों के पॉवरसेट को संरक्षित करता है।
+अगम्य कार्डिनल्स के अस्तित्व के लिए तर्क हैं जिन्हें जेडएफसी में औपचारिक रूप नहीं दिया जा सकता है। ऐसा ही एक तर्क {{harvtxt|हरबेक|जेक|1999|p=279}} ने प्रस्तुत किया है कि समुच्चय सिद्धान्त के किसी विशेष मॉडल ''M'' के सभी क्रमसूचक संख्याओं का वर्ग स्वयं एक अगम्य कार्डिनल होगा यदि समुच्चय सिद्धान्त का एक विस्तृत मॉडल ''M'' का विस्तार करता है और ''M'' के तत्वों के घात समुच्चय को संरक्षित करता है।
-== दुर्गमों के एक उचित वर्ग का अस्तित्व ==
+== अगम्य कार्डिनल्स के उपयुक्त वर्ग का अस्तित्व ==
-सेट थ्योरी में कई महत्वपूर्ण सिद्धांत हैं जो कार्डिनल्स के एक उचित वर्ग के अस्तित्व पर जोर देते हैं जो ब्याज की भविष्यवाणी को पूरा करते हैं। दुर्गमता के मामले में, संबंधित स्वयंसिद्ध कथन है कि प्रत्येक कार्डिनल μ के लिए, एक दुर्गम कार्डिनल है {{mvar|κ}} जो सख्ती से बड़ा है, {{math|''μ'' < ''κ''}}. इस प्रकार, यह स्वयंसिद्ध दुर्गम कार्डिनल्स के एक अनंत टॉवर के अस्तित्व की गारंटी देता है (और कभी-कभी दुर्गम कार्डिनल स्वयंसिद्ध के रूप में संदर्भित किया जा सकता है)। जैसा कि किसी भी दुर्गम कार्डिनल के अस्तित्व के मामले में है, दुर्गम कार्डिनल स्वयंसिद्ध ZFC के स्वयंसिद्धों से अप्राप्य है। ZFC को मानते हुए, दुर्गम कार्डिनल स्वयंसिद्ध [[ग्रोथेंडिक]] और [[जीन लुइस वेर्डियर]] के ब्रह्मांड स्वयंसिद्ध के बराबर है: प्रत्येक सेट ग्रोथेंडिक ब्रह्मांड में समाहित है। ब्रह्माण्ड स्वयंसिद्ध (या समतुल्य रूप से दुर्गम कार्डिनल स्वयंसिद्ध) के साथ ZFC के स्वयंसिद्धों को ZFCU ([[मूत्रालय]] के साथ ZFC के साथ भ्रमित नहीं होना) के रूप में दर्शाया गया है। यह स्वयंसिद्ध प्रणाली उदाहरण के लिए यह साबित करने के लिए उपयोगी है कि हर [[श्रेणी (गणित)]] में एक उपयुक्त [[योनेदा एम्बेडिंग]] है।
+समुच्चय सिद्धान्त में कई महत्वपूर्ण सिद्धांत हैं जो कार्डिनल्स के एक उपयुक्त वर्ग के अस्तित्व पर महत्व देते हैं जो ब्याज के निर्धारण को पूर्ण करते हैं। अगम्यता की स्थिति में, संबंधित स्वयंसिद्ध कथन है कि प्रत्येक कार्डिनल μ के लिए, एक अगम्य कार्डिनल {{mvar|κ}} है जो प्रबल रूप से {{math|''μ'' < ''κ''}} मे विस्तृत है इस प्रकार यह स्वयंसिद्ध अगम्य कार्डिनल्स के एक अपरिमित टॉवर के अस्तित्व की दायित्व करता है और कभी-कभी अगम्य कार्डिनल स्वयंसिद्ध के रूप में संदर्भित किया जा सकता है जैसा कि किसी भी अगम्य कार्डिनल के अस्तित्व की स्थिति में होता है, अगम्य कार्डिनल स्वयंसिद्ध जेडएफसी के स्वयंसिद्धों से अगम्य होता है। जेडएफसी को यह मानते हुए कि अगम्य कार्डिनल स्वयंसिद्ध [[ग्रोथेंडिक]] और [[जीन लुइस वेर्डियर]] के ब्रह्मांड स्वयंसिद्ध के बराबर है और प्रत्येक समुच्चय ग्रोथेंडिक ब्रह्मांड में समाहित है। ब्रह्माण्ड स्वयंसिद्ध या समतुल्य रूप से अगम्य कार्डिनल स्वयंसिद्ध के साथ जेडएफसी के स्वयंसिद्धों को जेडएफसीयू (यूरेलेमेंट्स के साथ जेडएफसी के साथ भ्रमित न हों) के रूप में प्रदर्शित किया गया है। यह स्वयंसिद्ध प्रणाली यह सिद्ध करने के लिए उपयोगी है कि प्रत्येक [[श्रेणी (गणित)]] में एक उपयुक्त [[योनेदा एम्बेडिंग|योनेदा अंत:स्थापन]] है।
-यह एक अपेक्षाकृत कमजोर बड़ा कार्डिनल स्वयंसिद्ध है क्योंकि यह कहने की मात्रा है कि ∞ अगले खंड की भाषा में 1-अगम्य है, जहां ∞ कम से कम क्रमसूचक को वी में नहीं दर्शाता है, यानी आपके मॉडल में सभी अध्यादेशों की कक्षा।
+यह एक अपेक्षाकृत दुर्बल विस्तृत स्वयंसिद्ध कार्डिनल है क्योंकि यह कहने के समान है कि ∞ अगले भाग की भाषा में 1-अगम्य है जहां ∞ सबसे कम क्रमसूचक को दर्शाता है न कि V में प्रदर्शित करता है अर्थात यह मॉडल में सभी क्रमसूचक संख्याओं की श्रेणी को प्रदर्शित करता है।
-== α-अगम्य कार्डिनल्स और अति-पहुंच योग्य कार्डिनल्स ==
+== α-अगम्य कार्डिनल्स और अति-अगम्य योग्य कार्डिनल्स ==
-α-inaccessible cardinal शब्द अस्पष्ट है और विभिन्न लेखक असमान परिभाषाओं का उपयोग करते हैं। एक परिभाषा यह है
+α-अगम्य कार्डिनल्स शब्द अस्पष्ट है और विभिन्न लेखक असमान परिभाषाओं का उपयोग करते हैं। एक परिभाषा यह है कि एक कार्डिनल κ को α-किसी भी क्रमिक α के लिए अगम्य कहा जाता है यदि κ अगम्य है और प्रत्येक क्रमिक β < α के लिए κ से कम β-अगम्य का समुच्चय κ में असीमित है और इस प्रकार कार्डिनल κ के बाद से κ नियमित है। इस स्थिति में 0-अगम्य कार्डिनल समान रूप से अगम्य कार्डिनल के समान होते हैं। एक अन्य संभावित परिभाषा यह है कि एक कार्डिनल {{mvar|κ}} को ''α'' कहा जाता है यदि दुर्बल रूप से अगम्य {{mvar|κ}} और नियमित है तो प्रत्येक क्रमिक β <α के लिए β-दुर्बल अगम्यता का समुच्चय {{mvar|κ}} से कम और असीमित है। इस स्थिति में 0-दुर्बल अगम्य योग्य कार्डिनल नियमित कार्डिनल हैं और 1-दुर्बल अगम्य योग्य कार्डिनल दुर्बल अगम्य योग्य कार्डिनल होते हैं।
-एक कार्डिनल {{mvar|κ}} कहा जाता है ''α''- दुर्गम, ''α'' के लिए कोई भी क्रमिक, यदि {{mvar|κ}} दुर्गम है और प्रत्येक क्रमिक β <α के लिए, β-inaccessibles का सेट कम से कम है {{mvar|κ}} में असीमित है {{mvar|κ}} (और इस प्रकार कार्डिनैलिटी {{mvar|κ}}, तब से {{mvar|κ}} नियमित है)। इस मामले में 0-दुर्गम कार्डिनल समान रूप से दुर्गम कार्डिनल के समान हैं। एक अन्य संभावित परिभाषा यह है कि एक कार्डिनल {{mvar|κ}} ''α'' कहा जाता है - यदि दुर्बल रूप से दुर्गम है {{mvar|κ}} नियमित है और प्रत्येक क्रमिक β <α के लिए, β-कमजोर दुर्गमता का सेट इससे कम है {{mvar|κ}} κ में असीमित है। इस मामले में 0-कमजोर पहुंच योग्य कार्डिनल नियमित कार्डिनल हैं और 1-कमजोर पहुंच योग्य कार्डिनल कमजोर पहुंच योग्य कार्डिनल हैं।
-Α-इनएक्सेसिबल कार्डिनल्स को कार्यों के निश्चित बिंदुओं के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है जो निम्न दुर्गमों की गणना करते हैं। उदाहरण के लिए, ψ द्वारा निरूपित करें<sub>0</sub>(λ) λ<sup>वें</sup> दुर्गम कार्डिनल, फिर ψ के निश्चित बिंदु<sub>0</sub> 1-दुर्गम कार्डिनल हैं। फिर ψ देना<sub>''β''</sub>(λ) λ हो<sup>वें</sup> β-अगम्य कार्डिनल, ψ के निश्चित बिंदु<sub>''β''</sub> (β+1)-अगम्य कार्डिनल हैं (मान ψ<sub>''β''+1</sub>(λ))। यदि α एक सीमा क्रमसूचक है, तो एक α-अगम्य प्रत्येक ψ का एक निश्चित बिंदु है<sub>''β''</sub> β < α के लिए (मान ψ<sub>''α''</sub>(λ) λ है<sup>वें</sup> ऐसा कार्डिनल)। [[बड़े कार्डिनल गुणों की सूची]] के अध्ययन में क्रमिक रूप से बड़े कार्डिनल उत्पन्न करने वाले कार्यों के निश्चित बिंदुओं को लेने की यह प्रक्रिया आम तौर पर सामने आती है।
+α-अगम्य कार्डिनल्स को कार्यों के निश्चित बिंदुओं के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है जो निम्न अगम्यों की गणना करते हैं। उदाहरण के लिए, ψ0(λ) द्वारा λवें अगम्य कार्डिनल को निरूपित करते है जो ψ0 के निश्चित बिंदु 1-अगम्य कार्डिनल हैं। ψβ(λ) को λवां β-अगम्य कार्डिनल के लिए ψβ के निश्चित बिंदु (β+1) मे अगम्य कार्डिनल ψβ+1(λ)) हैं। यदि α एक सीमा क्रमसूचक संख्या है तो एक α-अगम्य β < α के लिए प्रत्येक ψβ का एक निश्चित बिंदु है जिसका मान ψα(λ) λवां कार्डिनल है [[बड़े कार्डिनल गुणों की सूची|विस्तृत कार्डिनल गुणों की सूची]] के अध्ययन में क्रमिक रूप से विस्तृत कार्डिनल उत्पन्न करने वाले कार्यों के निश्चित बिंदुओं को लेने की यह प्रक्रिया सामान्यतः समान होती है।
-हाइपर-अगम्य शब्द अस्पष्ट है और इसके कम से कम तीन असंगत अर्थ हैं। कई लेखक इसका उपयोग अत्यधिक दुर्गम कार्डिनल्स (1-दुर्गम) की एक नियमित सीमा के अर्थ के लिए करते हैं। अन्य लेखक इसका अर्थ यह करने के लिए उपयोग करते हैं {{mvar|κ}} है {{mvar|κ}}-अगम्य। (यह कभी नहीं हो सकता {{math|{{var|κ}}+1}}-अगम्य।) यह कभी-कभी [[कार्डिनल आंखें]] के लिए प्रयोग किया जाता है।
+अति-अगम्य शब्द अस्पष्ट है और इसके कम से कम तीन असंगत अर्थ होते हैं। कई लेखक इसका उपयोग अत्यधिक अगम्य कार्डिनल्स (1-अगम्य) की एक नियमित सीमा के अर्थ के लिए करते हैं। अन्य लेखक इसका उपयोग यह अर्थ करने के लिए करते हैं कि κ κ-अगम्य है। यह {{math|{{var|κ}}+1}}-अगम्य कभी नहीं हो सकता है क्योकि ह कभी-कभी [[कार्डिनल आंखें|कार्डिनल]] के लिए प्रयोग किया जाता है।
-शब्द ''α''-अति-अगम्य भी अस्पष्ट है। कुछ लेखक इसका उपयोग ''α''-अगम्य के अर्थ में करते हैं। अन्य लेखक इस परिभाषा का उपयोग करते हैं
+शब्द ''α''-अति-अगम्य भी अस्पष्ट है। कुछ लेखक इसका उपयोग ''α''-अगम्य के अर्थ में करते हैं। अन्य लेखक इस परिभाषा का उपयोग करते हैं किसी भी क्रमिक ''α'' के लिए कार्डिनल {{mvar|κ}} है ''α'' अति-अगम्य यदि केवल {{mvar|κ}} अति-अगम्य है और प्रत्येक क्रमिक β <α के लिए, β-अति-अगम्यता का समुच्चय इससे कम {{mvar|κ}} में असीमित होता है। अति अगम्य कार्डिनल को इतने पर समान तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है जिससे यह शब्द सदैव की तरह अस्पष्ट है। अगम्य के अतिरिक्त दुर्बल अगम्य का उपयोग करके, "दुर्बल α-अगम्य", "दुर्बल अति-अगम्य" और "दुर्बल α-अति-अगम्य" के लिए समान परिभाषाएं बनाई जा सकती हैं।
-किसी भी क्रमिक ''α'' के लिए, एक कार्डिनल {{mvar|κ}} है ''α''-हाइपर-अगम्य अगर और केवल अगर {{mvar|κ}} अति-अगम्य है और प्रत्येक क्रमिक β <α के लिए, β-अति-अगम्यता का सेट इससे कम है {{mvar|κ}} में असीमित है {{mvar|κ}}.
-हाइपर-हाइपर-अगम्य कार्डिनल और इतने पर समान तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है, और हमेशा की तरह यह शब्द अस्पष्ट है।
+महलो कार्डिनल अगम्य, अति-अगम्य, अति-अति-अगम्य, ... और इसी प्रकार विभिन्न परिभाषाएं हैं।
-दुर्बल रूप से अप्राप्य के बजाय दुर्गम रूप से दुर्गम का उपयोग करके, समान परिभाषाएं कमजोर α-अगम्य, कमजोर रूप से अति-अगम्य और कमजोर α-अति-अगम्य के लिए बनाई जा सकती हैं।
+== अगम्यता के दो मॉडल-सैद्धांतिक लक्षण ==
+सबसे पहले, एक कार्डिनल κ अगम्य है यदि केवल κ में निम्नलिखित [[प्रतिबिंब सिद्धांत|परावर्तन सिद्धांत]] हैं सभी उपसमुच्चय के लिए <math>U\subset V_\kappa</math>, <math>\alpha<\kappa</math> सम्मिलित है जो <math>(V_\alpha,\in,U\cap V_\alpha)</math> का एक [[प्राथमिक आधार]] <math>(V_\kappa,\in,U)</math> है वास्तव में α का समुच्चय {{mvar|κ}} [[क्लब सेट|विवृत समुच्चय]] है समान रूप से <math>\Pi_n^0</math> सभी n ≥ 0 के लिए [[पूरी तरह से अवर्णनीय कार्डिनल|अवर्णनीय कार्डिनल]] है।
-महलो कार्डिनल अप्राप्य, अति-अगम्य, अति-अति-अगम्य, ... और इसी तरह हैं।
+जेडएफ में यह सिद्ध किया जा सकता है कि ∞ कुछ दुर्बल परावर्तन गुण को संतुष्ट करता है, जहां संरचना <math>(V_\alpha,\in,U\cap V_\alpha)</math> सूत्रों के परिमित समुच्चय के संबंध में केवल 'प्रारंभिक' होना आवश्यक होता है। अंततः इस दुर्बल कार्डिनल का कारण मॉडल-सैद्धांतिक संतुष्टि संबंध {{math|⊧}} है अर्थात नहीं हो सकता है जिसको टार्स्की के सिद्धान्त के कारण परिभाषित किया जा सकता है।
-== दुर्गमता के दो मॉडल-सैद्धांतिक लक्षण ==
+दूसरे, जेडएफसी के अंतर्गत यह प्रदर्शित जा सकता है कि <math>\kappa</math> अगम्य योग्य नहीं है यदि केवल <math>(V_\kappa,\in)</math> [[दूसरे क्रम का तर्क]] जेडएफसी का एक मॉडल है। इस इस स्थिति में, परावर्तन गुण संपत्ति द्वारा, वहाँ <math>\alpha<\kappa</math> सम्मिलित होता है जैसे कि <math>(V_\alpha,\in)</math> जेडएफसी का एक मानक मॉडल है। इसलिए, जेडएफसी के सकर्मक मॉडल के अस्तित्व की तुलना में अगम्य कार्डिनल का अस्तित्व एक प्रबल कार्डिनल होता है।
-सबसे पहले, एक कार्डिनल {{mvar|κ}} पहुंच योग्य नहीं है अगर और केवल अगर {{mvar|κ}} निम्नलिखित [[प्रतिबिंब सिद्धांत]] संपत्ति है: सभी उपसमुच्चय के लिए <math>U\subset V_\kappa</math>, वहां मौजूद <math>\alpha<\kappa</math> ऐसा है कि <math>(V_\alpha,\in,U\cap V_\alpha)</math> का एक [[प्राथमिक आधार]] है <math>(V_\kappa,\in,U)</math>. (वास्तव में, ऐसे α का सेट [[क्लब सेट]] है {{mvar|κ}}।) समान रूप से, <math>\kappa</math> है <math>\Pi_n^0</math>-सभी n ≥ 0 के लिए [[पूरी तरह से अवर्णनीय कार्डिनल]]।
-ZF में यह साबित किया जा सकता है कि ∞ कुछ हद तक कमजोर प्रतिबिंब संपत्ति को संतुष्ट करता है, जहां सबस्ट्रक्चर <math>(V_\alpha,\in,U\cap V_\alpha)</math> सूत्रों के परिमित सेट के संबंध में केवल 'प्रारंभिक' होना आवश्यक है। आखिरकार, इस कमजोर पड़ने का कारण मॉडल-सैद्धांतिक संतुष्टि संबंध है {{math|⊧}} परिभाषित किया जा सकता है, शब्दार्थ सत्य ही (अर्थात <math>\vDash_V</math>) तर्स्की की अनिर्धारणीयता प्रमेय के कारण नहीं हो सकता|तर्स्की की प्रमेय।
-दूसरे, ZFC के तहत यह दिखाया जा सकता है <math>\kappa</math> पहुंच योग्य नहीं है अगर और केवल अगर <math>(V_\kappa,\in)</math> [[दूसरे क्रम का तर्क]] ZFC का एक मॉडल है।
-इस मामले में, ऊपर प्रतिबिंब संपत्ति द्वारा मौजूद है <math>\alpha<\kappa</math> ऐसा है कि <math>(V_\alpha,\in)</math> ([[पहले क्रम का तर्क]]) ZFC का एक मानक मॉडल है। इसलिए, ZFC के सकर्मक मॉडल के अस्तित्व की तुलना में दुर्गम कार्डिनल का अस्तित्व एक मजबूत परिकल्पना है।
 == यह भी देखें ==
-* [[सांसारिक कार्डिनल]], एक कमजोर धारणा
+* [[सांसारिक कार्डिनल|भौतिक कार्डिनल]], एक दुर्बल धारणा
-* महलो कार्डिनल, एक मजबूत धारणा
+* महलो कार्डिनल, एक प्रबल धारणा
-* क्लब सेट
+* विवृत समुच्चय
 * [[आंतरिक मॉडल]]
 * वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड
@@ Line 122: / Line 114: @@
 {{refend}}
-{{Mathematical logic}}
-श्रेणी:बड़े कार्डिनल्स
-[[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 13/02/2023]]
+[[Category:Lua-based templates]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
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मॉडल और संगतता

अगम्य कार्डिनल्स के उपयुक्त वर्ग का अस्तित्व

α-अगम्य कार्डिनल्स और अति-अगम्य योग्य कार्डिनल्स

अगम्यता के दो मॉडल-सैद्धांतिक लक्षण

यह भी देखें

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अगम्य कार्डिनल: Difference between revisions

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मॉडल और संगतता

अगम्य कार्डिनल्स के उपयुक्त वर्ग का अस्तित्व

α-अगम्य कार्डिनल्स और अति-अगम्य योग्य कार्डिनल्स

अगम्यता के दो मॉडल-सैद्धांतिक लक्षण

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